第二章 基本理論
2.1 銫原子超精細結構
20根據量子力學理論，原子光譜中某一譜線的產生是因為原子中的 電子在兩個能態間的躍遷。處於激發態的原子可以發射光子，躍遷到 較低的能態。反之，處於較低的能態的原子可以吸收光子，躍遷到較 高的激發態。對於氫原子，當電子躍遷時，它的狀態由量子數n1、l1、 m1的軌道到量子數 n2、l2、m2的軌道，因為光子的角動量是 1 的關 係，選擇規則(selective rule)為
△ l = ± 1，△ m = 0, ± 1
對於多電子原子，還需要考慮(1)電子間的庫倫作用力、(2)電子 自旋角動量(Sv
)-軌道角動量耦合(Lv)、(3)原子核自旋角動量(Iv )-電 子總角動量(Jv
)耦合。而電子自旋角動量與軌道角動量耦合而產生精 細結構(Fine Structure)，以符號Jv
表示，Jv=Lv+Sv；原子核自旋與電子 總角動量耦合使能階進一步分裂，產生超精細結構(Hyperfine
Structure)，以符號Fv
表示，Fv = Jv+Iv。 整個銫原子系統的Hamiltonian 為
HFS
SL H
H H
H = 0+ +
其銫原子的能階如圖 2.1 所示（不含超精細譜線），與實驗相關的部 分銫原子超精細譜線圖，見圖 2.2。
圖 2.1：銫原子能階圖21、22、23、24、25、26
其中描述D1及 D2譜線超精細結構的Hamiltonian27
) 1 2 ( ) 1 2 ( 2
) 1 ( ) 1 2 (
) 3 (
3 2
−
−
+ +
−
⋅ +
⋅ +
⋅
= I I J J
J J I I J I J
I B J I A
Hhfs hfs hfs
v v v
v v
v
Ahfs為磁耦極矩常數，Bhfs為電四極矩常數（此項只適用於D2譜線，
不適用於J＝1/2）
超精細譜線能量變化為
) 1 2 ( 2 ) 1 2 ( 2
) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 2 (
3 2
1
−
−
+ +
− + +
=
Δ I I J I
J J I I K
K B K A
Ehfs hfs hfs
其中K =F(F+1)−I(I+1)−J(J +1)
6 2P3/2的磁偶極矩常數和電四極矩常數分別為Ahfs =h⋅50.275(3)MHz， MHz
h
Bhfs = ⋅−0.53(2) （1988 年 Tanner 和 Wieman 所測）28。
6s 8s
6p1/2
6p3/2
822nm 822nm
894.3nm 852.1nm
Δυ ≈ 12.8 THz
251.0916(20) MHz 201.2871(11) MHz 151.2247(16) MHz
1167.688(81) MHz
9192.631770 MHz
D1 line D2 line
Fe 5 4 3 2
4 3
Fg 4
3
7p1/2
7p3/2
455.5nm 459.3nm
Fg 4
3
圖 2.2：銫原子 6s-6p 與 6s-8s 躍遷示意圖29、30
圖 2.2 為與我們實驗相關的能階圖。銫原子的原子核自旋為 I=7/2；6s 的電子考慮自旋後的總角動量為 J=±1/2，因此有兩條超精 細結構:即，考慮原子核自旋的總角動量F=3 (7/2-1/2)或 F=4(7/2+1/2)
兩種。6p 考慮自旋後的總角動量 J=1±1/2，精細結構分裂成 J=1/2、
3/2。6s 到 6p 精細結構的躍遷路徑有 6 2S1/2 − 6 2P!/2和 6 2S1/2 − 6 2P3/2 分別稱為D1 譜線、D2 譜線。6 2P!/2有兩條超精細結構F=3 或 F=4，
6 2P3/2有四條超精細結構:F=2、F=3、F=4、F=5，D2 譜線其躍遷路 徑為(Fg=3→Fe=2、3、4 ， Fg=4→Fe=3、4、5)。如圖 2.2 所示。
