E70103
【範例】：草履蟲每 6 小時會自身分裂來進行繁殖，下表是草履蟲繁殖 36 小時的紀錄情形。
請問 36 小時後草履蟲的繁殖數量為多少隻？
時間 0 6 小時 12 小時 18 小時 24 小時 30 小時 36 小時 草履蟲數量 1 2 2 × 2 4 × 2 8 × 2 16 × 2 ？
解 ：
我們可以使用乘法簡記：
2 × 2 ＝ 2 2
4 × 2 ＝ 2 × 2 × 2 ＝ 2 3 8 × 2 ＝ 2 × 2 × 2 × 2 ＝ 2 4 16 × 2 ＝ 2 4 × 2 ＝ 2 5
32 × 2 ＝ 2 5 × 2 ＝ 2 6 ∴ 答：有 2 6 隻。
乘方(次方)的意義：
同一個數的本身連乘若干次叫做「自乘」，所得到的積叫做此數的乘方(或次方)。
【範例】：
3 2
×3 2
×3 2
×3 2
×3 2
＝ (3
2
) 5 ＝243
32
。【範例】： (－3) × (－3) × (－3) × (－3) ＝(－3) 4 ＝ 81。
【範例】： (－5) × (－5) × (－5) ＝ (－5) 3 ＝－125。
【範例】： (－
3
2
) × (－3
2
) × (－3
2
) ＝ (－3
2
) 3 ＝－3 3 3
2 2 2
´
´
´
´
＝－27 8
。【範例】： (0.1) × (0.1) × (0.1) ＝ (0.1) 3 ＝ 0.001。
【範例】： (－1.1) × (－1.1) × (－1.1) ＝ (－1.1) 3 ＝－1.331。
乘方(次方)的讀法：
一般來說，將一個數 a 連乘 n 次所得的積記為 a n ，讀作「a 的 n 次方」，我們 稱 a 為乘方(或次方)的底數(或簡稱底)，n 為指數。
【範例】： 2 6 讀作：「2 的 6 次方」。
【範例】：(－5) 3 讀作：「負 5 的 3 次方」。
【範例】：(－
3
2
) 3 讀作：「負三分之二的 3 次方」。E70103
指數律運算規則：
若 m、n 都是正整數(或 0)，且 m ³ n、a≠0，則：
1. a m × a n ＝ a m + n 2. a m ÷ a n ＝ a m - n
【範例】： (
3 2
) 3 ×(3
2
) 2 ＝(3 2
×3 2
×3 2
)×(3 2
×3 2
)＝(3
2
) 5 ＝(3
2
) 3 + 2 。【範例】： (－5) 3 ×(－5)＝(－5)×(－5)×(－5)×(－5)＝(－5) 4 ＝(－5) 3 + 1 。
【範例】：(5) 3 ÷(5) 2 ＝
5 5
5 5 5
´
´
´
＝ 5 ＝5 3 - 2 。【範例】：(－1.1) 4 ÷(－1.1) 2 ＝(－1.1) 4 - 2 ＝(－1.1) 2 ＝1.21。
附註：(7) 3 ÷(7) 3 ＝
7 7 7
7 7 7
´
´
´
´
＝ 1 ＝(7) 3 - 3 ＝7 0 ，因此我們規定 a 0 ＝1。由於 a 0 的規定是依據兩個數相除得來的，而除數不能為 0，所以 a 必須不為 0，
因此，對任意不為 0 的數 a，我們規定 a 0 ＝1。
【範例】： (－5) 0 ＝1。
【範例】： (－5) 0 ×(－3.25) 0 ×(－7) 3 ＝1×1×(－343)＝－343。
若 m、n 都是正整數(或 0)，且 b≠0、a≠0，則：
3. a - n ＝
a
n1
(因為a
n1
＝a 0 ÷ a n ＝ 1 ÷ a n ＝ a 0 - n ＝a - n ) 4. (a m ) n ＝ a m ´ n5. (a × b ) m = a m × b m
【範例】： (6 3 ) 2 ＝(6×6×6)×(6×6×6)＝6 6 ＝6 3 ´ 2 。
【範例】： [(－5) 3 ] 2 ＝[(－5)×(－5)×(－5)] ×[(－5)×(－5)×(－5)]
