E70204
數線的作法：
數線的構成三要素：原點、方向、單位長。
1.首先畫一直線，在線上任取一點作為「原點」，標示為 0。
2.習慣上右邊的方向為此數線的「正向」，並標上箭頭表示。
3.在數線上由原點依「相同的間隔」，依序向右標示 1，2，3，4，…等，向左 標示-1，-2，-3，-4，…等，此「相同的間隔」即為單位長。
4.數線上每一個點所代表之數，稱為該點的坐標。
直線座標系：
數線上的任意一點，都有一個數來表示它的位置，也就是說數線上的每一個點，
都有一個座標。所以，數線也可以稱為直線座標系。
注意：如果數線上，它的位置用 a 來表示，可以說 P 點的座標為 a，為了表示 它的位置，可以將 P 點記為 P(a)。
【範例】：如下圖中，A 點所代表的數為－
2
2 1 ，則 A 點坐標，記為 A(－
2 2 1 )。
【範例】：寫出下列數線中 A B C 的座標。
解 : A 的座標為－1.5、B 的座標為 2、D 的座標為－3.5、
【範例】：在下列數線上標出 A(－2.5)、B(3)、C(1 5
1 )、D(－3)、E(－1.25)的點座標。
解 : 如下圖所示
0 1 2 3 4 -1
-2 -3 -4
A B
C
0 1 2 3
1
2
3
0 1 2 3
1
2
3
A 原點
0 1 2 3
1
2
3
A C B
D E
E70204
【例題 1】
在下列數線上標出 A(－2.5)、B(1.5)、C(2 5
1 )、D(－2)、E(0.25)的點座標。
【例題 2】
在下列數線上標出 A(3.25)、B(－3)、C(0.5)、D(－0.5)、E(－2)的點座標。
【例題 3】
(1) 試作一條數線，並在數線上標出 A(－4)、B(－3.2)、C(2 2
1 )、D(－1)、
E(1 5
1 )五點的點座標。
(2) 試比較 A(－4)、B(－3.2)、C(2 2
1 )、D(－1)、E(－1 5
1 )五點的大小。
答：
【例題 4】
(1) 試作一條數線，並在數線上標出 A(－5)、B(－1.3)、C(1 3
1 )、D(－5.2)、
E(－1 5
1 )五點的點座標。
(2) 試比較 A(－5)、B(－1.3)、C(1 3
1 )、D(3.2)、E(-2 5
1 )五點的大小。
答：
E70204
平面座標系(直角座標系)：
平面座標系是由一條水平的數線(x 軸)與一條鉛直的數線( y 軸)所構成，x 軸向右為正、
向左為負，y 軸向上為正、向下為負，x 軸與 y 軸的交點 O 稱為原點(如圖)。
x 軸：水平的數線叫做 x 軸或橫軸。
y軸：鉛直的數線叫做y軸或縱軸。
原點： x 軸與y軸的交點稱為此座標平面的原點，通常以英文字母O來表示，
或O(0，0)來表示。
座標：從原點出發，沿 x 軸走 a 單位，再朝著平行y軸的方向走b單位，就到達 P 點，
P 點的位置叫做 P( a ，b)，其中第一個數 a 就叫做 P 點的 x 座標，第二個數b就 叫做 P 點的 y座標。
平面上點的座標表示法：
有序數對( a ，b)稱為 P 點的座標，則記為 P( a ，b)，
其中 a 稱為 P 的 x 座標(或橫座標)、b稱為 P 的 y座 標(或縱座標)，原點O的座標為(0，0)。如右圖所示：
注意：在此所謂的有序數對指的是(－2，3)跟(3，－2)所表示的是不同的點。
【範例】：在直角座標平面上標出 A(2，0)、B(0，3)、C(－4，0)、D(0，－2)各點。
解 ：如圖所示，
A(2，0)的座摽是從原點開始， x 軸正向 2 個單位長、 y軸座標為 0。
B(0，3)的座摽是從原點開始，y軸正向 3 個單位長、 x 軸座標為 0。
C(－4，0)的座摽是從原點開始， x 軸負向 4 個單位長、 y軸座標為 0。
