1 數學作為一種語言

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1 ^{數學作為一種語言}

以下觀念或許抵觸了許多人的認知：數學作為語言 (Mathematics as a Language) 的成分，多過它作為科學的成分。在這一章裡，我們主要藉由數學和自然語言的類比或對比，有時候也帶出和科學的對比，帶著讀者認識數學。在過程中，我們也順便指出一些語言的學習經驗帶給數學教育的啟示。

數學是一種語言

這個觀念雖然是我在漢聲廣播電台，從民國 89 年起每週一小時講到 92 年底的廣播節目裡，對成年聽眾介紹數學的論述主軸，但是它既非原創也不孤立。例如，在民國 97 年公告的《九年一貫數學學習領域課程綱要》裡，綱要制定小組的數學家和教師們陳述其基本理念，認為數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三項重要的原因，其中第二項就是

數學是一種語言

課綱接著闡述：簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是理性與自然界對話時最自然的語言 [1]。人人都知道，語言是所有表達、學習甚至思維的媒介。正因為數學本身就是一種語言，所以和自然語言 (例如中文和英文) 一樣，是一切學習的基礎，所以被認定為國民教育的基礎課程。

在我們從語言的角度認識數學之前，想要闡明數學與科學的分辨。許多人認為數學是一種科學，就連大學裡的科層組織，也習慣性地將數學和物理、化學、生命科學等學系，合併在一個學院裡。然而數學實非科學。有人說數學是科學之母，也有人說數學是科學之僕，這些擬人化的說法或許夾雜了個人的感情，我們不便評論。中肯的說法是，如同課綱文件所指出的：數學是科學的語言。

科學家使用數學作為描述其現象或關係的語言，而數學語言更有價值的，是它經常帶著科學家從現有知識的描述出發，進一步推論未發生或者未觀察的現象。很多人認為，自然語言也是我們在日常生活中用以推論的工具。如果沒有語言，人們對於環境變化的感知可能只會產生立即反應，而不能做更長遠的計畫。譬如說，聽到雷聲可能會害怕躲避，但是不會運用語言而推論，稍後可能要下雨了，而陽台上還曬著衣服，所以要上樓去收衣服 [2]。

數學和科學有著太多根本的不同，我們稍後再擇要闡釋。人們常認為科學比較具體，而抱怨數學過於抽象；我們不打算否認。但數學之所以抽象，是因為它是一種語言，而其實：

語言都是抽象的

不僅只數學抽象，我們平常說的自然語言也是抽象的。只因為自然語言的認知，更普遍地訴諸於日常經驗，我們在「社會化」的過程中習得了自然語言，因習慣而沒有察覺它的抽象性。

說到語言的抽象，大家或許會想到美、醜、愛、恨這些字詞。但反省得更深入一點兒，就會明白，語言具有普遍的抽象性。譬如『椅子』這個名詞，是否具體地指稱某一類的物體呢？

讀者只要環顧四周，或者到公園走走，逛一逛傢具店，最好再走訪現代藝術展覽館，就會逐漸發現，那些被我們輕易辨認為『椅子』的物體，是多麼地難以界定！

比如說，大家都能界定，以下圖片內的物件都是椅子。

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[圖片來源：某家具經銷商的型錄]

而且，以下這些也都是椅子吧？

[圖片來源：某家具經銷商的型錄]

那麼，以下這些還是椅子嗎？

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[圖片來源：百年經典設計椅特展簡章，臺灣工藝文化園區，2011 年 9、10 月]

這個是椅子嗎？

[圖片來源：達利紅唇椅，Google 圖片搜尋下載]

