2-2 排列與組合

2-2 排 列 與 組 合

（每題 5 分﹐共 30 分）

1. 某拳擊比賽﹐規定每位選手必須和其他選手各比賽一場﹐若賽程總計為 78 場﹐試問選手人數為多少人？

(1) 7 (2) 12 (3) 13 (4) 18﹒

解：設選手人數共 n 人﹐

2

( 1) 2 78

n n n

C −

= = ﹐

知 (n n− =1) 156 13 12= × ﹐得n=13﹐故選(3)﹒

2. 自忠﹑孝﹑仁﹑愛﹑信共 5 班的 10 位正﹑副班長中﹐任選 3 人成立委員會﹐

但規定每班中最多一位的選法有多少種？

(1) 10 (2) 80 (3) 120 (4) 720﹒

解：^{先任取 3 個班}C3⁵=10種﹐

再由該班任取一位2³= 種﹐ 8 得 10 8 80× = 種﹐故選(2)﹒

3. 將 4 本相異的筆記本放入編號為 1 號和 2 號的抽屜裡﹐使得放入每個抽屜的 筆記本之數量不小於該抽屜的編號﹐試問共有幾種放法？

(1) 5 (2) 6 (3) 10 (4) 16﹒

解：1 號 2 本﹐2 號 2 本的情形有C C₂⁴ ₂²= 種﹐ 6 1 號 1 本﹐2 號 3 本的情形有C C₁⁴ ₃³= 種﹐ 4 共有 6 4 10+ = （種）﹐故選(3)﹒

4. 以 5 種顏色塗右圖﹐每個區域用一種顏色﹐試問每個區域 的顏色相異的方法數﹒

解：由 5 種顏色中取 3 色依序塗上﹐

得P₃⁵= × × =5 4 3 60種﹒

5. 有同樣大小的旗子六面﹐其中三面藍色﹐二面紅色﹐一面黃色﹒假如將這六 面旗子任意排列順序﹐就可表示一種信號﹐試求可排出的信號數﹒

解：三藍﹑二紅﹑一黃的排列數 6!

3!2!1!=60種﹒

6. 因乾旱水源不足﹐自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇 2 天停止供 水﹒若要求停水的 2 天不相連﹐則自來水公司共有多少種選擇方法？

解：（全部方法）−（兩天相連的方法）

7

2 6 15

=C − = 種﹒

（每題 5 分﹐共 45 分）

1. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊 5 人排成一列﹐試求：

(1)甲不排首位的排法數﹒

(2)甲不排首位﹐乙不排中的排法數﹒

解：^{(1)（全部的排法）−（甲排首的排法）}

5! 4! 96= − = 種﹒

(2)（全部排法）−（甲排首）−（乙排中）+（甲排首且乙排中）

5! 4! 4! 3! 78= − − + = 種﹒

2. 甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊 5 人排成一列﹐試求：

(1)甲乙相鄰的排法數﹒

(2)甲乙相鄰且丙丁相鄰的排法數﹒

解：(1)甲乙相鄰的排法有 2!種﹐

甲乙﹑丙﹑丁﹑戊的排法有 4!種﹐得 2! 4! 48× = 種﹒

(2)甲乙相鄰有 2!種﹐丙丁相鄰有 2!種﹐

甲乙﹑丙丁﹑戊的排法有 3!種﹐得 2! 2! 3! 24× × = 種﹒

3. 由 1, 2, 3, 4, 5, 6 共六個數字所組成（數字可重複）的四位數中﹐

(1)恰有一個 1 的數字個數﹒

(2)含有奇數個 1 的數字個數﹒

解：(1)恰有一個 1 的方法數：

先排 1﹐C₁⁴ = 種；再排其他位置﹐4 5 種﹐得³ 4 5× =³ 500﹒ (2)恰有三個 1 的方法數：

先排 1﹐C₃⁴ = 種；再排另一位置﹐5 種﹐得 4 5 204 × = ﹐ 知 500 20 520+ = （個）﹒

4. 相同的原子筆 4 枝﹐鉛筆 3 枝﹐試求：

(1)分給 7 位同學﹐每人恰得 1 枝筆的分法有幾種？

(2)分給 10 位同學﹐每人最多 1 枝筆的分法有幾種？

解：(1)由排列公式﹐ 得 7!

