數學第四冊第二章 排列組合

TCFSH 205

數學第四冊第二章 排列組合

P

= n !

 n−m!

C

= n ! m! n−m!

H

=C

 x y

= ∑

r=0 n

C

x

y

a

= p⋅a

 q⋅a

九十六學年度第二學期 座號：

姓名：

http://cplee8tcfsh.blogspot.com/

2-1 計數原理

一、加法原理：(或)(互斥)

B=A1∪A2∪…∪Ak，且A1，A2，…Ak為兩兩互斥的集合，

則n(B)=n(A1)+n(A2)+…+n(Ak) n(B)表集合 B 的元素個數

※A1，A2，…，Ak稱為集合B 的一個分割(Partitions)

Ex1.從甲地到乙地，走公路有 6 條路線，走海路有 1 條路線，利用航空有 4 條路線，

其餘沒有其他路線，則從甲地到乙地共有幾條路線可到達？Ans：11

1.補集：

(1)n(A′)=n(U)－n(A)

(2)n(A′∩B′)=n((A∪B)′)=n(U)－n(A∪B) (DeMorgan) 2.差集：n(A-B)=n(A)-n(A∩B)

Ex2.A={x| ^{x ∈N ，1≤x≤106}}，B={x|x=20k，k∈Z}，則 n(A－B)=？Ans：900

二、排容原理：

(1)n(A∪B)=n(A)+n(B)－n(A∩B)

(2)n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)－n(A∩B)－n(B∩C)－n(C∩A)+n(A∩B∩C) (3)n(A1∪A2……∪At)=

∑

n A_i−

∑

i j

n A_i∩A_j

∑

i j k

n  A_i∩A_j∩A_k⋯−1^t1n A_i∩A_j∩⋯∩A_t 1.加法原理：上式中，因為互斥，所以交集均為空集合。

Ex3.從 1000 到 1000000 的自然數中，既不是平方數，也不是立方數者有多少個？

Ans：997948

Ex4.自然數若干個，其中 2 的倍數有 52 個，6 的倍數有 23 個，2 或 3 的倍數有 60 個，則其中3 的倍數有幾個？Ans：31

Ex5.某班人數 60 人，在一次抽考英文、數學、化學的考試中，英文及格的有 41 人，

數學及格的有39 人，化學及格的有 42 人；英文、數學兩科不及格的有 14 人，數學 化學兩科不及格的有13 人，英文、化學兩科不及格的有 11 人，有兩科或兩科以上 不及格的人數為20 人，則：(1)三科都不及格的有幾人？(2)至少有一科不及格的有 幾人？(3)三科都及格的人數有幾人？

Ans：9，29，31

Ex6.有一首流行歌曲”姊姊妹妹站起來”，其中一段歌詞是”十個男人，七個傻，

八個呆，九個壞”，根據這段歌詞，請問這十個男人中：

(1)又傻又呆的男人，最少？位，最多？位 Ans：5，7 (2)又傻又呆又壞的男人，最少？位，最多？位 Ans：4，7

2.歐拉公式：1 到 n 中，為 p 倍，而非 q 倍的數，  p , q=1 ，個數：

p，q 整除 n： n( 1

p )(1- 1 q) p，q 不整除 n： n( 1

p )(1- 1

q)展開後，各別取高斯符號[]

Ex7.比 143 小且與 143 互質的正整數有幾個？Ans：120

Ex8.由 1 到 100 的自然數中，可被 3 整除，但不被 2，5 整除者共有幾個？Ans：14

三、乘法原理：(且)(並存)

1.若一試驗包含 k 個步驟，第一個步驟有 n1種方法可供選擇，對於第一個步驟的每一種方 法，第二個步驟都有n2種方法可供選擇，對於前二個步驟的每一種方法，第三個步驟 都有n3種方法可供選擇，依法類推，則完成此試驗可能的選擇共有N=n1×n2×n3×…

×nk(種)

Ex9.一樹有 2 莖，每莖分 3 幹，每幹生 4 枝，每枝開一花，問此樹共有多少花？

Ans：24

Ex10.某人有相異的帽子三頂，領帶二條，上衣三件，皮帶二條，褲子三件，皮鞋 二雙，且外出時必穿戴整齊，每樣均帶，求外出時的穿法有幾種？Ans：216

Ex11.(a+b+c+d)(e+f+g)(x+y+z+u+v)之展開式中共有幾項？Ans：60

Ex12.(1)1 元幣 3 個，10 元幣 3 個，50 元幣 1 個，100 元幣 2 張，可付出多少種不 同款額？Ans：95

(2)若改為 1 元幣 6 個，10 元幣 3 個，50 元幣 4 個，100 元幣 2 張，則可付出多少 種不同款額？Ans：251

2.樹形圖

Ex13.四面體 ABCD，由 A 至 B 沿稜走，路程中頂點不重覆，共有幾種走法？

Ans：5

Ex14.A，B 兩隊比賽籃球，無平手，規定 A 勝三局 A 贏，B 勝二局 B 贏，試求此比 賽之所有可能情形有幾種？Ans：10

Ex15.牆上有一寬 2 公寸，長 9 公寸的空白長方形，現有許多紅色及綠色的長方形 磁磚，而紅磁磚寬1 公寸，長 3 公寸；綠磁磚寬 1 公寸，長 6 公寸，若用這些磁磚 填滿牆上的長方形，則可填出幾種不同圖形？Ans：9

A Q B

P B A

3.積集合：

(1)若 A，B 為兩集合，且 n(A)=n1，n(B)=n2，

則A，B 的積集合為 A×B={(a，b)|a∈A，b∈B}，且 n(A×B)=n(A)×n(B)。

(2)A×B×C={(a，b，c)|a∈A，b∈B，c∈C}，n(A×B×C)=n(A)n(B)n(C) (3)Aⁿ={(a1，a2，…，an)|ai∈A，i=1，2，---，n}，n(Aⁿ)=[n(A)]ⁿ

