第一節投資組合 A

(1)

第四章模擬分析及比較

接下來在模擬分析及比較的部份，我們參考Glasserman (2004)的投資組合進行部份的調整，先從設計簡單的投資組合開始，再依序增加其投資組合的複雜度，來瞭解估計得較好或較差的情形為何。

在各節中的投資組合，先探討獨特風險為常態分配及t 分配時，同質法的估計與模擬實際情況之間的關係；其次說明當模擬的分配改為兩種不同參數下的 Fréchet 厚尾分配時，原來用常態分配及 t 分配構建的同質法估計是否仍然能夠準確地配適模擬的結果；最後，我們分別利用同質法的概念在兩種不同參數下所改良的同質估計法與兩種Fréchet 分配的模擬的結果之間的差異又會如何變化。

此外，藉由損失機率的圖形可了解比較時估計與實際之間的差異，及高估或低估的關係；另外計算出上節所提及的衡量準則，更有利於評價某個區間內的配適好壞以及建構風險值的需求。

第一節投資組合 A

在投資組合A 的設計部份，我們先給定固定的風險暴露單位及邊際違約機率，接著產生隨機的因素負荷量來觀察模擬與同質法估計的差異；另外我們增加風險因素的個數及債務人的個數，及改變違約的機率來探討另一個情境下估計及模擬之間配適的好壞如何變化，此投資組合的特色在於系統風險的因素負荷量為隨機產生。

一、投資組合

A1

考慮一投資組合，其債務人個數為100，系統風險因素有 2 個，邊際違約機率以及風險暴露單位各為：

( )

(2)

c

k =

( [

⁵

k m ] )

²^,

k

= …^{1, ,}

m

.

而對於因素負荷矩陣，我們產生

a 使得其獨立且服從均勻分配

_kj

（

U 0, ¹ , d 2 d

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

），此均勻分配的上界最主要是使得因素負荷矩陣之行平方和不超過1。

因此，邊際違約機率從0%到 2%之間變動，平均為 1%，而可能的風險暴露單位為1, 4, 9, 16, 和 25，每一種可能風險暴露單位各有 20 個債務人。這是一個對暴露單位多區塊的投資組合，特色在於

p 會有一個循環的情況，而

_k

c 連續 20

_k 個是同一種單位數，總損失的最大可能為

l

_max =1100。

同質法在獨特風險為常態及t 分配時的估計比較

圖A1-1 之損失水準為 0~1100，其違約機率（縱軸）取對數以利於比較微小機率時的狀況。由該圖可看到在獨特風險假設為常態分配時，其同質法估計得較準確（藍色虛線為其估計之曲線，藍色實線為其模擬曲線），而當獨特風險假設為t 分配時，其配適得較差，起初會明顯地對違約機率有低估的現象。

(3)

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

10^-810^-610^-410^-210^0

normal homo normal simu t homo t simu

圖A1-1 A1 在常態、t 分配的同質法估計(損失：0~1100)

由圖A1-2 可看到損失水準在 100 以內的估計情況，此圖之違約機率未取對數，發現當損失水準大於40 以後，其估計及實際的違約機率都相當小，故在此圖下我們僅比較損失水準非常小時的部份，同質法在損失水準很小時不管是假設獨特風險為常態或t 分配都不是很穩定，很難估計準確。

(4)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

圖A1-2 A1 在常態、t 分配的同質法估計(損失：0~100) 同質法在獨特風險為常態及t 分配時之估計與模擬為 Fréchet 分配時的比較

圖A1-3 之損失水準為 0~1100，其違約機率取對數。由該圖可看到在獨特風險改為Fréchet 分配時，模擬的違約機率下降的速度更快，而極值參數不同似乎沒有太大差異；在損失水準超過100 左右，使用原來同質法估計的曲線顯得高估許多，即較為保守，若由圖A1-4 來看，其顯示損失水準在 200 以內的情況，發現常態估計及t 分配估計各在損失水準為 40 及 60 之後就變得高估，而在損失水準極小時容易低估違約機率。

另外由圖A1-5 發現當不對違約機率取對數時，同質法的估計的趨勢與弧度都與模擬的曲線頗為相似。

(5)

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

10^-810^-610^-410^-210^0

t homo normal homo frechet(3) simu frechet(5) simu

圖A1-3 A1 對模擬 Fréchet 分配使用常態、t 分配的同質法估計(損失：0~1100)

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200

0.00010.00100.01000.10001.0000

(6)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

經調整後同質法之估計與模擬為Fréchet 分配時的比較

圖A1-6 及圖 A1-7 是損失水準在 0~200 時，不同調整方式（利用 Fréchet(3) 及Fréchet(5)調整）下之同質法與模擬的比較，其違約機率取對數，可看出利用 Fréchet(3)調整時的 t 分配及常態分配估計兩者之間有比較大的差異，用 Fréchet(5) 調整時兩種分配估計無太大差異，而用來估計模擬Fréchet 分配的兩個參數下圖形都不是很準確，與圖A1-4 相比即得知原來估計的方法穩健許多。

(7)

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200

0.00010.00100.01000.10001.0000

t method(3) normal method(3) frechet(3) simu frechet(5) simu

圖A1-6 A1 對模擬 Fréchet 分配使用 Fréchet(3)調整之同質法估計(損失：0~200)

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200

0.00010.00100.01000.10001.0000 t method(5)

normal method(5) frechet(3) simu frechet(5) simu

(8)

四種模擬分配的比較

由圖A1-8 可看到四種模擬分配的形狀，其中下降得最慢的為常態分配，其次為t 分配，再其次為 Fréchet(5)，最快的為 Fréchet(3)，其違約機率僅求算至萬分之一，故與原先預想的有些差距。

但若由圖A1-9 來看損失水準在 100 以內的四個模擬分配，發現與 A1-8 的高低分佈剛好相反，此圖形較符合一般的印象，即越厚尾的分配下降得越慢，而常態分配則下降得最快，此為未取對數下的圖形，可做為我們在評估損失水準極小時的一個依據。

