三自由度并联机器人操作平台的主运动螺旋研究

文章编号: 1004- 132

g (2000) 07- 0805- 04

三自由度并联机器人操作平台的主运动螺旋研究

方跃法　教授

方跃法　黄　真

　　　　摘要: 讨论三自由度并联机器人的操作平台的瞬时螺旋的确定方法, 根

据平面表示的空间运动螺旋的几何特性, 提出基于二阶曲线分解理论的操作 器运动螺旋系主螺旋的识别的解析方法, 为自由度少于 6 的并联机构的运动 特性及其操作器运动螺旋系的研究提供了必要的理论基础。

关键词: 空间机构; 并联机器人; 运动分析; 螺旋理论 中图分类号: TH 112. 1　　　文献标识码: A

收稿日期: 1998—08—26

基金项目:国家自然科学基金(69875002)资助项目;中科院机 器人学开放实验室基金资助项目

　　并联机器人具有许多串联机器人所没有的优 点, 近年来已成为国内外机器人研究的热点之一。

H un t

根据机构运动的特性, 提出了多种并联机 构的结构形式, 其中的三自由度的 3- R PS 并联 机构引起了许多研究者的兴趣。L ee 等人

利 用 它 作 为 微 动 机 器 人 应 用 于 微 电 子 加 工, W a ld ro n 等人

把它作为机器人手腕部分的微调

机构。

三自由度机器人具有与六自由度机器人不同 的特殊运动学问题, 因此在设计和应用时必须了 解其操作平台的运动特性。

研究机构运动特性的理想工具是螺旋理论。

B a ll

在本世纪初发表了螺旋理论的经典著作, 对螺旋理论作了全面、系统的研究。H un t

继承 和发展了经典的螺旋理论, 螺旋理论揭示了刚体 运动的本质, 因此它在现代机器人运动学的研究 方面发挥了十分重要的作用

。研究螺旋系的 关键在于确定螺旋的分布曲面, 而确定这些分布 曲面在空间的位置、方位 的重要因素是螺旋系的 主螺旋, 主螺旋是螺旋系中垂直且相交的螺旋, 它们代表操作平台的独立运动, 主螺旋的个数与 螺旋的阶数相同。

1 　操作平台的瞬时运动确定

图 1 所示的 3- R PS 并联机构的上下平台皆 为等边三角形, 其外接圆的半径分别为

和

,

、

和

分别是连接上下平台的第一、

第二和第三分支, 固定坐标系

-

的原点

在 下平台的中心, 其

轴垂直于下平台平面,

轴 通 过机构的第一分支的转动副

, 坐标系

-

图1　32R PS并联机器人机构

x

′

′

′固定在上平台的中心处,

′轴垂直于上平 台,

′轴通过第一分支的球铰

, 连接于下平台 的 3 个转动副

、

和

的轴线分别是

、

和

, 它们可以在空间任意分布。若上平台的参考 点

相对于固定坐标系的速度

及平台的角速度 Ξ 给定后, 求解 3 个输入驱动器的输入速度为速 度反解, 当给定平台的速度和角速度后, 可以有如 下速度方程式:

vP+ Ξ ×^ri= Ξⁱ×li+ L

g

式中,

为上平台中心到各球铰中心

的向量;

是 沿

方 向 的 单 位 向 量,

=

gg

g (

=

) ;

g

为各分支的驱动输入线速度; Ξ

为分支

绕转动副轴线

的转动角速度。

式 (1) 两边同时点乘

得

g

或写成矩阵形式:

{L

g

式中,

{

g } = {

g

1

g

2

g

3

}

{

} = { (

)

　 (

)

　 (

)

}

・

・

{ Ξ} = {Ξ

　 Ξ

　 Ξ

}

{

} = {

}

{

} = [

×

×

×

]

= [

]

另外, 将式 (1) 两边同乘以

得

(vP + Ξ ×^ri)g^ui= L

g

式中, Α

为第

分支中的移动副轴线

与转动副轴 线

之间的夹角, 将式 (3) 代入式 (4) 并表示成矩 阵形式有

[D ]{vP} - [B ]{Ξ} = 0 (5) [D ] = [ lΑ] - [u ]

