正整數與多項式
高中數學 的
反省與回顧
正整數vs實數
●上帝創造正整數。
●意思或許是：『正整數來自於語言，而語言的來源已不可考。』
●人們按照「正整數」的形象創造了實數。
●有理數的危機；無理數的危機。
正整數的離散模型
實數的連續性與方向性模型
數線：參考點，方向，單位長
正整數的理論面：數論
● 質因數分解—算術基本定理。
● 除法原理：
● 輾轉相除法，又稱為「歐幾里德演算法」。
● 其他的是『皇冠上的寶石』。
☆質數有無窮多個。
☆費瑪最後定理。
☆歌德巴赫猜想。
☆3x+1猜想。
n p q r n p q r
正整數的實用面：排列組合
● 還有什麼問題，比「數ㄕㄨˇ數ㄕㄨˇ看」更適合 數學的「本意」呢？
● 數學提供許多「不必一個一個點就能算出總數」
的快速數ㄕㄨˇ法。
● 小二、小五、斷掉！高二重逢而不相識。
● 乘法原理：學習乘法的思想意義。
排列組合的思考方法—脈絡化
● 乘法還是加法？—串聯還是併聯？「且」還是「或」？
● 集合的點算：「排」與「容」，文氏圖。
● 獨立還是相依？—次方還是階乘？
● 「次序」要不要緊？—排列還是組合？
排列組合的思考方法—模型化
● 有幾組正整數解？
☆ 分5顆糖給兩人，每人都有。
☆ 從蔬菜和肉品共挑5份，每種都要有。
● 有幾組非負整數（全數）解？
☆ 分5顆糖給兩人，有人可全拿。
☆ 從蔬菜和肉品共挑5份，可全挑同一種。
● 有幾組全數解？
☆ 分至多5顆糖給兩人，有人可全拿。
☆ 從蔬菜和肉品至多可挑5份，可全挑同一種。
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多項式
● 多項式是擴充了實數的一種數學物件。
● 多項式卻有著如正整數般的性質（除法原理）。
● 多項式之於其他函數，就像有限小數之於實數。
● 過多的代數意義，過少的函數意義；就好像 過多的正整數，過少的實數。
多項式與複數、向量的連結
● 共軛虛根的引進。
● 事實上，三次多項式的求根演算法導出了複數。
● 複數啟發出了平面向量，平面向量導引了空間向量，
空間向量描述了電磁學又豐富了力學。
● 代數基本定理：一個容易造成誤解的名字。
多項式與微積分的連結
● 綜合除法的另一個應用：「換參考點」的泰勒型式。
● 泰勒多項式不要停步在「函數值的估算」。
● 綜合除法導出微分學：
☆ 一次泰勒多項式，斜率公式（微分公式）
☆ 函數圖形的局部特徵
☆ 相對極值
多項式與線性代數的連結
●多項式是第一組抽象的「基底」、「線性組合」和
「向量空間」。
●多項式的導函數公式，提供第一組具體的「線性映射可以 用矩陣表達」範例。
●多項式的基底變換（標準型式vs泰勒型式）提供了第一組 有意義的變換方陣。
●不同基底之下的同一個線性映射，例如多項式的導函數，
表現成兩個數值不同的方陣；但是這兩個方陣「相似」！
●方陣的不變量研究：如何判別兩個方陣其實是同一個線性 映射在不同基底之下的表現？—特徵值和標準分解式。
多項式與計算機概論的連結
● 綜合除法==霍內演算法；寫成「演算法」格式。
● 十進制整數、小數的K進制轉換，K是大於1的 正整數。常用二、八、十六。
多項式函數作為運動的模型
●函數造成數學模型，是數學應用於百工的基礎。
●以多項式函數為例：一維運動的描述。
●函數圖形的特徵對應的運動意涵。
●一組Java小教具。