＝(－5) 6 ＝(－5) 3 ´ 2 。
【範例】： (6 - 3 ) 2 ＝( 3
6
1
) 2 ＝ 36
1
× 36
1
＝ 3 3 6 61
´ ＝ 6
6
1
＝6 - 6 。【範例】： (4 5 ) - 2 ＝ 5 2 ) 4 (
1 ＝ 10
4
1
＝4 - 10 。E70103
【範例】：[(－5)×2] 3 ＝[(－5)×2]×[(－5)×2]×[(－5)×2]
＝(－5)×(－5)×(－5)×2×2×2
＝(－5) 3 ×2 3 。
【範例】：(－2) 3 ×6 2 ×(－2) 5 ×6 - 4 ＝(－2) 3 ×(－2) 5 ×6 2 ×6 - 4
＝(－2) 8 ×6 - 2
＝(－2) 8 ×(2×3) - 2
＝2 8 ×2 - 2 ×3 - 2
＝ 2
6
3 2
有關乘方(或次方)正負數的判別：
【範例】： 比較看看下列各乘方的解：
(－2) 2 、(－2) 3 、(－2) 4 、(－2) 5 、(－2) 6 、(－2) 7 。 解 ： (－2) 2 ＝(－2)．(－2)＝4。
(－2) 3 ＝(－2)．(－2)．(－2)＝－8。
(－2) 4 ＝(－2)．(－2)．(－2)．(－2)＝16。
(－2) 5 ＝(－2)．(－2)．(－2)．(－2)．(－2)＝－32。
(－2) 6 ＝(－2)．(－2)．(－2)．(－2)．(－2)．(－2)＝64。
(－2) 7 ＝(－2)．(－2)．(－2)．(－2)．(－2)．(－2)．(－2)＝－128。
所以，由上面的例子可得知：(－a) n ，a＞0 且 n＞0 則 1. 若 n 為偶數，則(－a) n ＞0。
2. 若 n 為奇數，則(－a) n ＜0。
有關指數律運算的應用：
【範例】： 比較看看(－2) 4 和－2 4 是否相等？
解 ： (－2) 4 ＝(－2)．(－2)．(－2)．(－2)＝16，
但－2 4 ＝－(2) 4 ＝－(2．2．2．2)＝－16。
所以(－2) 4 和－2 4 是不相等的。
答：(－2) 4 ≠－2 4 。
備註：在此範例中－(2 4 )和－2 4 試相等的，所以－2 4 ＝－(2 4 )＝－16。
【範例】： 下列各題何者為正、何者為負？
(1) (－3) 100 (2) (－
3
2
) 99 (3) (－99) 0 (4) －(5 1
) 98 解 ： 為正的是：(1) (－3) 100 、(－99) 0 。 ∵(－99) 0 ＝1。為負的是：(2) (－
3
2
) 99 、(4) －(5
1
) 98 。E70103
【範例】： 請求出下列各題的解：
(1) 2 × 7 3 ÷ 5 6 3 (2) 3 × 10 5 × 11 11 ÷15 7 7 解 ： (1) 2 × 7 3 ÷ 5 6 ＝( 3 2 × 4 2 )×( 3 3 × 2 3 )÷ 3 6 3
＝( 2 × 4 3 )×( 2 2 × 3 3 )÷ 3 6 3
＝( 2 × 4 3 )× 2 6 ÷ 3 6 3
＝ 2 × 4 3 2
(2) 3 × 10 5 × 11 11 ÷15 7 7 ＝( 3 × 7 5 )× 7 3 × 3 5 × 4 11 ÷ 7 15 7
＝ 15 × 7 3 × 3 5 × 4 11 ÷ 7 15 7
＝ 3 × 3 5 × 4 11 7
答：(1) 2 × 7 3 ÷ 5 6 ＝ 3 2 × 4 3 。 2 (2) 3 × 10 5 × 11 11 ÷15 7 7 。
底數為分數的運算：
【範例】：請求出下列各題的解：
(1) (－
3 4
) 3 ×(2
3
) 2 (2)8 3
÷(2 1
) 4解 ：(1) (－
3 4
) 3 ×(2
3
) 2 ＝－( 33
3
4 )×( 2
2
2
