負數的加減法：
1.正數加正數其和仍為正數。
2.負數加負數其和仍為負數。
【範例 1】正數＋正數：(＋3)＋(＋5)＝＋(3＋5)＝＋8（圖 A）
【範例 2】負數＋負數：(－3)＋(－5)＝－(3＋5)＝－8（圖 B）
【範例 3】正數＋負數： 8＋(－3)＝8－3＝5（圖 C）
【範例 4】負數＋正數：－8＋3＝－(8－3)＝－5（圖 D）
【範例 5】正數－負數： 8－(－3)＝8＋3＝11（圖 E）
【範例 6】負數－正數： －8－3＝－8＋(－3)＝－(8＋3)＝－11（圖 F）
【範例 7】負數－負數：－8－(－3)＝－8＋3＝－(8－3)＝－5（圖 G）
負數的乘除法：
1.同號數相乘除其結果為正數。
2.異號數相乘除其結果為負數。
【範例】：4×2＝8；4÷2＝2
【範例】：(-4)×(-2)＝8；(-4)÷(-2)＝2
【範例】：4×(-2)＝-8；(-4)×2＝-8；4÷(-2)＝-2；(-4)÷2＝-2 口訣＝負正得負；負負得正
正、負分數的四則運算：
【範例】：正、負分數的加法：
(－ 7
2 )＋(－
3
1 )＝(－
21
6 )＋(－
21
7 )＝－( 6+7
21 )＝－ 13 21 。
【範例】：正、負分數的減法：
(－ 4
5 )－(－ 3
4 )＝(－ 16
20 )－(－ 15
20 )＝－ 16 20 ＋ 15
20 ＝－ 1 20 。
【範例】：正、負分數的乘法：
(－ 9 4 )×
12
7 ＝－( 4 7 9 12
´
´ )＝－( 1 7 9 3
´
´ )＝－ 7 27 (－ 8
5 )×(－
15 4 )＝
15 8
4 5
´
´ ＝ 3 2
1 1
´
´ ＝ 6 1 。
【範例】：正、負分數的除法：
1.若兩數相乘等於 1，則稱此兩數互為倒數。
2.除以一個分數等於乘上此分數的倒數， b d
a ¸ c ＝ b c
a´ d ＝ b c a d
´
´ 。 例如：(1) (－
7 3 )÷ 4
5 ＝－(
7 3 ×
4
5 )＝－ 15
28 ，其中 4
5 的倒數為 5 4 。 (2) 9
4 ÷(－
15 2 )＝
9 4 ×(－
2
15 )＝－(
9 4 ×
2
15 )＝－
3 5 ， 其中－ 15
2 的倒數為－
2 15 。
正、負小數的四則運算：
【範例】：請求出下列各題的答案：
(1) －5.4＋(－3.8) (2) 3.18＋(－25.18) (3) －10.25－(－5.75) 解 ：(1) －5.4＋(－3.8)＝－(5.4＋3.8)＝－9.2
(2) 3.18＋(－25.18)＝3.18－25.18＝－22
(3) －10.25－(－5.75)＝－10.25＋5.75＝－(10.25－5.75)＝－4.5
【範例】：(1) －0.25×(－6)＝？ (2) (－12.75)÷1.5＝？
解 ：(1) －0.25×(－6)＝0.25×6＝1.5
(2) (－12.75)÷1.5＝－(12.75÷1.5)＝－8.5
分數與小數的混合四則運算：
通常是先將小數化成分數的形式，再作四則運算。
【範例】： (1) 2.25×(－
15
1 )＝？ (2) (－1.2)×
5 1 ÷(－
3
2 )＝？
解 ： (1) 2.25×(－
15
1 )＝－(2.25×
15
1 )＝－0.15 (2) (－1.2)×
5 1 ÷(－
3 2 )＝
10 12 ×
5 1 ×
2 3 ＝
5 3 ×
5 1 ×
1 3 ＝
25 9
【例題 1】 【例題 2】
求下列各值：
(1)(-235)＋445＝
(2)753＋(-233)＋(-515)＝
求下列各值：
(1)(-513)＋(-937)＝