Ex16.設 A={1，2，3}，B={a，b}，求 A×B=？Ans：

{(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)}

四、其他：

1.塗色問題

Ex17.五種不同的顏色塗右圖，相鄰著異色，

共有多少種不同的塗法？Ans：320

Ex18.以 5 種不同顏色塗在右圖各區，

但相鄰得異色，顏色可重複使用，則共有幾種塗法？

Ans：5×4×4×4

Ex19.五種不同的顏色塗右圖，相鄰著異色，

共有多少種不同的塗法？Ans：5×4×13×13×13

2.街道問題

Ex20.如圖所示 “橫街 2 條，直街 5 條”

所組成之社區，現由A 到 B，

若途中走過之路段不得重複，

則有幾種不同的路線？Ans：16

Ex21.如圖街道，某甲欲由 A 走到 B，

不許走←方向，且走過的路不能再走，

問有幾種走法？其中不經Q 的走法有幾種？

Ans：300；225

Ex22.如圖，由 A 走到 B 的捷徑走法，

(1)有幾種？(2)經過 P 點者有幾種？

Ans：29，15

Ex23.三位數中，百位數與個位數之差的絕對值為 2 的數共有幾個？Ans：150

Ex24.設 a=67500，則(1)a 的正因數有多少個？(2)a 之正因數中為 9 的倍數，但不 為25 的倍數者有多少個？其和為何？Ans：60；12，1512

A B

Ex25.從 1 寫到 1000 的自然數中，總共？個自然數含有 3，又一共寫了？個 3 (0)從 1 到 1000 與從 0~999

(1)至少一個 3，反面作法， 10³−9³=729

(2.1)恰一個 3+恰二個 3+恰三個 3= 1×3×9×92×3×93×1=300 (2.2)個位 3+十位 3+百位 3= 1×10×1010×1010×10=300 (2.3)均分= 1000×3÷10=300

Ans：271；300

Ex26.自甲市到乙市有 9 條路，其中 2 條是甲向乙單行道，3 條是乙向甲單行道，某 人開一汽車作甲乙市往返，去回不走同路走法有幾種？Ans：38

Ex27. 丌枻 與美眉來到自助餐店吃晚餐，今日餐廳提供 3 道魚、4 道肉、5 道蔬菜；(1) 美眉為了瘦身，只點一道，方法幾種？(2)丌枻 為了營養均衡，魚、肉、蔬菜各點一 道，方法幾種？Ans：12，60

Ex28.某房子有五個門可供進出，甲、乙由不同門進入，且由不同門出來，且各人進 去與出來之門不同，則其法有多少種？Ans：260

Ex29.有一百貨公司佔一、二樓，而上下樓除有 4 個電梯外，無其他樓梯可用。今有 警察及小偷各一人，同時由一樓搭不同的電梯上二樓，過一段時間後，又同時搭不 同的電梯下樓，且每人上、下樓所搭的電梯亦相異，則他們上、下樓之方法有幾種？

Ans：84

Ex30.長方體中，互為歪斜線的稜線共有幾對？ Ans：24

Ex31.有一條鐵路，沿線有 8 個大站，18 個小站，若規定大站與大站間用綠色車票，

小站與小站間用黃色車票，大站與小站間用藍色車票，則鐵路局應準備綠、黃、藍色 單程車票各幾種？Ans：56；306；288

Ex32.有一十字路口，規定不得迴轉及南北向不可左轉，則此路口有幾種車流動向？

Ans：10

Ex33.計程車牌號規格為**－###（其中**依序由英文字母 AA 編至 ZZ，###依序由 正整數001 編至 999），牌號順序如下：AA－001、AA－002、…、AA－999、AB－

001、AB－002、…、AB－999、AC－001、…、AZ－999、BA－001、…、BB－001、…，

請問計程車車牌由PJ－888 至 QA－666 的車共有？輛 Ans：16762

Ex34.有一房間共有五個門，甲乙丙三人由不同的門進入及出去，且自己不可由相 同的門進出，則進出一次共有幾種方法？Ans：1920

Ex35.愛心彩卷自 000001 號到 999999 號共 999999 張，老張買了一張，開獎結果 與第一特獎123456 號，只有一個數字相異，則老張那張彩卷有幾種可能號碼？

Ans：54

Ex36.如圖，自 A 到 B 規定只能走“↑”，“→”，“↓”

三個方向，求下列各有幾種走法？

(1)A 到 B

(2)A 到 B 但不經過 P (3)A 到 B 但不經過 Q

(4)A 到 B 不經過 P 且不經過 Q (5)A 到 B 但必經過 P

(6)A 到 B 但必經過 Q

(7)A 到 B 但必經過 P 且必經過 Q (8)A 到 B 但必經過 P 且不經過 Q

Ans：240，105，72，30，135，168，93，42

Ex37.從 100 到 1000 的自然數中，是 3 的倍數或 5 的倍數者共有多少個？Ans：421

Ex38.從 1 至 2100 的自然數中滿足下列條件的有幾個？

(1)3 的倍數但不為 2 的倍數。(2)5 的倍數但不為 2，3 的倍數。

(3)7 的倍數但不為 2，3，5 的倍數。Ans：350，140，80

Ex39.三位數中與 21 互質的共有幾個？Ans：515

Ex40.從 1 到 100 的自然數中，(1)是 4 的倍數或是 6 的倍數的有幾個？(2)不是 4 的 倍數也不是6 的倍數的有多少個？Ans：33，67

Ex41.從 1 到 1000 的自然數中，是(1)4 的倍數或 6 的倍數或 9 的倍數的共有幾個？

(2)是 4 的倍數或 6 的倍數，但不是 9 的倍數的有幾個？(3)不是 4 或不是 6 或不是 9 的倍數的有幾個？Ans：389，278，973

Ex42.將 50 元紙幣一張兌換成 1 元或 5 元或 10 元之法有？種。Ans：36

Ex43.將 1000 元換成 500 元，100 元，50 元且規定 100 元至少要一張，則有？種換 法Ans：15

Ex44.一元硬幣 3 個，5 元硬幣 4 個，10 元硬幣 5 個，則(1)若至少取出一個，則有 幾種不同的取法？(2)可配出多少種不同的款項？Ans：119，59