2.2 飽和吸收光譜
31飽和吸收：吸收係數α 會受到光強度的影響20、32
0 2 0
2 ) ( /
1 τ
ω ω α α
+ − +
=
Is
I ，ω：雷射光頻率，ω0：共振頻率，τ：自然線寬
直觀的解釋：自然狀態下，氣體分子處於基態的數目最多，此時氣體 分子對於光的吸收能力最強，對於共振頻的吸收係數假設為α0。若是 氣體分子受到功率較大的雷射光激發（稱為幫浦光），處於基態的分 子被激發到上能階，導致處於基態的分子數量變少，則吸收係數變小。
觀察吸收係數變化的方法為利用功率很低的光（稱為探測光），
假設其功率小到不會改變氣體的吸收係數，將此探測光與氣體分子交 互作用，頻率隨著時間變化做掃頻，即可觀察探測光在不同頻率的吸 收係數。
一般在低氣壓下，分子的線寬會受到都普勒效應（Doppler effect）
的影響，都普勒效應的解釋如下：在常溫下，氣體分子隨機的向四面
八方運動，若任意選定一固定方向軸（例如 x 軸）來觀察氣體分子運 動的狀態，會發現氣體分子有的向＋x 方向運動，有的向-x 方向運動 有快有慢。經過統計得知氣體分子的數量在不同速度的分佈為馬克士 威爾-波茲曼速率分佈（Maxwell-Boltzmann velocity distribution），速 度為零的氣體分子數目最多。
為了消除都普勒效應所造成的線寬，我們的實驗讓幫浦光與探測 光在相反方向同時掃瞄頻率，如圖 2.3 所示，在速度群為零的地方才 會有飽和凹陷，因此此時的頻率為躍遷中心頻率。
圖 2.3：排除都普勒效應決定躍遷中心示意圖
2.3 交叉線（crossover line）
錯誤! 尚未定義書籤。當沒有幫浦光時，可發現吸收係數因為速度群分佈，隨著探測光 頻率靠近共振頻而增加，形成波茲曼分佈。有幫浦光且幫浦光頻率固 定為氣體分子躍遷頻率時，因為幫浦光會使運動速度為零的氣體分子 吸收係數變小，所以探測光掃頻時其波茲曼分佈曲線在共振頻的吸收 係數會變小，產生一個凹陷，稱為飽和吸收。而凹陷部分為自然線寬 呈現勞倫茲分佈（Lorentz distribution）。如圖 2.4 所示。
圖 2.4: 原子速度群為零（上圖）與不為零（下圖）的飽和吸收光譜
若幫浦光的頻率固定在偏離共振頻時，仍然會有某一群速度不為 零的氣體分子因為都普勒效應以為光頻率為共振頻，而產生飽和吸 收。因此在飽和凹陷處，幫浦光與探測光皆不為共振頻。說明如下：
見圖 2.4，有幫浦光與探測光分別從＋x 方向與-x 方向與氣體分子作 交互作用，假設與幫浦光做交互作用的氣體分子速度為＋V，受到都 普勒效應的影響，氣體分子所感受到兩道光的頻率分別為
) 1 ( c f v
f+x = pumo + 與 (1 ) c f v
f−x = probe − 。雖然幫浦光的頻率不等於共振頻
（ fpump ≠ f0， f0為共振頻），但速度群為＋V 的氣體分子因為都普勒 效應感受到光的頻率為 f+x = f0，探測光掃瞄頻率至速度群為＋V 的氣 體分子也感受到-x 方向來的光為共振頻時（ f−x = f0），仍會產生飽和 吸收凹陷。此時 fpump < fprobe。以上所描述限於二能階系統。現在討論
三能階系統（ A B C ）的氣體分子，如圖 2.5 所示，含有兩個躍遷
A → B 、 A → C ，兩個躍遷具有相同的下能階 A 。假設幫浦光和 探測光的頻率皆為 flaser，速度群為＋V 的氣體分子感受到幫浦光的頻
率為 laser fA B
c
f (1+ )v = → ，感受到探測光的頻率為 laser fA C c
f (1− )v = → 時，也
會有飽和吸收現象，但是氣體分子分別吸收左右兩道光躍遷到不同的 激發態，這種狀況產生的飽和吸收凹陷我們稱為交叉線（crossover line）。此時雷射光的頻率值恰好為兩個躍遷頻率中間值
