數學科試卷 單元：2-2 排 列 班級：

數學科試卷 單元： 2-2 排 列

班級： 座號：______ 姓名：__________

一、填充題：

1. 已知P₄ⁿ 42P₂ⁿ,

n

答案：9

解析：n(n – 1)(n – 2)(n – 3)^42n(n – 1),

n

(n – 2)(n – 3) = 42^7·6



n – 2



n

2. 一自然數 n 滿足P₄^n1 42×P₂^n1，則 n^________。

答案：6

解析： ( 1)! ( 1)!

( 1 4)! 42 ( 1 2)!

n n

n n

   

   

 n(n1)^42

 n²

n

 n^6 或7(不合)

3. 已知P_m⁶_2 2×P_m⁶，則自然數 m^________。

答案：4

解析： 6! 6!

(6

m

m

  

 2^(4

m)!

m)!

 2^(6

m)(5

m)

 m^4 或 7(不合)

4. 若P_m⁸ 20P_m⁸_2，則正整數 m  ________。

答案：5

解析：P_m⁸  20P_m⁸_2

8! 8!

(8

m

m

 

 

1 20

(8

m

m

m

m

   



2

(10 )(9 ) 20 19 70 0

m

m m

m

   

    (m 5)(m 14) 0

   

得

m

m

※乘法原理：

5. 用 4 種不同顏色的筆塗下面圖形，每塊區域限用一種顏色，同色不得相鄰，則有________種塗法。

答案：972

解析：共有4 3 3 3 3 3 972      種塗法

6. 以五種不同顏色塗下圖 A、B、C、D、E 五個區域，顏色可重複使用，但相鄰區域不得同色，則塗法有________種。

答案：420

解析：B、D 同色：A→B→D→C→E

5^4^1^3^3^5^4^3^2180

B、D 異色：A→B→D→C→E

5^4^3^2^2^5^4^3^2^2240 故^180240^420 種

7. 用 5 種不同顏色塗在下圖 6 個區域，同色不相鄰，且每一個區域只能塗滿一種顏色，若顏色可重複使用，則有__

______種塗法。

答案：1620

解析：著色順序 A→E→B→D→C→F：5 4 3 3 3 3 1620      種

8. 用六種不同的色筆，塗下圖 A、B、C 三個部分，顏色可重複使用，規定相鄰部分不得同色，則可塗出________種 不同方式。

答案：150 解析：

6^5^5^150 種

9. 小雨欲到台北出差，今從臺 南 出發，有 3 家航空公司及 5 家客運可選擇，今小雨欲往返一趟，即臺 南 →臺 北 →臺 南，若選不同家，則方法有________種。

答案：56

解析：8 7 56  種

10. 由「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6」七個數字中任取三個排成三位數，規定數字不可以重複選取，則排法有________種。

答案：180 種

解析：如圖，0 不可排位置一，且數字不得重複，故有6 6 5 180   （種）

11. 某校教務處有 10 人，學務處有 8 人，總務處有 15 人，今欲由各處選出 1 人組成委員會，則有________種組成方 法。

答案：1200

解析：分三個步驟完成：

第一步：由教務處任選一人，方法有 10 種 第二步：由學務處任選一人，方法有 8 種 第三步：由總務處任選一人，方法有 15 種 故各處室各選一人之方法有 10^8^15^1200(種)

12. 某三位數其百位數數字為偶數，個位數數字為奇數，這樣的三位數共有________個。

答案：200

解析：百位數有 4 種選擇，十位數有 10 種選擇，個位數有 5 種選擇 故有 4^10^5^200(個)

13. 從 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 等數字中，任取 4 個組成一個數字不得重複之四位數，則可得________個不同之偶數。

答案：420

解析：個位數字為 0 的有 6 × 5 × 4 × 1^120 個 個位數字為 2, 4, 6 的有 5 × 5 × 4 × 3^300 個 故共有 120 + 300^420 個