Q

A B

P

Ex45.從 1 到 9853 的自然數中，(1)數字中有 0 的數，共有幾個？(2)從 1，2，…寫 到9853，共需寫幾個 0？Ans：2596，2865

Ex46.某人寫了一張含所有四位數在內的數表，則他一共寫了多少個"6"？Ans：

3700

Ex47.5400 的正因數有？個，所有正因數的總和為？完全平方之正因數的有？個，

完全平方之正因數的總和為？正因數中為12 的倍數者有？個，若 x 為 5400 的正因 數，且(x，99)=3，則 x 的個數為？Ans：48，18600，8，1300，18，12

Ex48.今有甲、乙、丙三門大砲，每砲各發射 100 發砲彈，甲砲每一分鐘發射一發，

乙砲每兩分鐘發射一發，丙砲每三分鐘發射一發。三砲同時發射第一發砲彈，問從 開始發射到三砲全部發射完畢，總共可以聽到幾響砲聲？Ans：199

Ex49.某班 50 人參加第一次段考，經統計知：數學及格有 35 人，英文及格有 40 人，

國文及格有45 人，問：(1)數學及格且英文及格的最多有多少人？最少有多少人？

(2)數學、英文、國文均及格的最多有多少人？最少有多少人？Ans：35，25；

35，20

Ex50.班上 60 位同學每人至少須參加 A、B、C 三社團其中之一，若參加 A 社團的有 42 人，參加 B 社團的有 36 人，參加 C 社團的有 27 人，三社團皆加入者有 8 人，

則(1)恰參加一社團者有人(2)恰參加二社團者有人 Ans：23，29

Ex51.甲乙兩人比賽網球，規定第一個連勝兩場或先勝三場者贏得比賽，試求比賽 之所有情形有幾種？Ans：10

Ex52.空間中，x，y，z 坐標皆為整數，且距原點 17 的點共有幾個？Ans：48

Ex53.T={1，2，3，4，5，6}，S={(A，B)|∅⊂A⊂B⊂T}，則 n(S)=？Ans：3⁶

Ex54.樓梯有 8 階，某人上樓時或跨一階，或二階，或三階，設其由地面至第 n 級 的方法數為an，且an + 3=pan + 2+qan + 1+ran，則序對(p，q，r)=？，此人上 8 階的樓梯 共有？法。Ans：(1，1，1)，81

2-2 排列(Permutation)

一、直線排列：

1.完全相異物的直線排列：

(1)定義：自 n 個相異物中，不可重複的取出 m 個，排成一列，稱為直線排列，其方法數記 為P 。 n≥m_mⁿ

(2)公式：

取部分： !

( 1)( 2) ( 1)

( )!

n m

P n n n n m n

= − − − + = n m

LL − 全部取： ⁿ !

Pn = n (3)規定：0!=1

(4)其中 n!=1×2×3×...×n (n∈N)

Ex55.求 P₃⁶ 、 P₃⁸ 、 P₄⁹ 之值Ans：120，336，3024

Ex56.(1)設 n∈N，若P₄ⁿ⁺¹− 10P₂ⁿ⁻¹ = 4P₃ⁿ，則P =？Ans：20₂ⁿ (2)設 n∈N，若6 ₂¹⁰ ₂¹⁰₁

n n

P P

= + ，則P =？Ans：90_n¹⁰ 錯排：應用排容原理

Ex57.甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一列，求下列各情況之排列數：

(1)甲不排首。Ans：96

(2)甲不排首，且乙不排第二位。Ans：78 (3)甲不排首，乙不排中，丙不排尾。Ans：64

(4)甲、乙、丙、丁依次不在第一、二、三、四位置。Ans：53

(5)甲、乙、丙、丁、戊依次不在第一、二、三、四、五位置。Ans：44

2.不盡相異物的直線排列：

(1)n 個物品，其中含有 k 種不同的種類，

而第1 類有 m1個，第2 類有 m2個，---，第 k 類有 mk(此處 m1+m2+...+mk=n)，

將此n 個物品全取作直線排列，共有

1 2

!

! ! !

k

n

m m Lm 種不同的排法

(2)若僅取一部份作直線排列，則需討論取出物件的不同情形，分別計算排列數 想法：凡相關位置(相對次序)不變者視為同物

整理：

1.全異物全取排列 2.全異物不全取排列 3.不全異物全取排列 4.不全異物不全取排列

Ex58.a，a，a，b，b，c，c，d 等 8 個字母中，任取 4 個的方法數為何？任取 4 個 排列的方法數為何？Ans：16；162

A P

Q

B

A

B Ex59.如圖，棋盤形街道由 A 走到 B，

在下列情形各有幾種走法？

(1)取捷徑走法(2)取捷徑必經 P、Q

(3)取捷徑不經 P 且不經 Q。Ans：210；36；103

Ex60.如圖，取捷徑由 A 至 B，有幾種走法？

Ans：81

Ex61.由 A(-4，-2)取捷徑移到 B(2，3)，但每次均移動至格子點。求下列情形的走法 數。(1)過原點，(2)經第二象限，(3)不經第四象限。Ans：150，281，431

想法：

完全相鄰：(先綁著再對調)(插空第二式)

完全不相鄰：(先抽掉再插空隙)(插空第一式)(越插越少) 不完全相鄰：(全–完全相鄰)

ps.(何時會越插越多?)(插空第三式)

Ex62.將 5 男 5 女排成一列，則男女相間的排列數有幾種？Ans：28800

Ex63.甲乙丙三人在排成一列的八個座位中，選出三個座位就坐，(1)若選坐三個相 鄰座位，有幾種不同的坐法？(2)若甲乙丙均不相鄰，有幾種坐法？(3)若甲與乙丙 不相鄰，有幾種坐法？(4)若甲乙丙中恰有 2 人相鄰，則有幾種坐法？Ans：

36，120，180，180

Ex64.甲、乙、丙、丁 4 人排成一列，則(1)規定甲一定在乙左方的排法有幾種？(2)規 定甲在乙之左方，乙又在丙之左方的排法有幾種？(3)規定甲在乙和丙之左方的排 法有幾種？Ans：12，4，8