（ 2
C A B A laser
f
f = f → + → ）。同理可知，若是三能階系統有共同的激發態，
不同的基態，也會產生交叉線。
A C
B
B A
laser f
c
f (1+ )v = →
C A
laser f
c f (1− )v = →
2
C A B A laser
f
f f → + →
= 2
C A B A laser
f f = f → + →
圖 2.5:交叉線（crossover line）解說示意圖
2.4 頻率調制基本理論
33、34頻率調制（Frequency modulation，簡稱FM）這個技術已經廣 泛的應用在需要高解析度和靈敏度的光譜。在這一節中我們會先 討論FM的訊號如何描述，再引伸到與FM光譜具有相同外差法
（hetrodyne）的調制轉移（MTS）光譜 FM 訊號
見圖 2.6，取FM 光譜訊號的方法為，先讓探測光（單頻光，頻 率為ω，以E1表示）通過電光調制器(EOM)做相位調制（調制頻率 為Ω），受到調制後的探測光以E2表示。
Single Frequency
Laser
Phase Modulator
(EOM)
Sample
(Cs Cell) Photodetector
Phase Adjuster
RF Mixer Function
Generator
E1 E2 E3
ω
S(t)
DC Signal ω ω+Ω
Ω
ω− ω−Ω ω ω+Ω
Ω
圖2.6：產生FM 訊號示意圖
假設調制很小 (modulation index，m << 1)，光只產生兩條邊帶
（sideband），兩條邊帶的頻率分別為ω-Ω、ω+Ω。我們可以將光用 以下式子來描述
)
0 exp(
1 E i t
E = ω
]}
) (
2 exp[
) exp(
] ) (
2 exp[
{
) exp(
) (
) cos exp(
0 0 0 2
t m i
t i t
m i E
in t i m
J E
t im
t i E
E
n n
Ω + +
+ Ω
−
−
=
Ω +
=
+
=
∑∞
−∞
=
ω ω
ω ω
ω ω
之後光通過介質（例如銫原子氣室）被吸收後穿透的探測光表示為 E3，δ 表示被吸收後振幅衰減的大小，φ是相位偏移。
]}
exp[
] ) (
2 exp[
] exp[
) exp(
] exp[
] ) (
2 exp[
{
1 1
0 0
1 1
0 3
φ δ
ω
φ δ
ω
φ δ
ω
i t
m i
i t
i
i t
m i E
E
−
− Ω
+ +
−
− +
−
− Ω
−
−
= − −
經過光偵測器取出訊號 S(t)
} sin )]
sin(
) exp(
) sin(
) [exp(
cos )]
cos(
) exp(
) cos(
) [exp(
1 ){
2 exp(
) (
1 0 1
0 0
1 1
0
1 0 1
0 0
1 1
0 0
2 3
t m
t m E
t S
Ω
−
−
−
−
− +
Ω
−
−
−
−
− +
−
∝
∝
−
−
−
−
φ φ δ
δ φ
φ δ
δ
φ φ δ
δ φ
φ δ
δ δ
假設δ0 −δ1 、δ0 −δ−1 、φ0 −φ1 、φ0 −φ−1 都很小，
偵測器所偵測到的光強度訊號 S(t)因此可近似為：
S(t)∝exp(−2δ0)[1+(δ−1−δ1)mcosΩt+(φ1+φ−1−2φ0)msinΩt] (1) 在鎖相放大器相位取為與cosΩt同相位（吸收相位）時，所得FM 訊
號如下式：
S(t)∝exp(−2δ0)×(δ−1 −δ1)mcosΩt (2)
同理在鎖相放大器相位取為與sinΩt同相位（色散相位）時，所得 FM 訊號如下式：
S(t)∝exp(−2δ0)×(φ1+φ−1−2φ0)msinΩt (3)