3 )＝－ 3 2
2 3
2 3
3 4
´
´ ＝－
3 16
(2)
8 3
÷(2 1
) 4 ＝8 3
÷ 42 1
＝8
3
×2 4 ＝6【範例】：請求出下列各題的解：
(1) (－
2 1
) 4 ×(3 4
) 2 ÷(5
3
) 2 (2) [(2 1
) 2 ] 4解 ：(1) (－
2 1
) 4 ×(3 4
) 2 ÷(5
3
) 2 ＝ 42
1
× 22
3 4 × 2
2
3
5 ＝ 2 2
2
3 3
5
´ ＝ 4
2
3 5
(2) [(
2
1
) 2 ] 4 ＝(2
1
) 8 ＝ 82
1
指數比大小：
【範例】：試比較 2 、 24 3 、 16 10 的大小關係？ 8 解 ：因為 2 ＝24
( )
2 3 8 ＝ 8 83 ＝16
( )
3 2 8 ＝ 9 810 8
8 ＜ 8 9 ＜ 8 10 8 所以 2 ＜ 24 3 ＜ 16 108
E70103
【範例】：試比較 2 、 55 3 、 44 4 的大小關係？ 33 解 ：因為 2 ＝55
( )
2 5 11 ＝ 32 113 ＝44
( )
3 4 11 ＝ 81 114 ＝33
( )
4 3 11 ＝ 64 1132 ＜ 11 64 ＜ 11 81 11 所以 2 ＜ 55 4 ＜ 33 3 44
【範例】：試比較 2 - 24 、 3 - 16 、 10 - 8 的大小關係？
解 ：因為 2 - 24 ＝ 24
2
1
＝( )
2 3 81 ＝ 8
8
1
3 - 16 ＝ 16
3
1
＝( )
3 2 81 ＝ 8
9
1
10 - 8 ＝ 8
10
1
10
81
＜ 89
1
＜ 88
1
所以 10 - 8 ＜ 3 - 16 ＜ 2 - 24
【範例】：試比較- 4 、- 44 2 、- 66 3 的大小關係？ 55 解 ：先比較 4 、 44 2 、 66 3 55
因為 4 ＝44
( )
4 4 11 ＝ 256 112 ＝66
( )
2 6 11 ＝ 64 113 ＝55
( )
3 5 11 ＝ 243 1164 ＜ 11 243 ＜ 11 256 11 所以 2 ＜ 66 3 ＜ 55 4 44 即- 2 ＞- 66 3 ＞- 55 4 44
【範例】：試比較
24
2 1 ÷
ø ç ö è
æ
、16
3 1 ÷
ø ç ö è
æ
、8
10 1 ÷
ø ç ö è
æ
的大小關係？解 ：因為
24
2 1 ÷
ø ç ö è
æ
＝3 8
2 1
ú ú û ù ê ê ë é
÷ ø ç ö è
æ
＝8
8 1 ÷
ø ç ö è æ
16
3 1 ÷
ø ç ö è
æ
＝2 8
3 1
ú ú û ù ê ê ë é
÷ ø ç ö è
æ
＝8
9 1 ÷
ø ç ö è æ
8
10 1 ÷
ø ç ö è
æ
＜8
9 1 ÷
ø ç ö è
æ
＜8
8 1 ÷
ø ç ö è æ
所以
8
10 1 ÷
ø ç ö è
æ
＜16
3 1 ÷
ø ç ö è
æ
＜24
2 1 ÷
ø
ç ö
è
æ
E70103
【範例】 ：比較各數的大小 2 20 、4 12 、8 6 。
解 ：2 20 、4 12 ＝(2 2 ) 12 ＝2 24 、8 6 ＝(2 3 ) 6 ＝2 18 故 8 6 < 2 20 < 4 12 。
【範例】：比較各數的大小 3 5 、9 4 、27 2 。 解 ：3 5 、9 4 ＝(3 2 ) 4 ＝3 8 、27 2 ＝(3 3 ) 2 ＝3 6
故 3 5 < 27 2 < 9 4 。
【範例】：比較各數的大小 2 - 20 、4 - 12 、8 - 6 。 解 ：2 - 20 ＝ 20
2
1
、4 - 12 ＝(2 2 ) - 12 ＝2 - 24 ＝ 242