調整後同質法在不同參數及分配下的比較

由圖A1-10 發現，使用 t 分配的同質法做調整時，在不同參數下（即黑線及紫線），損失水準越大，差異有越大的趨勢，而使用常態分配的同質法做調整時，

在不同參數下（藍線及綠線），其估計較為接近，幾乎近似兩條平行線。

Loss Level

Tail Probability

0 100 200 300 400

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

t simu normal simu frechet(3) simu frechet(5) simu

圖A1-8 A1 四種模擬分配的比較(損失：0~450)

(9)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

10^-810^-610^-410^-210^0

t method(3) normal method(3) t method(5) normal method(5)

圖A1-10 A1 不同調整之同質法估計(損失：0~1100)

(10)

配適衡量評鑑

參考表A1，其中 Inf 代表在計算 CHI 指標時的分母因為為 0，故其 CHI 無法計算。

我們先比較使用同質法估計在獨特風險為t 分配或常態分配時何者較佳，發現不管是由MSE 指標或 CHI 指標都顯現常態分配時的配適較佳。

在估計Fréchet(3)分配時，MSE 指標以常態分配的同質法估計最佳，不管損失範圍考量到何處都呈現這樣的情況，但由CHI 指標的值看到，若考量相對誤差，則t 分配的同質法估計較佳，但這僅適用在損失水準較小的部份。而在估計 Fréchet(5)分配時，幾乎所有 MSE 指標及 CHI 指標都指出常態分配的同質法估計是最佳的。

在表中的粗體字表示在估計同一模擬情況時最佳的估計方式，綜合來說，對投資組合A1 而言，常態分配的同質法是較穩健的估計法，其次為 t 分配的同質法，至於對同質法做調整的方式不管在何參數下都較差一些。

(11)

表A1 投資組合 A1 之配適衡量損失水準區間準則模擬

分配

估計

方式 0-999 0-499 0-199 0-99 MSE N N 0.000133

0.000266 0.000664 0.001329

t t 0.000936 0.001873 0.004681 0.009362 f(3) N 0.000339

0.000678 0.001693 0.003328

f(3) t 0.000907 0.001815 0.004535 0.009063 f(3) f(3)N 0.002792 0.005583 0.013959 0.027917 f(3) f(3)T 0.001836 0.003671 0.009179 0.018356 f(5) N 0.000306

0.000611 0.001526 0.002997

f(5) t 0.000917 0.001835 0.004585 0.009164 f(5) f(5)N 0.002918 0.005836 0.014591 0.029180 f(5) f(5)T 0.002326 0.004653 0.011631 0.023261 CHI N N Inf Inf 0.002132 0.004257

t t Inf Inf 0.014452 0.028775 f(3) N Inf Inf 0.062756 0.030746 f(3) t Inf Inf 0.025416 0.027448 f(3) f(3)N Inf Inf 0.044356 0.088228 f(3) f(3)T Inf Inf 0.035676 0.070663 f(5) N Inf Inf 0.035729

0.026634

f(5) t Inf Inf 0.017817 0.027701

f(5) f(5)N Inf Inf 0.047928 0.095271 f(5) f(5)T Inf Inf 0.042241 0.084064

(12)

二、投資組合

A2

與投資組合A1 不同處，在這裡我們將債務人擴大為 1000 人，系統風險因素個數擴大為10 個，

c 與

_k

a 維持不變，

_k

p 則調整如下：

_k

( )

0.01 1 sin 16 , 1, , p

k

= ⋅ +

π

k m k = … m

.

因此，邊際違約機率仍然從0 到 2%之間變動，平均為 1%，而可能的風險暴露單位為1, 4, 9, 16, 和 25，每一種可能風險暴露單位各有 200 個債務人。

圖A2-1 之損失水準為 0~4000，其違約機率取對數以利於比較微小機率時的狀況。由該圖可發現不管獨特風險為常態分配或t 分配，損失水準不大時都配適得相當準確，但損失水準超過1500 左右時，t 分配的同質法估計就顯得明顯地高估了違約機率，而常態分配在損失水準超過2000 左右時才逐漸高估，但高估的程度不是很嚴重。

Loss Level

Tail Probability

0 1000 2000 3000 4000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

(13)

但若看損失水準在100 內的圖 A2-2 時，可發現在損失水準極小時，兩分配下的同質法都不能夠很準確地預測到違約機率（注意此圖的縱軸未取對數），故同質法在這樣的投資組合下不適合預測損失水準極小時的違約機率。

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.40.60.81.0

同質法在獨特風險為常態及t 分配時之估計與模擬為 Fréchet 分配時的比較圖A2-3 之損失水準為 0~2000，其違約機率取對數。發現當獨特風險改為 Fréchet 分配時，模擬的違約機率下降的速度更快，不過其 Fréchet 的參數為 3 或 5，在圖上看起來沒有很大的差異，且利用原來的同質法預測得都不是很好，皆高估了違約機率，相較之下，t 分配的同質法在這個區間內是比較接近 Fréchet 分配的。

而由圖A2-4 發現在損失水準小於 100 時，常態分配及 t 分配的同質法之估計都有低估的現象，會造成損失造成預期的情況，故不適合在此使用。

(14)

Loss Level

Tail Probability

0 500 1000 1500 2000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.40.60.81.0

(15)

圖A2-5 損失水準在 0~2000 時，利用 Fréchet(3)調整下之同質法與模擬的比較，其違約機率取對數，發現不管對模擬分配為Fréchet(3)或 Fréchet(5)，損失水準在200 以下時，經 Fréchet(3)調整 t 分配的估計較接近模擬值，但損失水準超過200 之後，經 Fréchet(3)調整常態分配的估計則與模擬值較近，而這樣的情況由於無法達到一致的情況，故需要再進一步對其他投資組合做配適。

