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II. 分 数 的 概 念 及 重 点 分 析
(i) 引 言
虽 然 分 数 的 基 本 概 念 ， 例 如 苹 果 的 一 半 、 蛋 糕 的 一 半 等 ， 低 年 级 学 生 都 能 理 解 ， 但 当 分 数 的 概 念 涉 及 不 同 整 体 的 部 分 及 一 组 对 象 的 部 分 时 ， 学 生 便 不 易 掌 握 。 在 学 习 分 数 之 前 ， 学 生 是 学 习 整 数 的 ， 而 整 数 与 分 数 无 论 在 概 念 及 运 算 上 均 截 然 不 同 ， 这 更 令 学 生 容 易 混 淆 。 同 时 ， 分 数 对 其 后 其 它 课 题 的 学 习 ， 例 如 百 分 数 、 小 数 等 ， 有 极 其 密 切 的 关 连 ， 若 学 生 未 能 对 分 数 的 学 习 奠 下 良 好 的 基 础 ， 肯 定 会 影 响 他 们 对 这 些 课 题 的 学 习 及 其 知 识 的 掌 握 。
(ii) 分 数 的 意 义
分 数 有 多 种 不 同 的 意 义 。 在 小 学 ， 分 数 通 常 解 释 为 整 体 与 部 分 或 两 个 整 数 的 商 。 下 列 为 分 数 的 一 些 解 释 及 记 法 ：
(a) 整 体 与 部 分
这 包 括 以 下 的 两 个 概 念 ： (1)
整 体 与 其 部 分 的 关 系
例 ：
• 若 代 表 一 整 体 ， 下 图 阴 影 部 分 表 示 这 整 体 的 4
3：
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• 若 代 表 一 整 体 ， 下 图 阴 影 部 分 表 示 这 整 体 的 4
1 ： 3
(2)
一 组 对 象 的 部 分
例 ： 下 图 阴 影 部 分 表 示 12 粒 珠 的 43 ：
(b) 两 个 整 数 的 商 分 数 符 号
b
a(b≠ 0)可 解 释 为 a÷b， 即 两 个 整 数 相 除 之 商 。
例 ： 3
6与 2 相 等 及 5
2与 0.4 相 等 。
(iii) 学 生 学 习 分 数 时 所 面 对 的 困 难
毫 无 疑 问 ， 分 数 是 小 学 阶 段 较 难 处 理 的 课 题 之 一 。 原 因 可 归 纳 如 下 ：
(a) 学 生 未 能 掌 握 分 数 不 同 的 解 释 及 记 法
对 小 学 生 而 言 ， 分 数 是 繁 复 及 难 于 理 解 的 。 他 们 通 常 被 分 数 不 同 的 解 释 及 记 法 所 混 淆 ，例 如 ：
2
1可 理 解 为 整 体 的 一 部 分 ，或 当 1÷2 时 的 商 是 0.5 等 。
同 时 ， 2
1可 写 成 6 3，
8 4，
10
5 … … 等 。
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7 (b) 学 生 未 能 清 晰 理 解 整 体 与 部 分 的 关 系
很 多 学 生 未 能 掌 握 等 分 的 概 念 ， 例 如 ： 当 要 求 学 生 将 下 图 分 半 时 ， 他 们 会 作 下 列 的 分 法 ：
同 时 ， 学 生 亦 未 能 清 晰 理 解 整 体 与 部 分 的 关 系 。 例 如 ：
(1) 若 将 当 一 整 体 ，则 下 图 阴 影 的 部 分 应 是 这 整 体 的
4
7而 不 是 8 7，
但 若 将 当 一 整 体 ， 则 阴 影 的 部 分 应
是 这 整 体 的 8 7。
(2) 若 将 下 图 当 一 整 体 ， 则 阴 影 的 部 分 应 是 这 整 体 的 10
3 而 不 是 7 3。
(iv) 介 绍 分 数 概 念 常 用 的 方 法
概 念 的 引 入 是 分 数 学 与 教 重 要 的 一 步 ， 这 一 步 做 得 不 好 会 影 响 到 学 生 对 分 数 概 念 的 理 解 、 认 识 和 掌 握 。 由 于 分 数 的 概 念 十 分 繁 复 及 抽 象 ， 教 师 应 认 真 研 究 各 种 分 数 概 念 的 引 入 方 法 ， 以 便 学 生 对 分 数 获 得 充 分 的 理 解 和 认 识 。 下 面 介 绍 几 种 常 用 的 引 入 分 数 概 念 的 方 法 。