(2)(-526)＋(-193)＋(-911)＝
【例題 3】 【例題 4】
求下列各值：
(1) 12 5 ＋
36 11 ＝
(2) － 28
11 ＋（－ 7 15 ）＝
(3) － 11
7 － 13
5 ＝
(4) － 13 12 ＋
17 10 ＝
求下列各值：
(1) － 21 12 ＋
28 11 ＝
(2) 36 11 －
28 11 ＝
(3) － 121
12 ＋ 33 25 ＝
(4)－
24
5 ＋（－ 7 15 ）－
60 27 ＝
【例題 5】 【例題 6】
求下列各值：
(1) 25×(-15)＝ (2)-45÷15＝
(3)-120×(－6)＝ (4)-12×7×(-15)
求下列各值：
(1) -20×(-15)＝ (2) -90÷15＝
(3) -35×(-17)＝ (4) -1088÷(-34)÷2
【例題 7】 【例題 8】
求下列各式的值：
(1) － 28
5 × (－ 7 15 )＝
(2) － 121
25 ÷ 66
5 ＝
(3) － 39 16 ×
34 10 ÷
26 15 ＝
求下列各式的值 (1) －
69
36 ÷（－
49 48 ）＝
(2) － 168
74 ×（－
259 252 ）＝
(3) 24 5 ×
125
36 ＋（－
72 6 ）÷
216 7
【例題 9】 【例題 10】
數線上 P(-11）、R（9），在 P、R 之間找 一點 Q，使得 P 與 Q 的距離是 Q 與 R 的 3 倍，求 Q 點所代表的數。
數線上 A（-24）、B（-6），在 A、B 之間找 一點 C，使得 A 與 C 的距離是 C 與 B 的 2 倍，求 C 點所代表的數。
【例題 11】 【例題 12】
股票市場星期一下跌 110 點，星期二上漲 95 點，星期三又上漲 13 點，星期四下跌 27 點，星期五上漲 39 點，請問本週統計 後共上漲或下跌多少點？
解：
有一面牆高 180 公分，一隻蝸牛在牆上某 處，第一天往上爬 45 公分，第二天下滑 19 公分，第三天往上爬 44 公分，第四天 又下滑 21 公分，第五天再度往上爬 50 公 分才到達牆頂，請問蝸牛開始的位置離地 面多少公分？
解：
C B
A
0 R
P Q
【例題 13】 【例題 14】
有一隻青蛙在數線上座標為－4 的 A 點開 始向右跳，每次跳躍的距離都相等，方向 不變，跳第三次時，落在座標為 5 的 B 點
，若跳 20 次時，會落在 C 點，請問 C 點 的座標為何？
解：
若甲數比（－16）大（－5），而乙數比
（－4）小 7，請問甲數 × 乙數為多少？
解：
【例題 15】 【例題 16】
49 4 29 9
5 ´ 4 ÷(－
4
1 1 ) (－
2
2 1 )÷(－4 27
17 )×(－50)
【例題 17】 【例題 18】
ㄧ條繩子分成 5 等分，已知 2 等分的長度 是 5
32 公尺，問繩子全長多少公尺？
解：
水果店老闆買進ㄧ箱重 30 公斤蘋果，成本 為 600 元，其 中
4
3 公斤壞掉不賣，剩下的 3 1 為較大的以每公斤 36 元賣出，其餘的每公 斤賣 24 元，若全部賣完可以賺多少元？
解：
一、寫出下列各式的結果：(正數加正數)
1. 452＋168＝ 。 2. 328＋392＝ 。 3. 8
3 ＋ 6
1 ＝ 。 4.
13 2 ＋
7
3 ＝ 。
二、寫出下列各式的結果：(正數加負數)
1. 100＋(-77)＝ 。 2. 225＋(-124)＝ 。 3. 325＋(-119)＝ 。 4. 261＋(-237)＝ 。 5. 9
5 ＋(- 12
7 )＝ 。 6.