[B ] = [u0] - [ l0Α]

式中,

[ lΑ] = [ l1co sΑ¹　l2co sΑ²　l3co sΑ^3]T [ l0Α] = [ l01co sΑ¹　l02co sΑ²　l03co sΑ^3]T [ u ] = [u1　u2　u3]^T

[ u0] = [u01　u02　u03]^T= [ r1×u1　r2×u2　r3×u3]^T

联立式 (3) 和式 (5) 可求得:

vP = [G ]{L

g

Ξ^{= [G ]{L}

g

式中,

[G ] = ( [ l0] [B ]^{- 1}[D ] + [ l ])^{- 1} [G ] = ( [ l ] [D ]^{- 1}[B ] + [ l0])^{- 1}。

在一般情况下, 矩阵[

] 和[

] 是非奇异的, 所以式 (6) 的解总是存在的, 若它们其中之一为 奇异矩阵的话, 只要将式 (3) 和式 (5) 作适当处理 即可, 本文不再讨论。

2 　 操作平台的运动螺旋系

当角速度及参考点的线速度求得后, 操作平 台的瞬时运动就可以用瞬时运动螺旋 Ξ

＄

来表 示

:

Ξⁱ＄i= Ξ⁺ ∈(vP + rP ×Ξ^{) (7)}

螺旋节距

hi= Ξg^vP

Ξg Ξ ⁽⁸⁾

该 螺旋的轴线为空间一直线, 螺旋轴线的方 程为

ri×Ξ^{= vP + rP} ×Ξ^{- hi}Ξ ⁽⁹⁾

式中,

为螺旋轴线上任一点 (

,

,

) 的向量, 这 时操作平台的瞬时运动就为绕螺旋轴线的转动和 沿螺旋轴线的移动。操作平台的所有瞬时运动螺 旋所组成的螺旋集就称为该操作平台的螺旋系。

将式 (5) 代入式 (9) 得

[ rυ

i]{Ξ^x　Ξ^y　Ξ^z}T= ( [Q ] + [ rυ

P] - hiI ){Ξ^x　Ξ^y　Ξ^z}T (10)

式中, [ υ

] =

0 -

z

0 -

-

0

;

[ υ

] =

0 -

Pz

0 -

-

0

;

[

] = [

] [

]

;

为单位矩阵。从式 (10) 中消 去 Ξ

、 Ξ

、 Ξ

, 得

c11x²+ c22y²+ c33z²+ c12x y+ c23y z+ c13x z+ c14x+ c24y

+ c34z+ c44= 0 (11)

式中,

c11= q11- hi　c22= q22- hi　c33= q33- hi

c12= q21+ q12　c23= q31+ q23　c13= q31+ q13

c14= q31q12- q11q32- q21q13+ q11q23+ hi(q32- q23+ 2px) - 2q11px - q21py - q12py - q31pz- q13pz

c24= q31q22- q21q32- q22q13+ q12q23+ hi(q13- q31+ 2py) - q21px- q12px- 2q22py - q32pz- q23pz

c34= q31q22- q13q32- q21q33+ q12q33+ hi(q21- q12+ 2pz) - q31px - q13px - q32py - q23py- 2q33pz

c44= q21q32q13 - q31q22q13+ q31q12q23 - q11q32q23 - q21q12q33+ q11q22q33+ hi(q21q12- q11q22+ q31q13+ q32q23- q11q33- q22q33) - h²i(q11+ q22+ q33) h³i+ px(q11q32- q13q12

+ q21q13 - q11q32 - q23hi + q23hi) + p²x(q11 - hi) + py(q21q32- q31q22+ q22q13- q12q23- q13hi+ q31hi) + p²y(q22

- hi) + pxpy(q21+ q12) + pz(q13q32- q31q23+ q21q33- q12q33- q21hi+ q12hi) + p²z(q33- hi) + pxpz(q31+ q13) + pypz(q32+ q22)

式中,

(

,

= 1, 2, 3) 为[

] 中第

行、第

列的 元素;

