一阶线性偏微分方程

如果微分方程中的未知函数的自变量不止一个，那么就称其为偏微分方程。在许多 领域的研究中，我们需要用偏微分方程来描述或者刻画某些现象或者状态的演变过程。

7.1

基本概念

1. 一阶偏微分方程

由未知函数u(x1, x2, · · · , xn)(n ≥ 2)及其一阶偏导数_∂x∂u₁,_∂x∂u₂, · · · ,_∂x∂u_n构成的关系式

F µ x1, x2, · · · , xn; u, ∂u ∂x1 , ∂u ∂x2 , · · · , ∂u ∂xn ¶ = 0 (7.1) 称为一阶偏微分方程。 2. 一阶线性偏微分方程 若F 关于u, ∂u ∂x1, ∂u ∂x2, · · · , ∂u ∂xn是线性的（一次的）， a0(x1, x2, · · · , xn)u + n X i=1 ai(x1, x2, · · · , xn) ∂u ∂xi = f (x1, x2, · · · , xn) (7.2) 则称其为一阶线性偏微分方程。 3. 一阶线性齐次偏微分方程 若上式中的f (x1, x2, · · · , xn) ≡ 0，即 a0(x1, x2, · · · , xn)u + n X i=1 ai(x1, x2, · · · , xn) ∂u ∂xi = 0 (7.3) 则称其为一阶线性齐次偏微分方程。 4. 非线性偏微分方程 不是线性的偏微分方程为非线性偏微分方程。 5. 拟线性偏微分方程 若非线性偏微分方程关于其最高阶偏导数是线性的，则称它是拟线性偏微分方程。 本章讨论如下的一阶拟线性偏微分方程 n X j=1 bj(x1, · · · , xn) ∂z ∂xj = Z(x1, x2, · · · , xn; z) 1

其中函数ai, f, bj, Z是相应变元的已知函数。 6. 偏微分方程的解 如果把空间{x1, x2, · · · , xn}内的某一区域D内有定义的连续可微函数u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)代 入方程(7.1)中得到恒等式 F µ x1, x2, · · · , xn; ϕ, ∂ϕ ∂x1 , ∂ϕ ∂x2 , · · · , ∂ϕ ∂xn ¶ ≡ 0 则称u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)是偏微分方程(7.1)的一个解，而D是该解的定义域。 偏微分方程解的几何意义 对于一阶偏微分方程(7.1)，当n = 2时，其一般形式可以 写为 F µ x, y, z,∂z ∂x, ∂z ∂y ¶ = 0 (7.4) 若z = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D是它的解，那么我们称三维空间(x, y, z)中的曲面z = ϕ(x, y)为 方程(7.4)的积分曲面。更一般的，对于方程(7.1)的解u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)可以抽象地看 成n + 1维空间{x1, x2, · · · , xn, u}内的一张曲面，因此也称为偏微分方程(7.1)的积分曲 面。

7.2

一阶线性偏微分方程的求解

7.2.1

首次积分

定义 7.1 含有n个未知函数的一阶常微分方程组                                  dy1 dx = f1(x, y1, y2, · · · , yn), dy2 dx = f2(x, y1, y2, · · · , yn), · · · · dyn dx = fn(x, y1, y2, · · · , yn). (7.5) 如果存在不恒为零的连续可微函数ϕ(x, y1, y2, · · · , yn)，使得方程组(7.5)（在某个区 域G内）的任一解都满足： dϕ(x, y1(x), y2(x), · · · , yn(x)) = 0 则关系式 ϕ(x, y1(x), y2(x), · · · , yn(x)) = c (7.6) 称为方程组(7.5)的一个首次积分。有时也称ϕ为方程组(7.5)的一个首次积分。