5 4 ＋(-
11
7 )＝ 。
7. 7 1 3 ＋(-
11
6 )＝ 。 8.
11 1 ＋(-
7
5 )＝ 。
三、寫出下列各式的結果：(負數加正數)
1. (-200)＋167＝ 。 2. (-456)＋288＝ 。 3. (-999)＋199＝ 。 4. (-876)＋128＝ 。 5. (-
12 7 )＋
7
5 ＝ 。 6. (- 11
2 )＋
9
1 ＝ 。
7. (- 9 1 )＋
36
5 ＝ 。 8. (- 12
5 )＋
7
4 ＝ 。
四、寫出下列各式的結果：(負數加負數)
1. (-25)＋(-53)＝ 。 2. (-95)＋(-215)＝ 。 3. (-230)＋(-26)＝ 。 4. (-326)＋(-97)＝ 。 5.(-
36 11 )＋(-
12
7 )＝ 。 6. (- 12 11 )＋(-
11
2 )＝ 。
7.(- 19
1 )＋(- 39
9 )＝ 。 8. (- 23
7 )＋(- 69
11 )＝ 。
五、寫出下列各式的結果：(綜合練習)
1. 32＋(-18)＋55＝ 。 2. (-66)＋(-94)＋127＝ 。 3. 82＋(-74)＋(-106)＝ 。 4. 45＋126＋(-77)＝ 。 5. (-
2
1 )＋(- 3 1 )＋(-
5 1 )＋(-
7
1 )＝ 。
6. (- 8 5 )＋
6 1 ＋
12 7 ＋(-
18
5 )＝ 。
一、寫出下列各式的結果：(正數減正數)
1. 125－59＝ 。 2. 518－223＝ 。 3. 225－89＝ 。 4. 549－747＝ 。 5. 39
17 － 78
36 ＝ 。 6.
121 12 －
66
7 ＝ 。
二、寫出下列各式的結果：(正數減負數)
1. 99－(-88)＝ 。 2. 17－(-26)＝ 。 3. 21
12 －(- 28
7 )＝ 。 4. 23
72 －(- 11
36 )＝ 。
5. 24
81 －(- 11
27 )＝ 。 6. 35
188 －(- 3
47 )＝ 。
三、寫出下列各式的結果：(負數減正數)
1. (-68)－11＝ 。 2. (-265)－26＝ 。 3. (-209)－510＝ 。 4. (-317)－183＝ 。 5. (- 4
12 )－ 7
15 ＝ 。 6. (- 7
36 )－ 5
21 ＝ 。
四、寫出下列各式的結果：(負數減負數)
1. (-48)－(-77)＝ 。 2. (-88)－(-39)＝ 。 3. (-15)－(-96)＝ 。 4. (-71)－(-67)＝ 。 5. (- 15
121 )－(- 7
11 )＝ 。 6. (- 11
21 )－(- 11
30 )＝ 。
五、寫出下列各式的結果：(綜合練習) 1. － 5
8 ＋（－ 7
9 ）－ 23
72 ＝ 。
2. (-229)－111－(-80)＝ 。 3. － 15
28 ＋（－ 12
49 ）－ 25
42 ＝ 。
4. 96－(-88)－34＝ 。
5. 120－(-102)－[(-30)－(-54)]＝ 。 6. － 27
81 ＋（－ 12
18 ）－ 23
36 ＝ 。
一、寫出下列各式的結果：(乘法)
口訣：正正得正、負負得正、負正得負、正負得負。
1. 11 × 9＝ 。 2. (-19) × 3＝ 。 3. (-11) × (-7)＝ 。 4. 32 × (-7)＝ 。 5. 36
11 × (- 66
5 )＝ 。 6. (- 60
27 ) × (- 36
66 )＝ 。
7. (- 11
7 ) × (- 35
26 )＝ 。 8. 0 × (–
81
12 )＝ 。
二、寫出下列各式的結果：(除法)
口訣：正正得正、負負得正、負正得負、正負得負。
1. 72 ÷ 3＝ 。 2. (-2356) ÷ (-6)＝ 。 3. 275 ÷ （-5）＝ 。 4. (-165) ÷ 11＝ 。 5. 0 ÷ (-
121
12 )＝ 。 6.
