【範例】：請求出下列各比例式的解： (1) 已知 7：3＝35：d ，求d

七年級  E70202

比例式的定義：

假設有兩個比 a ：b和 c ：d ，如果這兩個比的比值相等( 

b  a ＝ 

d 

c )，則稱這兩個比相等

，記成  a ：b＝ c ：d ，這樣的式子就稱為比例式。

【範例】：請求出下列各比例式的解：

(1) 已知 7：3＝35：d ，求d ＝？ (2) 已知 a ：11＝144：132，求 a ＝？

解 ：(1) ∵ 7：3＝35：d 

∴  3  7 ＝ 

d 

35  ， 因為 35 是 7 的 5 倍，所以d 也是 3 的 5 倍。

則  d ＝3．5＝15。 答：d ＝15。

(2) ∵  a ：11＝144：132

∴  11  a ＝ 

132 

144  ，因為 132 是 11 的 12 倍，所以 144 也是 a 的 12 倍。

則  a ＝144÷12＝12。 答： a ＝12。

【範例】：已知 4 a ＝5b，求 a ：b＝？

解 ： ∵ 4 a ＝5b  (兩邊同除以 4b)，

∴  b  a 4  4  ＝ 

b  b 4  5 Þ 

b  a ＝ 

4  5 。

則  a ：b＝5：4。 答： a ：b＝5：4。

比例式的性質：

性質 1：  a ：b  ＝  a  ×  n ：b  ×  n  ，其中  n  ≠ 0。

性質 2： 若  a ：b  ＝  m  ：  n  則有  a  ×  n  ＝  b  ×  m 。 性質 3：  x ：y＝ a :b，則  p 

x ：

x ：

p  a 

q  b 

【範例】：請求出下列各比例式中 x 的值：

(1)  x ：8＝12：6 (2) 0.2：5＝10： x  (3) 3：4 x ＝34：48。

解 ：(1) ∵  x ：8＝12：6 ， ∴ 6 x ＝8．12＝96 則  x ＝96÷6＝13 。 答： x ＝13。

(2) ∵ 0.2：5＝10： x  ， ∴ 0.2 x ＝5．10＝50 則  x ＝50÷0.2＝250 。 答： x ＝250。

(3) ∵ 3：4 x ＝34：48 ， ∴ 4 x ．34＝3．48 Þ 136 x ＝144

七年級  E70202

【範例】：請求出下列各比例式中 x 的值：

(1) ( x －2)：( x ＋2)＝3：2 (2) (4 x ＋7)：(5 x －2)＝8：15。

解 ：(1) ∵( x －2)：( x ＋2)＝3：2

∴ 3( x ＋2)＝2( x －2) Þ 3 x ＋6＝2 x －4 Þ 3 x －2 x ＝－4－6

Þ  x ＝－10 答： x ＝13。

(2) ∵ (4 x ＋7)：(5 x －2)＝8：15

∴ 8(4 x ＋7)＝15(5 x －2) Þ 32 x ＋56＝75 x －30 Þ 75 x －32 x ＝56＋30 Þ 43 x ＝86

Þ  x ＝2 答： x ＝2。

【範例】：已知鹽水混和液中，鹽巴和水的重量比是 3：13，其中水有 260 公克。

請問此混和液中含有鹽巴多少公克？

解 ：設有鹽巴 x 公克，所以 3：13＝ x ：260

利用內項乘內項等於外項乘外項，可得：13 x ＝3．260＝780 所以  x ＝780÷13＝60 。

答：含有鹽巴 60 公克。

連比：

如果第一個數與第二個數的比是  a :b，第二個數與第三個數的比是 b : c，那麼就 可以將這三個數的比寫成  a :b: c 。我們稱  a :b: c  為三個數 a 、b、 c 的連比。按 照同樣的方法，還可以定義四個數或四個以上的數的連比。