、

、

为向量

的各坐标分量。

式 (11) 表示的就是螺旋系中所有具有节距

的螺旋所在的二次曲面, 该曲面为单叶双曲面方 程。三阶螺旋系还可以表示在平面内。由前述可 知, 确定平台瞬时运动的独立参数只有 3 个, 即 机构的 3 个独立输入线速度

g

1

、

g

2

和

g

3

, 所以决 定平台运动螺旋的参数也是这 3 个, 故称该螺旋 系为三阶螺旋系。将式 (6) 代入式 (8) 和式 (9) 得

hi= {L

g

g

{L

g

g

[ rυ

i] [G ]{L

g

P] [G ] - hi[G ]{L

g

　　 由式 (12) 和式 (13) 可知, 螺旋的节距和轴线 都是 3 个独立输入的函数, 并且节距的值以及轴 线的位置实际上与 3 个独立参数的幅值无关, 而 只与它们的比值有关, 即如果机构的 2 组输入分 别是{

g

1

g

2

g

3

} 和{ Α

g

1

　 Α

g

2

　 Α

g

3

}, Α为任意

数, 这时虽然平台绕螺旋轴线转动和沿螺旋轴线 移动的速度不一样, 但螺旋轴线在空间的位置以

6・ 0

・8

中国机械工程第11卷第7期2000年7月

及螺旋的节距是不变的。若设

m = L

g

g

g

g

则式 (10) 和式 (11) 就可以表示成

和

的函数:

hi= {m　n　1} [G ]^T[G ]{m　n　1}^T

{m　n　1} [G ]^T[G ]{m　n　1}^T (14) [ rυ_{i] [G ]{m}　n　1}^T = ( [G ] + [ rυ_{P] [G ] -}

hi[G ]{m　n　1}^T (15)

可以看出, 任一组数 (

,

) 都对应于一螺 旋, 这样就可以用平面上的点来表示螺旋, 平面 上任一点都与一螺旋相对应, B all

称这种表示 法为螺旋的平面表示法。进一步从式 (13) 的 3 个 方程中消去螺旋轴线上点的坐标 (

,

,

) , 可得

a11m²+ 2a12m n+ a22n²+ 2a13m + 2a23n+ a33= 0 (16)

式中,

a11= g11g11+ g21g21+ g31g31- hi( g²11+ g²21+ g²31

a12= 1

2 (g12g11+ g22g21+ g32g31+ g11g12+ g21g22+ g31g32- hi(g11g12+ g21g22+ g31g32)

a22= g12g12+ g22g22+ g32g32- hi(g²12+ g²22+ g²32)

a13= 1

2 (g13g11+ g23g21+ g33g31+ g11g13+ g21g23+ g31g33- hi(g11g12+ g21g22+ g31g32)

a23= 1

2 (g13g12+ g23g22+ g33g32+ g12g13+ g22g23+ g32g33- hi(g12g12+ g22g22+ g32g32)

a33= g13g13+ g23g23+ g33g33- hi(g²13+ g²23+ g²33)

式中,

、

(

,

= 1, 2, 3) 分别为[

]、[

] 中第

行、第

列的元素。

式 (16) 表明, 三阶螺旋系中所有具有相同节 距的螺旋可表示为平面中的 1 条二次曲线。

3 　 操作平台螺旋系的主螺旋

从操作平台的螺旋系中螺旋分布的曲面方程 式 (11) 及平面表示法中的曲线方程式 (16) 中不 能直接得出螺旋系的主螺旋。可根据主螺旋的一 些特性, 从螺旋系中识别出操作平台的 3 个主螺 旋。设螺旋系的 3 个主螺旋的节距分别为

、

和

, 并且

>

>

, 若螺旋系中螺旋的节距等 于

, 则式 (16) 表示的二次曲线退化为相交于一 点的二虚直线; 当螺旋的节距等于

时, 该二次 曲线退化为相交于另一点的二虚直线; 而当螺旋 的节距等于

时, 该二次曲线退化为相交于一点 的二实直线

, 因此只要使式 (16) 表示的二次曲 线 分解为二直线, 就可以得出主螺旋的节距, 本 文正是根据这一理论来识别螺旋系的主螺旋。

式 (16) 分解为二直线的充分必要条件是

∃⁼

a11　a12　a13

a21　a22　a23

a31　a32　a33

= 0　aij = aj i (17)