D(0，－2)的座摽是從原點開始，y軸負向 2 個單位長、 x 軸座標為 0。
x y
o
a b P(a，b)
x y
o
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x 軸上的點座標為( a ，0)，y軸上的點座標為(0，b)。
【範例】：在直角座標平面上標出 A(2，3)、B(3，2)各點。
解 ：
A(2，3)的座摽是從原點開始， x 軸正向 2 個單位長、 y軸正向 3 個單位長。
B(3，2)的座摽是從原點開始， x 軸正向 3 個單位長、 y軸正向 2 個單位長。
其中 A(2，3)與 B(3，2) 是不同的點，如下圖所示。
【範例】：在直角座標平面上標出 C(－4，2)、D(2，－4)各點。
解 ：
C(－4，2)的座摽是從原點開始， x 軸負向 4 個單位長、y軸正向 2 個單位長。
D(2，－4)的座摽是從原點開始， x 軸正向 2 個單位長、y軸負向 4 個單位長。
C(－4，2)與 D(2，－4)是不同的點，如下圖所示。
x y
o A B
C
D
x y
o
A(2，3)
B(3，2)
x y
o
C(-4，2)
D(2，-4)
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【範例】：寫出右圖中 ABCD 四個點的座標為多少？
解 ：A 點座標＝(－4， 2)；
B 點座標＝( 3， 4)；
C 點座標＝(－2，－1)；
D 點座標＝( 2，－2)。
【範例】：在座標平面上標出下列各點：A(－2，4)、B(1，－3)、C(3，－2) 解 ：如圖所示，
A(－2，4)的座摽是從原點開始， x 軸負向 2 個單位長、y軸正向 4 個單位長。
B(1，－3)的座摽是從原點開始， x 軸正向 1 個單位長、y軸負向 3 個單位長。
C(3，－2)的座摽是從原點開始， x 軸正向 3 個單位長、y軸負向 2 個單位長。
直角座標平面上的象限：
座標平面是由 x 軸與y軸分割成四個象限，從右上角開始，依逆時針方向的順序，
稱為第一象限、第二象限、第三象限、第四象限(如右圖)，
第一象限座標( a ，b)，其中 a ＞0、b＞0。
第二象限座標( a ，b)，其中 a ＜0、b＞0。
第三象限座標( a ，b)，其中 a ＜0、b＜0。
第四象限座標( a ，b)，其中 a ＞0、b＜0。
注意： x 軸與y軸上的點不屬於任何一個象限， x 軸上的點座標為( a ，0)，y軸上的 點座標為(0，b)。
第二象限
第三象限 第四象限 第ㄧ象限
x y
o
x y
o A
B
C -1 1 2 D
x y
o A(－2，4)
B(1，－3) C(3，－2)
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【範例】：圗中的 A(3，4)， x 軸座標為正、y軸座標為正，所以 A(3，4)落在 第一象限上，如下圖所示。
【範例】：圗中的 B(－3，4)， x 軸座標為負、y軸座標為正，所以 B(－3，4)落在 第二象限上，如下圖所示。
【範例】：圗中的 C(－3，－4)， x 軸座標為負、y軸座標為負，所以 C(－3，－4) 落在第三象限上，如下圖所示。
【範例】：圗中的 D(3，－4)， x 軸座標為正、y軸座標為負，所以 D(3，－4)落在 第四象限上，如下圖所示。
第二象限
第三象限 第四象限 第ㄧ象限
x y
o
A(3，4)
第二象限
第三象限 第四象限 第ㄧ象限
x y
o B(－3，4)
第二象限
第三象限 第四象限 第ㄧ象限
x y
o
C(－3，－4)
第二象限
第三象限 第四象限 第ㄧ象限
x y
o
D(3，－4)
E70204