Ex65.「忠孝仁愛信義和平」八字全取排成一列，但「忠孝」不許分開，「信義」必須分 開，「和」必須排在「平」的左邊，則有幾種排法？Ans：3600

Ex66.「種瓜得瓜種豆得豆」八字全取排列，「瓜」「豆」不鄰，有幾種排法？Ans：660

Ex67.能被 3 整除而又含有數字 6 之四位數共有幾個？Ans：1056

3.重複排列：n 種相異物任取 m 個作直線排列，可重複選取，排列數為 n^m。 想法：具「唯一性」者，有主動選擇權！(主動者在上面)

Ex68.將 6 封不同的信任意投入 4 個不同的郵筒中，方法共有幾種？Ans：4096

Ex69.渡船 3 艘，每艘最多可載 5 人，今有下列人數要同時安全過河，問各有幾法？

(1)4 人(2)5 人(3)6 人(4)7 人 Ans：81；243；726；2142

Ex70.將 5 封不同的信件，投入 4 個不同的郵筒（分別稱為甲、乙、丙、丁），則甲、

乙、丙三郵筒均至少一封的投法有幾種？Ans：390 註：不可分二階段，舉錯誤示範。

二、環狀排列：(僅考慮相對位置之排列法) 直排+旋轉→環排

環排+翻面→鍊排

1.n 個元素之環狀排列總數為 !

( 1) !

n

Pn n

n = n = n− 2.n 個元素中取 m 個(m≦n)之環狀排列總數= 直排數

環排邊數 = P_mⁿ

m = n!

m⋅n−m ! 想法：1.轉動法(用除法)；2.指定席(其餘直排)

Ex71.設有甲、乙、丙、---等 8 人，今選出 5 人作環狀排列，(1)任意選取之排列數為 何？(2)必須含甲之排列數為何？Ans：1344；840

Ex72.爸爸、媽媽、哥哥、與妹妹 4 人參加喜宴，與其他客人坐滿一張 12 個坐位的圓 桌。若4 人坐位相鄰，且哥哥、妹妹夾坐於爸爸、媽媽中間，則共有幾種不同的坐法？

Ans：161280

Ex73.甲、乙、丙、---等 8 人圍一圓桌而坐，依下列條件分別求其坐法：(1)任意圍坐 (2)甲、乙兩人相鄰而坐(3)甲、乙相鄰而坐，但丙、丁不相鄰(4)甲、乙相鄰，但丙、丁 要相對(5)甲、乙、丙相鄰且丙坐於甲、乙之間(6)甲、乙、丙三人完全分開。Ans：

5040；1440；960；192；240；1440

3.正 k 邊形桌排列：

n 個人，取 km 個人坐正 k 邊形桌，每邊坐 m 人(n≧km)，其坐法=

k

直排數= P_kmⁿ k

Ex74.有一方桌，每邊可坐 2 人，(1)8 人入坐，坐法若干？(2)10 人選 8 入坐，坐法 若干？Ans：2×7!； P₈¹⁰

4

4.長方形桌排列：

n 個人，取 r 個人坐長方形桌，長邊坐 a 人，短邊坐 b 人(n≧r=2a+2b)，

其坐法=直排數/2= P_rⁿ 2

Ex75.有 10 人圍一長方形桌而坐，長邊 3 人，短邊 2 人，則坐法若干？Ans：5×9!

Ex76.(1)有 8 人圍坐若改坐一長方形桌，長邊 3 人，短邊 1 人，則有幾種坐法？(2) 有6 人圍坐一正三角形桌，每邊 2 人，則有幾種坐法？Ans：20160；240

5.鍊狀排列：(環排數/2)；n 個不同物串成一項鍊，串法有 1 2⋅n !

n =n−1!

2

n-3 n-2

n-1 n

... 6 5

4 3 2 1

...

3 ...

2

1 n-1 n

Ex77.將 5 粒不同顏色的珠子串成手鐲，(1)共有幾種串法？(2)其中黃、白色一定要 在一起，不得隔離之串法有幾種？(3)其中黃、白二色相鄰，但黃、黑兩色分離之串 法有幾種？Ans：12；6；4

三、著色問題 1.平面著色

(1)先決定各區域之相鄰區域數

(2)從相鄰區域數最多者開始，適當編定順序後，再逐步塗之 (3)當某步驟的塗法有兩種可能情形時，須分同色、異色加以討論 (4)在平面上可旋轉時：視為環狀排列

2.環狀著色(k 色塗 n 格，鄰異色)：

用k 色塗 n 格環形區域(不可旋轉)，顏色可重複使用，

且相鄰區域異色的塗法有 a_n=k−1−1ⁿk −1ⁿ 種。

遞迴關係式： a_na_n−1=k  k −1ⁿ⁻¹

證明：考慮k 色塗 n 格直排，顏色可重複使用，

且相鄰區域異色的塗法有 k  k −1ⁿ⁻¹ 種，

假設用k 色塗環形區域 n 格的方法數為 an

當第一格與第n 格異色時塗法為 an ， 當第一格與第n 格同色時塗法為 an−1 ，

可得遞迴關係式： a_na_n−1=k  k −1ⁿ⁻¹ 以3,4,5,…,n 代入得

2 3

2 + a = k(k−1)

a 同乘(−1)² ⇒ a₂ + a₃ = k(k−1)²

3 4

3 + a = k(k −1)

a 同乘(−1)³ ⇒ −a₃ − a₄ = −k(k −1)³

4 5

4 + a = k(k−1)

a 同乘 4 5 ⁴

4 ( 1)

) 1

(− ⇒ a + a = k k−

1

1 ( 1) ⁻

− + _n = − ⁿ

n a k k

a 同乘(−1)ⁿ⁻¹ ⇒ (−1)ⁿ⁻¹⋅a_n−1+ (−1)ⁿ⁻¹⋅a_n = (−1)ⁿ⁻¹⋅k(k−1)ⁿ⁻¹ 累加 a₂−1ⁿ⁻¹⋅a_n=−k k −1k k −1²−k  k −1³k k −1⁴−⋯−1ⁿ⁻¹k k −1ⁿ⁻¹

a₂=0⇒−1^{n −1}⋅a_n=k⋅−k −11−−1^{n −1}k −1ⁿ⁻¹

1−−k −1 =−k−1−1ⁿ⁻¹k −1ⁿ a_n=k−1−1ⁿk −1ⁿ

Ex78.5 色環塗 6 格，每格一色，相鄰異色，有幾種塗法？Ans：4100

Ex79.用 6 種不同的顏色塗下列可轉動的積木木板，規定每塊均不同色，

則各有幾種方法？Ans：360，144，180

3.立體著色

(1)轉動法：直排÷翻轉數÷旋轉數 (2)指定席：用指定破解翻轉與旋轉

步驟：指定 底面(破解翻轉)×頂面×指定 側面種類(破解旋轉)×其他面 例：6 色塗正 6 面體= 1×5×1×3!

