提要 282：偏微分方程式的基本概念 偏微分方程式

提要 282：偏微分方程式的基本概念

偏微分方程式(Partial Differential Equation)有十個重要的基本觀念，說明如下：

偏微分方程式的十個重要基本觀念

1. 偏微分方程式係指微分式之自變數(Independent Variable)有兩個以上情況下時之 微分式。

2. 偏微分方程式之階數(Order)係指微分方程式中最高次微分項之微分次數。

3. 線性(Linear)偏微分方程式是指微分式裏，每一個加減的項次中，僅有一個應變數 (Dependent Variable)之正一次方存在的情況。

4. 齊性(Homogeneous)偏微分方程式是指微分式裏，每一個加減的項次中，沒有任意 一個項次單獨與自變數(Independent Variable)有關之情況。

5. 一維波傳方程式是指 ₂

2 2 2

2 1

t u c x

u



 



 ，其中u質點位移；c波速。(註：此為二

階之線齊性偏微分方程式。)

6. 一維熱傳方程式是指

t u c x

u



 





2 2

2 1

，其中u質點溫度；參數c與物質之比熱、熱 傳導係數、密度等有關。(註：此為二階之線齊性偏微分方程式。)

7. 二維 Laplace 方程式是指 ₂ 0

2 2 2

 







y u x

u 。(註：此為二階之線齊性偏微分方程式。)

8. 二維 Poisson 方程式是指 ^f

 

y u x

u ₂ ,

2 2

2 







 。(註：此為非齊性之二階線性偏微分

方程式。)

9. 二維波傳方程式是指 ₂

2 2 2 2 2

2 1

t u c y

u x

u



 







 ，其中u質點位移；c波速。(註：此

為二階之線齊性偏微分方程式。)

10. 三維 Laplace 方程式是指 ₂ 0

2 2 2 2

2 













z u y

u x

u 。(註：此為二階之線齊性偏微分方

程式。)