方程组(7.5)的n个首次积分ϕj(x, y1, y2, · · · , yn) = cj(j = 1, 2, · · · , n)称为是彼此独立 的，如果Jacobi行列式 ∂(ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn) ∂(y1, y2, · · · , yn) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ϕ1 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y1 · · · ∂ϕn ∂y1 ∂ϕ1 ∂y2 ∂ϕ2 ∂y2 · · · ∂ϕn ∂y2 · · · · · · · ∂ϕ1 ∂yn ∂ϕ2 ∂yn · · · ∂ϕn ∂yn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (7.7) 在G内恒不为0。我们也可以用Jacobi矩阵       ∂ϕ1 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y1 · · · ∂ϕn ∂y1 ∂ϕ1 ∂y2 ∂ϕ2 ∂y2 · · · ∂ϕn ∂y2 · · · · · · · ∂ϕ1 ∂yn ∂ϕ2 ∂yn · · · ∂ϕn ∂yn       的秩为n来定义ϕj(j = 1, 2, · · · , n)的独立性。

7.2.2

常微分方程组与一阶线性偏微分方程

对于n = 1的情形，常微分方程组退化为一阶常微分方程 dy dx = f (x, y) (7.8) 假设其通解为y = ψ(x, c)，从中解得 ϕ(x, y) = c 那么，这就是方程(7.8)的首次积分。用方程(7.8)的任一解y(x)代入，可得 ϕ(x, y(x)) = c 于是 dϕ(x, y(x)) = ∂ϕ ∂x + ∂ϕ ∂y dy dx = 0 或者 ∂ϕ ∂x + ∂ϕ ∂yf (x, y) = 0 这说明u = ϕ(x, y)是一阶齐次线性偏微分方程 ∂u ∂x + f (x, y) ∂u ∂y = 0 (7.9) 的解。

反之，将方程(7.8)的任一解y(x)代入方程(7.9)的解u = u(x, y)中，再关于x求导，可 得 du dx = ∂u ∂x + ∂u ∂y dy dx = ∂u ∂x + f (x, y) ∂u ∂y = 0

即 u(x, y(x)) = 常数 这说明u(x, y) = c是方程(7.8)的首次积分。 定理 7.1 ψ(x, y1, y2, · · · , yn) = c是方程组(7.5)的首次积分的充要条件是在G内成立 ∂ψ ∂x + f1 ∂ψ ∂y1 + f2 ∂ψ ∂y2 + · · · + fn ∂ψ ∂yn = 0 (7.10) 定理 7.2 (存在唯一性定理) 如果A(t)是n×n矩阵，f (t)是n维列向量，它们都在区间a ≤ t ≤ b上连续，则对于区间a ≤ t ≤ b上的任何数t0以及任一常数n维列向量η，方程组 x0 = A(t)x + f (t) (7.11) 存在唯一解φ(t)，定义于整个区间a ≤ t ≤ b上，且满足初始条件 φ(t0) = η 〖证明〗 先证必要性。 由定理 7.2可知，对于任一点(x0, y10, · · · , yn0) ∈ G，方程组(7.5)满足初始条件 yj(x0) = yj0, j = 1, 2, · · · , n 的解yj = ϕj(x)(j = 1, 2, · · · , n)存在且唯一。 若ψ(x, y1, · · · , yn) = c为首次积分，则 ψ(x, ϕ1(x), · · · , ϕn(x)) = 常数 从而 d dxψ(x, ϕ1(x), · · · , ϕn(x)) = 0 特别，当x = x0时，有 ∂ ∂xψ(x0, y 0 1, · · · , yn0) + n X i=1 fi(x0; y10, · · · , yn0) ∂ ∂yi ψ(x0, y01, · · · , y0n) = 0 再由(x0, y01, · · · , yn0) ∈ G的任意性，推知等式(7.10)在G内成立。 再证充分性。 若等式(7.10)在G内成立，自然对于方程组(7.5)的解有意义之处也成立，因此 d dxψ(x, ϕ1(x), · · · , ϕn(x)) = µ ∂ψ ∂x + f1 ∂ψ ∂y1 + · · · + fn ∂ψ ∂yn ¶¯_¯ ¯ ¯_{yj =ϕj (x),} j=1,2,···,n = 0 或者 ψ(x, ϕ1(x), · · · , ϕn(x)) = 常数 即ψ(x, y1, · · · , yn) = c是方程组(7.5)的首次积分。■