【範例】：圗中的 A(3，0)， y軸座標為 0 落在 x 軸上；B(0，4)， x 軸座標為 0 落 在y軸上，所以 A(3，0)與 B(0，4)不屬於任何一個象限，如下圖所示。
【範例】：請找出下圖中各點分別落在哪一個象限內或在哪一條座標軸上？
解 ：在第一象限內的點：A、B。
在第二象限內的點：F、D。
在第三象限內的點：E、J。
在第四象限內的點：H、K。
在 x 軸上的點：G。
在y軸上的點：I、C。
【範例】：請找出下列各點分別落在哪一個象限內或在哪一條座標軸上？
A(3，－1)、B(2，4)、C(0，－3)、D(－3，－3)、E(2，0)、F(－1，2)。
解 ：如圖所示
A(3，－1)在第四象限內，
B(2，4)在第一象限內，
C(0，－3)在y軸上，
D(－3，－3)在第三象限內，
E(2，0)在 x 軸上，
F(－1，2)在第二象限內。
點 P( a ，b)到 x 軸的距離是| b |，到y軸的距離是| a |。
【範例】：P(－120，50)。P 點到 x 軸的距離是| 50 |＝50，
P 點到y軸的距離是| －120 |＝120。
【範例】：已知 P 點在第二象限，且 P 點到 x 軸的距離是 6，P 點到 y軸的距離是 4，
則 P 點的座標為(－4，6)。
x y
o
B(2，4)
A(3，－1)
C(0，－3) D(－3，－3)
E(2，0) F(－1，2)
第二象限
第三象限 第四象限 第ㄧ象限
x y
o
B(0，－4) A(3，0)
A
B
C D
E F
G
H I
J K
x y
o
E70204
中點座標公式：
1. 在數線上 A( a )和 B(b)則線段 AB 的中點座標為：(
2 b a + )。
【範例】：數線上有 A(2)和 B(12)兩點，請求出 A、B 兩點的中點座標為何？
解 ：A、B 兩點的中點座標為：
2 12 2 + ＝
2
14 ＝7。
【範例】：數線上有 A(－3)和 B(11)兩點，請求出 A、B 兩點的中點座標為何？
解 ：A、B 兩點的中點座標為：
2 11 3 +
- ＝
2
8 ＝4。
【範例】：數線上有 A(－3)和 B(－19)兩點，請求出 A、B 兩點的中點座標為何？
解 ：A、B 兩點的中點座標為：
2 ) 19 ( 3 + -
- ＝
2 22
- ＝－11。
2. 設座標平面上兩點 A( x ， 1 y )、B( 1 x ， 2 y )，則 AB 的中點座標為： 2 M＝( 2
2
1 x
x +
， 2
2
1 y
y +
)。
【範例】：設兩點座標為 A(－2，4)、B(6，－2)，請問 A、B 的中點座標為何？
解 ：利用中點公式，M＝(
2 6 2 +
- ，
2 ) 2 ( 4 + -
)＝(2，1)。
所以 A、B 的中點座標為(2，1)。
A B
2 7 12 5 5
A B
－3 4 11 7 7
A B
－19 －11 －3 8 8
x y
O x 1 x 2
y 1 y 2
x 1 + x 2 2 +
2 y 1 y 2
M ( x 1 + x 2 ， ) 2
+ 2 y 1 y 2 B ( x 2 ， y 2 )
A ( x 1 ， y 1 )
x y
O A (－2，4)
B (6，－2) M (2，1)
E70204
【範例】：設兩點座標為 A(4，－6)、B(8，－2)，P 為 AB 上一點，若 AP ： PB ＝3：1
，則求 P 點座標？
解 ：先求出 AB 的中點座標為 M＝(
2 8 4 + ，
2 ) 2 ( ) 6 ( - + -
)＝(6，－4)。
在求出 MB 的中點座標 P 為(
2 8 6 + ，
2 ) 2 ( ) 4 ( - + -
)＝(7，－3)。
答：P 點座標為(7，－3)。
直角座標的應用：