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8 (a) 实 物 教 具
当 向 学 生 初 次 引 入 分 数 的 概 念 时 ， 应 用 具 体 的 实 物 ， 例 如 数 粒 、 积 木 等 ， 藉 以 帮 助 学 生 理 解 整 体 与 部 分 的 概 念 。
例 ：
(1) 如 下 图 所 示 ， 有 4
3的 积 木 是 黑 色 的 ：
(2) 纸 条 的 4
3填 上 颜 色 ：
当 用 实 物 教 具 引 入 分 数 的 概 念 时 ， 应 多 让 学 生 操 作 。 同 时 ， 所 选 的 教 具 应 能 揭 示 所 要 引 进 的 概 念 的 本 质 特 性 ，否 则 学 生 的 注 意 力 会 被 分 散 ，从 而 影 响 施 教 的 效 果 。
(b) 折 纸
通 过 将 纸 对 折 ， 学 生 得 到 2
1的 概 念 。 进 一 步 将 纸 对 折 三 次 ， 学 生 可 将 整 体 分 为 8 等 份 ：
折 纸 是 很 有 趣 的 教 学 活 动 ， 可 加 深 学 生 理 解 整 体 与 部 分 的 关 系 。 但 教 师 需 留 意 其 缺 点 是 较 难 将 纸 折 成 单 数 的 等 份 ， 例 如 3 等 份 、 5 等 份 等 。
(c) 图 形
利 用 图 形 表 示 分 数 是 小 学 常 用 的 方 法 。图 形 是 将 抽 象 的 分 数 概 念 具 体 化 的 一 种 有 效 的 教 具 。 通 过 观 察 图 形 ， 学 生 可 进 行 思 考 、 分 析 、 比 较 ， 累 积 经 验 ， 从 而 能 将 抽 象 的 分 数 概 念 逐 步 形 成 。 有 些 图 形 是 不 易 用 来 介 绍 分 数 的
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概 念 ， 例 如 圆 形 。 学 生 往 往 不 能 掌 握 对 圆 形 分 为 一 半 的 意 义 （ 如 图 一 ） ， 为 加 强 他 们 对 概 念 的 理 解 ， 教 师 可 将 圆 形 纸 对 折 ， 在 学 生 面 前 展 示 如 何 将 圆 形 纸 分 为 若 干 等 份 （ 如 图 二 ） 。
（ 图 一 ） （ 图 二 ）
(v) 教 学 建 议
为 了 帮 助 学 生 理 解 分 数 ， 教 师 在 教 学 时 宜 采 用 不 同 的 方 式 ， 务 求 能 提 供 足 够 机 会 让 学 生 学 习 分 数 的 内 容 ， 兼 且 能 实 践 学 习 及 运 用 知 识 的 方 法 。 教 师 应 让 学 生 有 较 多 机 会 学 习 如 何 观 察 、 分 析 、 理 解 分 数 的 概 念 ， 发 展 他 们 初 步 的 思 维 能 力 ， 为 日 后 学 习 其 它 课 题 ， 例 如 百 分 数 、 小 数 等 奠 定 基 础 。 总 而 言 之 ， 教 师 应 避 免 作 注 入 式 的 讲 述 ， 尽 量 让 学 生 有 机 会 自 己 进 行 探 索 及 发 现 。 对 于 分 数 的 学 与 教 ， 有 下 列 的 建 议 策 略 ：
(a) 将 思 维 过 程 用 数 学 语 言 表 达 出 来
在 讲 解 分 数 的 过 程 中 ， 教 师 应 提 供 机 会 让 学 生 运 用 数 学 语 言 ， 包 括 以 说 、 写 和 图 表 方 式 去 解 释 结 果 、 简 述 解 决 或 探 究 问 题 的 方 法 。 在 引 入 分 数 的 概 念 时 ，教 师 可 让 学 生 将 思 维 过 程 用 分 数 语 言 表 达 出 来 。例 ：教 师 对 学 生 说 ， 将 一 个 蛋 糕 切 为 四 等 份 ，叫 他 取 去 一 份 并 问 他 取 去 整 个 蛋 糕 的 多 少 ？ 若 他 答 ： 「 一 份 」 ， 则 教 师 可 告 诉 他 ： 「 整 个 蛋 糕 分 为 四 等 份 ， 取 去 一 份 ， 即 占 全 体 多 少 ？ 」这 样 ，学 生 觉 察 到 相 对 整 个 蛋 糕 而 言 应 是 四 等 份 中 的 一 份 。 这 时 ， 教 师 可 教 导 学 生 用 分 数 的 语 言 「 四 分 之 一 」 读 出 来 。 用 同 一 方 式 ， 教 师 可 引 导 学 生 了 解 剩 余 的 蛋 糕 占 整 体 的 多 少 ， 并 用 分 数 的 语 言 读 出 来 。