例：20 色塗正 20 面體= 1×19×6×17 !

例：32 色塗 BulkBall=五底+六底= 1×31×6×29!1×31×10×29 !

A

B Ex80.n 色塗正 n 面體(n=4,6,8,12,20)，每面一色，顏色不重複使用，塗法有幾種？

Ans： 4 !

4×3 ， ^{6 !}

6×4 ， ^{8 !}

8×3 ， ^{12 !}

12×5 ， ^{20 !} 20×3

Ex81.若圖形可翻轉，用 10 種顏色，塗下列圖形，每面一色，顏色不重複使用，

其塗法各有幾種？(1)直四角錐(底為正方形)

(2)正三角錐臺(上、下底部都是正三角形，側面為全等之梯形) (3)直圓柱 (4)正立方體 (5)正四面體

(6)長方體(上、下底為正方形) (7)長方體(長寬高互異) Ans：7560；10080；360；6300；420；18900；37800

Ex82.設P₄ⁿ⁺¹− 4P₃ⁿ = 10P₂ⁿ⁻¹，求n？Ans：5

Ex83.設 a，b，c，d，e 為 1，2，3，4，5 之一種排列，

求滿足下列條件之排列數：

(1)(a-1)(b-2)≠0 (2)(a-1)(b-2)(c-3)≠0

(3)(a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)≠0Ans：Ans：78；64；44

Ex84.有 5 封不同的信，及寫好不同住址的 5 個信封，將 5 封信任意放入這 5 個信封，

則恰有4 封放錯的共有幾種？。Ans：45

Ex85.編號 1 至 6 的六個球滾入 1 至 6 的六個洞中，每洞一球，則 (1)恰有一球號與洞號相同的情形有幾種？Ans：264

(2)所有球號與洞號均不同的情形有幾種？Ans：265

Ex86.如圖所示為一含有斜線之棋盤形街道。

今某人欲從A 取最短捷徑走到 B，共有幾種走法？

Ans：30

Ex87.一街道如圖，

(1)若不規定必須走捷徑，但只能往右，往上或斜上而走，

則由A 至 B 之法有幾種？Ans：231

(2)若規定必須走捷徑，則由 A 至 B 之法有幾種？Ans：10

Ex88.由 10 人中選出 5 人任意排成一列，則排列數為何？又其中甲必須參加，則排 列數為何？Ans：30240，15120

B

A

Ex89.甲、乙、丙、丁等 7 人排成一列，則 (1)甲不排首位的排列數為何？Ans：4320

(2)甲、乙、丙 3 人不可分離的排列數為何？Ans：720 (3)甲、乙、丙 3 人須完全分離的排列數為何？Ans：1440 (4)甲、乙相鄰，丙、丁不相鄰的排列數為何？Ans：960 (5)甲、乙、丙 3 人中恰有 2 人相鄰的排列數為何？Ans：2880 (6)甲、乙、丙 3 人中至少有 2 人相鄰的排列數為何？Ans：3600 (7)甲、乙、丙 3 人中至多有 2 人相鄰的排列數為何？Ans：4320 (8)甲、乙、丙均不與丁相鄰的排列數為何？Ans：1440

(9)甲、乙、丙均排在偶數位的排列數為何？Ans：144 (10)甲不排首，乙不排尾的排列數為何？Ans：3720

(11)甲不排首，乙不排中，丙不排尾的排列數為何？Ans：3216 (12)甲、乙之間恰有另二人的排列數為何？Ans：960

Ex90.甲、乙、丙、丁、戊、己六人排成一列，則 (1)甲不排首，乙不排末的方法有幾 種？(2)甲、乙、丙不排首，乙、丙、丁不排末的方法有幾種？ Ans：504，168

Ex91.有 4 個男生及 3 個女生排成一列。若要求男生必須排在一起，女生亦須排在一 起，則排法有幾種？若只要求男生必須排在一起，則排法有幾種？Ans：288；576

Ex92.4 個女生及 5 個男生排成一列，同性不相鄰，排列方法有幾種？Ans：2880

Ex93.“精益求精，實事求是”排成一列，則同音 不相鄰的排法有幾種？

Ans：4440

Ex94.由「庭院深深深幾許」七個字，求下列各個排列數：(1)任意排列(2)三個「深」完 全相鄰(3)三個「深」完全不相鄰(4)三個「深」不是完全相鄰(5)三個「深」恰有二個相鄰 (6)三個「深」至少有二個相鄰。Ans：840，120，240，720，480，600

Ex95.用 0，1，2，3，4，5，六個數字排成三位數，但數字不許重複，則 (1)共有幾種排法？Ans：100

(2)所有這些三位數的總和為何？Ans： 32640 (3)3 的倍數者有幾個？Ans：40

(4)4 的倍數者有幾個？Ans：24 (5)5 的倍數者有幾個？Ans：36 (6)大於 231 者有幾個？Ans：70

(7)由小而大依次排列，則第 30 個的三位數為何？Ans：231

Ex96.將 0，1，2，2，2，3，3 全取排列，可排出幾個七位數？其中奇數有幾個？

Ans：360；150

Ex97.「我為人人，人人為我」排成一列，使同字 不相鄰之排法共有種。Ans：24

Ex98.「此恨綿綿無絕期」七個字重新排成一列，則(1)「恨綿綿」三個字相關位置不變，

方法有？種。(2)「無絕期」三個字相關位置不變，方法有？種。Ans：840；420

Ex99.abscissa 八個字母排成一列，求下列各排列數：(1)任意排列(2)三個 s 相鄰 (3)a 為首，s 為尾(4)b，c，i 的順序不變(5)二個 a 不相鄰，三個 s 分開(6)b、c 不相 鄰。Ans：3360；360；360；560；960；2520