（關於鎖相放大器原理見附錄二）。
因此我們可以調整鎖相放大器的相位來決定我們要取的 FM 訊號是正 比於吸收訊號的差（δ-1-δ1）或是色散訊號的差（ψ1+ψ-1-2ψ0）。
當探測光經過介質時，因為三個頻率的光靠近共振頻的程度不 同，所以衰減的程度也不同。例如，當ω剛好是共振頻時，ω-Ω、
ω+Ω這兩個頻率剛好對稱於共振頻兩側，兩條偏頻被吸收後的光強 度沒有不同（δ-1-δ1=0），則兩道Ω的拍頻可以相消，誤差訊號為零。
若ω不是共振頻時，ω-Ω、ω+Ω這兩個頻率離共振頻的距離不同，
這兩個頻率的光強度不相同（δ-1-δ1≠0），因此當ω偏離共振頻時 可得到不為零的誤差訊號，最後可得出類似飽和吸收譜線之一次微分 訊號。同理，如果鎖相放大器相位定在色散相位上的時候，會得出類 似飽和吸收譜線之三次微分訊號。
2.5 調制轉移光譜法
14、162.4 節所述頻率調制，實驗過程為直接調制探測光，得出的飽和 吸收訊號並不能完全消除都普勒背景，因此發展出了調制轉移光譜 法，藉由轉移的過程來消除都普勒背景。當幫浦光與探測光的頻率相 同，且不為共振頻時，分別由兩群不同速度群（+V、-V）的氣體分子 吸收兩道光，因此探測光感受不到幫浦光被調制。當兩道光皆為共振 頻時，同時會被速度群為零的氣體分子吸收，所以探測光能夠感受到 幫浦光被調制。藉由上述過程能夠達到消除都普勒背景的目的。也就 是說，如果幫浦光與探測光可經由非線性介質而交互影響，幫浦光一 旦被調制探測光也會感受到被調制，這就是所謂的調制轉移光譜法
（modulation transfer spectroscopy，簡稱 MTS）。轉移的發生是因為探 測光和調制後幫浦光中的其中兩道頻率（例如載波和任一邊帶（carrier and one sideband））經由介質的三階非線性效應（χ3效應）而發生四 波混和（4-wave mixing）。如果非線性效應夠強，就能夠在介質中產 生第四道光成為探測光的邊帶（sideband）。
一旦探測光經由四波混和產生邊頻後，解調訊號方法與頻率調制
（FM）一樣。這是為什麼 2.4 節先介紹頻率調制（FM）。
2.5.1 三階非線性效應 32（χ3效應）： 三階非線性效應與電場的三次方成正比
3 ) 3 ( )
3
( ~( )
)
~ (
t E t
P =χ ， （4）
假設電場由三種頻率ω1 、ω2、 ω3所組成，表示為
. . )]
( exp[
)]
( exp[
)]
( exp[
. . ) ( ) ( ) ( )
~(
3 3 3
2 2 2
1 1 1
3 2
1
c c t r k i A t r k i A t r k i A
c c r E r E r E t E
+
− +
− +
−
=
+ +
+
=
ω ω
ω v v v v
v v
v v
v
（5）
一般而言四波混和的χ(3)的效應轉換率很低，所以A1、A2、A3隨 時間變化非常緩慢，可以視為定值。
代入（5）式後，可得知三階非線性效應能誘發產生各種不同的偏極 頻率ωn（頻率為ω1 、ω2、 ω3的組合），
∑ −
=
n
t i n
e n
P t
P~(3)( ) (ω ) ω (6) 但是並不是每一種頻率都有可能產生，還需要符合非線性介質的躍遷 頻率，邊界條件，相位共軛…等。在我們的實驗中討論兩能階系統，
考慮躍遷如圖2.7的特殊狀況，可誘發的頻率為（ω1−ω2+ω3）32 )
( ) ( ) ( 6
)
( 1 2 3 (3)E1 r E2* r E3 r
P ω −ω +ω = χ v v v (7) 關於相位匹配我們將會在2.5.2節詳細討論
2.5.2 四波混和 35、36、37（4-wave mixing）
圖 2.7：四波混和示意圖
幫浦光、探測光與銫原子交互作用誘發三階非線性效應 )
( ) ( ) ( 6
)