連比例式的定義：若 x ：y： z ＝ a :b: c ，即 x ：y＝ a :b且y： z ＝b: c 。 由 x ：y＝ a :b，我們可得 

a  x ＝ 

b 

y ，由y： z ＝b: c  我們可得  b 

y ＝  c  z 

因此可得  a  x ＝ 

b  y ＝ 

c  z 。

性質 1：  x ：y： z ＝ a :b: c ，則有： 

a  x ＝ 

b  y ＝ 

c  z 。

注意： x ：y： z ＝ a :b: c ，亦可有： 

x  a ＝ 

y  b 

z  c 。

七年級  E70202

【範例】： 已知 6A＝9 B＝14 C，求 A：B：C＝？

解法一： [6，9，14]＝126，將 6A＝9B＝14C  除以 126 我們可得： 

126  A  6  ＝ 

126  B  9  ＝ 

126  C 

14  ，也就是  21  A ＝ 

14  B ＝ 

9  C 。 故 A：B：C  ＝ 21：14：9。

解法二： 由定義來做。

∵ 6A＝9 B Û  A：B＝9：6＝3：2

∵ 9 B＝14 C Û  B：C＝14：9  A  ：  B  ：  C 

3 ： 2

14 ： 9

(放大 7 倍)

21 ： 14

14 ： 9 則：

21 ： 14 ： 9

【範例】：  A：B＝3：2，B：C＝4：9，求 A：B：C＝？

解法一：  A：B＝3：2，我們可得  3  A ＝ 

2  B ， 

B：C＝4：9，我們可得  4  B ＝ 

9  C ， 因此 3 

A ×  2  1 ＝ 

2  B × 

2  1 ＝ 

4  B ＝ 

9 

C ，也就是  6  A ＝ 

4  B ＝ 

9  C ， 故 A：B：C＝ 6：4：9。

解法二： 我們也可以從定義來做。

∵  A：B＝3：2 ，  B：C＝4：9 ，則： 

A  ：  B  ：  C  3 ： 2

4 ： 9

(放大 2 倍)

