2-4 多 項 式 不 等 式

2-4 多 項 式 不 等 式

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 解下列不等式：

(1)x²−5x+ < ﹒ (2)6 0 − +x² 7x−12≥ ﹒ 0 解：^{(1)原式整理為 (x−2)(x}− < ﹐得 2^{3) 0} < < ﹒ x 3

(2)原式整理為x²−7x+12≤ ﹐即 (0 x−3)(x− ≤ ﹐得 34) 0 ≤ ≤ ﹒ x 4

2. 解下列不等式：

(1)6x≥x²+ ﹒ (2)9 x²−10x+25> ﹒ 0

解：^{(1)原式整理為x2−6x+ ≤ ﹐即9 0 (x−3)2≤ ﹐得0 x= ﹒ 3} (2)原式整理為(x−5)²>0﹐得x< 或5 x> ﹒ 5

3. 解下列不等式：

(1) (x−1)(x−3)(x− > ﹒ (2)5) 0 (x−1)(x−3)(x−5)(x²+2x+ < ﹒ 5) 0 解：(1)由數線的圖形：

得 1< < 或x 3 x> ﹒ 5

(2)因x²+2x+ > 恆成立﹐原不等式的解與 (5 0 x−1)(x−3)(x− < 相同﹐ 5) 0 由數線的圖形得x< 或 31 < < ﹒x 5

解：^{因(x−3)2≥ 恆成立﹐且0 x= 時3 (x−3)2 = ﹐ 0} 且(x−5)³≥ 的解與0 x− ≥ 相同﹒ 5 0

(1)不等式的解與 (x−1)(x− ≥ 或5) 0 x− = 相同﹐得3 0 x≤ 或1 x= 或3 x≥ ﹒ 5 (2)不等式的解與 (x−1)(x− < 且5) 0 x− ≠ 相同﹐得13 0 < < 或 3x 3 < < ﹒ x 5

5. 解下列不等式：

(1) 0 2 x x <

− ﹒ (2) ³ 1 1 x x

− >

+ ﹒

解：^{(1) 0} 2 x x <

− 表示分子、分母異號﹐ (x x− < ﹐得 02) 0 < < ﹒ x 2 (2) 3

1 1 0 x x

− − >

+ ﹐即 4

1 0 x

− >

+ ﹐即x+ < ﹐得1 0 x< − ﹒ 1

6. 已知ax²+bx c+ < 的解為0 − < <^{2 x 5}﹐試解不等式 2 cx a 0

ax b + <

+ ﹒ 解：^ax2+bx+ < 的解為 2^{c 0} − < < ﹐即 (x 5 a x+2)(x− < 且5) 0 a> ﹐ 0 ax²−3ax−10a< ﹐知0 b= − ﹐3a c= −10a﹐

10 2

3 0 ax a ax a

− +

− < ﹐得 10 2

0 ( 10 2)( 3) 0 3

x x x

x

− +

< ⇒ − − − <

− ﹐

(10x−2)(x− >3) 0﹐得 1

<5

x 或x>3﹒

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 設二次不等式 f x( )< 的解為0 − < <6 x 9﹐試求：

(1) (3 )f x < 的解﹒ (2) (0 f x+ < 的解﹒ 2) 0 解：^{設 ( )f x =a x( +6)(x− ﹐其中9) a> ﹒ 0}

(1) f(3 )x =a x(3 +6)(3x− <9) 0且a> ﹐即 (0 x+2)(x− <3) 0﹐得 2− < <x 3﹒ (2) f x( +2)=a x( +8)(x− < 且7) 0 a> ﹐即 (0 x+8)(x− < ﹐得 87) 0 − < < ﹒ x 7

2. 解不等式x³−7x− ≤ ﹒ 6 0

解：^{由牛頓定理：x3−7x− =6 (x+1)(x+2)(x− ﹐ 3)} 即 (x+1)(x+2)(x− ≤ ﹐ 3) 0

得x≤ − 或 12 − ≤ ≤ ﹒ x 3

3. 設 f x( )=x³−7x²+17x−15﹐已知 (2f − = ﹐試解三次不等式 ( ) 0i) 0 f x < ﹒ 解： ^{f x( )= 有一根為 2 i0} − ﹐則另一根為 2 i+ ﹐

x= ± ⇒2 i (x−2)² = ±( i)² ⇒x²−4x+ =5 0 即 ( )f x 有二次因式x²−4x+ ﹐ 5 由除法 f x( )=(x²−4x+5)(x− ﹐ 3)