設想，假如給您一部電腦，它能憑著視覺「看」到顏色和形狀，還能估計其大小、材質、

硬度和重量，您要如何寫一份描述清單，使得它可以根據視覺而判斷那是不是椅子？做這個想像的實驗，就更能體會「椅子」這個名詞的抽象性了。

就連『椅子』這麼抽象的概念，我們都輕易地理解並且內化了，（國民教育階段的）數學還能有多難？對照國語和數學的學習典型，我們發現（初階的）語言都是在許多例子的經驗中模仿而成的。這使我相當樂觀地認為，只要教學過程中舉出足夠多學童認知範圍內的例子，幾乎所有學童都能理解並且內化基礎的數學觀念，剩下的需求就是讓孩童有許多實際運用數學的機會，就會熟練了。

語言都有任意性

科學是對外在事物的歸納性認識，而語言和數學是我們自己的創造，所以我們能夠控制它。例如，很久以前，如果某個很有勢力的人指著鹿說牠是「馬」，並且能夠喝令天下人必須這麼說，日子久了以後，我們今天說的「馬」就可能真的是鹿了。

雖然指稱事物的語言具有任意性，但是這通常並不影響我們討論科學或數學的真實性。譬

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如「馬」如果是鹿，則公「馬」就會長角，而「馬」茸也就可以入藥。同樣的道理也可以用來回答一加一為什麼等於二的這類問題。這個問題之所以困擾著數學教師，是因為它本質上不是數學問題，而是語言問題 [3]。一加一之所以等於二，只是因為一加一的意思是「一後面的那個整數」，恰好那個數在我們的語言中稱為「ㄦˋ」，而它恰好被寫成「二」。在另一種語言中，它可能被稱為 two 或者 zwei 或者 duo，或者其他各種超出我們想像力的喉舌發音，它也可能被寫成「2」或者「Ⅱ」或者其他不便印在這裡的符號。

至於任意定義的數學或語言能不能用於「溝通」？就要訴諸於社會了。我們將在第 3 章介紹的數學作家卡洛，利用英國童謠裡的「蛋頭」(Humpty Dumpty)，編出一段膾炙人口的「語言任意性」故事 [4]。

讓我們從現在起，撇開語言的任意性，把語言的用法固定下來。那麼，科學命題的對或錯，

是由外在事物決定的，但是數學命題的對或錯，卻是人自己可以決定的。比方說，如果科學推論午夜將有月蝕，但實際觀察卻是一輪皓月當空，這只能是科學的錯，不能歸咎於月亮，也不可能改變月球（或地球或太陽）使之發生月蝕。但是，如果有人決心要讓 1+1=10 成立，即使固定了 1、0、+、以及 = 的意思，還是可以把數字 10 的定義改成二進制，就能讓 1+1=10 在數學上是對的。

語言都須訴諸直覺

數學中有些名詞或關係，不能用更基本的數學詞彙來定義或解釋，所以出現了少數的未定義名詞，以及少數不能再解釋的最基本性質或關係（稱為公設或設準，我們會在第 6 章舉例）；它們都必須依靠直覺來了解。例如，說來或許還蠻諷刺的，在幾何學之中，幾何的最基本物件：

點、直線、平面，其實並沒有數學的定義；在集合論之中，所謂「集合」卻是無法用數學方式來定義的。數學家建立了一整套關於點、線、面的完美世界，也建立了完整的關於集合的理論，

但是卻把點、線、面、集合這些基本物件，留給讀者到數學以外去探尋其意義。

建立在無法更進一步解釋的基本觀念之上的數學知識體系，難道就真的有危險嗎？其實，

數學如此，自然語言又何嘗不是？仔細探索日常用語，會發現有一些字詞，就是無法用更基本的其他字詞來解釋。譬如我邀請讀者翻開字典，查詢『意義』的解釋，將會發現字典要不是刻意遺漏這個詞（例如民國 78 年出版的三民書局《新辭典》），就是它的解釋將會繞一圈回到

『意義』。這絕不是中文獨有的缺陷，仔細追究英文字 meaning 的意義，也會發現一樣的結果；

以下引文點出了這個現象。

Pending a satisfactory explanation of the notion of meaning, linguists in the semantic field are in the situation of not knowing

what they are talking about.