6 ： 4 4 ： 9 6 ： 4 ： 9 故 A：B：C＝ 6：4：9。

七年級  E70202

【範例】：  A：C＝2：3，B：C＝3：4，求 A：B：C＝？

解法一：  A：C＝2：3，我們可得  2  A ＝ 

3  C ， 

B：C＝3：4，我們可得  3  B ＝ 

4  C ， 因此 2 

A ×  4  1 ＝ 

3  C × 

4  1 ＝ 

4  C × 

3  1 ＝ 

3  B × 

3 

1 ，也就是  8  A ＝ 

9  B ＝ 

12  C ， 故 A：B：C＝8：9：12。

解法二： 由定義來做。

∵  A：C＝2：3 ，  B：C＝3：4 ，則： 

A  ：  B  ：  C  2 ： 3

3 ： 4

(放大 4 倍) (放大 3 倍) 8 ： 12

9 ： 12 8 ： 9 ： 12 故 A：B：C＝8：9：12。

回顧：  a ：b  ＝  a  ×  n ：b  ×  n 。

性質 2：  x ：y： z ＝ a × x ： a ×y： a × z 。

【範例】：  x ：y： z ＝  3  1 ： 

2  1 ： 

6  1 

＝ 3  1 ×6： 

2  1 ×6： 

6  1 ×6

＝2：3：1。

【範例】：  x ：y： z ＝1.2：0.7：1.3

＝1.2×10：0.7×10：1.3×10

＝12：7：13。

【範例】：  x ：y： z ＝0.6： 

3 

2 ：2.1

＝ 10  6 ： 

3  2 ： 

10  21 

＝ 10  6 ×30： 

3  2 ×30： 

10  21 ×30

＝18：20：63。

七年級  E70202

回顧：  x ：y＝ a :b，則  p 

x ：

性質 3： x ：y： z ＝ a :b: c ，則  px：qy： rz ＝ a × p:b×q: c × r ， 其中 p、q、 r  三個數不為零。

由性質 1：可知 x ：y： z ＝ a :b: c ，則有  a  x ＝ 

b  y ＝ 

c  z ， 若  p、q、 r  三個不為零的數，則： 

a  x × 

p  p 

b  y × 

q  q 

c  z × 

r  r Û 

p  a 

px

´ ＝ 

q  b 

qy

´ ＝  r  c 

rz

´ 因此我們有  px：qy： rz ＝ a × p:b×q: c × r 。

【範例】：已知 A：B：C＝2：3：5，求 4A：2 B：3 C＝？

解法一： ∵  A：B：C＝2：3：5 我們可得：

∴ 4A：2 B：3 C  ＝ 2×4：3×2：5×3

＝ 8：6：15 故 4A：2B：3C＝8：6：15。

解法二：

∵  A：B＝2：3

∴  B  A ＝ 

3  2

Û  2  4 × 

B  A ＝ 

3  2 × 

2  4

Û 2B  4A ＝ 

3  4  4A：2B＝4：3

∵  B：C＝3：5

∴  C  B ＝ 

5  3

Û  3  2 × 

C  B ＝ 

5  3 × 

3  2

Û 3C  2B ＝ 

5  2 

2B：3C＝2：5 由定義來做。

4A  ： 2B  ： 3C  4 ： 3

2 ： 5

(放大 2 倍) (放大 3 倍) 8 ： 6

6 ： 15 8 ： 6 ： 15

故 4A：2B：3C＝8：6：15。

七年級  E70202 

回顧 ：若  p 

x ：

p  a 

q  b 

性質 4：若 p x ：qy：r z ＝ a :b: c ，則有 x ：y： z  ＝  p  a ： 

q  b ： 

r  c 。

因為  p x ：qy：r z ＝ a :b: c Þ  a 

x  p  ＝ 

b  y  q  ＝ 

c  z  r

Þ  p  a  x  ＝ 

q  b  y  ＝ 

r 

c  z

Þ  x ：y： z  ＝  p  a ： 

q  b ： 

r  c 。

【範例】： 將 2A：4B：3C＝4：12：15，求 A：B：C＝？

解法一： 2A：4B：3C＝4：12：15，

故有  A：B：C  ＝  2  4 ： 

4  12 ： 

3  15 

＝ 2：3：5 因此  A：B：C  ＝ 2：3：5。

解法二：

∵ 2A：4B＝4：12

∴  4B  2A ＝ 

12  4

Û  2  4 × 

4B  2A ＝ 

12  4 × 

2  4

Û  B  A ＝ 

3  2 

A：B＝2：3

∵ 4B：3C＝12：15

∴  3C  4B ＝ 

15  12

Û  4  3 × 

3C  4B ＝ 

15  12 × 

4  3

Û C  B ＝ 

5  3 

B：C＝3：5 由定義來做。 

A  ：  B  ：  C  2 ： 3

3 ： 5 2 ： 3 ： 5

故 A：B：C＝2：3：5。

七年級  E70202 

【範例】： 若 2 x ：3y：4 z ＝1：2：3，求 x ：y： z 之連比？

解法一： ∵ 2 x ：3y：4 z ＝1：2：3

∴  x ：y： z ＝  2  1 ： 

3  2 ： 

4  3 ， 故 x ：y： z ＝12× 

2 

1 ：12× 

3 

2 ：12× 

4  3 

＝6：8：9。

答：  x ：y： z ＝6：8：9。

解法二：

∵ 2 x ：3y＝1：2

∴  x ：y＝  2  1 ： 

3  2 

＝3：4

∵ 3y：4 z ＝2：3

∴  y： z ＝  3  2 ： 

4  3 

＝8：9 由定義來做。 

x  ： 

8 ： 9

(放大 2 倍)

6 ： 8 8 ： 9 6 ： 8 ： 9

故  x ：y： z ＝6：8：9。

最簡整數連比：若連比 x ：y： z ＝ a :b: c ，其中  a ，b， c  的最大公因數為 1，

( a ，b， c )＝1，則稱 x ：y： z 為最簡整數連比。

【範例】：  x ：y： z ＝2：8：10，其最簡整數比為？

解 ： (2，8，10)＝2 

x ：

2  2 ： 

2  8 ： 

2  10 

＝1：4：5，

因為(1，4，5)＝1，因此 x ：y： z 其最簡整數比為 1：4：5。

七年級  E70202 

【範例】： 將連比 2.5：0.25： 

3 

1 化為最簡整數連比。

解 ： 2.5：0.25： 

3  1  ＝ 

2  5 ： 

4  1 ： 

3 

1  (因為 2、4、3 的最小公倍數為 12)