7.2.3

利用首次积分求解常微分方程组

定义 7.2 称 方 程 组(7.5)的n个 互 相 独 立 的 首 次 积 分 全 体ϕj(x, y1, · · · , yn) = cj，j = 1, 2, · · · , n为方程组(7.5)的通积分。 分 析：若 能 找 到 方 程 组(7.5)n个 独 立 的 首 次 积 分ϕj(x, y1, y2, · · · , yn) = cj(j = 1, 2, · · · , n)，则通过求解函数方程组            ϕ1(x, y1, y2, · · · , yn) = c1 ϕ2(x, y1, y2, · · · , yn) = c2 · · · · ϕn(x, y1, y2, · · · , yn) = cn (7.12) 可 以 解 得 全 部 未 知 函 数yj。这 样 方 程 组(7.5)的 解 便 求 出 了。一 般 我 们 直 接 将 隐 式 解(7.12)就称为方程组(7.5)的通解。由此看来，求解方程组(7.5)的问题就归结为寻求它 的通积分。 寻找首次积分的方法:首先，我们将方程组(7.5)改写为如下的对称形式 dx g0 = dy1 g1 = dy2 g2 = · · · = dyn gn 其中，gj = g0fj(j = 1, 2, · · · , n)。如果能求得n + 1个不同时为零的函数µ0, µ1, · · · , µn使 得 (1) µ0g0+ µ1g1+ · · · + µngn = 0； (2) µ0dx + µ1dy1+ · · · + µndyn是某个函数ϕ的全微分，则ϕ = c就是方程的一个首次积 分。 【例1】 求方程组 dx xz = dy yz = dz xy 的通积分。 【例2】 解方程组 dx x = dy y = dz z +px2_{+ y}2_{+ z}2

7.2.4

一阶齐次线性偏微分方程的求解

定义 7.3 形如 n X i=1 Xi(x1, x2, · · · , xn) ∂u ∂xi = 0 (7.13) 的一阶齐次线性偏微分方程，假定其系数Xi(x1, x2, · · · , xn)在给定点(x(0)1 , x(0)2 · · · , x(0)n )的 某个邻域D中连续可微且不同时为零。构造如下形式的一阶常微分方程组： dx1 X1 = dx2 X2 = · · · = dxn Xn (7.14)