Willard Quine 這不是一個很窘的狀況嗎？我們鎮日探索著人生的意義，我們經常在言談中讚揚這個「有意義」而批評那個「沒有意義」。但是，面對這個事實吧，其實我們不能用更基本的觀念來解釋『意義』究竟是什麼意義？可是，即使接受了這個窘況，也不會阻止我們繼續探索一句話的或者一本書的或者人生的意義，對吧？

現在，您或許可以理解，何以被追問到問題的最核心的地方，即使是一代禪宗大師，也只能拈著一朵花，對你微笑。這一抹微笑，通常被解讀為：用你的心去直接領悟吧；因為語言已經達到了它的極限，不能再說明了。

語言都有不可考的成分

人們或許可以考據文字的起源，但是沒有人知道語言的起源。而且，對語言的理解，幾乎是神秘地內建於我們的大腦；按照現在的科學認識，只能訴諸於「基因」。而這類無法考察其源也

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難以一一釐清的現象，中國人常歸因於「天」，西方人則通常訴諸於上帝。就像陳之藩的名句：

要謝的人太多了，不如謝天吧。西方數學家普遍接受「上帝創造自然數」，例如以下名言 God made natural numbers, all else is the work of man.

Leopord Kronecker 事實上，「上帝創造自然數」的真正意思，就是說沒有人知道自然數是怎麼來的？

前述《課程綱要》的第三項基本理念，就在闡述這個神秘的認知能力：數學是人類天賦本能的延伸。且不說人們對於正方形、圓、球、平行直線的天賦認知，就看自然數吧。自然數的觀念和字詞，普遍存在於世界上每一種語言。每一位讀者，都或早或晚地在大約三歲的時候學會了唱數：從一數到十，然後數到百。這就是我們每個人的第一份數學學習成就，一切的數學都從唱數開始。

自然數是語言的一部份，它就像「椅子」一樣抽象。當三歲小童學習唱數的時候，他的心中（應該）並沒有具體的圖像，「數」就跟其他語言一樣，只是一組音節而已。稍後，兒童學會了如何運用這些抽象的音節與某些事物做一對一且映成的對應：這就是點數。點數是一個相當抽象而且「高等」的數學行為，但似乎大多數人毫不費力就學會了。接下來，我們沿著這批抽象音節向前數、向後數，發展出和、差觀念。直到這時候，數學都還是自然語言的一部份，

學習數學就等於是學習語言。直到有一天，孩童被要求把這一切用符號寫下來，然後符號迅速地發展，迅速地超前了學童的經驗範圍，數學的學習才開始從語言的學習中分離出來，而「數學教育」也才開始變成一件需要刻意雕琢的事。

語言都編撰成辭典

我們可以說，古今中外的數學家以他們世代相傳對於證明的標準和堅持，合力編撰一本辭典。

在這本辭典裡，他們定義自己的名詞動詞連接詞形容詞和副詞，然後利用這些經過定義的詞彙，

寫出一條又一條絕對正確或者絕對錯誤或者絕對無法判定正確或錯誤的敘述句；這些經過判定的敘述句，稱為數學定理。

科學家和任何在真實情境中使用數學的人，在這本辭典裡為他們所關心的對象找尋可以指稱的名詞，並且為他們所關心的交互作用找尋可以描述的形容詞、動詞或副詞。一旦決定了詞彙和對象之間的連結，他們就能利用已經編寫好的辭典，得到某種結論。這個數學上的結論並非真理，它最多只保證了在此語言系統之內的正確性。還要再將語言對應回現實，才能考核它客觀的正確性或實用價值。

譬如蘋果並不是球形，就算是，直徑也不盡相等。但是只要應用數學的那人，認定在他所關心的情況下，蘋果都可以被視為「直徑相等的球」，他就能引述所有相關的數學定理，譬如

一個球的外圍最多只能同時觸碰 12 個與本身同直徑的球

來描述他在一口箱子裡堆置蘋果時，所受到的基本限制。至於他要引述哪一條定理，當然只有根據他自己的需求和目的才能決定。而他說得完不完整或漂不漂亮，也就取決於他對數學語言的熟練程度和天分了。