1
、8 - 6 ＝(2 3 ) - 6 ＝2 - 18 ＝ 182
1
故 4 - 12 < 2 - 20 < 8 - 6 。
【範例】：比較各數的大小 -3 5 、-9 4 、-27 2 。
解 ：-3 5 、-9 4 ＝-(3 2 ) 4 ＝-3 8 、-27 2 ＝-(3 3 ) 2 ＝-3 6 故 -9 4 < -27 2 < -3 5 。
方法 3： 1 < a，且 m < n ， 則 a m < a n 。 0 < a < 1，且 m < n ， 則 a n < a m 。
【範例】：比較各數的大小 (
2
5
) 5 、(2
5
) 4 、(2 5
) 3 解 ：(2
5
) 3 < (2
1
) 4 < (2 5
) 5【範例】：比較各數的大小 (-
2
5
) 5 、(-2
5
) 4 、(-2
5
) 3 、(-2 5
) 2 解 ：(-2
5
) 5 = - (2
5
) 5 ， (-2
5
) 3 = - (2
5
) 3 ，(-2 5
) 4 =(2
5
) 4 ， (-2
5
) 2 = (2 5
) 2 - (2
5
) 5 < - (2
5
) 3 < 0 < (2
5
) 2 < (2 5
) 4 故 (-2
5
) 5 < (-2
5
) 3 < (-2
5
) 2 < (-2 5
) 4【範例】：比較各數的大小 (
2
1
) 5 、(2
1
) 4 、(2 1
) 3 解 ：(2
1
) 5 < (2
1
) 4 < (2
1
) 3E70103
【範例】：比較各數的大小 (-
2
1
) 5 、(-2
1
) 4 、(-2
1
) 3 、(-2 1
) 2 解 ：(-2
1
) 5 = - (2
1
) 5 ， (-2
1
) 3 = - (2
1
) 3 ， (-2
1
) 4 = (2
1
) 4 ， (-2
1
) 2 = (2 1
) 2 - (2
1
) 3 < - (2
1
) 5 < 0 < (2
1
) 4 < (2 1
) 2 ， 故 (-2
1
) 3 < (-2
1
) 5 < (-2
1
) 4 < (-2 1
) 2【範例】：比較各數的大小 (-
100
99
) 5 、(-100
99
) 4 、(-100
99
) 3 、(-100
99
) 2 解 ：(-100
99
) 5 = - (100
99
) 5 ， (-100
99
) 3 = - (100
99
) 3 (-100
99
) 4 = (100
99
) 4 ， (-100
99
) 2 =(100 99
) 2 - (100
99
) 3 <- (100
99
) 5 < 0 < (100
99
) 4 < (100
99
) 2 ， 故 (-100
99
) 3 < (-100
99
) 5 < (-100
99
) 4 < (-100
99
) 2【範例】：比較各數的大小 21 20 、22 21 、22 20 解 ：21 20 < 22 20 ，
22 20 < 22 21
故 21 20 < 22 20 < 22 21 。
【範例】：已知-
a
n = 2 、a
-m = 3 、b
n = 5 、1 6 - =
b
m ，計算下列各式的值：(1) -
a
2 n = ？ (2) 2a
3 n = ？ (3)a
- n 4 = ？(4)
( ) a 2n 3 = ？ (5) a
n +m = ？ (6) 9 ( ab
) 2 m -n = ？
(7) ÷ ÷ = ø ö ç ç è æ n
b a
2？ (8)
( ) b 3 n = ？ (9) - ( ) b 3 n = ？
解 ：因為-
a
n = 2 ，所以a
n = - 2因為
a
-m = 3 ，所以1 3
m
=
a
，所以3
= 1 a