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在 整 个 教 学 过 程 中 ，教 师 让 学 生 用 分 数 的 语 言 将 思 考 过 程 表 达 出 来 ，这 样 ， 学 生 透 过 运 用 数 学 语 言 ， 了 解 和 思 考 某 些 经 验 ， 将 知 识 组 织 和 重 组 ， 从 而 归 纳 出 一 些 模 式 和 意 念 ， 同 时 亦 纠 正 对 分 数 的 一 些 误 解 。
(b) 利 用 各 种 图 形 增 强 学 生 对 整 体 与 部 分 关 系 的 理 解
由 于 学 生 的 学 习 经 历 有 限 ， 在 设 计 分 数 的 教 学 材 料 时 ， 教 师 应 以 学 生 为 中 心 ， 所 用 的 教 材 宜 将 学 生 的 已 有 知 识 及 经 验 联 系 起 来 ， 使 学 生 能 易 于 掌 握 分 数 的 概 念 及 运 算 的 法 则 ，并 帮 助 他 们 从 具 体 事 例 逐 步 过 渡 至 抽 象 思 维 的 阶 段 。 为 加 强 学 生 对 整 体 与 部 分 关 系 的 理 解 ， 教 师 可 设 计 适 当 的 图 形 引 导 学 生 并 应 让 学 生 理 解 等 分 的 重 要 性 。 为 引 起 学 生 的 学 习 分 数 的 兴 趣 ， 教 师 可 用 不 同 种 类 的 图 形 ， 如 ：
学 生 对 掌 握 整 体 与 部 分 的 关 系 往 往 感 到 十 分 困 难 ，教 师 可 透 过 不 同 类 型 的 活 动 ， 由 浅 入 深 ， 让 学 生 理 解 整 体 与 部 分 、 部 分 与 整 体 的 关 系 。 下 面 为 一 些 建 议 的 例 子 ：
y 若 为 一 整 体 ， 试 用 分 数 表 示 以 下 图 形 中 阴 影 的 部 分 。
y 若 为 一 整 体 ， 试 用 分 数 表 示 以 下 图 形 中 阴 影 的 部 分 。
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y 若 为 一 整 体 ， 试 用 分 数 表 示 以 下 图 形 中 阴 影 的 部 分 。
y
y
4 1
5 3
左 图 阴 影 部 分 占 整 体 的 几 分 之 几 ？
图 中 的 黑 点 占 整 体 的 几 分 之 几 ？ 白 点 占 整 体 的 几 分 之 几 ？
3 2 y
y
y
左 图 只 画 出 了 整 个 图 形 的 4
1，把 余 下 的 图 形 画 上 。
左 图 只 画 出 了 整 个 图 形 的 5
3，把 余 下 的 图 形 画 上 。
如 左 图 为 一 整 体 ， 涂 出 阴 影 部 分 以 表 示
3 2。
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y 依 所 给 分 数 把 图 形 适 当 的 部 分 填 上 颜 色 ：
y y
y
图 中 苹 果 的 数 目 占 整 袋 苹 果 数 目 的 3
2， 试 画 出 袋 内 其 余 的 苹 果 。
1. 图 中 A、B 和 C 作 为 一 个 整 体 时 ： (a) A 占 整 体 的 几 分 之 几 ？ (b) B 占 整 体 的 几 分 之 几 ？ (c) C 占 整 体 的 几 分 之 几 ？ 2. 图 中 若 以 不 同 部 分 作 为 整 体 时 ：
(a) A 占 B 的 几 分 之 几 ？ (b) A 占 C 的 几 分 之 几 ？ (c) B 占 C 的 几 分 之 几 ？
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(c) 增 强 学 生 对 扩 分 、 约 分 概 念 的 理 解 和 认 识 学 生 对 扩 分 、 约 分 ， 例 如 ：
2 1＝
4 2＝
8 4；
6 4＝
3 2及
20 8 ＝
10 4 ＝
52 等 的 学 习 通 常 都 感 到 困 难 ， 教 师 可 尝 试 用 下 列 的 方 法 引 导 学 生 对 扩 分 、 约 分 的 理 解 和 认 识 ：
(1) 利 用 图 表 ：
教 师 可 利 用 以 下 图 表 与 学 生 讨 论 扩 分 与 约 分 的 关 系 。
(2) 将 图 形 灵 活 地 重 组：
以 分 数 表 示 着 色 部 分 占 整 体 的 几 分 之 几 。
6 4＝
3 2