前面說過數學並不適合被視為一種科學。許多科學家會直接告訴你，數學家做的不是科學，他們做的是語言。持這種看法的科學家不在少數，對他們來說，數學的價值就在於這一本世代相傳的大辭典。然而，數學家寫進這本辭典裡的，都是憑空想像的結構，卻為什麼一再發現這些想像的結構竟然真的能夠對應自然界的真實？這個神秘的現象，就像語言本身的不可考一樣，可能只好訴之於老天或上帝了。

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語言都須記憶

大家都有學習英文的經驗（作為第二語言）。有人說學習英文可以不必記憶太多單字，反正電子字典那麼方便查詢。但是，請想像你正在讀英文版的哈利波特，如果每一句話都有十個字不認識，理論上可以一個字一個字地查，但是有任何人相信可以這樣讀一本書嗎？文字的閱讀不僅是字與詞的認識，更重要的是概念的形成。如果不能流暢地閱讀，一字一踉蹌地窒礙難行，

有閱讀經驗的人都會同意：這樣很難形成概念。

因此，我們必須具備基本的文法、基本的字形變化以及最基本的幾千個字彙，才能流暢地閱讀英文文件或小說，從中獲得概念或樂趣。關於中文的閱讀，也是一樣的，只是我們更自然地學習了中文，比較不察覺它的困難。

同樣地，雖然像加減、乘法和微分這些計算，都可以用計算器完成，但是記憶最基本的運算規則與等式，才能流暢地閱讀數學文件，也才能流暢地以數學思考來解決問題。所以，記憶不見得是為了加速計算，在親友的聚會裡表演神速的心算。記憶的主要目的是為了思考的流暢性。流暢的思考有助於概念的形成與理解，當然也有助於產生創意。前一段時期，台灣的國小數學教育以建構式的哲學領路，成功地讓學生與家長們相信，數學是一門重理解的學科。這是好的。但是可能產生過於輕忽記憶的副作用。

記憶就像金錢：記憶不是萬能，沒有記憶卻是萬萬不能。記憶是一個人真正的資產，是我們除了肉身以外，唯一真正能夠擁有的東西。它當然是寶貴而需要謹慎投資的。所以，哪些事情值得記憶？我想要說，在辦得到的範圍內，記得越多越好。在基礎數學中，九九乘法表絕對值得投資，它能夠讓（現代社會中的）人受用一生。在此之外，11—20 的平方，1—12 的立方，

以及平方公式，還有常用單位的換算公式（例如英吋和公分），都屬於數學的基本字彙，能夠記在腦袋裡帶著走，是最好不過的了。

我見過一些同學，用「背字典」的壯舉來學習英文。具備基礎字彙之後，這不失為一種有效的學習法，但是顯然不能適用於每一名學生。而且，據說這樣學會的英文單字，在閱讀別人寫的文章時或許有用，但是比較難用在自己創作文章的時候。我相信，大多數同學的經驗是，

閱讀自己感興趣的文章（例如魔戒），或者在自己全心投入的情境裡（例如暗黑破壞神），達到最高的英文學習效率；這些情況統稱為「在脈絡中」學習。

前面說過數學家編撰了一部大辭典，所以數學也適用「字典學習法」嗎？這個問題可以和前一段做個類比式的探討。在某種範圍內，這種學習方式對某些人確實有效，但是脈絡中的學習可能對多數人更有效。可是，拿語文教材和數學教材相比，哪一種教材通常具備比較豐富的脈絡？我想，這場競賽很可能是優劣立判的。從這個觀點來審視數學教育，我們再度確認一個問題：現今的數學教材與教法，從五年級開始而越高年級越嚴重，傾向於「字典學習」而非「脈絡學習」。讓我們看看高中數學課程，一章完整的多項式，跟著一章完整的指對數，再跟著一章完整的古典機率，然後一章（幾乎）完整的三角學。這是不是就像按照一本辭典來學習？

