從複數開始的科技文明
單維彰 2010 年 7 月 19 日‧2012 年 5 月 1 日
以 99 課綱的高中數學課程設計而言，在《數學Ⅲ》教導了平面向量，然後在《數學Ⅳ》
教導空間向量，看起來是循序漸進的。然而，事實上平面向量是為了教學的原因而被「創 造」出來的。在數學發展史上，並沒有經過平面向量的階段。這就可以解釋，何以在《數 學Ⅲ》的平面向量章節中所舉出的所有知識和技術，都是用平面座標幾何的技術就能解 決的；仔細想想，就會覺得平面向量了無新意。在數學裡，平面向量其實完全被複數涵 蓋；而複數作為平面向量的觀念和技術（事實上，複數的運算性質比向量更豐富，應該 稱為「平面數」），則安排在選修的《數甲Ⅰ》才會學到。以下要講的這一段歷史，假設 讀者已經知道複數平面；否則，就當讀一則歷史故事也行。
在 1830 年之前，西歐的數學圈已經普遍知道平面上的點坐標 轉化成複數 的觀念，複數被認知為「平面數」，而實數就相對地成為「直線數」；複數和實數 具備同樣運算性質的加減乘除。但是複數基本上多了一個維度，理應具備更豐富的性 質 。 是 的 ， 複 數 的 極 式 是 指 非 零 的 複 數
( , )a b a bi
a bi 可 寫 成 距 離 與 方 位 的 形 式 ：a bi (cos sin )
r i
，其中r |a bi| a2b2。若c di s(cosisin)，則指數律和棣 美弗等式就可推論（其實棣美弗等式就是正弦、餘弦的和角公式）
cos( ) isin( )
a bi r
c di s
我們令 ，亦即 是a bi 與cdi之間的夾角（以主幅角論之）。則簡化上述分 式可得
2 2 2 (cos isin )
a b r r
(c di a bi)( ) (ac bd) (ad bc i) s
a c 比較係數之後得到
cos
ac bd rs
b d
，ad bc rssin b d
a c
我們看到了平面向量的內積公式和二階行列式公式。這就是複數和向量運算的一組最重 要連結，但是當時並不須要指出這兩組計算公式，因為它們已經被包含在複數算法裡面。
讀者不難想像，那個時代的數學家，在熟悉了平面數之後，順理成章地想要創造「空 間數」：將空間中的點坐標 轉化成一個可以像實數和複數一樣做加減乘除計算 的數。
( , , )a b c
後人在高斯遺留的手稿中發現他在 1819 年嘗試過 a+bi+cj 形式的「空間數」，其中 的 a+bi 就是複數；但是因為並不成功，所以沒有發表。據漢彌爾頓 (William Rowan Hamilton, 1805—65) 的自述，這個問題大約從 1828 年起成為他「智識上的渴望」(an intellectual want)，直到十五年後的 1843 年 10 月 16 日，在一次「觸電似」的神奇經驗 中頓悟了三項不夠而需要四項的「空間數」：
u+ai+bj+ck，
稱為四元數 (quaternion)，其中 u 稱為純量部分，
ai+bj+ck 稱為向量部分；i、j、k 扮演像複數中的虛 數單位 i 那樣的角色，稱為生成元素，而 u、a、b、
c 都是實數。順便一提，1843 年是中英〈南京條約〉
生效的第一年，英國佔領香港。
就像複數一樣，兩個四元數 p=u+ai+bj+ck 和 q=v+xi+yj+zk 相等的意義是 u=v、a=x、b=y、c=z。
四元數的加或減就是對應係數的加或減，也就是 p±q=(u±v)+(a±x) i +(b±y) j +(c±z) k，
可見四元數的加法具備實數或複數加法的性質：結合 律與交換律。
至於乘法，漢彌爾頓直接規定四元數的乘法對加 法滿足分配律，所以只要規定生成元素之間的乘法規 則，就能做四元數的乘法。這些規則是：
i2=-1、j2=-1、k2=-1、ij=k、jk=i、ki=j、ji=-k、kj=-i、ik=-j 根據以上遊戲規則，讀者不妨嘗試一個簡單的例子：
(3+2i)(7i-5k)=3(7i-5k)+2i(7i-5k)=21i-15k+14i2-10ik=-14+21i+10j-15k 一般而言，四元數 p 和 q 相乘的結果如下：
pq= (uvax by cz)+(ux va bz cy)i + (uyvb cx az)j + (uzvcay bx )k 漢彌爾頓也定義像共軛複數一樣的「共軛」四元數：p =u-ai-bj-ck，則
pp =u2+ a2+ b2+ c2=|p|2，
因為pp /( u2+ a2+ b2+ c2)=1，於是產生p的倒數 1/p=p /|p|2。如此，只要規定 q÷p=q(1/p)