4!3!=35種﹒

(2)原子筆 4 枝﹐鉛筆 3 枝﹐空氣 3 袋﹐

得 10!

4!3!3!=4200種﹒

5. 有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚七人﹐試求：

(1)任選 5 人的方法數﹒

(2)任選 5 人再排成一列的方法數﹒

解：(1) ₅⁷ 7!

5!2! 21

C = = 種﹒

(2)C₅⁷× =5! 21 120× =2520種﹒

6. 有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚 7 人排成一列﹐試求：

(1)甲在乙的左方的排法數﹒

(2)甲在乙的左方且乙在丙的左方的排法數﹒

解：甲﹑乙﹑丙﹑丁﹑戊﹑己﹑庚 7 人排成一列的排法 7! 5040= ﹒

(1)甲在乙的左方﹐排列數為原來的1

2﹐ 1

5040 2520

× =2 種﹒

(2)甲−乙−丙的排列數為原來的1

6 ﹐ 1 5040 840

× =6 種﹒

7. 由 6 位男生﹐4 位女生中選出一個 5 人委員會﹐試求：

(1)男生女生至少各有 2 人的選法數﹒

(2)男生最多有 2 人的選法數﹒

解：(1)（男生 2 人女生 3 人）+（男生 3 人女生 2 人）

6 4 6 4

2 3 3 2 60 120 180

C C C C

= × + × = + = 種﹒

(2)（男生 1 人女生 4 人）+（男生 2 人女生 3 人）

6 4 6 4

1 4 2 3 6 60 66

C C C C

= × + × = + = 種﹒

8. 設x+ + =y z 7﹐試求下列各種解法的組數：

(1)非負整數解﹒

(2)正整數解﹒

解：(1)x+ + = ﹐ y z 7 得H₇³=C₇⁹ =36組﹒

(2)令x=x₀+ ﹐1 y=y₀+ ﹐1 z=z₀+ ﹐其中1 x₀, y₀, z 是非負整數﹐ ₀ 得(x₀+ +1) (y₀+ +1) (z₀+ = ﹐ 1) 7

即x₀+y₀+z₀= ﹐ 4 知H₄³=C₄⁶=15組﹒

9. 將三件相同的禮物分給 5 個人﹐試求：

(1)每人可重複取得的方法數﹒

(2)每人最多一件的方法數﹒

解：^{(1)甲 乙 丙 丁 戊+ + + + =3﹐} 得H₃⁵=C₃⁷=35種﹒

(2)由 5 人中任取 3 人﹐每人各分一件﹐

得C₃⁵× =1 10種﹒

（共 25 分）

1. 在數線上有一個運動物體從原點出發；在此數線上跳動﹐每次向正方向或負 方向跳 1 個單位﹐跳動過程可重複經過任何一點﹐若經過 6 次跳動後運動物 體落在點+4 處﹐則此運動物體共有 6 種不同的跳動方法﹒（8 分）

解：由題意知有 5 次正方向 1 次負方向﹐

即+, +, +, +, +, −的直線排列6!

5!= 種﹒6

2. 某桌球隊要從 10 名選手中排出 5 名﹐分別參加五場單打友誼賽﹐10 名選手 中近況特佳的有 3 位﹐教練決定任意安排他們分別在第一﹑三﹑五場出賽﹐

另外兩場則由其餘選手任意選出排定﹐則此球隊出場比賽的名單順序一共可 以有多少種？（8 分）

解：第一﹑三﹑五場的 3 位選手 3! 6= 種﹐

第二﹑四場時﹐自其他 7 位選 2 位再排定C₂⁷⋅ =2! 42種﹐

得 6 42 252× = 種﹒

3. 某地共有 9 個電視頻道﹐將其分配給 3 個新聞臺﹑4 個綜藝臺及 2 個體育臺 共三種類型﹒若同類型電視臺的頻道要相鄰﹐而且前兩個頻道保留給體育 臺﹐則頻道的分配方式共有 576 種﹒（9 分）

解：先排體育臺有 2! 2= 種﹐新聞臺相鄰的順序有 3! 6= 種﹐

綜藝臺相鄰的順序有 4! 24= 種﹐

新聞臺與綜藝臺的順序有 2! 2= 種﹐得 2 6 24 2 576× × × = （種）﹒