221 180 ÷ (-
153
63 )＝ 。
7. (- 121
25 ) ÷ (- 66
5 )＝ 。 8. (- 121
12 ) ÷ 33
4 ＝ 。
三、寫出下列各式的結果：(綜合練習) 1. －
13
12 ÷（－ 221
20 ）＋
17
10 ÷（－
221
20 ）＝ 。
2. 24 5 ×
125
36 ＋（－
72 6 ）÷
216
7 ＝ 。
3. － 11
7 ×（－
35 26 ）×
13
5 ＝ 。
4. － 13 12 ×
17 10 ÷
13
5 ＝ 。
5. 12 7 ×
8
3 －（－
72 6 ）×
216
63 ＝ 。
6. 48 × ( 12
7 ＋ 8
7 )＝ 。
7. 12 7 × (
49 24 ＋
7
5 )＝ 。
8. － 91
48 ÷（－ 663 180 ）＋
13
10 ÷（－
663
180 ）＝ 。
一、寫出下列各式的結果：
1.315＋(-234)＋(-53)＝ 。 2. -(-77)＋(-33)－(-57)＝ 。 3. 2－(-4)＋6－(-8)－10＋12＝ 。 4. -(-3)＋(-16)－(-32)＋24＝ 。 5.(－
3 2 )×
16 13 ×(－
27
8 )＝ 。
6. (－
9 4 )÷
3
7 ＝ 。
7. 3 3 1 ×
4 3 ÷(－
3
2 )＝ 。
8. 7×
3 1 －
5
4 ×(3＋
3
1 )＝ 。
9.(－5.5)＋4.5×(－
12
1 )＝ 。
10.(－
47
8 )×23＋(－
47 8 )÷
24
1 ＝ 。
二、寫出下列各式的結果：（先乘除後加減）
1. 5 2 ×(－
4
3 )＝ 。
2. 7 4 ×(－
4
3 )×(－1 4
3 )＝ 。
3. 8
7 ÷(－1 4
3 )＝ 。
4. 10－2×
8
7 ÷(－1 4
3 )＝ 。
5. (－8)÷(－
9
16 )＋7×(－
14
3 )＝ 。
6. 3.3÷(
2
1 1 )－4×(－
4
2 3 )＝ 。
7. 3 2 2 ÷(－
3
1 2 )－(－
2
1 )×(－
3
2 )＝ 。
8. [(－
6
1 5 )－(－
6 1 )]÷[
3
2 ＋(－
9
1 )]＝ 。
【範例】 ：大寶體重 50 公斤，小寶體重 40 公斤，請問大寶和小寶體重相差多少公斤？
說明 ：
在這個範例中，可以用大寶體重減小寶體重：50－40＝10 (公斤) 所以，大寶比小寶重 10 公斤。
也可以用小寶體重減大寶體重：40－50＝－10 (公斤) 小寶比大寶輕 10 公斤。
但我們所要答案是大寶和小寶相差多少公斤，跟誰重誰輕並沒有關係，
所以，我們將 10 定義為(＋10)以及(－10)的絕對值。
換句話說，一個數的絕對值就是不考慮他前面的「＋」、「－」號所得到的數。
【範例】：－5 的絕對值是 5，而 5 的絕對值也是 5。
絕對值：
當一個數不考慮其正負數所得之値，為此數的絕對值，以“ x ＂表示。
例如：|－2|＝2，|2|＝2 。
另外，絕對值也可以表示為，一個數在數線上表示的點與原點的距離，叫做這個數的 絕對值，以符號“ ＂表示。
【範例】 ：如下圖 A 點與原點的距離為 2，|2－0|＝2，所以 2 的絕對值是 2，
記成|2|＝2；
B 點與原點的距離為 2，|0－2|＝|－2|＝2，所以－2 的絕對值是 2，
記成|－2|＝2。
【範例】 ：|－2×3|＝|－6|＝6，所以(－2×3)的絕對值是在數線上 6 的位置。
【範例】 ：|－4＋2|＝|－2|＝2，所以(－4＋2)的絕對值是在數線上 2 的位置。