14. 過一圓之圓心，作 6 條直線與圓周相交，連接這些交點，可得________個圓之內接直角三角形。

答案：60

解析：內接於半圓之三角形必為直角三角形

故以任一條直線為斜邊，共可與其餘 10 點連成 10 個圓內接直角三角形 故共可連成 6 × 10 = 60 個圓之內接直角三角形

15. 432 的正因數共有________個，其中能被 12 整除的有________個。

答案：20，9 解析：

2 432 2 216 2 108 2 54 3 27 3 9 3

∵432^2^43³

∴正因數個數^(41)(31)^5^4^20 則 12^2^23，432^(2²)^2(3)^23

故能被 12 整除的個數^(21)(21)^3^3^9 16. 540 有______個異於本身及 1 之正因數。

答案：22

解析：540 2 ² 3³ 5

540 共有(2 + 1) × (3 + 1) × (1 + 1)^24 個正因數（包括本身及 1）

故本題解答為 24 – 2^22

17. 自然數 1116 的所有正因數中，無法被 31 整除的有________個。

答案：9

解析：1116 2 ² 3² 31

方法：選 0~2 個 2、選 0~2 個 3，選 0 個 31

共 3×3×1=9 個

18. 某家餐廳的菜單上有 5 種肉類、3 種青菜、2 種魚供顧客點選。今選一肉、一菜、一魚的方法有________種。

答案：30 種

解析：有5 3 2 30   （種）

19. 用 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 七個數字，可排成________個 5 的倍數之三位數。

答案：84

解析：百位有 6 種排法（0 不可排在首位）

十位有 7 種排法

個位必排 0 或 5，有 2 種排法

共有 6 × 7 × 2^84 個

A.相異物直線排列：

20. 甲乙兩隊舉行排球比賽，今規則為先得 25 分得勝（如：甲：乙=24：25，為一種比賽結果，不考慮領先 2 分才贏 之狀況），則比賽結果有________種。

答案：50

解析：甲勝：比數可能為甲：乙=

25 : 0 25 :1

25 : 24







M 共 25 種 反之若乙勝亦有 25 種

共 25+25=50 種

21. 10 元鈔 1 張，50 元鈔 1 張，100 元鈔 1 張，1000 元鈔 1 張，則共可支付________種不同款項。

答案：15

解析：每一種鈔票的支付方法均有 2 種 共有 2^2^2^21(不支付)^15

22. 甲、乙、丙、丁四人均不在同一個月份出生的情形有________種。

答案：11880

解析：12^11^10^9^11880

23. 力宏欲舉辦個人演唱會，亞洲安排 5 國巡迴演唱，則行程有________種。

答案：120

解析：共有 5!=120 種

24. 甲、乙等五人排成一列，甲不排首且乙必排中之排法有_________種。

答案：18

解析：乙必排中，故乙有 1 種排法

甲不排首，亦不得排中，故甲有 3 種排法 其餘 3 人無限制，有 3!種排法

故共有3 3! 18 種排法

25. 將 4 面不同的旗子，全部依上下順序懸掛來表示訊號，共可表示出_________種不同的訊號。

答案：24

解析：此為 4 面不同旗子之直線排列，共有 4!=24 種

26. 3 男 3 女排成一列，女生不得排在男生中間之排法有________種。

答案：144

解析：女生不得排在男生中間表示男生相鄰  4! 3! 144

27. A、B、C、D、E、…共 8 人排成一列，規定 A、B 必須相鄰，但 C、D 不得相鄰，其排法有________種。

答案：7200

解析：將 A、B 視為一組

排法  5! 2! P₂⁶ 7200

28. 自 0, 1, 2, 3, 4, 5 六個數字中，任取相異三數作成三位數，則 4 的倍數有________個。

答案：24

解析：末二位數字為 4 的倍數，則此數為 4 的倍數

由此六個數字組成之 4 的倍數有 04, 40, 20, 12, 24, 32, 52 末二位為 04, 40, 20 之三位數各有 4 個，共有3 4 12  個 末二位為 12, 24, 32, 52 之三位數各有 3 個，共有4 3 12  個 故共有 12+12^24 個