＝  2  6  6  5

´

´ ：  3  4 

3  1

´

´ ：  4  3 

4  1

´

´

＝  12  30 ： 

12  3 ： 

12  4 

＝ 30：3：4

因為(30，3，4)＝1，因此 2.5：0.25： 

3 

1 其最簡整數比為 30：3：4。

連比的應用：

【範例】：兄弟三人共有 4500 元，大哥跟二哥及小弟所有錢的比為 4：3：2，請問三人 各有多少錢？

解 ：三人所有錢的比為 4：3：2，也就說將所有錢分成 9 份，大哥佔了其中的 4 份，

二哥佔了其中的 3 份，弟弟佔了其中的 2 份，所以：

大哥的錢： 4500 ×  9 

4  ＝ 2000 (元) 二哥的錢： 4500 × 

9 

3  ＝ 1500 (元) 弟弟的錢： 4500 × 

9 

2  ＝ 1000 (元)

答：大哥 2000 元；二哥 1500 元；弟弟 1000 元

【範例】：已知某工程需要混凝土 527 公噸，此混凝土所需水泥、細沙、碎石的重量比 為 3：6：8，請問此工程各需要水泥、細沙、碎石多少公噸？

解 ：設需要水泥 x 公噸，細沙y公噸，碎石 z 公噸。

則 x ：y： z ＝3：6：8，如果令它們的比值為 r ，且 r ≠0。

可得  3  x ＝ 

6  y ＝ 

8 

z ＝ r Þ  x ＝3 r 、y＝6 r 、 z ＝8 r 。 所以  x ＋y＋ z ＝3 r ＋6 r ＋8 r ＝17 r ＝527，

則  r ＝527÷17＝31。

因此  x ＝3．31＝91、y＝6．31＝186、 z ＝8．31＝248。

答：需要水泥 91 公噸，細沙 186 公噸，碎石 248 公噸。

七年級  E70202 

【範例】：三角形 ABC 中，三個角具有比例關係為 3A：4B＝1：2，5B：6C＝1：2，

則 Ð A， Ð B 及 Ð C 各為多少度？

解 ：3A：4B＝1：2，我們可得  1 

A  3  ＝ 

2  B  4  ， 5B：6C＝1：2，我們可得 

1  B  5  ＝ 

2  C  6  。 

1  A  3  ×5＝ 

2  B  4  ×5＝ 

1  B  5  ×2＝ 

2  C  6  ×2，

15A＝10B＝6C，[15，10，6]＝60，

將 15A＝10B＝6C  除以 60 我們可得： 

60  A  15  ＝ 

60  B  10  ＝ 

60  C 

6  ，也就是  4  A ＝ 

6  B ＝ 

10  C 。 因此 A：B：C  ＝4：6：10。

Ð A＝180 ⁰  ×  20 

4 ＝36 ⁰ ，

Ð B＝180 ⁰  ×  20 

6 ＝54 ⁰ ，

Ð C＝180 ⁰  ×  20 

10 ＝90 ⁰ 。

答： Ð A＝36 ⁰ ， Ð B＝54 ⁰ ， Ð C＝90 ⁰ 。 解法二： ∵ 3A：4B＝1：2

∴ 6A＝4B Û  A：B＝4：6

∵ 5B：6C＝1：2

∴ 10B＝6C Û  B：C＝6：10 則：A：B：C＝4：6：10＝2：3：5。

令  2  A ＝ 

3  B ＝ 

5 

C ＝ r Þ  A＝2 r 、B＝3 r 、C＝5 r 。 所以 Ð A＋ Ð B＋ Ð C＝2 r ＋3 r ＋5 r ＝10 r ＝180 ⁰  則  r ＝180 ⁰ ÷10＝18 ⁰ 。

因此 Ð A＝2×18 ⁰ ＝36 ⁰ 、 Ð B＝3×18 ⁰ ＝54 ⁰ 、 Ð C＝5×18 ⁰ ＝90 ⁰ 。 答： Ð A＝36 ⁰ 、 Ð B＝54 ⁰ 、 Ð C＝90 ⁰ 。