展开上式得

a1h³i + a2h²i + a3hi+ a4= 0 (18)

式中, 系数

(

= 1, …, 4) 只与[

] 和[

] 中的元 素有关。对于一般的三阶螺旋系, 求解式 (18) 可 以得到

的 3 个根

、

和

, 当螺旋的节距等 于其中的 1 个根时, 式 (16) 表示的二次曲线就退 化为二直线 (虚直线或实直线) , 所以求得的 3 个 根就是螺旋系主螺旋的节距。求得主螺旋的节距 后, 还须求出主螺旋的另一主要元素, 即主螺旋 的轴线, 因为主螺旋的轴线对应于平面上的一点, 因此求主螺旋的轴线, 也就是求平面表示法中点 的坐标, 这个点的坐标也就是式 (16) 分解后的二 直线的交点。

将

、

和

分别代入式 (16) , 则各系数

成为常系数, 二次曲线分解为 2 条直线的方程为

a12m + a22n+ a23+ m a²12- a11a22+ a12a23- a22a13

a²12- a11a22

= 0

a12m + a22n+ a23- m a²12- a11a22- a12a23- a22a13

a²12- a11a22

= 0

(19)

因此, 当

-

< 0 时, 二直线为虚直 线; 反之当

-

> 0 时, 二直线为实直线。

这样二直线交点的坐标为

m = a22a13- a12a23

a²12- a11a22

n= - a23

a22- a12

a22

a22a13- a12a23

a²12- a11a22

(20)

对应于

、

和

, 有平面上表示的 3 个主 螺旋 (

,

)、(

,

) 和 (

,

)。把求得的平面 坐标代入式 (14) 和式 (15) 即可求出这主螺旋在 空间的位置。

4 　 数值实例

设图 1 所示机构的结构参数如下: Α

= Α

= Α

= 90° ,

= {0 14　019　01173 2},

= { - 0 19794　 - 01103 59　011732},

= {0 15794　 - 017964　011732},

= 100mm ,

= 60mm , 当 机构的 3 条支链的长度分别为表 1 中所列的 4 种 形位时, 主螺旋的原点坐标及方向余弦列于表 2, 且示于图 2 中。

表₁　 机构的₄种形位时的分支长度 单位_{: mm}

L1 L2 L3

1 115 92. 5 89. 5

2 125 87. 5 82. 5

3 130 85. 0 79. 0

4 135 82. 5 75. 5

・

・

表2　4种机构形位时的主螺旋参数

Sx Sy Sz h 交点o

1

S1 0. 069 73 - 0. 025 786 - 0. 9972 - 3. 053 36

S2 - 0. 267 52 0. 962 56 - 0. 043 605 0. 017 11

S3 - 0. 961 02 - 0. 269 82 - 0. 602 24 0. 188 26

x = 0. 09841 y = - 0. 2315

z= 0. 8562

2

S1 0. 119 75 - 0. 040 67 - 0. 991 96 - 2. 948 66

S2 - 0. 215 55 0. 974 26 - 0. 065 98 - 0. 034 24

S3 0. 969 12 0. 221 72 0. 107 90 0. 263 62

x = 0. 1548 y = - 0. 366

z= 0. 8375

3

S1 0. 148 36 - 0. 046 68 - 0. 987 82 - 2. 870 56

S2 - 0. 186 85 0. 979 56 - 0. 074 36 - 0. 062 75

S3 0. 971 12 0. 195 61 0. 136 60 0. 310 56

x = 0. 1729 y = - 0. 4294

z= 0. 8245

4

S1 0. 184 68 - 0. 049 589 - 0. 981 54 - 2. 7561

S2 0. 152 83 - 0. 985 12 0. 078 54 - 0. 099 68

S3 0. 970 84 0. 164 51 0. 174 34 0. 374 83

x = 0. 1687 y = - 0. 4952

z= 0. 8044

图2　机构操作平台螺旋系的主螺旋

5 　结论

在研究 3- R PS 并联机器人机构的瞬时运动 的基础上, 讨论了其操作平台的瞬时螺旋的确定 方法及其螺旋系的平面表示方法, 并且提出了操 作器运动螺旋系主螺旋的识别的解析方法, 这对 自由度少于 6 的并联机构的运动特性及其操作器 运动螺旋系的研究都是有重要意义的。