語言都會被操弄

很多人認為數學是「真理」（下一節再解釋），所以經常把數學或數字掛在嘴邊的人，很容易藉著人們對數學的信任而愚弄大家。有些新聞記者或談話性節目的名嘴，發展出一種伎倆，在幾乎每一句話裡面夾帶一個數字，使得其報導聽起來有非常高的可信度。有句名言說得好：數字不會說謊，但是報數字的人會。

自然語言當然也會被操弄，我們在商品廣告、競選口號等大眾傳播和政治環境裡，聽了太多，每個人大概都心有所感，我想最好還是別再舉例了。至於操弄數學語言的手法，其中一種是刻意地隱瞞前提：包括忽略參考坐標，忽略單位，或者忽略該項定理可應用的範圍；另一種操弄則是引導讀者按照習慣去「影射」某種結論。前者需要搭配科學素養去釐清，而後者主要

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還是需要數學素養。

許多「影射」型的數學語言操弄，都建立在讀者認為數學問題皆有「標準答案」的心態基礎上。這個迷思很可能來自於學校裡的數學教育，這是我們的遺憾。我在中央大學中文系有一位「情同姊弟的師長級朋友」康來新教授。她的尊翁康洪元教授是數學界前輩（他本身也是中央大學的校友），曾任教於台師大和東海大學數學系。康老師提到，她從父親那裡學到關於數學的唯一一件事，就是：

數學沒有標準答案

這真是個了不起的教育。康老教授用來教育少年康老師的例子，我稱之為「康氏家學」，是問：

將一張正方形的紙剪掉一角，還剩幾個角？如果你很聰明地發現了此題的陷阱，而認為「5」

是標準答案，請再想一想。注意，這個問題本身並沒有對「剪」做任何定義，因此還有更多的想像空間。

另一個例子是在網路上流傳的題目：

1, 2, 6, 42, 1806, ???

任何在台灣受過中等教育的人，都看得懂這種沒頭沒腦的問題，就是要「依規則」填入 1806 的下一個數。按國中數學的教導，題目給了一個數列的前五項：a₁  ，1 a₂ 2，a₃ 6，a₄ 42，

，按照數學課的「潛規則」，學生們被期望要根據前五項「看出」它們的規律性，然後按照那個規律算出第六項，也就是。

5 1806

a 

a6

幾乎每一位受過完整大學部數學教育的受試者，都以「秒殺」的速度「解」了此題。大家看出來的規則是：a_n_₁ a_n(a_n 1)，而a₁ 。這是一種數列的「遞迴關係」1 ，得到

。

6 1806 1807

a  

3263442



可是，只要能滿足前五項的規律，都是一個「合法」的規律。誰有權力武斷地說，一個規律是「正確」的，而另一個規律是「錯誤」的呢？就這個問題而言，恰好有另一個頗有趣的規律，也滿足前五項。定義 ( )p n 為：比 n 大的最小質數。例如 (1)p  ，2 p(10)11，p(11)13。現在，很湊巧地， (2)p  ，3 p(6)7，p(42)43。所以，題目中的， …，恰好也滿足這條規律：

a1 a ，₂ a₅

1 ( )

n n

a _ a p a_n

按照這個規律，。所以，這是不是「另一個」答案？

那麼，哪一個才是「標準答案」？

6 1806 (1806)

a  p 1806 1811 3270666 

讀者或許認為，這一題運氣不好，所以有兩個答案。很不幸地，所有這類題目都有無窮多種「合理」的答案。我們在高中一年級學過：（在非退化的情況下）六個點可以決定唯一的五次多項式。令 f x( )c x₅ ⁵c x₄ ⁴c x₃ ³c x₂ ²c x c₁  ，並設定條件 (0)₀ f  ，k f(1) 1 ，f(2) ，2