0
2 2
B A
利用絕對值來表示數線上兩點的距離。
AB
＝ |A－B|下面數線 A(－7)、B(－4)，則AB
＝|(－7)－(－4)|＝|－3|＝3，或是
AB
＝|(－4)－(－7)|＝|－4＋7|＝|3|＝3，【範例】：若|a| ＝ 4，則 a ＝ 4 或 －4。
【範例】：數線上絕對值小於 5 的整數有哪些？
解 ：| x |＜ 5， －5＜ x ＜5 ，
故有整數－4、－3、－2、－1、0、1、2、3、4。
結論：1.| x |＝|－ x |，例如：|3|＝|－3|。
2.| x | ³ 0，例如：|3|＝|－3|＝3 ＞ 0。
3.| x |＝
î í ì
<
-
³ 0 0 x x
x x
如果
如果 。
4. | x －y|＝|y－ x |，例如：|3－2|＝|2－3|＝1。
有關絕對值的運算：
當算式有兩層絕對值的時候，先計算內層的絕對值，再往外計算外層的絕對值。
【範例】：計算|7－|4－3||＝？
解 ：|7－|3－4||＝|7－|－1||
＝|7－1|
＝|6|
＝6 答：|7－|4－3||＝6。
【範例】：計算||3－8|－|8－9||＝？
解 ：||3－8|－|8－9||＝||－5|－|－1||
＝|5－1|
＝|4|
＝4 答：||3－8|－|8－9||＝4。
7 B A
4
【範例】：計算||3－|－4－3|＋2|－|8－12||＝？
解 ：||3－|－4－3|＋2|－|8－12||＝||3－|－7|＋2|－|－4||
＝||3－7＋2|－4|
＝||－2|－4|
＝|2－4|
＝|－2|
＝2
答：||3－|－4－3|＋2|－|8－12||＝2。
【範例】：已知|x＋5|＋|y－3|＝0，求 x＋y＝？
解 ：因為絕對值出來的數一定大於或是等於 0 所以|x＋5| ³ 0 且|y－3| ³ 0
故 x＋5＝0 且 y－3＝0
所以 x＝-5、y＝3 即 x＋y＝-2
【範例】：已知 - 3 £ x £ 6 ，則 x + 4 + x + 5 ＝ 解 ：
Q - 3 £ x £ 6
\ x + 4 ³ 0 且 x + 5 ³ 0 所以去絕對值時不必加負號
5 4 + +
+ x
x
＝ ( x + 4 ) + ( x + 5 )
＝ x + 4 + x + 5
＝ 2 + x 9
【範例】：已知 - 9 £ x £ 3 ，則 x - 4 + x + 10 ＝ 解 ：
Q - 9 £ x £ 3
\ x - 4 £ 0 且 x + 10 ³ 0
所以 x - 4 去絕對值時要加負號， x + 10 則不必加負號 10
4 + +
- x
x
＝ - ( x - 4 ) + ( x + 10 )
＝ - x + 4 + x + 10
＝14 絕對值不等式：
若已知 a、b 兩數，則將 a、b 掛絕對值後有下列兩個不等式恆成立。
1. a + b ³ a + b 2. a - b £ a - b
說明：
1. 我們假設 4 種情況 情況 1：a ³ 0 且 b ³ 0
則 a + b ＝ a + b ＝ a + b 符合式子 a + b ³ a + b 情況 2：a ³ 0 且 b £ 0
則 a + b ＝ a - b ³ a + b ＝ a + b 符合式子 a + b ³ a + b
情況 3：a £ 0 且 b ³ 0
則 a + b ＝ b - a ³ a + b ＝ a + b 符合式子 a + b ³ a + b
情況 4：a £ 0 且 b £ 0
則 a + b ＝ - a - b ³ a + b ＝ a + b 符合式子 a + b ³ a + b