我们称(7.14)为偏微分方程(7.13)的特征方程。 分析：方程组(7.14)是包含n − 1个常微分方程的方程组，因此它具有n − 1个互相独 立的首次积分：ϕi(x1, x2, · · · , xn) = ci(i = 1, 2, · · · , n − 1)。其中，ci为任意常数。可利用 这n − 1个首次积分来给出偏微分方程(7.13)的通解的结构。 定理 7.3 设ϕi(x1, x2, · · · , xn) = ci(i = 1, 2, · · · , n − 1)是 方 程(7.14)的 通 积 分，则 方 程(7.13)的通解可以表示为 u = Ψ(ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn−1) (7.15) 其中Ψ是其变量的任意连续可微函数。 〖证明〗 首先，易证：如果ϕi(x1, x2, · · · , xn) = ci(i = 1, 2, · · · , n − 1)是方程(7.14)的通积分， 那么复合函数Ψ ³ ϕ1(x1, x2, · · · , xn), ϕ2(x1, x2, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, x2, · · · , xn) ´ = c也是 方程组的首次积分。具体证明如下： 由假设Xi(i = 1, 2, · · · , n)在D内不同时为零，不妨假设Xn 6= 0。于是，将xn视为自 变量，方程(7.14)的解可以表示为xj = ψj(xn)(j = 1, 2, · · · , n − 1)。又因为ϕi = ci(i = 1, 2, · · · , n−1)是方程组(7.14)的首次积分，因此有ϕi ³ ψ1(xn), ψ2(xn), · · · , ψn−1(xn), xn ´ = ci, i = 1, 2, · · · , n − 1。其中，ci是确定的常数，因此 Ψ ³ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn) ´¯ ¯ ¯ _{xj =ψj (xn)} j=1,2,···,n−1 = 常数 这就证明了Ψ ³ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn) ´ = c是方程组(7.14)的首次积分。根 据定理7.1，u = Ψ ³ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn) ´ 是偏微分方程(7.13)的解。 为了得到偏微分方程(7.13)的通解，以下我们需要证明：偏微分方程(7.13)的任意一 个解都可以由u = Ψ ³ ϕ1(x1, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, · · · , xn) ´ 得到。 由条件ϕi(x1, x2, · · · , xn) = ci(i = 1, 2, · · · , n − 1)是方程(7.14)的首次积分，因此根据 定理7.1，u = ϕi(i = 1, 2, · · · , n−1)是方程(7.13)的n−1个解。假设u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)是 偏微分方程(7.13)的任一非平凡解，这样我们就得到了偏微分方程(7.13)的n个解。把这 些解全部代入偏微分方程(7.13)中，即可得到如下的n个等式        n P i=1 Xi(x1, x2, · · · , xn) ∂ϕ(x1, x2, · · · , xn) ∂xi = 0 n P i=1 Xi(x1, x2, · · · , xn) ∂ϕj(x1, x2, · · · , xn) ∂xi = 0, j = 1, 2, · · · , n − 1 (7.16) 写成如下的矩阵形式       ∂ϕ ∂x1 ∂ϕ ∂x2 · · · ∂ϕ ∂xn ∂ϕ1 ∂x1 ∂ϕ1 ∂x2 · · · ∂ϕ1 ∂xn · · · · · · · · · · · · ∂ϕn−1 ∂x1 ∂ϕn−1 ∂x2 · · · ∂ϕn−1 ∂xn             X1(x1, x2, · · · , xn) X2(x1, x2, · · · , xn) · · · Xn(x1, x2, · · · , xn)      = 0

由于Xi(i = 1, 2, · · · , n)在D内不同时为零，因此上述方程组有非零解。根据线性代数的 知识可知， ∂(ϕ, ϕ1, · · · , ϕn−1) ∂(x1, x2, · · · , xn) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ϕ ∂x1 ∂ϕ ∂x2 · · · ∂ϕ ∂xn ∂ϕ1 ∂x1 ∂ϕ1 ∂x2 · · · ∂ϕ1 ∂xn · · · · · · · · · · · · ∂ϕn−1 ∂x1 ∂ϕn−1 ∂x2 · · · ∂ϕn−1 ∂xn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≡ 0 因此，n个函数 ϕ(x1, x2, · · · , xn), ϕ1(x1, x2, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, x2, · · · , xn) 是相关的（非互相独立的）。但定理的条件告诉我们ϕi(i = 1, · · · , n)是通积分，即互相独 立的首次积分，因此ϕi(i = 1, · · · , n − 1)也是互相独立的。这样，便存在一个连续可微函 数Ψ，使得 ϕ(x1, x2, · · · , xn) = Ψ ³ ϕ1(x1, x2, · · · , xn), · · · , ϕn−1(x1, x2, · · · , xn) ´ 另外，如果Ψ可以取常值函数，那么(7.15)显然也包含了偏微分方程(7.13)的平凡解。 ■ 注1 由于定理7.3是在某点邻域内成立，故是局部的，因此偏微分方程(7.13)的通解表 达式在理论上也是局部成立的。 只有两个自变量的偏微分方程(7.13)的求解： 在只有两个自变量的情况下，假设一阶齐次线性偏微分方程定解问题为    P (x, y)∂u ∂x + Q(x, y) ∂u ∂y = 0, x0 < x < ∞, −∞ < y < ∞ u|x=x0 = ϕ(y), −∞ < y < ∞ (7.17) 其特征方程为 dx P (x, y) = dy Q(x, y) (7.18) 如果已经求得方程(7.18)的首次积分为 ψ(x, y) = c (7.19) 那么偏微分方程(7.17)的通解为 u = Φ(ψ(x, y)) (7.20) 其中，Φ是一个任意一元连续可微函数。利用初值条件，可得 Φ(ψ(x0, y)) = ϕ(y) (7.21) 令 ¯ ψ = ψ(x0, y) (7.22)