因x²−4x+ > 恆成立﹐ ( ) 05 0 f x < ﹐即x− < ﹐得3 0 x< ﹒3

即ax²−2ax−3a< ﹐知0 b=2a且 2a− = − ﹐5 3a 得a= ﹐1 b= ﹒ 2

5. 有一線段長為 a﹐且以 a﹐a+3﹐a+6為三邊長圍成一個三角形﹐

(1)試求 a 的範圍﹒

(2)若此三角形為鈍角三角形﹐試求 a 的範圍﹒

解：(1)任二邊長的和大於第三邊長﹐又a+ > + > ﹐ 6 a 3 a 知a+(a+ > + ﹐故3) a 6 a> ﹒ 3

(2)a²+(a+3)²<(a+6)²﹐即a²−6a−27< ﹐ (0 a+3)(a− < ﹐ 9) 0 − < < 但3 a 9 a> ﹐得 33 < < ﹒ a 9

6. 設實係數函數 f x( )=x⁴−3x³+6x² +ax b+ ﹐若方程式 ( ) 0f x = 有一根為1 3i− ﹐ 試求不等式 ( ) 0f x < 的解﹒

解： ^{f x( )= 有一根為1 3i0} − ﹐則另一根為1 3i+ ﹐ x= ± ⇒1 3i (x−1)² = ±( 3 )i ² ⇒x²−2x+10=0

f x 有因式( ) x²−2x+10﹐由除法 f x( )=(x²−2x+10)(x+2)(x− < ﹐ 3) 0 因x²−2x+10> 恆成立﹐即 (0 x+2)(x− < ﹐得 23) 0 − < < ﹒x 3

（每題 8 分﹐共 40 分）

1. 評估理想體重的標準﹐有一種專為華人設計﹐身高 H（公尺）的男生﹐其理 想體重 W（公斤）應符合W =22H²﹐體重在理想體重的±10%範圍內稱為標 準體重﹐某人身高 170 公分﹐請問他標準體重的範圍為何？（取整數）

解：^{理想體重W =22(1.7)2 =63.58（公斤）﹐}

設標準體重W ﹐則₀ 0.9W≤W₀≤1.1W﹐ 知標準體重約57≤W₀≤70﹒

2. 以每秒 v 公尺的速度自地面垂直向上發射信號彈﹐設經 t 秒後的高度 y 公尺﹐

可依y= −vt 4.9t²公式計算﹐則

(1)若發射後 5 秒時﹐信號彈的高度為 245 公尺﹐試求初速度 v﹒

(2)試求在 245 公尺以上高度的時間有多少秒？

解：^{(1)245= ⋅ −v 5 4.9 5× ﹐得2 v=73.5公尺/秒﹒}

(2)y=73.5t−4.9t²≥245﹐整理得t²−15t+50≤ ﹐ 50 ≤ ≤t 10﹐ 得時間共 10 5 5− = （秒）﹒

3. 某輛汽車的刹車距離 y（公尺）與汽車的時速 x（公里/小時）﹐依車廠公告：

2

25

y= x − ﹐如果想要刹車距離不得超過 24 公尺﹐則行駛的最大速度為時速x 每小時多少公里？

解：^{依題意： 2 24} 25

x − ≤x ﹐x²−25x−600≤ ﹐ 0

(x+15)(x−40)≤ ﹐知0 x≤40（公里/小時）﹐則最大時速為 40 公里/小時﹒

立方公寸﹐試求此盒子中正方形的面之邊長的範圍為何？

解：設所求的邊長為 x﹐盒高為 y﹐且x> ﹐0 y>0 表面積A=2x²+4xy=104﹐

體積V =x y² ﹐因 1 ² 26 2 xy= − x ﹐ ( ) 26 ^{1 3}

V = f x = x−2x ﹐

因體積至少 48 立方公寸﹐知 1 ³

26 48

x−2x ≥ ﹐ 整理得 (x+8)(x−2)(x− ≤ ﹐ 6) 0

知 2≤ ≤ ﹐至少 2 公寸﹐最多 6 公寸﹒x 6

5. 將牛排置入冷凍櫃 k 分鐘時﹐牛排溫度為 T℃且 ₂ ⁷⁰⁰

7 20

T = k k

+ + ﹐

試問要使牛排溫度不大於 5℃時﹐最少需要幾分鐘？

解：^依題意： ₂ ^{700 5} 7 20

k k ≤

+ + ﹐得k²+7k−120≥ ﹐ (0 k+15)(k− ≥8) 0﹐ 因k≥0﹐知k≥8﹐最少需要 8 分鐘﹒