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A u to. D es. , 1985, 107: 226～₂₂₉

(编辑　卢湘帆)

作 者 简 介:方 跃 法,男, 1958年 生。 北 方 交 通 大 学(北 京 市 　

100044)机电学院教授。 研究方向为机械动力学、机器人机构学、

摩擦学等。发表论文40余篇。黄真,男, 1936年生。燕山大学(河 北省秦皇岛市　066004)教授、博士研究生导师。

8・ 0

・8

中国机械工程第11卷第7期2000年7月

band o f m om en ta ry flyw heel sp eed, it is less efficien t to elim ina te the no ise w ith co nven t io na l signa l p ro cessing m etho d s such a s filtering the da ta. A new com p en sa t io n m etho d, w h ich u t ilizes tw o sp eed sen so rs to iden t ify the no ise, is p resen ted in th is p ap er. T he exp erim en ta l resu lt s verified the accu racy and fea sib ility o f the deno ise m etho d to p ro cess the m om en ta ry sp eed signa l fo r eng ine m isfire detect io n.

Key words: too th to lerance　　m ea su rem en t no ise　 　m om en ta ry crank shaft sp eed　　m isfire detect io n　　 au tom o t ive eng ine

Three D im en s iona l F in ite E lem en t Ana lys is of Stress D istr ibution of Stress D irstr ibution of the Nozzle in the Th ick W a lled Pressure Vessel　　CA I Ho ngneng (X i′_an J iao to ng U n iversity, X i′an, Ch ina )　W AN G Ya sheng　 ZHAN G Guo do ng p 7952797

Abstra tct: T he st ress d ist rib t io n s in a th ick w a lled p ressu re vessles w ere o b ta ined by th ree d im en sio na l fin ite elem en t ana ly sis. T he influences o f d ifferen t w elded st ructu res o n the st ress d ist ribu t io n s w ere stud ied, and the lo ad ing cap ab ility o f the p ressu re vessels w ith va rio u s w elded st ructu res w ere com p a red. In th is resea rch,

au tom a t ic d iv isio n o f th ree d im en sio na l m esh w a s accom p lished by m app ing and A u to lisp p ro g ramm ing.

T he resea rch resu lt s w ill be help fu l fo r the select io n o f w elded st ru tu re in the p ro duct io n o f p ressu re vessels.

Key words: p ressu re vessel 　 　 fin ite elem en t ana ly sis　　w elded st ructu re　　st ress co ncen t ra t io n

Reduction of Rough Set A ttr ibutes U s ing Genetic A lgor ithm　　J IA Yao q in (X i′an J iao to ng U n iversity, X i′ an, Ch ina )　XU Guanghua　SU N R u ix iang　L IAN G L in p 7972800

Abstract: Ro ugh set is a new typ e o f da ta p ro cessing m etho d, and the reduct io n o f a t t ribu tes is it s m a in too l, w h ich is u sed to find the sim p lified com b ina t io n s o f

a t t ribu tes under the co nd it io n s sa t isfy ing the cla ssifica t io n p recisio n. S ince the a t t ribu te reduct io n is an N - P p ro b lem , t rad it io na l m etho d is d ifficu lt to be app lied in the p ract ica l app lica t io n o f ro ugh set s. In th is p ap er, u sing the op t im a l sea rch techn ique, a m etho d o f a t t ribu te reduct io n ba sed o n the m u lt i - o b ject op t im iza t io n genet ic a lgo rithm is p u t fo rw a rd. It im p ro ves reduct io n efficiency, and get s m o re than o ne k ind o f a t t ribu te reduct io n agg rega te. F ina lly, the a t t ribu te reduct io n is app lied in the fea tu re select io n o f o il ro u te fau lt signa l o f d iesel eng ine, and a goo d resu lt is o b ta ined.

