數學傳播 36卷2期, pp. 94-96
三角形中幾個優美的不等式
馬占山 · 劉春傑
最近筆者在研究三角形不等式時, 發現了幾個優美的不等式, 僅供讀者參考。
如右圖在 4ABC 中, 設三邊長 BC = a, AC = b, AB = c 點 D, E, F 分別是三邊 BC, AC, AB 的中點,, 並且記
AD = ma=
√2(b2+ c2)− a2 2
BE = mb =
√2(a2+ c2)− b2 2
CF = mc =
√2(a2+ b2)− c2 2
命題1. a, b, c; ma, mb, mc 分別是 4ABC 三角形的三邊和三條中線, 則有 m2c
c2 + m2b
b2 ≥ m2b + m2c
bc (1)
證明: 把中線公式代入(1) 的左右兩邊得 2a2+ 2b2− c2
4c2 +2a2+ 2c2− b2
4b2 ≥ 4a2+ b2+ c2 4bc 因此證明 (1) 等價於證明
b2(2a2+ 2b2− c2) + c2(2a2+ 2c2− b2)− bc(4a2+ b2+ c2)≥ 0 整理得
(b− c)2(2b2+ 2c2+ 2a2+ 3bc)≥ 0 上式顯然成立, 當且僅當 b = c 時取到等號。
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命題2. a, b, c; ma, mb, mc 分別是三角形的三邊和三條中線, 則有 c2
m2c + b2
m2b ≥ b2+ c2
mbmc (2)
證明: (2) ⇔ 4b2m2c+ 4c2m2b ≥ 4mbmc(b2+ c2)。 由文 [1] 的結果 4mbmc ≤ 2a2+ bc只需 要證明不等式 4b2m2c+ 4c2m2b ≥ (2a2+ bc)(b2+ c2)成立即可。 把中線公式代入 (2) 的左邊 得
b2(2a2+ 2b2 − c2) + c2(2a2+ 2c2− b2)− (2a2+ bc)(b2+ c2)
= (b− c)2(2b2+ 2c2+ 3bc)≥ 0 上式顯然成立, 當且僅當 b = c 時取到等號。
可以看出其結構十分的優美, 利用上面的命題又得
推論1. a, b, c; ma, mb, mc 分別是三角形的三邊和三條中線, 則 b
mb
+ c
mc ≥ b + c
√mbmc
證明: 給不等式 (2) 兩邊都加上 m2bcbmc 並開方便得到結果。
推論2. a, b, c; ma, mb, mc 分別是三角形的三邊和三條中線, 則有 c2
m2c + b2
m2b ≥ 2ama mbmc
.
證明: (2ama)2 = a2(2b2+ 2c2− a2)≤(
2b2+2c2−a2+a2 2
)2
= (b2+ c2)2 以及命題 (2) 得到 c2
m2c + b2
m2b ≥ b2+ c2
mbmc ≥ 2ama mbmc. 推論3. a, b, c; ma, mb, mc 分別是三角形的三邊和三條中線, 則有
m2a a2 + m2b
b2 + m2c c2 ≥ 3
8 (b
c+c b +a
c + c a +a
b + b a
)≥ 9 4. 證明: 由命題 (1) 可得
m2a a2 +m2b
b2 + m2c
c2 ≥ a(m2b + m2c) + b(m2a+ m2c) + c(m2a+ m2b) 2abc
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將不等式左邊的 ma, mb, mc 以中線公式代入, 可得 m2a
a2 + m2b b2 +m2c
c2 ≥ 1
8abc[4(a3+ b3+ c3) + ab2+ a2b + bc2 + b2c + a2c + ac2] 再由常見的不等式 a3+ b3 ≥ a2b + ab2 (a, b 為非負實數), 因此得
4(a3+ b3+ c3)≥ 2a2b + 2ab2+ 2b2c + 2bc2+ 2a2c + 2ac2 m2a
a2 + m2b b2 +m2c
c2 ≥ 1
8abc[3a(b2+ c2) + 3b(a2+ c2) + 3c(a2+ b2)]
= 3 8
(b c+ c
b + a c + c
a +a b + b
a )
≥ 3
8(2 + 2 + 2) = 9 4 當且僅當 b = c = a 時取到等號。
參考文獻
1. 楊學枝, 不等式研究, pp.565-564 (西藏人民出版社2000, 6)。
—本文作者任教中國寧夏固原市五原中學—