Ex100.(1)banana 一字中各字母排列之，共有幾種排法？(2)mississippi 全取排列之 法有多少？Ans：60；34650

Ex101.由“Pallmall”8 個字母，求下列各項之排列數：(1)全部排列(2)所有 l 均相 鄰(3)所有 l 不全相鄰(4)所有 l 不相鄰(5)所有 l 均相間(6)m 與 a 相鄰(7)同字母不相 鄰Ans：840；60；780；60；24；390；54

Ex102.將 aabbcc 六個字母排成一列，同字母不相鄰，排法有幾？Ans：30

Ex103.將 0，1，1，1，2，2，3，4 八個數字排成一排，可作出幾個八位數？其中 偶數者有幾個？Ans：2940；1500

Ex104.用 1，2，3，4，5 五個數字作成五位數，數字不許重複，且由小到大排列，

則(1)32145 是第幾個數？(2)第 40 個數為何？Ans：55；24351

Ex105.一個多重選擇題，有 A，B，C，D，E 五選項，某同學用猜的，則他有幾種 選法。Ans：31

Ex106.由 0，1，2，3，4 中，可重複，選出三個數字，排成三位數，共有幾種排法？

其中為3 的倍數者有幾個？Ans：100；33

Ex107.由 1，2，3，4，5，6 六個數字所組成(數字可以重複)的四位數中，含有奇 數個1 的共有幾個？Ans：520

Ex108.有 5 件不同的獎品全分給甲乙丙三人，每人可兼得，則 (1)任意分給之方法有幾種？Ans：243

(2)其中甲未得之方法有幾種？Ans：32

(3)其中甲至少得一件之方法有幾種？Ans：211 (4)其中甲恰得一件之方法有幾種？Ans：80

(5)甲、乙二人每人均至少得一件之方法有幾種？Ans：180 (6)每人至少得一件之方法有幾種？Ans：150

Ex109.甲、乙、丙、---等 8 人圍一圓桌而坐，且甲恰與乙、丙之一相鄰，則有幾種坐 法？Ans：2400

Ex110.甲、乙、丙等 8 人，選出六人做環狀排列，則下列各情形之方法數為？(1)任 意選取；(2)甲必須參加；(3)甲必須參加但乙不能參加；(4)甲參加時乙不能參加，

甲不參加時丙不可以參加。Ans：3360，2520，720，840

Ex111.主人夫婦與賓客 3 對夫婦共 8 人圍一圓桌，依下列條件分別求其坐法：(1)任 意圍坐(2)主人夫婦相鄰(3)主人夫婦相對(4)男女相間(5)男女相間且夫婦相鄰(6)夫 婦相鄰(7)男女相間且夫婦不相鄰(8)男女相間且夫婦不全相鄰(9)每對夫婦相對而坐 (10)每對夫婦相對而坐且男女相間(11)男女相間且至少一對夫婦相鄰(12)男生坐在 一起，女生坐在一起。Ans：5040；1440；720；144；12；96；12；132；48；

0；132；576

Ex112.主人夫婦與賓客 2 對夫婦共 6 人圍一長方形桌而坐，長邊 2 人，短邊 1 人，

則(1)共有幾種坐法？(2)主人夫婦分坐短邊的坐法有幾種？(3)主人夫婦相對而坐的 坐法有幾種？(4)主人夫婦在同一邊且相鄰的坐法有幾種？Ans：360；24；72；48

Ex113.紅、黃、白---等 10 個不同色的珠子，串成一項圈(可翻轉)，試求：(1)紅、黃 白三色互不相鄰之串法有幾種？(2)紅、黃、白三色中恰有兩色相鄰之串法有幾種？

Ans：75600；90720

Ex114.有一正三角柱，即頂面與底面為兩全等正三角形，側面為三全等矩形。今欲 從7 種顏色中選取 5 種，塗於此柱，各面異色，可得幾種不同的正三角柱？Ans：

420

Ex115.一警報器，長鳴一次 2 秒，短鳴一次 1 秒，而鳴放間隔 1 秒，則歷時 15 秒，

可放出多少種不同的訊號(但恰於第 15 秒時鳴完)？Ans：37

Ex116.投一骰子 5 次，設其出現的點數依次為 a，b，c，d，e，則 (1)滿足(a–b)(b–c)(c–d)(d–e)=0 的情形共有幾種？

(2)滿足(a–b)(b–c)(c–d)(d–e)(e–a)=0 的情形共有幾種？Ans：4026，4656

Ex117.將 AAAAABBBBBCCCCC 共 15 個字母排成一列，若前五個位置不排 A，

中間五個位置不排B，後面五個位置不排 C，則排法有幾種？Ans：2252

Ex118.八個身高互異的人直線排列，若要求任一人之左右鄰不得同時高於自己，試 問有幾種排列方法？Ans：128

2-3 組合(Combination)

一、不可重複之組合：

1.定義：自 n 個不同物件中，任取 r 件(不重複)而不計選出物的次序關係，則其組合數為 C_rⁿ=P_rⁿ

r != n!

r! n−r ! =n n−1n−2⋯n−r 1

r r −1 r−2⋯2⋅1 (n∈N，r∈Z，0≤r≤n) (分子由大乘到小共 r 個，分母由小乘到大共 r 個，分子分母數量相等) (組合數 vs.巴斯卡三角形)

Ex119.若Cⁿ₈ ，Cⁿ₉ ，C₁₀ⁿ 成等差數列，求n 之值？Ans：14or23

Ex120. ⁿ3 ¹ 1

n

4 84C

P ⁺ = ⁻ ，求n 之值？ Ans：6or7

Ex121.從大樂透 1~49 之中選出 6 個不相鄰的號碼，有幾種選擇？Ans：C₆⁴⁴

Ex122.已知 n 及 k 為正整數，且 n>k，若Cⁿk₋1：Cⁿ_k ：Cⁿ_k+1=1：2：3，則 n=？Ans：14

2.性質：

(1)C_rⁿ C_{n r}ⁿ

= − (其中 n，r∈N，n≥r)(左右對稱)