( 1 2 3 (3)E1 r E2* r E3 r
P ω −ω +ω = χ v v v (8) 其中三個電場分別為
)]
( exp[
)
( 1 1 1
1 r A i k r t
E v = v v−ω ，
)]
( exp[
)
( 2* 2 2
*
2 r A i k r t
E v = − v v−ω ，
)]
( exp[
)
( 3 3 3
3 r A i k r t
E v = v v−ω ， (9) 將(9)式代入(8)式
] exp[
) (
) (
exp[
6 ) (
4 4
0
3 2 1 3
2 1 3
2 1 ) 3 ( 3
2 1
t i r k i P
t i
r k k k i A A A P
ω
ω ω ω χ
ω ω ω
−
⋅
=
+
−
−
⋅ +
−
= +
−
v v
v v v v
E1 和 E3相對方向進入非線性介質中，因此波向量需符合
3 0
1+ k = kv v
為了滿足相位匹配，所以
4 0
2 + k = kv v
3 2 1
4 ω ω ω
ω = − +
已知四波混和在非線性介質中需要滿足的關係式，以下考慮實驗狀況 (參考圖3.1)，求出在銫原子氣室中產生的第四道光（探測光的邊帶
（sideband））。
考慮實驗狀況的四波混和
幫浦光（頻率為ω+Δ，Δ為AOM 調制頻率）經過 EOM 調制後 產生兩個sideband（頻率ω+Δ+Ω和頻率ω+Δ−Ω），以下先針對載波
（carrier）與其中一個邊頻（sideband）來討論。
圖 2.8：銫原子中的四波混和示意圖
ω0：躍遷共振頻，Δ ：AOM 調制頻率， Ω ：EOM 調制頻率
已知四波混和需要滿足ω4=ω1-ω2+ω3 當ω1=ω+Δ+Ω，ω2=ω+Δ，ω3=ω時
則ω4=ω+Ω
此ω+Ω即為探測光受到四波混和所產生的其中一道邊頻。
當ω1=ω+Δ，ω2=ω+Δ+Ω，ω3=ω 則ω4=ω-Ω
此ω-Ω即為探測光受到四波混和所產生的另外一道邊頻。
同理，當探測光與幫浦光和其另一道邊頻（ω+Δ-Ω）產生四波 混和，也可得到ω-Ω、ω+Ω兩個邊頻。
在都普勒分佈的氣體分子中（例如：常溫下的銫原子氣室）
如圖 2.7 之標示，設ω1、ω2、ω3的光被向右運動，速度為 V 的 氣體分子共振吸收，因為ω1、ω2與氣體分子運動方向相對，所以ω1、 ω2需要滿足 (10）、（11）式，ω3與氣體運動方向相同，需要滿足（12）
式才能共振吸收，
ω1+kυ=ω0 (10) (ω1+kυ)-(ω2+kυ)= 0 （11）
(ω1+kυ)-(ω2+kυ)+(ω3-kυ) =ω0 （12）
將（11）式＋（12）式
⇒2ω1-ω2+ω3 =2ω0
當ω1=ω+Δ+Ω，ω2=ω+Δ，ω3=ω
⇒2ω+Δ+2Ω=2ω0
⇒ω=ω0 -Δ/2–Ω； kυ=-Δ/2 (13) 這時候的雷射頻率ω相當於圖2.9 的 A
當ω1=ω+Δ，ω2=ω+Δ+Ω，ω3=ω
⇒ω=ω0 -Δ/2 +Ω/2 ； kυ=-Δ/2-Ω/2 (14) 這時候的雷射頻率ω相當於圖2.9 的 C
同理，當探測光與幫浦光和其另一道邊頻（ω+Δ-Ω）產生四波混和，
當ω1=ω+Δ-Ω，ω2=ω+Δ，ω3=ω
⇒ω=ω0 -Δ/2＋Ω； kυ=-Δ/2 (15) 這時候的雷射頻率ω相當於圖2.9 的 D
當ω1=ω+Δ，ω2=ω+Δ-Ω，ω3=ω
⇒ω=ω0 -Δ/2 -Ω/2； kυ=-Δ/2＋Ω/2 (16) 這時候的雷射頻率ω相當於圖2.9 的 B
由（13）（14）式與（15）（18）式可知，兩個誘發偏頻（sideband）
不會在同一雷射頻率時同時產生，因為受到都普勒效應影響，分別產 生兩個誘發偏頻的雷射頻率相差了 3Ω/2。
根據1982 年 Jon H. Shirley 所做的理論計算 14，經過調制轉移後 幫浦光訊號變為