，，，所得的五次多項式函數是 (3) 6

f  f(4)42 f(5) 1806

5 4

547 407 ( ) 40 120 3 8

k k

f x   x    x



3 2

3781 17 2020 15 3237 137

8 24k x 3 8 k x 10 60 k x k

     

          

如果規定a_n  f n( )，則a₁，a₂，…，a₅都滿足題目的條件，但是a₆  f(6)10302k 3253140 k 

。你可 以用 k 設計任意一個你想要的答案，當然包括「標準」答案在內（取 即可）。這

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組插值多項式的規律完全「合理」，而且任選一個 k 就給你一組答案；就數學而言，沒有一個 規律「優於」另一個規律。

所以，任意一個只給有限幾項而要學生「回答」下一項的問題，都是（在數學上）無聊的。

換個說法，我們可以誇飾地說，只要給足了條件，數學中的任何命題都可能是「正確」的。因為，數學是人的創作，數學的正確性不需外求，不必跟自然或社會現象做比較，只要在定義和公設的條件之下，滿足內部的一致性，就是「正確」的。

到這裡，我們應該已經認識了數學和語言的相似之處。但它們當然有所不同。除了表面上的形式明顯不同以外，最根本的不同在於自然語言順著任意性而流變，但薪火相傳的數學家卻集體抵抗任意性，堅持數學的一致性。

數學的歷時長存

因為語言的任意性是由社會決定的，所以只要獲得社會的支持，自然語言會流變，同一個字詞的用法和意義，可能隨著時代或社會次文化而改變。譬如「乖」是兩個人背對背坐在車上的樣子，以前用在負面的情況，有違背、不和諧的意思。但是，如今它用來讚揚小孩子聽話、體貼父母、不吵鬧。

相對的，數學知識體系卻恆久長存。這當然不是說數學的範圍與體系是固著不變的。數學就像所有知識體系一樣會成長，也曾經因為地域和文化而有不同的典範。但是，發展至今，全世界的數學可以說都統一在希臘的典範之下了。數學也會創新，例如發明了滿足的單位 虛數 i。在數學典範之中，數學的創新都不是破壞性的，而是以最高的優先順序處理舊觀念的 相容性。例如虛數 i 的性質並不破壞任意實數 a 皆須滿足 的固有知識體系，卻是將實數拓展到複數而保留實數的所有性質。我們可以說「數學」是人類社會裡最負起「永續經營」責任的企業；在這 2500 年的歲月裡，我們的每一樣新產品，都保證與所有舊產品是相容的 (backward compatible)。

2 1

i  

2 0

a  z a bi

因為數學對於相容性的堅持，數學定理不隨時間而改變其意義，所以數學常被人認為是一種「真理」。然而，就自然語言的習慣用法而言，定理與真理仍有差異。恆久不變的是數學「定理」，其內涵包括命題中的前提和所有相關概念的定義（除了未定義名詞與公設以外），然而人們口說的「真理」，卻經常不考究其前提與定義，這是危險的。

除了定理和真理之辨，為了再度闡釋數學和科學的相異，我也想談「理論」。以下，我們就簡要比較這三種「理」：

理論 (Theory)、定理 (Theorem)、真理 (Truth)

「理論」是大家熟悉的語詞，凡是經過觀察有限幾個相關的現象，做成一般性的解釋或推論，就是一個理論。例如「氣壓下降就表示會下雨」和「他只有心情不好的時候才喝酒」都是理論。在這個意義之下，人人都知道理論是不準確的，有時候不靈的。所以，當人們說「理論上」（theoretically）的時候，多半意味著，以下的敘述可能是錯的，或者事實上不僅只如此。

數學創造定理，而科學締造理論。定理完全是人的心智創造，用人自己創造的語言，定義了某些觀念，發現了觀念與觀念之間的關係，再以演繹性的「證明」來保證那些關係的正確性。