另外圖A2-6 是利用 Fréchet(5)調整下之同質法與模擬的比較，其分佈的情形與圖A2-5 十分類似，但經 Fréchet(5)調整常態分配的估計則明顯地比 Fréchet(5) 調整t 分配的估計總體配適地好得多。

Loss Level

Tail Probability

0 500 1000 1500 2000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

(16)

Loss Level

Tail Probability

0 500 1000 1500 2000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

由圖A2-7 可看到四種模擬分配的形狀，其中下降得最慢的為常態分配，其次為t 分配， Fréchet(5)與 Fréchet(3)下降的速度差不多，交錯在一起，此情況與圖A1-8 的分佈蠻雷同的。但由圖 A2-8 則發現當損失水準在 200 以內時，以 Fréchet(3)下降的最慢，而常態分配下降得最快。

由圖A2-9 發現，使用 t 分配的同質法做調整時，在不同參數下（即黑線及紫線），損失水準越大，差異有隨損失水準增加而擴大的趨勢，而使用常態分配的同質法做調整時，在不同參數下（藍線與綠線）則相比之下較為接近，此與圖 A1-9 的結果相似，即調整常態分配的估計在不同的調整參數下的差異較小。

(17)

Loss Level

Tail Probability

0 1000 2000 3000 4000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200

0.20.40.60.81.0

(18)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000 10000

10^-1610^-1310^-1010^-710^-410^-1 t method(3)

normal method(3) t method(5) normal method(5) t method(3) normal method(3) t method(5) normal method(5)

圖A2-9 A2 不同調整之同質法估計(損失：0~11000)

配適衡量評鑑

參考表A2，其中 Inf 代表在計算 CHI 指標時的分母因為為 0，故其 CHI 無法計算。

在比較使用同質法估計在獨特風險為t 分配或常態分配時何者較佳時，發現不管是由MSE 指標或 CHI 指標都顯現常態分配時的配適較佳，此與投資組合 A1 的結果相似。

在估計Fréchet(3)分配時，不管是由 MSE 指標或 CHI 指標都是以 t 分配同質法估計最精準。而估計Fréchet(5)分配時，亦為 t 分配同質法估計最好，且其值都比其他估計法小得許多。

(19)

表A2 投資組合 A2 之配適衡量損失水準區間準則模擬

分配

估計

方式 0-7999 0-3999 0-1999 0-999 MSE N N 0.000011 0.000022 0.000044

0.000088

t t 0.000042 0.000083 0.000167 0.000333 f(3) N 0.001443 0.002886 0.005771 0.011528 f(3) t 0.000212 0.000423 0.000846

0.001692

f(3) f(3)N 0.007299 0.014598 0.029196 0.058392 f(3) f(3)T 0.002693 0.005385 0.010771 0.021541 f(5) N 0.001289 0.002579 0.005158 0.010302 f(5) t 0.000173 0.000346 0.000693

0.001385

f(5) f(5)N 0.007391 0.014782 0.029565 0.059130 f(5) f(5)T 0.002557 0.005115 0.010229 0.020458 CHI N N Inf 0.000050 0.000086

0.000169

t t Inf Inf 0.000505 0.000897 f(3) N Inf Inf Inf 0.360386 f(3) t Inf Inf Inf

0.028074

f(3) f(3)N Inf Inf Inf 0.089096 f(3) f(3)T Inf Inf Inf 0.046624 f(5) N Inf Inf Inf 0.360590 f(5) t Inf Inf Inf

0.026386

f(5) f(5)N Inf Inf Inf 0.093852 f(5) f(5)T Inf Inf Inf 0.049520

(20)

第二節投資組合 B

投資組合B 的的債務人將被分為幾組同質性很高的團體，在同一團體中的風險暴露單位與邊際違約機率相同，且同一團體中的系統風險因素負荷量也相同，此外，在投資組合B 中，前幾個系統風險因素對大部份的債務人都有影響，

越後面的系統風險因素則影響的群體越少；另外我們改變因素負荷量來看整體的配適是否受到影響。

這樣的投資組合在應用上可適用於預先使用集群分析將債務人分成若干群，再給予固定的參數下來估計其投資組合的損失分配。

一、投資組合

B1

考慮一投資組合，其債務人個數為496，系統風險因素有 5 個，而將債務人分為五個團體，各有256、128、64、32 及 16 人，其各組對應的風險暴露單位各為25、16、9、4、1，而邊際違約機率令為

p

_k =0.1

c

_k ，即五組的邊際違約機率各為0.004、0.00625、0.01111、0.025 及 0.1。

而因素負荷矩陣的設計，五個團體的因素負荷量各為下面的列向量：

(

⁶³⁵^, ⁶³⁵^, ⁶³⁵^, ⁶³⁵^, ⁶^{35 ；}

)

這是一個完全區隔的設計，同一團體內的債務人，其各種參數全部相同，而不同團體的各種參數皆不同，且債務人越多的團體，其風險暴露單位越大，邊際違約機率越小，受到因素的影響越廣。

(21)

圖B1-1 之損失水準為 0~9168（

l

_max =9168），其違約機率取對數。由該圖發現不管獨特風險為常態分配或t 分配的情況下，同質法的估計都非常接近模擬的實線，且都有些微高估違約機率的現象，也就是稍微保守的估計，對風險控管而言是很好的結果。

圖B1-2 是描繪損失水準在 0~1000 的情況，由此圖更能清楚看出些微高估的現象，但發現在損失水準100 以內的時候，模擬的實線高出估計的虛線一些，所以再由圖B1-3 可看到在未對縱軸取對數時的情況，其中獨特風險為常態分配時，低估的情況較為嚴重，獨特風險為t 分配時則估計與模擬的線距離較近，故在損失水準極小的情形時，常態分配的同質法估計不是很適合。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖B1-1 B1 在常態、t 分配的同質法估計(損失：0~9168)

(22)

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

0.010.050.100.501.00

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.20.40.60.81.0

(23)