29. 由 0、1、2、3、4 中任取相異三數作成三位數，則小於 320 的三位數共有________個。

答案：30

解析：討論：百位數為 1 或 2，共有2 4 3 24   個 百位數為 3、十位數為 0 或 1，共有1 2 3 6   個 共 24+6=30 個

30. 由 1, 2, 3, 4 等四個數字排成四位數，其中大於 2300 的有_________個。

答案：16

解析：千位排 2，百位排 3 或 4 必合所求，有 1 × 2 × 2!^4 個

千位排3, 4 必符合所求，有 2 × 3!^12 個

故共有 12 + 4^16 個

31. 用「0, 1, 2, 3, 4, 5, 6」作成數字相異的四位數(數字不可重複)，其中 5 的倍數有________個。

答案：220

解析：四位數為 5 的倍數個位數字為 0 或 5 (1)個位數字為 0

6^5^4^1^120 (2)個位數字為 5

5^5^4^1^100 故有 120100^220 個

32. 甲、乙、……共六人排成一列，甲不排首、乙不排末之方法有_________種。

答案：504

解析：排列數^全部排法甲排首乙排末甲排首且乙排末

6!5!5!4!

504

33. A、B、C、……共 6 人排成一列，規定 A 不排首、B 不排末，但 C 必排第二，則排法有________種。

答案：78

解析：將 C 排在第二，共有 5!種

再利用全部排法(A 排首且 B 排末)

5!4!4!3!^78

34. 老師對學生們說：「你們排成一列的方法數是圍坐成一圈方法數的 7 倍」。求學生圍坐成一圈的方法數有________

種。

答案：720

解析：學生有

n

依題意得 ! 7 n^! 7

n n

  n   圍坐成一圈方法 7!

7 720

  種

35. 由 1, 2, 3, 4, 5 等五個數字排成五位數，其中奇數有_________個。

答案：72

解析：個位數字必排 1, 3, 5，有 3 種排法

剩餘 4 個數字可任意排在萬、千、百、十位數之位置，排法有 4!

故共有 4! × 3^72 種排法

36. 阿三有消費券 3600 元，欲買隨身碟單價 500 元、計算機單價 200 元、滑鼠單價 100 元，任意搭配，若剛好全花完，

則有________種買法。

答案：80

解析： 求500x200y100z3600之非負整數解 5x2y z 36

共19 16 14 11 9 6 4 1 80        種 B.相同物直線排列：

37. 有棋盤式街道，如圖所示，設由 A 點到 B 點，必須經過 C 點，且不繞路，共有________種走法。

答案：60

解析：由 A 點到 C 點之捷徑走法有 ^4!

2!2!6 種 由 C 點到 B 點之捷徑走法有 ^5!

3!2!10 種 故共有 6 × 10^60 種走法

38. 王老師至文具店買橡皮擦 2 份、鉛筆 2 份、直尺 3 份、原子筆 3 份，分給 10 位學生，則有________種分法。

答案：25200

解析：分法 ^10! 25200 2!2!3!3! 種

39. 將“0, 0, 0, 2, 2, 3, 3, 3” 八個數字作成八位數，其中偶數有________個。

答案：230

解析：首位數字為 2，末位數字為 2 的有 ^6!

3!3!20 個 首位數字為 2，末位數字為 0 的有 ^6!

2!3!60 個 首位數字為 3，末位數字為 2 的有 ^6!

3!2!60 個 首位數字為 3，末位數字為 0 的有 ^6!

2!2!2!90 個 故共有 20 + 60 + 60 + 90^230 個

40. 將 2233344 任意排列，可構成________種七位數。

答案：210 解析： ^7!

2!3!2! 210

41. 用「0, 0, 2, 2, 2, 3, 3」作成七位數，共可作成________個不同的七位數，又其中奇數的有________個。

答案：150，40

解析：(1)(全部排法)(0 排首位)^ 7!

2!3!2! 6!

3!2!150 (2)奇數，只能 3 為個位數，只看前面六位數

故 ^6!

2!3!–^5!

3!40

42. 將三本相同的書，一支鉛筆，二本相同筆記本分給六位同學，每人得一樣，則分法有________種。

答案：60 種

解析：設有甲、乙、丙、丁、戊、己六人，六人固定 而「書書書鉛筆筆」六個字去作排列

故有 ^6!

3!2!1!60（種）

43. 芒果 4 個，橘子 3 個，蘋果 3 個，任意分給 10 個小朋友，每人至多得一個，共有________種分法。

答案：4200

解析：若視為 10 個相異獎品分給 10 個小朋友，每人各得一個，分法共有 10!