例如「偶數的平方也是偶數」和「令 a, b, c 為整數，若ab則a  c b c」都是定理。

若說理論都是歸納而得，顯然昧於事實。我們怎能相信，牛頓在他那個滿地泥濘，最平穩的交通工具還是鐵輪馬車的時代，可以只憑觀察而歸納出「慣性定律」（不受力的物體以等速運動）？可見理論也有心智創造的成分，有些人僅憑極少數而且誤差極大的觀察，就靠著想像力而創造出來一套規則或解釋，成為理論。越是被尊為「偉大」的理論，當然需要越不尋常的

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創造力；例如牛頓「力正比於速度的變化率」理論和愛因斯坦的「光速是絕對的，時間和距離反而是相對的」理論，都是經典的偉大理論。

所以理論和定理的差異，並不在於歸納與演繹的兩種思考方式，而是在於客體與主體之分。當探究對象不是人類的創造，例如行星的軌跡、人的生老病死、物種的變異和滅絕、星體的紅位移等等自然科學課題，我們除了觀察以外還能做什麼？這就是說，我們是客體。有些對象雖然是人類造成的，例如朝代的興替、時尚的流變、金融的蓬勃或崩潰等社會科學課題，因為牽涉的人實在太多，多到任何個人都只能身不由己地隨波逐流，既不可能控制也無力影響，

於是也被認為是事件的客體。身為客體，不論有多大的智慧，多高的創造力，也只能獲得理論，

不能產生定理。

只有針對人類自己創造的概念或事物，也就是說，只有當人自己就是主體的時候，才能形成定理。這樣的例子並不算少，所有的藝術，包括建築、雕刻、音樂、繪畫，以及非常重要的——

語言，都是人類的創造。但是，藝術涉及情感，情感受時代和心靈的影響，而這兩者都不是人類本身的創造，所以很難產生定理。至於語言，在其邏輯和哲學的部分，的確有定理可言，但是其隨時代而意義變遷，以及隨著溝通而交互影響的部分，卻又由不得人作主了；這就是語言學最迷人之處。至於文學（包括神話與傳說）、宗教與哲學這三種創造物，我們暫時不討論吧。

現在只剩下兩種可以產生定理的人類創造物了：「數學」和「電腦」。有學者揶揄「計算機科學」（computer science）是一個矛盾辭（oxymoron），因為電腦明明是人的創造，完全聽命於人的規畫，按照電子閘道所形成的電路邏輯而運行，它的行為是完全可掌握的，不需觀察歸納與實驗，何科學之有？

當一個自然現象不符合理論，我們不可能責備大自然 (mother nature) 做錯了。既然不能怪她不守規矩，只好回來修改自己的理論；例如那矛盾於乙太理論的光速實驗，作廢的只能是乙太理論而不是光速絕對的現象。相對的，當一個電腦程式出錯的時候，我們（正常來說）不會怪罪製造硬體的公司，卻會咒罵程式設計師或者出產軟體的公司，便反映了我們對於電腦之內有定理的正確認知。

基於客體和主體的差異，理論的驗證靠的是「證據」(evidence)，而定理則是靠「證明」

(proof)。證據就是更多符合理論以及其推論的事實，經常以精巧設計並嚴格執行的實驗或採集結果提出。而定理所述的每個觀念都是人自己定義的，所以我們完全知道它的性質與意義，因此可以論述其正確性。這種稱為「證明」的論述，成為一種特殊的「文體」；我們將在第 7 章介紹一齣以一篇證明為梗的劇本。

所有的理論都是不能絕對肯定的，只要某天某人發現（並且被專業同儕確認）一個違背理論的證據，那個理論就錯了，即使不被揚棄，也至少得修正。相對的，經過驗證而被專業同儕確認（通常也包括時間的考驗）的定理，是絕對正確的。當有人算出矛盾於定理的答案時，不會懷疑定理而是回頭檢查哪裡算錯了。語言中有說「理論上」的必要，就反應理論可能錯誤的認知。既然定理不會錯，就沒必要說「定理上」（英文根本沒有 theoremically 這個字），只需說「根據定理」就行了。