)]
sin(
) (
) cos(
) [(
) (
1 2 / 1 2 / 1 1
1 2 / 1 2 / 1 1
φ φ + Ω
×
− +
+
− +
+ Ω
×
− +
−
∝
−
−
−
−
t D
D D D
t L
L L L pump
Sig （17）
其中Lj =(1+x2j)−1，Dj =xjLj，xj =(ω−ω0 +Δ 2− jΩ)/τ，τ 為半高全寬。
如果實驗是取幫浦光來解調，在鎖相放大器相位取為與cosΩt同相 位（吸收相位）時，訊號如（17）式中的L1 −L1/2 +L−1/2 −L−1，可畫出 吸收相位時，誤差訊號隨著雷射頻率變化如圖 2.9 所示。
圖 2.9：幫浦光的吸收相位所得隨頻率變化之訊號 橫軸為ω-ω0+Δ/2，調制頻率Ω遠大於半高寬τ
同理在鎖相放大器相位取為與sinΩt同相位（色散相位）時，訊號 如（17）式中的：−D1+D1/2 +D−1/2−D−1，可畫出色散相位時，誤差訊號 隨著雷射頻率變化如圖 2.所示。
圖 2.10：幫浦光的色散相位隨頻率變化之訊號 橫軸為ω-ω0+Δ/2，調制頻率Ω遠大於半高寬τ
上述幫浦光的訊號可以經由四波混和將調制轉移為探測光的調制
)]
' sin(
) 2
(
) ' cos(
) [(
) (
2 / 1 0 2 / 1
2 / 1 2 / 1
φ φ
+ Ω
× +
− +
+ Ω
× +
−
∝
−
−
t D
D D
t L
L probe
Sig (18)
當鎖相放大器解調(18)式，解調相位為吸收相位(φ'=0)（圖
2.11a）或色散相位(
' π2
φ = )（圖 2.11b）時，誤差訊號隨著雷射頻率 變化如圖 2.11 所示。
圖 2.11：探測光的的吸收相位（a）與色散相位(b)隨頻率變化之訊號 橫軸為ω-ω0+Δ/2，調制頻率Ω遠大於半高寬τ
以上的非線性過程在文獻上有兩種直觀的機制可以說明14
機制一：我們可以想像幫浦光因為飽和燒洞的關係會讓探測光看到跟 沒有幫浦光不同的折射率，而且燒洞的程度跟幫浦光的頻率有關，當 幫浦光的頻率被調制的時候，探測光也會因此感到折射率隨調制頻率 變化。例如，幫浦光頻率等於共振頻時，探測光所感受到介質的折射 率與幫浦光離開共振頻的時候探測光所感受到介質的折射率不同，因 此當幫浦光被調制，探測光也感受到介質折射率被調制，這就如同探 測光進入電光調制器（EOM）一樣，所以探測光雖然沒有被直接調
制，但因為上述原因會產生邊帶（sideband），由於邊帶的產生與被調 制的幫浦光的中心頻率，接近共振頻的程度有關，所以當我們利用外 差法(heterodyne)解調探測光的時候所得到的訊號就會與雷射調制頻 率大小是否小於均勻線寬（homogeneous linewidth）有關。
機制二：當幫浦光與某一個邊頻以同方向行進的時候，因為此兩道光 的相位關係是固定的，因此他們的拍頻在介質中以固定的相位行進，
但由於兩道光接近介質共振頻的程度不同，因此在某個固定時間點 T，探測光感受到介質在空間中會有週期變化的折射率，就像是進入 了聲光調制器（AOM）一樣，因此探測光就會產生+-1 階的邊頻，同 理，幫浦光與另一個邊頻也會使得探測光產生+-1 階的邊頻。
頻率調制（FM）與調制轉移光譜（MTS）的比較
頻率調制（FM），是調制探測光解調得到誤差訊號，而調制轉移 光譜（MTS）是調制幫浦光導致探測光受到調制，對探測光做解調得 到誤差訊號。頻率調制的優點在於調制頻率可以很大，可有效的遠離 1/f 雜訊，訊噪比好，穩頻效果就能更為穩定。但頻率調制的缺點在 於含有都普勒背景（Doppler Background），需要再將都普勒背景消 除。而調制轉移光譜是利用介質的非線性效應所產生，轉移效果在調 制頻率小於譜線寬度時較佳，因此調制頻率無法過大，但好處是調制 轉移光譜無都普勒背景。