就得到了四元數的除法；當然，除數還是不得為 0，而這樣定義的除法自然滿足乘除互 逆的性質。
四元數與實數和複數都「相容」。當 a=b=c=0，也就是向量部分為零，則 p 就是實 數。當 b=c=0，則 p 就是複數。而且，當四元數「退化」成實數或複數的時候，它們的 加減乘除計算就像實數或複數一樣。唯一「遺憾」的是：四元數的乘法不具有交換律。
這可以從生成元素的乘法規則看出來，例如 ij=k 但是 ji=-k。當 u= v=0，也就是 p 和 q 都只有向量部分，則
pq= ( ax by cz)+ (bzcy)i + (cx az )j + (ay bx )k
可見 pq 的純量部分是兩向量之內積的相反數，而 pq 的向量部分是兩向量的外積。外積 是不可交換的，它具有「逆交換性」：u v (v u)
。所以，當 p 和 q 都只有向量部分，
則 pq 和 qp 互為共軛四元數，通常並不相等；至於 p 和 q 都是一般四元數的時候，pq 和 qp 就只知道純量部分相等了。
如果把向量認知為「有方向的長度量」，則向量相乘就該是「有方向的面積量」。如 此看來，四元數的乘法在向量部分等同於外積，就似乎有其不可避免的內在需要。至於 放棄了乘法交換律，也似乎是一種非如此不可的「棄保效應」：棄交換律而保住更基礎 的結合律 (associative law)：
若 p、q、r 是四元數，則(pq)r=p(qr)。
如果結合律不成立，就不能有「連乘」計算，因為(pq)r 和 p(qr)未必相等，所以 pqr 沒 有確切的意義。
根據漢彌爾頓的日 記，他在都柏林附近的 Brougham橋（現稱Broom Bridge，金雀花橋）上獲得 四元數之靈感。如今，橋 上坎著一塊紀念此事的 碑，而碑文上刻著的一條 等式ijk=-1 就表現了結合 律。因為ijk等於(ij)k，也 等於i(jk)，而前者是 k2=-1，後者是i2=-1，兩者 相等，所以可以簡記為連 乘符號ijk=-1。
事實上，「結合律」這個名詞就是在漢彌爾頓討論四元數的時候首度出現。在四元 數之前，數學家並沒有討論過不滿足結合律或交換律的運算；也就是從四元數開始，數 學的「代數」支系有了全新的視野：人們可以在一個全然人造的符號系統中定義加減乘 除，並討論其運算性質。
現在，我們應該可以不過份失真地詮釋漢彌爾頓發展四元數的心理狀態：他要找到 一種和直線數（實數）與平面數（複數）都相容的空間數。後人評判漢彌爾頓是英國僅 次於牛頓的偉大數學家；而且，也像牛頓一樣，他的物理學家身份可能更勝於數學家。
但是，在四元數上，漢彌爾頓是一位道道地地的純數學家：他最關心的是數學內部的一 致性，或者說是數學的「美」。
漢彌爾頓雖然也全面地在物理上示範四元數的應用，範圍包括當時所知的流體力 學、熱力學和光學（他在這些物理課題上已經聲名卓著），但是這些示範並沒有產生新 的物理知識，也沒有簡化原來的理論和計算，事實上可能還為了一致性的美而付出更高 的計算代價。真正可以仰仗四元數而發展的物理觀念，在漢彌爾頓身故 (1865) 之後才 發生，那就是麥斯威爾 (James Maxwell, 1831—79) 的
電磁理論。
麥斯威爾是蘇格蘭人，他跟泰德是同窗兼同鄉；
而泰德 (Peter Tait, 1831—1901) 是漢彌爾頓的追隨 者，後來成為四元數之最大推手。當麥斯威爾在 1870 年跟泰德討教四元數的時候，他的電磁理論已經成 形，只是還沒找到描述那些物理想法的數學語言。從 他們的通信中看得出來，麥斯威爾覺得四元數太麻煩 而態度有所保留，至於泰德則努力地遊說。
表現在麥斯威爾於 1873 年出版的畫時代著作《電 與磁之論》(A Treatise on Electricity and Magnetism) 裡 面的數學，的確是四元數，但是麥斯威爾也不厭其煩 地併陳「笛卡兒方法」，也就是分別描述 x 坐標、y 坐
標和 z 坐標的方程式，並且不止一次提到：如果能將純量和向量的計算分開來做，應該 會更簡潔，而且更直接對應物理意義。英國劍橋大學出版社今年 (2010) 又重新發行了 這本經典，注意此書的標題並沒有使用「電磁」合成字 (electromagnet)。
麥斯威爾出版《電與磁之論》之後短短六年就過世了，來不及實現他心目中更「簡 潔」的向量數學。這份著作引領了許多跟隨者，包括美國耶魯大學的吉布斯教授 (Willard Gibbs, 1839—1903) 和英國的自學天才黑維塞 (Oliver Heaviside, 1850—1925)。