【範例】：已知式子 x + 3 + x - 2 ，則當 x 為多少時，式子有最小值？
解 ：
Q a + b ³ a ± b
\ x + 3 + x - 2 ³ ( x + 3 ) + ( x - 2 )
所以當 ( x + 3 ) + ( x - 2 ) ＝0 時，式子有最小值 )
2 ( ) 3
( x + + x - ＝0 1
2 + x ＝0 x ＝ 2
- 1
所以式子的最小值為 0
【例題 1】 【例題 2】
將大於符號“＞＂或小於符號“＜＂或等 於“＝＂符號，填入下列空格：
(1) 3 ____ 3 (2) - 5 ____ -5 (3) 3
5 1
- ____
3 4 1
(4) 8
3 7 ____ - 3 . 875
將大於符號“＞＂或小於符號“＜＂或 等於“＝＂符號，填入下列空格：
(1) 7 . 2 ____7.2 (2) - 6 ____ -6 (3) 5 . 84 ____ - 5 . 84 (4) 4
5 3
- ____ 5 . 75
【例題 3】 【例題 4】
(1)試分別寫出－2、8、－7 的絕對值。
(2)若|甲|＝4.5，請問甲是多少？
答：
(1)試分別寫出－3.9、4、－5 的絕對值。
(2)若|甲|＝5，請問甲是多少？
答：
【例題 5】 【例題 6】
作ㄧ條數線，並在數線上標出絕對值小於 6 的所有整數點。
答：
作ㄧ條數線，並在數線上標出絕對值小於 5.5 的所有整數點。
答：
【例題 7】 【例題 8】
求下列各式的値：
(1) |－5|＝ 。 (2) －|－5|＝ 。 (3) |－
3
2 1 |＝ 。 (4) |－4×3|＝ 。 (5) |3＋(－2×6)|＝ 。
求下列各式的値：
(1) |0|＝ 。
(2) －|－(－2.5)|＝ 。 (3) |－
5 2 7
1 + |＝ 。
(4) |－4|＋|－8|＝ 。 (5) |(－2×3)|－|－4|＝ 。
【例題 9】
將下列各數由小到大排列：
－ 4
2 1 、|－4|、|5|、－|－5.5|、|3×2|
答：
【例題 10】
將下列各數由小到大排列：
－ 3
1 2 、|－4×
2
1 |、|5＋(－2)|、|－2×2|、－|－4|
答：
【例題 11】
計算下列各式的結果：
(1)|3＋5－7|＋|7＋11－13|＝? (2)|
2
1 －1|＋|
3 1 －
2 1 |＋|
4 1 －
3 1 |＝?
解：
【例題 12】
計算下列各式的結果：
(1)|93－86|＋|86－79|＋|63－79|＝? (2)|
8 1 －
10 1 |＋|
8 1 －
6 1 |＋|
3 1 －
6 1 |＝?
解：
【例題 13】
有 A、B 兩點，中點為 3，中點與 A 點相距為 5，則 A、B 兩點的座標為何？
解：
【例題 14】
若 a、b 為整數，且 3∣a－6∣＋∣b＋2∣＝1，則 a＝？ b＝？
解：
【例題 15】
求 3 2 2 ＋|
2 4 1 - |÷|
4 25 －|
2
- 7 ||＝？
解：
【例題 16】
求∣ 2
- 1 ∣－(－∣
4
- 1 ∣)＋(∣
2 3 1
- ∣－∣
4 2 1
- ∣) × 5 4 ＝？
解：
【例題 17】
化簡 || 2－3 |－2 |＋|－7－5|＝？
解：
【例題 18】
化簡 ||－12＋3|－(－5)|＋3×|2－8|＝？
解：
【例題 19】
已知 - 2 £ x £ 5 ，則 x + 2 + x + 5 ＝ 解：
【例題 20】
已知 - 9 £ x £ - 2 ，則 x + 1 + x + 18 ＝ 解：