同質法在獨特風險為常態及t 分配時之估計與模擬為 Fréchet 分配時的比較圖B1-4 之損失水準為 0~9168，其違約機率取對數。由該圖可看到在獨特風險改為Fréchet 分配時，模擬的違約機率下降的比常態或 t 分配快些，故原先配適不錯的同質法此時就有高估違約機率的現象，至於Fréchet 分配在不同參數下的兩條模擬線段差異沒有很大，大致上Fréchet(5)下降得較慢。

而在損失水準在100 以內時，參考圖 B1-5 可以發現，不管是常態或 t 分配的同質法估計都顯得太過低估，實際在Fréchet 分配模擬下的實線都明顯較高，

故在損失水準過小時，有損失發生率超過預期的危險。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖B1-4 B1 對模擬 Fréchet 分配使用常態、t 分配的同質法估計(損失：0~9168)

(24)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.20.40.60.81.0

圖B1-6 是損失水準在 0~9168 時，利用 Fréchet(3)調整之同質法與模擬的比較，其違約機率取對數，可看出Fréchet(3)調整後的常態同質估計法與模擬的兩條實線都十分接近，而Fréchet(3)調整後的 t 分配同質估計法則幾乎都有低估的情況。另外由圖B1-7 發現，在損失水準小於 100 時，反而是 Fréchet(3)調整後的 t 分配同質估計法較接近模擬的情況。

圖B1-8 則是損失水準在 0~9168 時，利用 Fréchet(5)調整之同質法與模擬的比較，其違約機率取對數，可看出與上面的結果相似，Fréchet(5)調整後的常態同質估計法與模擬的兩條實線都較接近，而Fréchet(3)調整後的 t 分配同質估計法則反而有損失水準小時低估、損失水準大時高估的不穩定現象。但由圖B1-9 發現，當損失水準小於100 時，兩條估計線都非常的不準，幾乎沒有辦法解釋任何實際的模擬。

(25)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖B1-6 B1 對模擬 Fréchet 分配使用 Fréchet(3)調整之同質法估計(損失：0~9168)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

(26)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

(27)

由圖B1-10 可看到四種模擬分配的形狀，其中為常態分配與 t 分配在尾端糾結在一起，但下降的次序依序為常態分配、t 分配、Fréchet(5)及 Fréchet(3)。而由圖B1-11 發現，在損失水準小於 200 時，下降的次序剛好倒過來，是 Fréchet(3) 分配下降得最慢，常態下降得最快，與一般想像的相同。

由圖B1-12 發現，使用 t 分配的同質法做調整時，在不同參數下（即黑線及紫線），差異非常大，即在此投資組合的條件假設下，用t 分配的同質法做調整是非常不穩定的動作，但相反的，使用常態分配的同質法做調整時，在不同的參數下（藍線及綠線），就幾乎沒有任何差異，兩條線從頭到尾幾乎是密合的，也就是說在這樣的條件下，常態分配的同質法在這兩種調整之間是相當穩定的。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

B1-10 B1 四種模擬分配的比較(損失：0~9168)

(28)

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200

0.00.20.40.60.81.0

圖B1-11 B1 四種模擬分配的比較(損失：0~200)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖B1-12 B1 不同調整之同質法估計(損失：0~9168)

(29)

配適衡量評鑑

參考表B1，我們先比較使用同質法估計在獨特風險為 t 分配或常態分配時何者較佳，發現不管是由MSE 指標或 CHI 指標都顯現 t 分配時的配適較佳，此處的結果與投資組合A 都不同。

在估計Fréchet(3)分配時，在各損失水準區間的 MSE 指標及 CHI 指標都是以Fréchet(3)做調整的 t 分配同質估計最佳，此與圖形上的認知有些差異的原因在於當損失水準很小時，僅有以Fréchet(3)做調整的 t 分配同質估計較為準確，

而其他估計的誤差都很大，造成僅管在估計Fréchet(3)分配或 Fréchet(5)分配時，

似乎調整常態同質估計時較佳，但計算MSE 及 CHI 時，卻是以 Fréchet(3)做調整的t 分配同質估計最小。此外，t 分配的同質法估計也算不錯，每個衡量指標都略高一些而已。

而在估計Fréchet(5)分配時，在各損失水準區間的 MSE 指標及 CHI 指標都是以t 分配的同質法估計最好。

整體而言，t 分配的同質法估計不管在估計自身分配或厚尾的 Fréchet(3)分配、Fréchet(5)分配都有很不錯的績效，是 B1 投資組合時蠻穩健的估計法。

(30)

表B1 投資組合 B1 之配適衡量損失水準區間準則模擬

分配

估計

方式 0-7999 0-4999 0-1999 0-999 MSE N N 0.000183 0.000292 0.000730 0.001458

t t

0.000057 0.000091 0.000228 0.000456

f(3) N 0.001482 0.002370 0.005911 0.011771

f(3) t 0.000408 0.000652 0.001626 0.003246 f(3) f(3)N 0.001849 0.002958 0.007394 0.014788 f(3) f(3)T

0.000299 0.000478 0.001195 0.002389

f(5) N 0.001123 0.001797 0.004480 0.008916 f(5) t 0.000227 0.000363 0.000904

0.001804

f(5) f(5)N 0.001491 0.002386 0.005964 0.011928 f(5) f(5)T 0.001601 0.002561 0.006401 0.012801 CHI N N 0.000672 0.001054 0.002421 0.004510 t t

0.000276 0.000364 0.000672 0.001305

f(3) N 0.012617 0.018694 0.031438 0.039719 f(3) t 0.003811 0.004222 0.006437 0.009983

f(3) f(3)N 0.004058 0.006465 0.015968 0.031689 f(3) f(3)T

0.001393 0.002180 0.005080 0.009597

f(5) N 0.008546 0.013158 0.021484 0.027366 f(5) t 0.001985 0.002659 0.003839

0.006268

f(5) f(5)N 0.003818 0.006099 0.015222 0.030422 f(5) f(5)T 0.006111 0.007935 0.018788 0.037275

(31)