但 4 個芒果為同一類，3 個橘子為同一類，3 個蘋果為同一類 故共有 ^10!

4!3!3! 4200 種分法

44. 將 success 一字之字母全取排成一列，三個 s 不完全相鄰之排法有________種。

答案：360

解析：任意排法 – 三個 s 完全相鄰之排法

 7! 5!

3!2! 2!

360 種排法

45. 設街道如圖所示。小胖上學快遲到了，請幫他算出，從家裡出發走捷徑到學校的走法(只能向“→”、“↑”)有__

______種；若小胖想順道去糖果店，則走捷徑的走法有________種。

答案：(1)126 種 (2)40 種

解析：(1)捷徑走法可類化成↑↑↑↑→→→→→9 個箭頭的排列數 故有 ^9!

4!5!126（種）

(2)必經糖果店的走法為小胖家→糖果店→學校 有 ^{5! 4!} 40

2!3! 1!3!  （種）

46. 將 a、b、c、d、e、f 六個字母由左至右排成一列，規定 a 須排在 b、c 之間且 d 須排在 e 的左邊，其中 a、b、c 和 d、e 皆 無須相連，則排法有________種。

答案：120 種

解析：先將□、□、□、△、△、f 排列，排法有 ^6!

3!2!種；

再將 a、b、c 排入“□”中，排法有 b、a、c 和 c、a、b 計 2 種；

再將 d、e 排入“△”中，排法有 d、e 計 1 種；

故排法有 6! 2

3!2!  1 120（種）

47. 由「無智亦無得以無所得故」任取 4 字排成一列，排法有________種。

答案：1230

解析：無×3；得×2；亦×1；智×1；以×1；所×1；故×1；

3 同 1 異： _{1 1}^{1 6 4!} 24 C C 3! 2 同 2 同： ₂^{2 4!} 6

C 2!2! 2 同 2 異： ₁^{2 6}₂ ^4! 360

C C 2! 4 異：

C

共 24+6+360+840＝1230 種

48. 用「2, 2, 3, 3, 4, 5」的數字排成六位數，規定同數字不得相鄰，則可得________個不同的六位數。

答案：84

解析：討論同數字相鄰

2 相鄰 ^5!

2!

3 相鄰 ^5!

2!

2、3 同時相鄰4!

(全部排法)(同數字相鄰) = (不相鄰) 6! 5!

( 2 4!) 84 2!2! 2!  

49. 用「0, 1, 1, 1, 2, 2, 3」七個數字，共可作成________個不同的七位數。

答案：360

解析：(全部排法)(0 排首位)^{ 7! 6!}

3!2! 3!2! 42060^360 C.重複排列：

50. 5 個人任意搭乘四部計程車，方法有________種，若規定每部計程車至多只能搭載 4 個人，則方法有________種。

答案：1024，1020 解析：(1)4^51024

(2)(全部)(5 人一車)^4⁵4^1020

51. 三件不同的玩具送給 5 個兒童，其任意給法有________種，又某甲至少獲得一件的方法有________種。

答案：125，61

解析：任意分法5^3125

(甲至少得一件)^(任意分法)(甲未得)^5³4^312564^61

52. 由 1、2、3、4、5 五個數字排成五位數，其中為奇數者共有________個。(數字不可重複) 答案：72

解析：



共 共 4!共

□□□□ □

個位數可放入 1, 3, 5 共有 3 種選擇

故總共有 4!^3^72 種

53. 6 件不同的禮物分給 A、B、C 3 人，則 A 至少分得 1 件的方法有________種。

答案：665

解析：A 至少得一件 (任意分法)(A 未得)3⁶2^6665 54. 用 0 和 1 可以排成________個八位數。

答案：128

解析：首位必排 1

其餘位置均可排 0 或 1

故共可排成_{1 2} ⁷ _128 個八位數

55. 將 3 本不同的書分給甲、乙、丙、丁、戊 5 人，則：

(1)書本的分法有________種。

(2)若丙至少得到 1 本書，這樣的分法有________種。

答案：(1)125 種 (2)61 種

解析：(1)每本書分法皆有 5 種可能，故_{5 5 5 5  } ³ _125種

(2)(丙至少得一本的分法)＝(任意分的分法)－(丙得 0 本的分法)

＝(3 本不同書給 5 人)－(3 本不同書給 4 人)

3 3

5 4 61

  

D.環狀排列：

56. 有六粒不同顏色的寶石，則：

(1)若六粒全取串成項鍊，有__________種串法。

(2)若六粒中選出四粒串成項鍊，有_________種串法。

答案：(1)60 種　(2)45 種 解析：(1)

6!