从(7.22)解出 y = ω( ¯ψ) (7.23) 把(7.22)代入(7.21)等号左端，(7.23)代入(7.21)等号右端可得 Φ( ¯ψ) = ϕ(ω( ¯ψ)) (7.24) 这样，任意一元连续可微函数Φ的具体表达式就确定了。最后，再利用(7.20)可得偏微分 方程(7.17)的解为 u = Φ(ψ(x, y)) = ϕ(ω(ψ(x, y))) (7.25) 【例3】 求方程 x∂u ∂y − y ∂u ∂x = 0 通过曲线x = 0, u = y2_{的积分曲面。} 【例4】 求解如下偏微分方程 x1 ∂u ∂x1 + x2 ∂u ∂x2 + · · · + xn ∂u ∂xn = 0 其中，x1 6= 0。

7.2.5

一阶拟线性偏微分方程的求解

一阶拟线性偏微分方程: n X i=1 bi(x1, · · · , xn, z) ∂z ∂xi = Z(x1, · · · , xn, z) (7.26) n = 2时的形式： a(x, y, z)∂z ∂x + b(x, y, z) ∂z ∂y = Z(x, y, z) (7.27) 其中，函数a(x, y, z)，b(x, y, z)，Z(x, y, z)关于(x, y, z) ∈ D ⊂ R3_{连续可微，并且a, b不同} 时为零。 求解方法：假设(7.27)的解z = u(x, y)表为隐函数形式 F (x, y, z) = 0 那么根据隐函数求导公式易得 ∂z ∂x = − µ ∂F ∂x Á ∂F ∂z ¶ , ∂z ∂y = − µ ∂F ∂y Á ∂F ∂z ¶ 代入(7.27)可得 a(x, y, z)∂F ∂x + b(x, y, z) ∂F ∂y + Z(x, y, z) ∂F ∂z = 0 (7.28)

以上推导结果表明：如果F (x, y, z) = 0是拟线性方程(7.27)的隐式解，那么函数F = F (x, y, z)就是一阶齐次线性偏微分方程(7.28)的显式解。以下需要解决能否利用偏微分 方程(7.28)的通解来确定拟线性偏微分方程(7.27)的通解。 设 ϕ(x, y, z) = c1, ψ(x, y, z) = c2 是方程(7.28)的特征方程 dx a = dy b = dz Z (7.29) 的两个互相独立的首次积分。那么根据定理7.3，方程(7.28)的通解可以表示为 F = Φ ³ ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) ´ 其中Φ是关于其自变量的任意连续可微二元函数。 以下首先说明当∂Φ ∂z 6= 0时，由 Φ ³ ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) ´ = 0 所确定的隐函数z = z(x, y)的确是方程(7.27)的解。同样利用隐函数求导公式可得 ∂z ∂x = − µ ∂Φ ∂x Á ∂Φ ∂z ¶ , ∂z ∂y = − µ ∂Φ ∂y Á ∂Φ ∂z ¶ 再代入恒等式 a(x, y, z)∂Φ ∂x + b(x, y, z) ∂Φ ∂y + Z(x, y, z) ∂Φ ∂z = 0 可得 a³x, y, z(x, y)´∂z ∂x + b ³ x, y, z(x, y)´∂z ∂y = Z ³ x, y, z(x, y)´ 这就证明了z = z(x, y)的确是偏微分方程(7.27)的一个解。下面进一步证明：对于偏微分 方程(7.27)的任何一个解z = ζ(x, y)，总存在二元函数Ψ，使得 Ψ h ϕ ³ x, y, ζ(x, y) ´ , ψ ³ x, y, ζ(x, y) ´i ≡ 0 这里，ϕ, ψ是特征方程(7.29)的互相独立的首次积分。这部分的证明可以参照定理7.3的 证明。这里，我们通过说明ϕ ³ x, y, ζ(x, y) ´ 和ψ ³ x, y, ζ(x, y) ´ 是相关的来给出证明。 记 γ(x, y)= ϕ∆ ³x, y, ζ(x, y)´, κ(x, y)= ψ∆ ³x, y, ζ(x, y)´ 则 ∂γ ∂x = ∂ϕ ∂x + ∂ϕ ∂z · ∂ζ ∂x, ∂γ ∂y = ∂ϕ ∂y + ∂ϕ ∂z · ∂ζ ∂y 于是 a∂γ ∂x + b ∂γ ∂y = a ∂ϕ ∂x + b ∂ϕ ∂y + µ a∂ζ ∂x + b ∂ζ ∂y ¶ ∂ϕ ∂z = a ∂ϕ ∂x + b ∂ϕ ∂y + Z ∂ϕ ∂z ≡ 0