二、投資組合

B2

同樣考慮一投資組合，其債務人個數、系統風險因素都與投資組合B1 相同，

而將債務人分為五個團體，各有256、128、64、32 及 16 人，其各組對應的風險暴露單位及邊際違約機率也與B1 相同。

而五個團體的因素負荷矩陣的設計改為下面的列向量：

(

⁶⁴⁰^, ⁶⁴⁰^, ⁶⁴⁰^, ⁶⁴⁰^, ⁶^{40 ；}

)

l

_max =9168），其違約機率取對數。由該圖發現不管獨特風險為常態分配或t 分配的情況下，同質法的估計（虛線）都在模擬

（實線）的上端，但距離很近，表示都有些微的高估，此為很不錯的配適情形。

而由圖B2-2 可發現，在損失水準小於 100 時，常態分配的同質法估計有較嚴重的低估，而t 分配的同質法估計則與模擬的情況較為接近，不過損失水準極小時用同質法估計還是不夠準確。

(32)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.20.40.60.81.0

(33)

同質法在獨特風險為常態及t 分配時之估計與模擬為 Fréchet 分配時的比較圖B2-3 之損失水準為 0~9168，其違約機率取對數。由該圖可看到在獨特風險改為Fréchet 分配時，不管是使用常態分配或 t 分配的同質法估計都顯得高估了違約機率，而再由圖B2-4 可看到當損失水準極小時，使用常態分配或 t 分配的同質法估計又都顯得低估，其中常態估計低估的很嚴重，故在此投資組合下利用同質法估計極值分配的損失機率是不恰當的。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

(34)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.20.40.60.81.0

圖B2-5 及圖 B2-6 是損失水準在 0~9168 時，不同調整方式（利用 Fréchet(3) 及Fréchet(5)調整）下之同質法與模擬的比較，其違約機率取對數，可看出除了使用Fréchet(3)調整過的 t 分配同質法有較嚴重的低估情形之外，使用 Fréchet(3) 調整過的常態分配同質法及使用Fréchet(5)調整過的常態分配及 t 分配同質法配適的圖形都很不錯，從圖上比較不出好壞，故留至後面使用衡量評鑑來比較。

但值得注意的是由圖B2-7 及圖 B2-8 在損失水準小於 100 時，沒有一個能夠估計得精準的方法，每條虛線（不同調整下的同質法）都明顯較實線（模擬的分配）低估許多，故目前討論到的估計方法都不適於估計投資組合B2 在損失水準極小時的損失分配。

(35)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

(36)

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

Loss Level

Tail Probability

0 20 40 60 80 100

0.00.20.40.60.81.0

(37)

由圖B2-9 可看到四種模擬分配的形狀，其中下降得最慢的為常態分配，其次為t 分配，再其次為 Fréchet(5)，最快的為 Fréchet(3)，其違約機率僅求算至萬分之一，而與投資組合B1 的圖 B1-10 比起來，不同假設分配下的模擬差異較大。

但在損失水準小於200 時，由 B2-10 得知與前面的情況相仿，違約機率下降的速度是以越厚尾的下降越慢。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

由圖B2-11 發現，使用 t 分配的同質法做調整時，在不同參數下（即黑線及紫線），損失水準越大，差異有越大的趨勢，而使用常態分配的同質法做調整時，

在不同參數下（藍線與綠線）差異很小，表示在調整方面使用常態分配的同質法做調整時，其變動較小，較為穩健，此結果與其他投資組合都相似。

(38)

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200

0.00.20.40.60.81.0

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-810^-610^-410^-210^0

圖B2-11 B2 不同調整之同質法估計(損失：0~9168)

(39)

配適衡量評鑑

參考表B2，其中 Inf 代表在計算 CHI 指標時的分母因為為 0，故其 CHI 無法計算。

先比較使用同質法估計在獨特風險為t 分配或常態分配時何者較佳，發現不管是由MSE 指標或 CHI 指標都顯現 t 分配時的配適較佳，此與投資組合 B1 的結果相同。

在估計Fréchet(3)分配時，不管損失範圍為何， MSE 指標都以 t 分配的同質法估計最佳，而以Fréchet(3)調整的 t 分配則在使用 CHI 指標時表現不錯，僅有在損失範圍在0-999 時，t 分配的同質法估計才成為最佳估計。

而在估計Fréchet(5)分配時，不論是 MSE 指標或 CHI 指標都以 t 分配的同質法估計表現最佳，與模擬出來的資料最具擬合度。

整體而言，不管假設獨特風險為何種分配，從配適度的衡量指標看起來都是以t 分配的同質法估計表現較好，但其實由之前的圖形會發現在損失水準較大時，以Fréchet(3)調整的 t 分配同質估計較貼近模擬的曲線，主要因為損失水準極小時Fréchet(3)調整的 t 分配同質估計很不準所造成的這樣的情形。

(40)

表B2 投資組合 B2 之配適衡量損失水準區間準則模擬

分配

估計

方式 0-7999 0-4999 0-1999 0-999 MSE N N 0.000179 0.000287 0.000716 0.001430

t t

0.000043 0.000069 0.000171 0.000342

f(3) N 0.001826 0.002921 0.007295 0.014534 f(3) t 0.000287 0.000459 0.001146

0.002289

f(3) f(3)N 0.002868 0.004588 0.011471 0.022942

f(3) f(3)T 0.000833 0.001334 0.003334 0.006668 f(5) N 0.001497 0.002395 0.005980 0.011907 f(5) t 0.000175 0.000281 0.000701

0.001399

f(5) f(5)N 0.002495 0.003992 0.009981 0.019962 f(5) f(5)T 0.001116 0.001785 0.004463 0.008926 CHI N N 0.000540 0.000862 0.002085 0.003894

t t

0.000137 0.000212 0.000491 0.000924

f(3) N Inf 0.087062 0.159187 0.166644 f(3) t Inf 0.008091 0.013609

0.016811

f(3) f(3)N Inf 0.008681 0.021673 0.043186 f(3) f(3)T Inf 0.004167 0.010335

0.020496

f(5) N 0.030172 0.047397 0.080315 0.079120 f(5) t 0.002599 0.003805 0.005510

0.006506

f(5) f(5)N 0.005326 0.008520 0.021285 0.042555 f(5) f(5)T 0.003484 0.005574 0.013922 0.027697