【範例】：在座標平面上，誠誠由 A(－5，2)出發，向北走 5 個單位，在向西走 6 個單位 到達 B 點，(1) 求 B 點座標？ (2) B 點到 x 軸的距離是多少？
(3) B 點到 y軸的距離是多少？
解 ：(1) －5－6＝－11，2＋5＝7。
所以 B 點座標為(－11，7)。
(2) B 點到 x 軸的距離是| 7 |＝7。
(3) B 點到 y軸的距離是| －11 |＝11。
【範例】：在座標平面上，兩點(5，3)、(5，－4)之距離為多少單位長？
解 ： 3－(－4)＝7。
所以，兩點(5，3)、(5，－4)之距離為 7 個單位長。
【範例】：如圖，A(4，0)、B(2，5)、C(0，3)、H(2，0)，O 為原點，請問：
(1) 梯形 OHBC 之面積 (2) △ABC 之面積。
A M B
3 P
1
x y
O A
C
B
H x
y
O
A (4，－6)
B (8，－2)
M (6，－4) P (7，－3) 3
1
E70204
解 ：(1) 梯形 OHBC 之上底為 OC ＝3，下底為 BH ＝5，高為 OH ＝2。
所以梯形 OHBC 之面積＝
2 5
3 + ．2＝8 (平方單位) (2) ∵ △ABH＝
2
1 ．2．5＝5 (平方單位)，
△AOC＝
2
1 ．3．4＝6 (平方單位)。
∴ △ABC 面積＝梯形 OHBC 面積＋△ABH 面積－△AOC 面積
＝8＋5－6
＝7 (平方單位)。
【範例】：已知座標平面上的四點 A(1，－3)、B(3，1)、C(1，3)、D(－1，2)，
作 AB 、 BC 、 CD 、 AD ，請求出四邊形 ABCD 之面積。
解 ： ∵ AC ＝6
∴ 四邊形 ABCD 面積＝△ABC 面積＋△ADC 面積
＝ 2
1 ．6．2＋
2
1 ．6．2
＝12 (平方單位)。
x y
O
A B C
D
E70204
【例題 1】
請寫出下列各座標平面上各點的座標。
答：
【例題 2】
請畫出直角座標平面，並寫出下列各點的座標。
A(4，－5)，B(2 2
1 ，5)，
C(0，－4)，D(－3，0)，E(－4，－1)。
【例題 3】
下表中，各點分別在哪一象限或在哪一坐標軸上，請填上：
點座標 A(－3，6) B(－1，－5) C(－2 3 1 ，－3
11 5 ) 象限或軸
點座標 D(3，－2 43
11 ) F(
2
1 ，0) E(0，－3 7 1 ) 象限或軸
【例題 4】
下表中，各點分別在哪一象限或在哪一坐標軸上，請填上：
點座標 A(－2，2 2
1 ) B(－2，－5) C(3，－3) 象限或軸
點座標 D(－3 37
11 ，3) F(－4，0) E(0，－3) 象限或軸
x y
o A B
C D
E70204
【例題 5】
在坐標平面上一點 P (2 a ＋1，3 a －1)，若 P 點不在任何一象限內，求 a 之值。
答：
【例題 6】
在坐標平面上一點 A( 5 x ＋35，2 x －19 )，若 A 點不在任何一象限內，求 x 之值。
答：
【例題 7】 【例題 8】
如果 A( x，y)在直角座標平面上的第三 象限內，請問 x、y分別是正數或負數？
答：
如果 A( x ，y)在直角座標平面上的第四象限 內，請問 x 、y分別是正數或負數？
答：
【例題 9】
寫出下列哪些點在 x 軸上？哪些點在y軸上？
A(－3，0)，B(－
29
11 ，0.9)，C(0，－1)，D(－1，0)，E(3，－5)，F(0，－7 98 13 )。
答：
【例題 10】
寫出下列哪些點在 x 軸上？哪些點在y軸上？
A(0，4)，B(－1 3
5 ，2)，C(－1 15
7 ，0)，D(8，－14)，E(－3，0)，F(0，－8 9 1 )。
答：