吉布斯讀《電與磁之論》的時候已經是教授而且已經 發表了重要的物理論文，但是他讀了這本書之後才開始學 習四元數，當作研究電磁學的工具。過程中他洞察四元數 有「多餘的」性質可以略去，只要擷取向量的係數積、內 積、外積和一些我們在大一微積分課程中學習的微分與積 分的運算，就能描述電磁現象並據以計算和推論。吉布斯 從 1877 年起開授電磁學課程，在課堂上採用他發展的向 量方法；後來，他在 1881 年自費印刷了向量講義，除了 課堂使用以外，陸續郵寄了大約 130 份給歐美各地的同 行。二十年後的 1901 年，總算由他的學生 Wilson 代筆撰 寫並正式出版為《向量分析》(Vector Analysis) 教科書。
順帶一提，吉布斯設計了一部早期的類比型機械式計算 機，可以自動做特殊形式的積分計算，將一個輸入的函數 轉換成傅立葉級數（的估計值）。這部計算機代表美國參 加了 1900 年在巴黎舉行的世界博覽會。
黑維塞讀《電與磁之論》的時候是一位失學而且無 業的 24 歲「啃老族」，他決定要自修成為一名電磁學家。
他同樣是為了研究電磁學而學習四元數，也同樣將四元 數「去蕪存菁」成空間向量及其運算，並應用在他 1883 年發表的電磁學論文裡。當他在 1888 年拿到吉布斯的講 義時，赫然發現他們發展了完全一樣的向量方法。但是 這兩人從來不曾爭論誰先誰後，或許他們是當時世界上 唯二的向量推手，必須惺惺相惜吧。黑維塞於 1893 年出 版的《電磁理論》 (Electromagnetic Theory) 被認為是麥 斯威爾理論的正宗後裔，其中有長長的一章向量分析。
相對於四元數，空間向量並不相容於實數，也不能 自成一個代數系統。向量內積的結果不再是向量，所以 內積不是向量乘法；而外積的結果雖然是向量，卻不滿 足結合律（例如 ( i j) j i 是 i j
但 ( j) 0
），還會
有非零向量之外積是零向量的窘況（任兩個平行向量的外積是零向量）。儘管向量的計 算規則如此之「醜」，物理學者和其他的科學家終究因為實用性而選擇了它，正所謂不 美總比不妙好。
在十九世紀的最後十年，吉布斯受到英國數學界很不友善的批評，但是畢竟他人在 美國，並且有德國人的支持，而身在英國的黑維塞則有一段幾乎投稿無門的日子。相對 於吉布斯的低調：他只是默默地寄送他「未出版」的課堂講義，黑維塞和英國數學界展 開針鋒相對的十年筆戰。進入二十世紀之後，塵埃很快落定，吉布斯和黑維塞從四元數 中「擷取」出來的空間向量及其演算，成為物理學者的通用工具，也逐漸成為數學課程 的基本內容。
這一則故事似乎是說，向量在十九世紀末「正式」登場。但是這個觀念不見得公允。
古希臘就有用所謂「平行四邊形法」解釋兩力之合成的作法，那就是平面向量之和的標 準幾何解釋。而逐漸在西歐社會成形的負數觀念，其實就是一維的向量。在一個維度內，
只有兩種方向，負號就表示「反向」。我們甚至可以用向量內積公式的後見之明來解釋
「負負得正」：x y | | |x y| cos，其中 x 和 y 是兩個實數， 是它們的夾角。在數線上，
夾角只有兩種：0 度或 180 度（及其同界角）。所以，當 x 和 y 同向時（同為正數或同 為負數），因為 故乘積為正；當 x 和 y 逆向時（一正一負），因為 故乘積為 負。所以，向量的觀念其來有自，只是人們並沒有把它抽離出來當作一個數學物件而已。
直到十九世紀，才從直線數、平面數與四元數之中，認識了向量的抽象性質，同時因為 科技的須要，而終於將它獨立出來，成為一個數學物件。
0 180
至於漢彌爾頓，他有更好的選擇嗎？他是不是沒有找到最好的空間數形式？有沒有 更妙的空間數等著我們這些後人發掘呢？簡單地說：沒有了。霍維茨 (Adolf Hurwitz, 1859—1919) 在 1898 年證明：在合理的條件下，所有的「數系」只有四種：實數、複 數、四元數，和一種相當於是由四元數所造成的複數。所以，漢彌爾頓畢竟是位大師級
的數學家，他之所以沒想到更妙的形式，是因為它根本不存 在。
霍維茨所謂的「合理條件」，是為了讓新數系與實數相 容而設立的要求：
1. 數系中的數是aa e0 0a e1 1 a en n，其中e0 、1
、 、 、
e1 … 與
e 是生成元素，n a 、0 a 、…1 a 是實數，而n ei
e 相乘的結果是某個j e 或k 。 ek 2. 非零的兩數不得相乘為零。
3. 乘法滿足結合律。
「合理」。如果想要另闢尋 須揚棄上述條件之一才行。
讀者應該會同意，上述要求非常 找空間數的蹊徑，就必