(41)

第三節投資組合 C

投資組合C 與投資組合 B 的設計想法很相似，設計用來處理已經分過類的投資組合，但同時考慮投資組合A 的想法，即考慮風險因素負荷量在同一團體內也有隨機的變動，且邊際違約機率呈現循環的分佈，而為了方便與投資組合B 做比較，投資組合C 的債務人個數、系統風險因素、各團體內的個數與風險暴露單位都與投資組合B 的設定相同，而邊際違約機率及系統風險的因素負荷量則設計如下：

p

~ U ( ) 0,1

。

與投資組合B 類似，債務人越多的團體，其風險暴露單位也越大，受到因素影響的範圍也越廣，但違約機率則與團體之間沒有一定的關係。

圖C-1 之損失水準為 0~9168，其違約機率取對數。常態分配及 t 分配同質法的估計與投資組合A1 的趨勢非常相近，在此圖損失水準小於 2000 時，除了 t 分配同質法的黑色虛線較為低一些外，其他線段都非常貼近，但在損失水準較大時，t 分配的同質估計明顯高估許多，而常態的估計則相較起來準確地多。

(42)

配適地相當好，但t 分配的同質估計則明顯地呈現低估機率的現象，再經由圖 C-3 可發現其實在損失水準小於 400 左右時，常態分配也會有低估的情形，但不像t 分配那麼嚴重。

不過與投資組合A 或 B 比較起來，此投資組合在損失水準極小時配適的情況好上許多。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖C-1 C 在常態、t 分配的同質法估計(損失：0~9168)

(43)

Loss Level

Tail Probability

0 500 1000 1500 2000

0.050.100.501.00

Loss Level

Tail Probability

0 100 200 300 400 500

0.40.60.81.0

(44)

同質法在獨特風險為常態及t 分配時之估計與模擬為 Fréchet 分配時的比較圖C-4 之損失水準為 0~9168，其違約機率取對數。由該圖可發現在獨特風險改為Fréchet 分配時，模擬的實線都明顯較原先使用常態或 t 分配的同質估計要低，且隨著損失水準的增加，估計的誤差也越來越大，另外由圖C-5 可看到在損失水準小於500 時，則使用常態或 t 分配的估計同質估計會低估違約機率，整體來說，模擬分配改為Fréchet 分配後，與原先的同質估計的趨勢已有些不同，

不適合使用原來的估計來做預測。

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖C-4 C 對模擬 Fréchet 分配使用常態、t 分配的同質法估計(損失：0~9168)

(45)

Loss Level

Tail Probability

0 100 200 300 400 500

0.00.20.40.60.81.0

圖C-5 C 對模擬 Fréchet 分配使用常態、t 分配的同質法估計(損失：0~500)

圖C-6 及圖 C-7 是損失水準在 0~9168 及 0~500 時，利用 Fréchet(3)調整之同質法與模擬的比較，可發現不管是Fréchet(3)調整後的常態同質估計或 t 分配同質估計都不是很好，其中利用Fréchet(3)調整後的 t 分配同質估計在配適模擬 Fréchet(3)分配時，損失水準不太大時走勢還多少可以預測。

而圖C-8 是損失水準在 0~9168 時，利用 Fréchet(5)調整之同質法與模擬的比較，其中利用Fréchet(5)調整之常態同質估計明顯配適地較佳，但其實在損失水準很小時（參考圖C-9），其誤差卻又很大，故也不是很好的一個估計法。

由上面的敘述我們發現對於這樣極值的厚尾分配沒有一個很好的估計方法，所以這個投資組合是這樣的估計比較難處理的部份。

(46)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

圖C-6 C 對模擬 Fréchet 分配使用 Fréchet(3)調整之同質法估計(損失：0~9168)

Loss Level

Tail Probability

0 100 200 300 400 500

0.00.20.40.60.81.0

(47)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-610^-510^-410^-310^-210^-110^0

Loss Level

Tail Probability

0 100 200 300 400 500

0.00.20.40.60.81.0

(48)

由圖C-10 可看到四種模擬分配的形狀，與前面的投資組合不同的是，其中下降得最慢的為t 分配，其次才是常態分配，而 Fréchet(5)與 Fréchet(3)相交在約損失水準3800 左右，之後 Fréchet(3)的尾端最早降至零。

而圖C-11 顯示，在損失水準小於 500 時，Fréchet(5)分配為最厚尾的，常態則為最快下降的，此與之前的投資組合有一點不同，顯示在這樣的配置下，分配之間的關係也會有所改變。

由圖C-12 發現，與之前其他投資組合的結果類似，使用 t 分配的同質法做調整時，在不同參數下（即黑線及紫線）差異較大，而使用常態分配的同質法做調整時，不同參數（藍線與綠線）的差異較小。

Loss Level

Tail Probability

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

圖C-10 C 四種模擬分配的比較(損失：0~6000)

(49)

Loss Level

Tail Probability

0 100 200 300 400 500

0.20.40.60.81.0

圖C-11 C 四種模擬分配的比較(損失：0~500)

Loss Level

Tail Probability

0 2000 4000 6000 8000

10^-1010^-810^-610^-410^-210^0

圖C-12 C 不同調整之同質法估計(損失：0~9168)

(50)

配適衡量評鑑

參考表C，其中 Inf 代表在計算 CHI 指標時的分母因為為 0，故其 CHI 無法計算。

在同質法估計獨特風險為t 分配或常態分配時，不管使用 MSE 指標或 CHI 指標都以常態時的估計較佳。

在估計Fréchet(3)分配時，MSE 指標以 t 分配的同質法估計最佳，CHI 指標在損失水準為0-1999 時則以 Fréchet(3)調整的 t 分配同質估計較佳，不過其實也只有比t 分配的同質估計低一點而已，整體而言 t 分配還是配得最適合。