(從 n 件相異物中取出 m 個之組合數與取出 n-m 個之組合數相同) (2)C_xⁿ = Cⁿ_y⇒x=y 或 x+y=n

(3)C₀ⁿ = C_nⁿ=1 (4) P_mⁿ=C_mⁿ⋅m ! (5)C_rⁿ⁻₁¹ C_rⁿ⁻¹ C_rⁿ

− + = (n，r∈N，1≤r≤n–1)(巴斯卡定理)(左上+右上=下)

Ex123.(1)若C₈ⁿ = C₁₂ⁿ ，則C₁₇ⁿ =？(2)若C₂⁴⁷_r C_r⁴⁷₅

= + ，則r=？Ans：1140；5or14

Ex124.(1)若C²₂ + C³₂ + C⁴₂ + + C⁹⁸₂ + C⁹⁹₂ = Cⁿ_m，m<5，求數對(n，m)。Ans：(100，3) (2)若C³₀ + C₁⁴+ C⁵₂ + C⁶₃ + + C⁸⁹₈₆ = Cⁿ_m，m<10，求數對(n，m)。Ans：(90，4)

3.、幾何計數：

(1)平面上 n 個相異點，若無任三點共線，則可決定 C₂ⁿ 條直線 (2)平面上 n 個相異點，若無任三點共線，則可決定 C₃ⁿ 個三角形

(3)平面上 n 個相異點，若恰有 m 個點共線，則可決定 C₂ⁿ−C₂^m−1 條直線 (4)平面上 n 個相異點，若恰有 m 個點共線，則可決定 C₃ⁿ−C₃^m個三角形

(5)平面上 n 條相異直線，若任三線不共點且兩兩不平行，則共有 C₂ⁿ 個交點 (6)平面上 n 條相異直線，若恰有 m 條直線平行，則共有 C₂ⁿ−C₂^m個交點

(7)平面上 n 條相異直線，若恰有 m 條直線交於一點，則共有 C₂ⁿ−C₂^m−1 個交點

Ex125.一平面上有 5 個相異點，其中任三點不共線，則 (1)可決定幾條直線？

(2)以這些點為頂點的三角形共有幾個？Ans：10；10

Ex126.一平面上有 12 個相異點，其中 A，B，C，D 四點共線，又

A，E，F，G，H 五點亦共線，其餘任三點無共線者，則此 12 個點可決定幾條直線？

幾個三角形？(以已知點為頂點)Ans：52；206

Ex127.平面上有 12 條相異直線，其中有 4 條直線共點，另有 5 條直線兩兩互相平 行，其餘任三線不共點，任二線不平行，則

(1)這些直線共有？個交點。(2)這些直線共可圍成？個三角形。Ans：51；136

Ex128.如圖，每一小格均為正方形，

則(1)矩形有？個。

(2)正方形有？個。Ans：60；20

Ex129.如圖，每一小格均為正方形，

則(1)矩形有？個。

(2)正方形有？個。Ans：164；40

三、分組與分堆問題：將相異物分給n 個人的原則：先組合，再排列 Ex130.將 9 件不同的玩具，依下列各款分法若干？

(1)平分給甲、乙、丙三人。Ans：1680=C C C₃⁹ ₃⁶ ₃³ (2)平分成三堆。Ans：280=C C C ÷3!₃⁹ ₃⁶ ₃³

(3)平分給三人。Ans：1680=C C C₃⁹ ₃⁶ ₃³

(4)分給甲 4 件，乙 3 件，丙 2 件。Ans：1260=C C C₄⁹ ₃⁵ ₂² (5)按 4 件、3 件、2 件分成三堆。Ans：1260=C C C₄⁹ ₃⁵ ₂² (6)按 4 件、3 件、2 件分給三人。Ans：7560=C C C ×3!₄⁹ ₃⁵ ₂² (7)分給甲 4 件，乙 4 件，丙 1 件。Ans：630=C C C₄⁹ ₄⁵ ₁¹ (8)按 4 件、4 件、1 件分成三堆。Ans：315=C C C ÷2!₄⁹ ₄⁵ ₁¹

(9)分給三人，其中 2 人各得 4 件，另 1 人得 1 件。Ans：1890=C C C ÷2!×3!₄⁹ ₄⁵ ₁¹

Ex131.將 8 件不同的物品全部分給甲、乙、丙三人，求下列各分法若干？

(1)每人至少一件。Ans：5796

(2)甲至少得 1 件，乙至少得 2 件，丙至少得 3 件。Ans：2268

(3)其中一人至少得 1 件，一人至少得 2 件，另一人至少得 3 件。Ans：5628

四、重複組合：

1.從 n 種相異物中(每種都足夠多個)，任取 m 個(可重複)的組合法為 H_mⁿ 種。

2.方程式 x1+x2+...+xn=m(m∈N)的非負整數解共有 H_mⁿ 組 3.定義： H_mⁿ=C_m^nm−1 (上異下同)(上種類下數量)(上加下減一)

Ex132.將 5 種不同的酒，倒入 3 個酒杯中，酒不能混合，不得有空杯。

(1)酒杯不同，且各杯之酒亦不同，共有？種倒法。Ans：P₃⁵ (2)酒杯不同，且各杯之酒可相同，共有？種倒法。Ans：5³ (3)酒杯相同，各杯之酒不同，共有？種倒法。Ans：C₃⁵ (4)酒杯相同，各杯之酒可相同，共有？種倒法。Ans：H₃⁵

Ex133.求下列方程式的解有幾組

(1)x+y+z=20 的非負整數解？Ans：231 (2)x+y+z=20 的正整數解？Ans：171 (3)x+y+z=20 的非負偶數解？Ans：66

(4)x+y+z+u≦ 的正整數解有幾組？9 Ans：126 (5)x+y+z+u<9 的正整數解有幾組？Ans：70

(6)x+y+z=10， x3, y≥1, z−2 的整數解有幾組？Ans：28

Ex134.方程式 x+y+z+u²=20 且 x，y，z，u∈N 的解共有幾組？Ans：306

Ex135.方程式 xyzu=288 且 x，y，z，u∈N 的解共有幾組？Ans：560

方程式xyzu=288 且 x，y，z，u∈Z 的解共有幾組？Ans： 560 ×2×2×2×1

Ex136.在所有三位數 abc 中，百位數字為 a，十位數字為 b，個位數字為 c，則 (1)滿足 a<b<c 者，共有？個。Ans：84=C₃⁹

(2)滿足 a>b>c 者，共有？個。Ans：120=C₃¹⁰ (3)滿足 a≦b≦c 者，共有？個。Ans：165=H₃⁹ (4)滿足 a≧b≧c 者，共有？個。Ans：219=H₃¹⁰−1 (5)滿足 a≧b>c 者，共有？個。Ans：165

Ex137.有紅帽 3 頂，黃帽 3 頂，白帽 4 頂，求(1)任取 4 頂有幾種顏色組合？(2)由 甲、乙、丙、丁各取一頂戴在頭上，四人再排成一列，有幾種排法？

Ans：13， 1896=3⁴−2×4 !