6 60 2  種 (2)

6 4

4 45 2 P

 種

57. 若 4 人圍一正方形桌子而坐，每邊坐 1 人，如圖，則入坐的方法有________種。

答案：6 種

解析：視為環狀排列，排法有^4! 6 4  (種)

58. 9 顆異色的珠子串成手鐲，共有________種串法。

答案：20160 解析：共有^8!

2 20160 種串法

59. 用六種相異顏色之色筆，塗正六邊形的格子，顏色不可重複使用，共有________種不同之塗法。

答案：120

解析：5 4 3 2 1 120     種

60. 主人夫婦及子女 4 人共 6 人圍圓桌而坐，主人夫婦不得相鄰之坐法有________種。

答案：72

解析：先坐子女 4 人，坐法有 3!種

再把夫婦插坐至 4 子女中間之 4 位置，坐法有P₂⁴種 故共有 3! ×P₂⁴= 72 種坐法

61. 4 對夫婦圍圓桌而坐，每對夫婦要相鄰且男女相間隔之坐法有________種。

答案：12

解析：每對夫婦要相鄰，故視為 4 人之環狀排列，坐法有 3! = 6 種 男女相間隔，故每對夫婦要同步交換，方法有 2 種

故共有 6 × 2 = 12 種

62. 三男三女圍一圓桌而坐，如同性不相離，共有________種坐法。

答案：36

解析：三男視同一人，三女視同一人 二人之環狀排列數為 1 種

3 男交換之方法為 3!種，三女交換之方法亦為 3!種 故共有 1 × 3! × 3! = 36 種坐法

63. 六對夫婦圍圓桌而坐，夫婦相鄰且男、女相間而坐，方法共有________種。

答案：240

解析：每對夫婦視為一組共 6 組作環狀排列^6!

6 5!^120 夫婦相鄰且男、女相間而坐的方法有 2 種

故 120^2^240 種

64. 5 男 3 女圍圓桌而坐，則：

(1)女生全部相鄰的坐法有________種。

(2)任 2 女生均不相鄰的坐法有________種。

答案：(1)720　(2)1440

解析：(1)將 3 女視為一體與 5 男圍圓桌，共有 5!

又 3 女可互換，共有 3!

5!^3!^720

(2)男生先入座，方法有^5!

5 4!

再將 3 女放入間隔中，方法有P₃⁵ 故坐法有 4!^P 3⁵ 24^60^1440

65. 主人夫婦與客人夫婦共五對，圍圓桌而坐，每對夫婦均須相鄰，坐法有________種。

答案：768

解析：每對夫婦均視為一人，故可視為 5 人之環狀排列，排列數為 4!

又每對夫婦均可互調，方法有₂⁵種

故坐法有 4! ×_{2 }⁵ 768 種

〈另解〉

每對夫婦視為一組且每對夫婦有 2 種位置互換 5! 5

2 768 5  

66. 從 8 個人中選 5 位圍圓桌而坐，則坐法有________種。

答案：1344 種 解析：環狀排列數

8

5 8 7 6 5 4 5 5 1344

P

直線排列數   

個數 (種)

67. 現有 6 種顏色，欲塗在如圖的幸運草上，每區限塗一色，每色限用一次，則塗法有________種。

答案：90

解析：^{6 5 4 3} 90 4

    種

68. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人圍圓桌而坐，若甲、乙必須相鄰而坐且丙、丁須分開坐，則坐法有________種。

答案：24 種

解析：相鄰者圈起來，不相鄰者最後排

如圖，甲乙戊己先排，方法 種

再將丙丁放入“^”內，方法 ，故共有 種。

69. 12 人坐正方形桌，每邊坐 3 人，不同坐法有________種。

答案：

解析：若每邊人數相同，正 n 邊形人數之排列數^

n 直線排列數 故有^12!

4 種坐法