而在估計Fréchet(5)分配時，也幾乎都是以 t 分配的同質法估計得最準確，

但其實從之前的圖就知道對於這樣的厚尾分配，我們所提出的估計方法都沒辦法估計得很好，這裡的比較僅就這些估計法中挑出較好的一種。

仔細觀察表C 即可得知，整體而言，還是以用常態或 t 分配的同質估計法來估計模擬分配為常態或t 分配時為最佳。

(51)

表C 投資組合 C 之配適衡量

損失水準區間準則模擬

分配

估計

方式 0-7999 0-3999 0-1999 0-999 MSE N N 0.000019 0.000039 0.000078

0.000150

t t 0.000122 0.000243 0.000477 0.000834 f(3) N 0.001315 0.002630 0.005252 0.009920 f(3) t 0.000888 0.001773 0.003500

0.006900

f(3) f(3)N 0.002690 0.005379 0.010626 0.016253 f(3) f(3)T 0.000904 0.001806 0.003572 0.007065 f(5) N 0.001619 0.003239 0.006445 0.011910 f(5) t 0.001338 0.002673 0.005258

0.010200

f(5) f(5)N 0.001978 0.003955 0.007893 0.015266 f(5) f(5)T 0.003844 0.007688 0.015369 0.030171 CHI N N Inf 0.000131 0.000156

0.000239

t t Inf 0.002436 0.002461 0.003297 f(3) N Inf Inf 0.016256 0.020144 f(3) t Inf Inf 0.007060

0.011011

f(3) f(3)N Inf Inf 0.103381 0.094700 f(3) f(3)T Inf Inf 0.006907 0.011340

f(5) N Inf 0.017218 0.025971 0.022310 f(5) t Inf 0.033919

0.015230 0.016781

f(5) f(5)N Inf 0.011955 0.019329 0.022803

f(5) f(5)T Inf 0.022697 0.044281 0.074322

(52)

第四節投資組合 D

最後我們設計一個更複雜的投資組合D，在這個投資組合內，預先給 21 個系統風險因素不同的定義，其中第一個因素為總體經濟因素，也就是所有的債務人都與總體經濟因素有關，次十個因素是所謂的產業因素，不同的債務人有其所屬的不同的產業別，故同一個產業內的債務人就依據此因素來構建其相關關係，

最後十個因素是地理環境因素，每個債務人也僅有一個地理環境因素的因素負荷量有值，用此十個因素可劃分出不同地理位置的區隔。

在這個投資組合內我們考慮1000 個債務人，其風險暴露值設定從 1 至 100 均勻分成1000 個等分，呈現等差級數的遞增。遞際違約機率則如下：

p

_k

= 0.01 1 cos 16 ⋅ + ( (

π

k m ) ) , k = … 1, , m

.

而21 個因素對 1000 個債務人的因素負荷量矩陣設計如下：

,

I G g

A M G

I G g

⎡ ⎤ ⎛ ⎞

⎢ ⎥ ⎜ ⎟

=⎢ ⎥ =⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎢ ⎥ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

其中M 是有 1000 個元素的行向量，每個元素皆設為 0.8；每個 I 為 100 個元素的行向量，每個I 中的元素皆設為 0.4；每個 G 為

100 10 ×

的矩陣，其中的g 皆為含有10 個元素的行向量，同樣每個元素也設為 0.4。

這樣的因素負荷量矩陣代表所有的債務人受到總體經濟變動的影響最大，而產業因素及地理環境因素的影響較小，而且每個債務人承受的獨特風險程度假設為相同。另外在這樣的組合之下，1000 個債務人將可分為 100 種不同風險負荷的組合，每個組合都恰好有10 個債務人。

這個投資組合的設計跟之前的差異在於相關結構會透過某些因素與全部的債務人有關係，也會透過某些因素與部份的債務人有關係，將可以顯現出我們估計上會遇到的難題。

(53)

圖D-1 之損失水準為 0~50500（

l

_max =500），其違約機率取對數。可以發現獨特風險假設為常態分配或t 分配的模擬曲線（黑色實線與藍色實線）幾乎重合在一起，而不管是常態的同質估計或t 分配的同質估計，在損失水準約 10000 以內都有低估的現象，而超過10000 後都產生高估，整體趨勢都沒有很接近模擬的曲線。

而由圖D-2 發現，常態分配同質估計法所計算出來的尾巴機率在損失水準極小時就掉得很快，而t 分配則相反，在損失水準極小時比模擬的機率掉得還要慢。

Loss Level

Tail Probability

0 10000 20000 30000 40000 50000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

圖D-1 D 在常態、t 分配的同質法估計(損失：0~50500)

(54)

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

0.20.40.60.81.0

圖D-2 D 在常態、t 分配的同質法估計(損失：0~1000)

同質法在獨特風險為常態及t 分配時之估計與模擬為 Fréchet 分配時的比較圖D-3 之損失水準為 0~50500，其違約機率取對數。由該圖可看到在獨特風險改為Fréchet 分配時，Fréchet(3) 的尾巴機率明顯比 Fréchet(5)下降得還快，而常態或t 分配的同質估計都不太能配適到很大的損失水準。但若以圖 D-4 來看，

發現t 分配的同質估計與 Fréchet 分配的模擬在損失水準很小時較為接近。

圖D-5 及圖 D-6 顯示在損失水準超過 10000 後，不管是利用 Fréchet(3)調整或Fréchet(5)調整都不能夠跟得上模擬曲線下降的速度。而且藉由圖 D-7 及圖 D-8 發現即使在損失水準極小時，這些調整後的估計方法也幾乎完全無法跟模擬出來的尾巴分配有同樣的趨勢。

(55)

Loss Level

Tail Probability

0 10000 20000 30000 40000 50000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