Ex138.有 7 位科學家共同研究某計劃，其中資料鎖在保險櫃中，

只有當超過半數的科學家在場才有辦法打開鎖。

(1)保險櫃上最少有幾個鎖？(2)科學家每人最少要配幾把鑰匙？

Ans：35(=C )，20(=₃⁷ C )₃⁶

Ex139.NBA 季後賽採七戰四勝制，熱火贏湖人之賽場數有幾種可能？Ans：C₄⁷

Ex140.將 5 顆球放入 3 個箱子(每箱最多可容 5 件)，若可有空箱，則 (1)球不同，箱子不同的放法有？種 Ans：243

(2)球同，箱子不同的放法有？種 Ans：21 (3)球同，箱子同的放法有？種 Ans：5 (4)球不同，箱子同的放法有？種 Ans：41

Ex141.五位數中，數字自左而右減小者有？個。Ans：252

Ex142.由 1 至 1000 的自然數中，各位數字和為 10 者共有幾個？Ans：63

Ex143.自{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中，任意取出 5 個數字(可重複)，其積為 5 的倍數者，共有幾個？Ans：495

Ex144.自 1，2，3，4，---，20 中任取三個相異數，則(1)其中兩個是偶數，一個 是奇數者有？個。(2)三數乘積為偶數者有？個。(3)三數乘積為 4 之倍數者有？個。

Ans：450；1020；795

Ex145.由 1 到 11 的自然數中，任取三個數，則下列各情況分別有幾種取法，(1)和 為奇數，(2)乘積為偶數，(3)三數能成等差，(4)數字和為 3 的倍數。Ans：

80，145，25，57

Ex146.某拳擊比賽，規定每位選手必須和所以其他選手各比賽一場，賽程總計為 78 場，則選手人數為？人。Ans：13

Ex147.碼頭停靠 3 艘快艇，今有 5 位乘客租借若干艘快艇出遊。(1)其中有 2 艘快艇 各搭載2 位乘客，另一艘有 1 位乘客的搭乘情形有多少種？(2)若每艘快艇限 3 位乘 客搭乘，則有多少種搭乘情形？Ans：90；210

Ex148.一湖岸有 A，B，C 三船，A 船可容 3 人，B 船可容 2 人，C 船可容 1 人。今有 3 位大人，2 位小孩欲分乘此三船，每船未必均有人，但小孩必須有大人陪同，則 有？種搭乘方法。Ans：27

Ex149.有 6 男 4 女共 10 名學生擔任本週值日生，導師規定在本週 5 個上課日中，每 天兩名值日生，且至少須有1 名男生，試問本週安排值日生的方式共有幾種？

Ans：43200

Ex150.欲將八位新生平均分發到甲、乙、丙、丁四班，共有幾種分法？

Ans：2520

Ex151.籃球 3 人鬥牛賽，共有甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬 9 人參加，組成 3 隊，

且甲、乙兩人不在同一隊的組隊方法有多少？Ans：210

Ex152.有學生 10 人，住 A、B、C 三間房，若 A 房住 4 人，B 房住 3 人，C 房住 3 人，

則其住法有幾種？其中甲、乙必住同房的住法有幾種？Ans：4200；1120

Ex153.2 男 2 女上一輛有 7 節車廂的火車，則(1)2 男在同一車廂，2 女在同一車廂，

有幾種選車廂的方法？(2)恰好 1 男 1 女在一節車廂，另 1 男 1 女在另一節車廂，有 幾種選車廂的方式？Ans：49，84

Ex154.將八人任意分成三組，每組至少有兩人，則有種分法。Ans：490

Ex155.將 5 枝相同的紅筆及 4 枝相同的藍筆全部分給甲、乙、丙三人，每人不限得 1 枝，則(1)分法有幾？(2)甲至少得 1 枝，分法有幾？(3)每人至少得 1 枝，分法有幾？

Ans：315；285；228

Ex156.(1)將 5 個相同的玩具，全部分給甲、乙、丙三人，分法有幾？(2)將相同的骰 子3 粒一次擲出，共可出現幾種不同的花色？Ans：21；56

Ex157.相同的蘋果 4 個及相同的梨子 6 個，

(1)分給甲、乙兩人，分法有幾？Ans：35

(2)分給甲、乙兩人，每人至少得 1 個，分法有幾？Ans：33 (3)分給甲、乙、丙三人，分法有幾？Ans：420

(4)分給甲、乙、丙三人，每人至少得 1 個，分法有幾？Ans：318

Ex158.一列火車從第一車到第十車共 10 節車廂。要指定其中 3 節車廂准許吸煙，則 共有幾種指定方法？若更要求此3 節准許吸煙的車廂兩兩不相銜接，則共有幾種指 定方法？Ans：120；56

Ex159.一副撲克牌共 52 張，任取 5 張，則(1)5 張皆同花的可能情形有幾種？

(2)TwoPairs 的情形有幾種？(3)FullHouse 的情形有幾種？Ans：

5148，123552，3744

Ex160.6 個相異的球放於三個相異的箱子中，每箱均可存放 6 球，則(1)有幾種放法？

(2)若每箱至少有一球，則有幾種放法。Ans：729，540

Ex161.將 7 件相異物放入 5 個相同的箱子，其中有兩個箱子各放 2 件，三個箱子各 放1 件，則有種放法？Ans：105