按照前面的說法，看來定理是絕對正確的，這難道是說數學定理即是「真理」嗎？不是的。

把數學比做「真理」是我最感到毛骨悚然的「恭維」了。

我不知道什麼是「真理」？讓我說明什麼是「定理」。定理是有前提、有假設的，只有在符合前提和假設的條件之下，結論才是絕對正確的；就連這個「正確」都還是以其在數學定義 的意義之下而言，數學命題並不指涉超出定義範圍的所有延伸或影射。例如「令 a,b, c 為整數，

如果則 」這個定理，只保證了當 a, b, c 都是整數，而且 的情況下，

才是正確的。如果你認為當 a, b, c 是分數時也正確，你必須定義在分數之間的 ab

  b

a  c b c ab

a c c  和

分別是什麼意思？然後將整個命題重新證明一遍。命題中的

 和 都有嚴格的數學定義，不

(10)

容隨便引申和解釋。

相對地，人們口中的真理經常不問前提，不討論定義，而認定「不論如何，它一定而且永遠是對的」。我認為，再也沒有任何一種人類的發明，能像「真理」一樣製造那麼多的仇恨，

折磨那麼多的心靈，塗炭那麼多的生命。因此，我個人實在不願意說數學之中有任何的「真理」。結語

有人說數學是科學，前面已經幾度說明：不是。有人說數學是哲學，本章不就此申論，我們將在其他篇章觸及這個議題。有人說數學是藝術，就「創造」的本質而言，確實可以這麼說，這本書也有一些呼應這個說法的篇章，但是在創作的風格和價值觀上，它們倆還是有明顯的區隔。本章闡釋數學和語言有許多共通之處，但又不盡然相同，只是藉由大家比較熟悉的「語言」

來類比於數學。數學有這麼多樣化的類比，再度說明它位居人們各種創作的交集之內。

如果數學是一種語言，而語言差異是文化差異的最明顯標誌之一，我們又在前言中主張數學教育受文化深刻的影響，那麼語言的差異顯然應該深刻地影響數學的教與學。確實如此，而且越貼近日常語言的基礎算術與空間觀念，其影響就越明顯。礙於篇幅與主題的設定，這是本章無法涉及的議題，讀者不妨自己去思考和觀察。

本章提出了字典學習和脈絡學習兩種觀念，雖然兩者各有其優勢，但我們還是偏愛後者。

在後面的十一章裡，各級數學教師將會發現許多可以用於課堂的脈絡性故事或切入點。因為這畢竟不是一本教材教法的參考書，我們不便指出哪個段落可以用在哪個數學主題，但這本書裡真的充滿範例。例如，我們勸大家不要固執於標準答案，並且舉了兩個例子。

以下兩章，我們將介紹兩位傑出的創作者，把數學融入美術和文學作品中的範例。讀者或許要說那是個人天分的成就，但他們的作品畢竟在西方社會已經成為經典，幾乎家喻戶曉，這樣廣泛而深入的接受度與影響力，不能全然解釋為個人才華的魅力，而必須有文化的支持。

延伸閱讀或參考文獻

[1] 林長壽、張海潮、李瑩英、翁秉仁、陳昭地、李錦鎣、柯華葳、張煌熙、陳招池、和林淑君編，《九年一貫數學學習領域課程綱要》，教育部，民 97。

[2] Allan Johnson 著，成令方、林鶴玲、吳嘉苓譯，《見樹又見林》，第二版，學群出版社，

民 92。

[3] 單維彰，一加一為什麼等於二，《科學月刊》數‧生活與學習專欄，民 95 年 3 月。

[4] Lewis Carroll, Through the Looking-Glass, and What Alice Found There, Dover, 1999.