Key words: ro ugh set　 　genet ic a lgo rithm 　 　 a t t ribu tes reduct io n　　fau lt d iagno sis

M odel ing of the Structura l Rel iabl ity Pred ica tion U s ing Inverse Ana lys is of Boundary E lem en t M ethod　　_ZHU H uafeng (Zhejiang U n iversity, H angzho u, Ch ina)　_TAN

J ian ro ng　J IA Gao shun p 8012804

Abstract: T he developm en t o f st ructu ra l reliab ility theo ry and bo unda ry elem en t m etho d is in t ro duced sy stem a t ica lly a t first. T hen the m a them a t ica l m o deling o f the st ructu ra l reliab ility p red ict io n is p resen ted by u sing inverse ana ly sis o f bo unda ry elem en t m etho d in th is p ap er. N um erica l exam p le is g iven to dem o n st ra te the u sefu lness o f the p ropo sed theo ry.

Key words: st ructu ra l reliab ility 　 　 _{bo unda ry} elem en t m etho d　 　inverse ana ly sis　 　m a them a t ica l m o deling

Iden tif ica tion of the Pr ic iple Screws of a Three DO F Para llel Robot M an ipula tor　　FAN G Yuefa (N o rthern J iao to ng U n iversity, B eijing, Ch ina )　HU AN G Zhen p 8052⁸⁰⁸

Abstract: T h is p ap er p resen t s a m etho d to determ ine the in stan taneo u s screw s o f the end- effecto r p la tfo rm o f a th ree deg rees o f freedom p a ra llel ro bo t m an ip u la to r. B y co n sidering the geom et ric cha racterist ics o f the p lana r rep resen t ing sp a t ia l m o t io n screw s, an ana ly t ica l m etho d ba sed o n the co n ic sect io n degenera t ing theo ry fo r iden t ifica t io n o f the p rincip le screw s o f the end- effecto r screw sy stem is p ropo sed. T h is is sign ifican t fo r the study o f the k inem a t ic cha racterist ics and the screw sy stem o f the p a ra llel ro bo t m an ip u la to r w ith less than six deg rees o f freedom.

Key words: sp a t ia l m echan ism , p a ra llel ro bo t, k inem a t ic ana ly sis, screw theo ry

A Study of D ynam ic Fracta lM odel of W ear Surfaces　　 W U L iqun ( Zhejiang U n iversity, H angzho u, Ch ina ) 　

YAN G J iangx in　W U Zhao to ng p 8092810

Abstract: In th is p ap er, Cheby shev po lynom ia l w ith even o rder is app lied to revea l dynam ic p rincip le o f fracta l d im en sio n D o n w ea ring su rface. T he develop ing t rend o f the sca le am p litude G is ana lyzed du ring w ea ring p ro cess.

F ina lly, p red ict ing m o dels o f dynam ic w ea r ra te a re p resen ted. T he sim u la t io n resu lt s a re goo d ag reem en t w ith tha t from exp erim en t s under the sam e co nd it io n s.

Key words: dynam ic w ea r su rface　　fracta l m o del 　　Cheby shev po lynom ia l　　w ea r ra te

The Pa th P lann ing of Redundan t TT-VGT M an ipula tors Ba sed on BP Neura l Network　 　XU L iju ( S ichuan U n iversity, Chengdu, Ch ina)　W U J iang p 8112⁸¹³

Abstract: T he fo rw a rd d isp lacem en t ana ly sis o f redundan t tet rahed ro n2tet rahed ro n va riab le geom et ry t ru ss m an ip u la to rs is t ra ined ba sed o n B P neu ra l netw o rk, and then a so lu t io n to inverse d isp lacem en t ana ly sis p ro b lem is o b ta ined. T he p seudo2inverse o f J aco b ian m a t rix is a lso o b ta ined by u sing neu ra l netw o rk.

A m etho d o f t ra jecto ry p lann ing fo r redundan t T T2V GT m an ip u la to rs is p resen ted ba sed o n the m in im um o f change o f jo in t va riab les. T he sim u la t io n ca lcu la t io n o f

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