圖D-3 D 對模擬 Fréchet 分配使用常態、t 分配的同質法估計(損失：0~50500)

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

0.00.20.40.60.81.0

圖D-4 D 對模擬 Fréchet 分配使用常態、t 分配的同質法估計(損失：0~1000)

(56)

Loss Level

Tail Probability

0 10000 20000 30000 40000 50000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

圖D-5 D 對模擬 Fréchet 分配使用 Fréchet(3)調整之同質法估計(損失：0~50500)

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

0.00.20.40.60.81.0

(57)

Loss Level

Tail Probability

0 10000 20000 30000 40000 50000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

Loss Level

Tail Probability

0 200 400 600 800 1000

0.00.20.40.60.81.0

(58)

由圖D-9 可看到四種模擬分配的形狀，其中常態分配與 t 分配幾乎糾纏在一起，沒有太大的差異，Fréchet(3)尾端機率下降得最快，但由圖 D-10 來看，在損失水準很小時，獨特風險為常態分配時的尾端機率下降得最快，反而是Fréchet(3) 尾端機率下降得最慢。

Loss Level

Tail Probability

0 10000 20000 30000 40000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

圖D-9 D 四種模擬分配的比較(損失：0~47000)

由圖D-11 發現，使用 t 分配的同質法做調整時，在不同參數下（即黑線及紫線），損失水準越大差異越大，而使用常態分配的同質法做調整時，在不同參數下（藍線與綠線）幾乎是完全重合。

(59)

Loss Level

Tail Probability

0 50 100 150 200 250 300

0.00.20.40.60.81.0

圖D-10 D 四種模擬分配的比較(損失：0~300)

Loss Level

Tail Probability

0 10000 20000 30000 40000 50000

0.000010.000100.001000.010000.100001.00000

圖D-11 D 不同調整之同質法估計(損失：0~50500)

(60)

配適衡量評鑑

參考表D，其中 Inf 代表在計算 CHI 指標時的分母因為為 0，故其 CHI 無法計算，由於之前比較圖形時較難比出好壞，感覺都配適地不好，故這裡利用計算的方式可以當做主要比較好壞的方法。

我們先比較使用同質法估計在獨特風險為t 分配或常態分配時何者較佳，發現不管是由MSE 指標或 CHI 指標都顯現常態分配時的配適較佳，即這個投資組合下，t 分配的配適比起常態要差，比較不能計算到很精確的尾端機率。

接著在估計Fréchet(3)分配時，幾乎都是以 t 分配的同質估計法表現較佳，

僅有損失區間在0~9999 時是以 Fréchet(3)對 t 分配同質法做調整時的估計較好一些；同樣的，在估計Fréchet(5)分配時，也幾乎都是以 t 分配的同質估計較好。

所以總結來看，在投資組合D 時，不管模擬的獨特分配是假設在常態分配、

t 分配、Fréchet(3)分配或 Fréchet(5)分配，本文中所用到的估計方法都沒辦法很有效地估計其尾端的機率分佈。

(61)

表D 投資組合 D 之配適衡量

損失水準區間準則模擬

分配

估計

方式 0-39999 0-19999 0-9999 0-999 0-99 MSE N N 0.000173 0.000331 0.000640 0.004601

0.008824

t t 0.000358 0.000696 0.001381 0.010675 0.088702 f(3) N 0.000472 0.000919 0.001712 0.015568 0.105268 f(3) t 0.000193 0.000356 0.000629 0.004920

0.031323

f(3) f(3)N 0.000473 0.000925 0.001740 0.015938 0.106633 f(3) f(3)T 0.000398 0.000789 0.001541 0.014765 0.119985 f(5) N 0.000347 0.000670 0.001274 0.011175 0.058323 f(5) t 0.000294 0.000559 0.001079 0.008022

0.056511

f(5) f(5)N 0.000354 0.000686 0.001316 0.011453 0.059084 f(5) f(5)T 0.002339 0.004678 0.009350 0.091219 0.383625 CHI N N 0.015483 0.005317 0.006240 0.032953

0.042671

t t 0.025194 0.006390 0.010373 0.043048 0.269258 f(3) N Inf Inf 0.060117 0.054919 0.232909 f(3) t Inf Inf 0.030151

0.020950 0.058810

f(3) f(3)N Inf Inf 0.053732 0.056941 0.236029 f(3) f(3)T Inf Inf 0.019398 0.039061 0.258899 f(5) N Inf 0.035177

0.008151

0.051496 0.160280 f(5) t Inf 0.027379 0.008344

0.032806 0.133006

f(5) f(5)N Inf 0.031285 0.008414 0.053172 0.162429 f(5) f(5)T Inf 0.023909 0.046833 0.394009 1.123955

第一節 投資組合 A

第四章 模擬分析及比較

第一節 投資組合 A

A1

( )

( )

c

( [

k m ] )

k

m

a 使得其獨立且服從均勻分配

U 0, 1 , d 2 d

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

p 會有一個循環的情況，而

c 連續 20

l

0.000266 0.000664 0.001329

0.000678 0.001693 0.003328

0.000611 0.001526 0.002997

0.026634

A2

c 與

a 維持不變，

p 則調整如下：

( )

( )

0.01 1 sin 16 , 1, , p

= ⋅ +

k m k = … m

0.000088

0.001692

0.001385

0.000169

0.028074

0.026386

第二節 投資組合 B

B1

p

c

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

l

0.000057 0.000091 0.000228 0.000456

0.000299 0.000478 0.001195 0.002389

0.001804

0.000276 0.000364 0.000672 0.001305

0.001393 0.002180 0.005080 0.009597

0.006268

B2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

l

0.000043 0.000069 0.000171 0.000342

0.002289

0.001399

0.000137 0.000212 0.000491 0.000924

0.016811

0.020496

0.006506

第三節 投資組合 C

p

第一節投資組合 A

第四章模擬分析及比較

第一節投資組合 A

U 0, ¹ , d 2 d

第二節投資組合 B

第三節投資組合 C

第四節投資組合 D