m因為
1 6 - =
b
m ，所以b
m = - 6(1) -
a
2 n = - (a
2n ) = - (a
n ´ 2 ) = - [(a
n ) 2 ] = - [( - 2 ) 2 ] = - ) ( 4 = -4 (2) 2a
3 n = 2 (a
3n ) = 2 (a
n ´ 3 ) = 2 [(a
n ) 3 ] = 2 [( - 2 ) 3 ] = 2 ( - ) 8 = -16E70103
(3)
a
- n 4 = n= a
41 ÷ =
ø ç ö è æ 1
4a
n÷ =
ø ç ö è æ
-
4
2 1
16 1
(4)
( ) a 2n 3 = ( ) a n ´ 2 3 = [
( a
n ) 2 ]
3 = ( a
n ) 6 = ( - 2 ) 6 = 64
[
(a
n ) 2]
3 = (a
n ) 6 = ( - 2 ) 6 = 64(5)
a
n +m =a
n ´a
m = (-2)×3 1
=3 - 2
(6) 9 (
ab
) 2 m -n = 9 (a
2 m - n ´b
2 m - n ) = 9 ( ´ ) =2 2
n m n
m
b b a
a
9( )
5 6 2
3 1
2 2
´ - -
÷ ø ç ö è æ
´ =
5 - 18
(7) ÷ ÷ = ø ö ç ç è æ n
b
a
2( )
n =
n
b
a
2( )
- = 5
2 2
5 4
(8)
( ) b 3 n = ( ) b n 3 = ( ) 5
3 =
125
(9) - ( ) b 3 n = - ( ) b n 3 = - ( ) 5
3 =
-125
( ) 5
3=
125 (9) -( ) b 3 n = - ( ) b n 3 = - ( ) 5
3 =
-125
- ( ) 5
3=
-125E70103
【例題 1】 【例題 2】
求(－
5
3
) 3 的値。解：(－
5
3
) 3 ＝－125 27
求(－
3
2
) 4 的値。解：(－
3 2
) 4 ＝81 16
【例題 3】 【例題 4】
請問下列空格的數為何：
(1) 2 5 × 2 3 ＝ 2 □
(2)(－3 3 ) × (－3) 6 ＝ (－3) □ 答：(1) □＝8 (2) □＝9
請問下列空格的數為何：
(1) 2 6 ÷ 2 3 ＝ 2 □ (2) 5 7 ÷ 5 4 ＝ 5 □
答：(1) □＝3 (2) □＝3
【例題 5】 【例題 6】
(1)計算(－
7
2
) 3 的値。(2)計算 3
3
7
2 的値。
答：(1) －
343
8
。 (2)343
8
。(1)計算(－
7
2
) 2 的値。(2)計算(－
4
7
) 3 的値。答： (1)
49
4
。 (2) －64 343
。【例題 7】 【例題 8】
計算下列各式的値：
(1) (
5
3
) 3 × (5 3
) 2 ＝ (2) (13) 10 ÷ (13) 8 ＝答：(1)
3125
243
。 (2) 169 。計算下列各式的値：
(1) (－5) 3 × 5 2 ＝ (2) (1.5) 19 ÷ (1.5) 17 ＝
答：(1) －3125 。 (2) 2.25 。
E70103
【例題 9】 【例題 10】
求(－
3
2
) 3 × 3 2 × (－2
1
) 4 的値。答：－
6 1
。求(－
2 1 1
) 2 ×5
2
÷ (－5
2 2
)的値。答：－
8 3
。【例題 11】 【例題 12】
以下□都代表正數，請求出下列□中 的數為何：
(1) 5 4 ＝ □ 2 ，則□＝ 。 (2) 3 6 ＝ □ 3 ，則□＝ 。 (3) 16 4 ＝ □ 8 ，則□＝ 。
答：(1) □＝25 (2) □＝9 (3) □＝4