同理可得 a∂κ ∂x + b ∂κ ∂y ≡ 0 这样我们便得到了以下的线性代数方程组 ( a∂γ_∂x+ b∂γ_∂y = 0 a∂κ ∂x + b ∂κ ∂y = 0 但函数a, b不同时为零，这说明上述方程组有非零解，因此根据线性代数理论，可知系数 行列式 _¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂γ ∂x ∂γ ∂y ∂κ ∂x ∂κ ∂y ¯ ¯ ¯ ¯ ¯≡ 0

即Jacobi行列式∂(γ,κ)_∂(x,y) = 0，这又说明了函数γ(x, y)和κ(x, y)是相关的。因此存在二元函 数Ψ，使得 Ψ h ϕ ³ x, y, ζ(x, y) ´ , ψ ³ x, y, ζ(x, y) ´i = Ψ[γ(x, y), κ(x, y)] ≡ 0 一阶拟线性偏微分方程(7.27)的通解的结构定理: 定理 7.4 设ϕi(x1, · · · , xn; z) = ci(i = 1, 2, · · · , n)是常微分方程组 dx1 b1 = dx2 b2 = · · · = dxn bn = dz Z (7.30) 的n个互相独立的首次积分，Φ是关于其自变量任意连续可微的n元函数。如果从 Φ(ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn) = 0 (7.31) 可以确定函数z = z(x1, x2, · · · , xn)，那么(7.31)即为一阶拟线性偏微分方程(7.26)的（隐 式）通解。 方程(7.30)称为一阶拟线性偏微分方程(7.26)的特征方程。 【例5】 求如下初值问题 ₍ x∂z ∂x+ (y + x2)∂z∂y = z z(x, y)|_x=2 = y − 4 【例6】 求解拟线性偏微分方程y∂z ∂x = z 。 【例7】 求解如下拟线性偏微分方程 x1 ∂z ∂x1 + x2 ∂z ∂x2 + · · · + xn ∂z ∂xn = ωz 其中，ω为大于零的正整数，x1 6= 0。

7.3

Cauchy问题

7.3.1

一阶线性（拟线性）偏微分方程求解的几何解释

考虑三维空间中的一个连续向量场 v = ³ P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ´ 任意给定区域D中的一点(x, y, z)，便得到一个确定的方向。如果空间的一条曲线l上每一 点(x, y, z)的切向量τ = (dx, dy, dz)与该点的场向量v ³ P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ´ 共 线，则称该曲线l为特征曲线。而由τ 和v共线可得 dx P = dy Q = dz R (7.32) 因此特征曲线l由微分方程(7.32)决定。由特征曲线组成的曲面称为特征曲面（后面将说 明特征曲线的确可以编织成一个光滑曲面）。若记特征曲面上任一点处的法向量为n，那 么在该点，n与v一定正交，即 n · v = 0 (7.33) 然后我们有以下结果 • 当特征曲面的方程为显式z = z(x, y)时，n = ³ ∂z ∂x,∂z∂y, −1 ´ ，从而根据(7.33)有 P∂z ∂x + Q ∂z ∂y = R (7.34) • 当特征曲面的方程为隐式u(x, y, z) = 0时，n = ³ ∂u