七年級  E70202 

【範例】：老農夫帶他的兩個兒子到果園採收草莓，小兒子採滿 2 箱時，大兒子採滿 3 箱；

大兒子採滿 4 箱時，老農夫採滿 5 箱。

(1)求小兒子、大兒子、老農夫在同一時間內採收草莓的箱數比？

(2)如果當天三人共採滿 70 箱，則大兒子採滿多少箱？

解 ：(1)設小兒子為 a ，大兒子為b，老農夫為 c 。 依題意， a ：b＝2：3………○ ¹ 

b： c ＝4：5………○ ² 將○ ¹ ×4 可得 a ：b＝8：12 將○ ² ×3 可得b： c ＝12：15 所以  a ：b： c ＝8：12：15

答：同一時間內採收草莓的箱數比為 8：12：15。

(2)∵  a ：b： c ＝8：12：15

∴ 令 a ＝8 r 、b＝12 r 、 c ＝15 r ，其中 r ≠0。

依題意， a ＋b＋ c ＝8 r ＋12 r ＋15 r ＝35 r ＝70 則可得： r ＝70÷35＝2

所以  a ＝8．2＝16、b＝12．2＝24、 c ＝15．2＝30 答：大兒子採滿 24 箱。

七年級  E70202 

【例題 1】

設 x ：y＝  2  1 ： 

3 

1 ，且y： z ＝ 

4  1 

6 

1 

【例題 2】

(1) 設 x ：y＝2：3，y： z ＝6：5，求 x ：y： z 。 (2)  a ：b＝1： 

4 

3 

【例題 3】

設三整數 x 、y、 z ，若 x ：y＝4：3，y： z ＝2：5，且 x 、y、 z 的最小公倍數為 240。

求 x ＋2y＋3 z 之值。

解：

【例題 4】

有 a 、b、 c 三數，已知 a 的 3 倍等於b的 5 倍， a 的 4 倍等於 c 的 6 倍，試求：

(1)  a ：2b：3 c ＝？ (2) 設 c 為 150 時， a 、b各為多少？

解：

七年級  E70202 

【例題 5】

(1)  ax ＋ by ＋c＝0 的圖形包含(1,4)、(4,2)兩點，求 a ：b： c ＝？

(2) 若y：(2 x －y)：( x －1)＝1：3：3，求 x ＋y＝？

解：

【例題 6】

(1) 設 2 x ＋y－ z ＝0， x －2y＋ z ＝0，求 x ：y： z ＝？ (但xyz≠0) (2) 設( x ＋1)：(y－2)：( z ＋3)＝4：5：6，且 x ＋2y＋3 z ＝90，

求 x －y＋ z 之值。

解：

【例題 7】

設 a 、b、 c 為三正數，若 3 a ＝6b＝2 c ，求：(1)  a ：b： c ＝？ (2) 

c  b  a 

c  b  a 

3  2 

3  2

+ +

+

- 之值。

解：

七年級  E70202 

【例題 8】

設 a 、b、 c 、 x 、y、 z 都是正數，且 a ：b： c ＝2：3：4，又知 ax ＝ by ＝ cz ， 求 x ：y： z ＝？

解：

【例題 9】

設xyz≠0，若 2xy＝3yz＝5 zx ，求：(1) x ：y： z ＝？(2)  _{2  2  2} 

2  2 

2  2  3 

z  y  x 

z  y  x

+ +

+

- 之值。

解：

【例題 10】

若 2 x ：3y：4 z ＝1：2：3，求：

(1)  x ：y： z ＝？

(2) (3 x ² －2y ² ＋ z ² )：( x ² ＋y ² )之比值。

解：

【例題 11】

設△ABC 的三內角中，∠A＝ x ⁰ ，∠B＝y ⁰ ，∠C＝ z ⁰ ，且 2 x ：3y＝8：9，

2y： z ＝6：5，求此三角形的三內角的度數。

解：

七年級  E70202 

【例題 12】

設一三角形的周長為 170 公分，三邊長分別為 a 公分、b公分和 c 公分。

若 a ：b＝1：2，b： c ＝3：4，求此三角形的三邊長。

解：

【例題 13】

10(x＋y)＝12( z ＋ x )＝15( x ＋y)，求：

(1)  x ：y： z ＝？

(2) 依yz： zx ：xy的比分 355 為三部分。

解：

【例題 14】

設四邊形 ABCD 中，∠A＝ x ⁰ ，∠B＝y ⁰ ，∠C＝ z ⁰ ，∠D＝t ⁰ ，且 2 x ：5y＝4：15， 

x ： z ＝1：2， z ：3t＝4：9，求：

(1)  x ：y： z ＝？ (2) ( x ＋y＋ z )：t＝？ (3) 最大角為多少度？

解：