以下□、○都代表正數，請求出下列
□ 、○中的數為何：
(1) 2 12 ＝ 4 □ ＝ 8 ○ ，
則□＝ ，○＝ 。
(2) 81 ＝ □ 2 ，＝ ○ 4 ，
則□＝ ，○＝ 。
(3) 10 6 ＝ 100 □ ＝ 1000 ○ ，
則□＝ ，○＝ 。
答：(1) □＝6，○＝4。
(2) □＝9，○＝3。
(3) □＝3，○＝2。
【例題 13】 【例題 14】
求下列各式的値：
(1) (－1) 10 × (－1) 21 × 100 0 ＝？
(2) (－2) 4 × (－3 2 ) × 5 2 ÷ 2 2 ＝？
(3) |(3－9) 2 ÷ (7－10)|＝？
答：(1) －1 (2) －900 (3) 12
求下列各式的値：
(1) (15－22) 3 ÷(9－16) 2 × 99 0 ＝？
(2) (100－99) 100 ÷ (299－300) 201 ＝？
(3) －(－1) 3 －[(－1) 3 ] 4 ＝？
答：(1) －7 (2) －1 (3) 0
E70103
【例題 15】 【例題 16】
求下列各式的値：
(1) 2 7 ´ 3 5 ¸ 6 3
(2) 3 10 ´ 5 11 ´ 11 7 ¸ 15 7 解：
(1) 原式＝( 2 × 4 2 )×( 3 3 × 2 3 )÷ 3 6 3
＝( 2 × 4 3 )×( 2 2 × 3 3 )÷ 3 6 3
＝( 2 × 4 3 )× 2 6 ÷ 3 6 ＝ 3 2 × 4 3 2 (2) 原式＝( 3 × 7 5 )× 7 3 × 3 5 × 4 11 ÷ 7 15 7
＝ 15 × 7 3 × 3 5 × 4 11 ÷ 7 15 7
＝ 3 × 3 5 × 4 11 7 答：(1) 2 × 7 3 ÷ 5 6 ＝ 3 2 × 4 3 2
(2) 3 × 10 5 × 11 11 ÷15 7 7
求下列各式的値：
(1) 6 10 ´ 3 5 ¸ 9 5
(2) 8 10 ´ 2 11 ´ 128 7 ¸ 2 30 解：
(1) 原式＝
( 2 ´ 3 )
10´ 3
5¸ 3
10＝ 2 10 ´ 3 10 ´ 3 5 ¸ 3 10
＝ 2 ´ 10 3 5
(3) 原式＝ 2 30 ´ 2 11 ´ 2 49 ¸ 2 30
＝ 2 60
【例題 17】 【例題 18】
比較下列各數的大小：
(1) 2 24 、3 16 、10 8 (2) 2 20 、4 12 、8 6
(3) (－0.3) 2 、(－0.3) 3 、(－0.3) 4 答：
(1) ∵ 2 24 ＝8 8 、3 16 ＝9 8 、10 8
∴ 10 8 ＞3 16 ＞2 24 (2) ∵ 4 12 ＝2 24 、8 6 ＝2 18
∴4 12 ＞2 20 ＞8 6
(3) (－0.3) 2 ＞(－0.3) 4 ＞(－0.3) 3
比較下列各數的大小：
(1) 3 5 、9 4 、27 2 (2) 2 55 、3 44 、4 33
(3) (－1.5) 3 、(－1.5) 4 、(－1.5) 5 答：(1) ∵ 9 4 ＝3 8 、27 2 ＝3 6
∴ 9 4 ＞27 2 ＞3 5
(2) ∵ 2 55 ＝8 11 、3 44 ＝81 11 、4 33 ＝64 11
∴ 3 44 ＞4 33 ＞2 55
(3) (－1.5) 4 ＞(－1.5) 3 ＞(－1.5) 5
【例題 19】 【例題 20】
比較下列各數的大小：
(－
5
4
)、(－5
4
) 2 、(－5
4
) 3 、(－5 4
) 4 答：(－
5
4
) 2 ＞(－5
4
) 4 ＞(－5
4
) 3 ＞(－5 4
)比較下列各數的大小：
(－
3
5
)、(－3
5
) 2 、(－3
5
) 3 、(－3 5
) 4 答：(－
