泰勒展開式與升降冪排列
單維彰‧2013 年 4 月 給一個三次多項式函數
3 2
( ) 1
f x x x x
若我們要估計 f (1.97) 的函數值準確到百分位，也就是說小數點後兩位的準確程 度。還記得我們該怎麼做這個問題嗎？首先，我們要設法把這個多項式函數寫成
3 2
(x2) a x( 2) b x( ，其中 a2) c 、b 為係數，c 為常數 然後把 x = 1.97 代入，得到的算式為
0.0000270.0009a0.03bc
因為我們只要準確到百分位，如果 |a| 不太大，所以 0.000027 和 0.0009 這兩項 就可以忽略，那我們只要看 0.03bc，這就是我們在高一碰到這種問題時的標 準答案，而我們可以利用在高一學過的綜合除法算出係數。
在這之前，我們要先知道，上述的多項式 f x( )x3x2 ，我們稱為標x 1 準式，又因其次數從高次寫到低次，故我們又叫做降冪標準式。而上述中的
3 2
(x2) a x( 2) b x( ，它是以 2 為參考點的泰勒2) c 1形式。而標準式
3 2
( ) 1
f x x x 也可改寫成以 0 為參考點的泰勒形式，即 x f x( )x3x2 x 1
(x0)3 (x 0)2 (x 0) 1 所以標準式其實是泰勒形式的一個特殊狀態。
現在我們就來做一些計算，算出 b和c 的值，透過除法原理，我們曉得
( 2) 1( )... (2) ( )
f x x q x f ，q x 為商， (2)1( ) f 為餘式。
利用綜合除法
透過餘數定理我們知道餘式 f (2)=1，即 c=1。所以我們可以將 f(x)寫成 f x( )(x2 x 1)(x 2) 1
2 2 1
2 1
[ ( )( 2) (2)]( 2) 1 ( )( 2) (2)( 2) 1
q x x q x
q x x q x
1泰勒 (Taylor)：英國人，是牛頓的最後一個學生，但並不是泰勒發明了式子，其實是牛頓自己 發明了這種形式的多項式寫法。
1 －1 －1 －1 2 2 2 2
1 1 1 1 餘式
再做一次除法
我們知道 q1(2)7 ( )，q x2 x 3。
類似地，再做第三次綜合除法，可以得到q x2( ) x 3 (x ，所以 2) 5 f x( )(x2 x 1)(x 2) 1
2 1
2
2 1
3 2
[ ( )( 2) (2)]( 2) 1 ( )( 2) (2)( 2) 1 ( 2) 5( 2) 7( 2) 1
q x x q x
q x x q x
x x x
在上述的步驟中，我們把原來的標準式改寫成以 2 為參考點的泰勒形式。
過去我們都習慣用降冪排列，但是還有另外一種排列的方式-升冪排列。將 上述式子用升冪排列可寫成 1 7( x 2) 5(x2)2 (x 2)3。什麼時候我們要用 升冪排列呢？回到先前的問題，估計 f(1.97)的函數值時，如果不需要算得非常 準確，越高的次方是越不重要的。這時我們不妨想像，1 是常數項，是一個小數 的整數部分，1 次方項是十分位的部份，2 次方項是百分位的部份，3 次方項是 千分位的部份，但是在實用上我們可能只需要取前面的兩位，而越小的小數位，
是不需要注意它的。於是升冪排列在把實數寫成小數的形式時是非常實用的。
在計算時，不論 x0.97 或 x1.97 或 x2.03，我們要算函數在 x2 附近的函數值時，可以忽略高次項不算，那麼函數的圖形不也應該是這樣嗎？函 數的圖形就是 x 和 f x 湊成一個 ( , )( ) x y 的有序對，畫在坐標平面上面的結 果。既然如此，那麼 y f x( ) 在 x2 附近的函數圖形，就是捨去了高次項 的函數圖形 1 7( x ，而 1 7(2) x 這個函數圖形是斜率為 7 的一條直線。 2)
1 －1 －1 －1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 6
1 3 7 餘式
1 －1 －1 －1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 6
1 3 7 2 2
1 5 餘式
數值 我們 言，
它就 的平 就稱
數的 不是 的斜
上圖為函 值為 1，所以 們知道在 x
如果我們只 就是一條斜 平方項、三次 稱這條直線
將來我們 的圖形以某 是鉛直線，我 斜率。
函數 yx3 以它通過 (
2 x 附近 只看 x2 斜率為 7 的直
次方項都不 線為切線。
們會學到函數 某個點為中心 我們就會說
2 1
x x
(2,1) 這個點
，它應該是 附近 (紅框 直線，因為 不考慮時，剩
數可微，那什 心的一個很 說函數在這一
的函數圖形 點。根據我 是彎的，是
框處)，當我 為在 x2
剩下的就是
什麼叫做可 很小範圍附近
一點是可以
形，我們可 我們對三次
有點凹向上 我們越來越靠
附近來看函 是一次函數
可以微分呢 近，若它看起 以微分的，而
可以算出在 多項式函數 上的。但若
靠近看這個 函數圖形時
，圖形為一
？也就是說 起來像一條 而且微分的
2 x 時 數圖形的瞭 若就我們上述
個函數圖形時
，其泰勒形 一條直線。我
說，如果這個 條直線，而且 的結果就是切
，函 瞭解，
述而 時，
形式 我們
個函 且它 切線