∂x,∂u∂y,∂u∂z

´ ，同样根据(7.33)有 P∂u ∂x + Q ∂u ∂y + R ∂u ∂z = 0 (7.35) 在本章一开始，就已经介绍了积分曲面的概念。即一阶线性（拟线性）偏微分方程 的解可以想象成n维空间中的一张曲面。从(7.34)和(7.35)来看，一阶线性（拟线性）偏 微分方程的解（积分曲面）就是特征曲面，记为π。那么现在就可以给出一阶线性（拟 线性）偏微分方程求解的几何解释了：一阶线性（拟线性）偏微分方程（(7.34)，(7.35)） 的解（积分曲面）是特征曲面，它是由特征曲线组成的。而特征曲线可以由常微分方程 组（特征方程）(7.32)决定。这样，一阶线性（拟线性）偏微分方程的求解问题就归结为 常微分方程组的求解问题了。这与前面所给的结论是完全一致的。 以下说明特征曲线γ的确可以编织成光滑的特征曲面（积分曲面）。这句话的含义 为：通过π上任何一点p0(x0, y0, z0)恰有一条特征曲线γ0，而且γ0 ⊂ π。 显然，只要π ⊆ D，则根据常微分方程组(7.32)解的存在唯一性，可以直接得到前 半个结论，即通过π上任何一点p0(x0, y0, z0)恰有一条特征曲线γ0。现在说明后半个结论， 即通过积分曲面π上每一点p0(x0, y0, z0)的特征曲线γ0完全落在积分曲面π上。

若特征方程(7.32)的两个互相独立的首次积分为 ψ1(x, y, z) = c1, ψ2(x, y, z) = c2 (7.36) 它们共同确定了特征曲线族，因此特征曲线γ0满足 ψ1(x, y, z) = c01, ψ2(x, y, z) = c02 (7.37) 其中常数 c0₁ = ψ1(x0, y0, z0), c02 = ψ2(x0, y0, z0) (7.38) 另一方面，根据定理7.4，积分曲面π可以表示为 Φ³ψ1(x, y, z), ψ2(x, y, z) ´ = 0 (7.39) 这里Φ是某个关于其自变量的二元连续可微函数。由于p0 ∈ π，因此 Φ ³ ψ1(x0, y0, z0), ψ2(x0, y0, z0) ´ = 0 再根据(7.38)得到 Φ(c0 1, c02) = 0 然后，由(7.37)推出，在特征曲线γ0上有 Φ ³ ψ1(x, y, z), ψ2(x, y, z) ´ = 0 这就证明了γ0 ⊂ π。

7.3.2

Cauchy问题

分析：给定一条光滑曲线 Γ : x = α(σ), y = β(σ), z = ζ(σ), σ ∈ I 其中σ为曲线的参数坐标，确定拟线性偏微分方程(7.35)的一张积分曲面π : z = f (x, y)， 使之包含给定曲线Γ，即成立 ζ(σ) = f [α(σ), β(σ)] 这里α0_{(σ), β}0_{(σ), ζ}0_{(σ)都是连续的，并且α}02_{(σ) + β}02_{(σ) 6= 0。} 定理 7.5 对于一阶拟线性偏微分方程(7.35)的上述Cauchy问题， (1) 如果成立 α0_(σ) β0_(σ) 6= P ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ Q ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ 那么上述Cauchy问题有惟一解；

(2) 如果曲线Γ是特征曲线，即成立 α0_(σ) P ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ = β0(σ) Q ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ = ζ0(σ) R ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ 那么上述Cauchy问题的解不惟一； (3) 如果曲线Γ不是特征曲线，但成立 α0_(σ) β0_(σ) ≡ P ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ Q ³ α(σ), β(σ), ζ(σ) ´ 那么上述Cauchy问题无解。 【例1】 求偏微分方程 x∂z ∂x − y ∂z ∂y = z 的积分曲面，使得它通过初始曲线 Γ : x = t, y = 3t, z = 1 + t2_{, (t > 0)} 【例2】 确定偏微分方程 y∂z ∂x − x ∂z ∂y = 0 过曲线Γ : z = x, x2_{+ y}2 _{= 1的积分曲面。}