一阶偏微分方程

§ 2 一阶偏微分方程

一、 柯西-柯娃列夫斯卡娅定理

[一阶偏微分方程的通解] 一阶偏微分方程的一般形式^是 0 ) , , , , , , , , (

2 1 2

1 













n

n x

u x

u x u u x x x

F  

或



x1^{, ,}x_n^,u^,p1^,p2^{, ,}p_n



⁰

F   ，其中



i n



x p u

i

i 1,2,,



  如解出p₁，可得：

p₁ = f (x₁ , x₂ ,…, x_n , u , p₂ ,…, p_n )

当方程的解包含某些“ 任意元素” (指函数)，如果适当选取“ 任意元素” 时，可得方程的 任意解(某些“ 奇异解” 除外)，则称这样的解为通解.

在偏微分方程的研究中，重点在于确定方程在一些附加条件(即定解条件)下的解，而不在 于求通解.

[一阶方程的柯西问题]

 

 









 



x n

x

n n

x x u

p p u x x x x f

u

, ,

|

, , , , , , ,

2

2 2

1 1

0 1 1









称为柯西问题，式中(x₂,,x_n)为已知函数，对柯西问题有如下的存在惟一性定理.

[柯西－柯娃列夫斯卡娅定理] 设 f ( x₁ , x₂ ,,x_n , u , p₂ ,, p_n ) 在点 ( x₁⁰ , x₂⁰ ,, x_n⁰ , u⁰ , p₂⁰ ,, p_n⁰ ) 的某一邻域内解析，而(x₂,,x_n)在点( x₂⁰ ,,x_n⁰ ) 的某邻域内解析，则柯 西问题在点 ( x₁⁰ ,, x_n⁰ ) 的某一邻域内存在着惟一的解析解.

这个定理应用的局限性较大，因它要求f及初始条件都是解析函数，一般的定解问题未必 能满足这种条件.

对高阶方程也有类似定理.

二、 一阶线性方程

1． 一阶齐次线性方程

[特征方程特征曲线初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程

在有些书中写作

0 ) , , , , , , , , , (

1 2

1 













n

n x

u x

u t u u x x x t

F  



, , ,

 

₁, ₂, ,



0

1 2

1

1 



 

 



n n n

n x

x u x x x a

x u x x

a    (1) 式中a_i为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组



n



i

i a x x x

t

x , , ,

d d

2

1 

 ( i = 1,2,,n ) 或



_n

 

_n



a_n



x x ⁿ x_n



x x

x x a

x x

x x a

x

, , ,

d ,

, ,

d ,

, ,

d

2 1 2

1 2

2 2

1 1

1

 



    (2) 称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l: x_i = x_i (t) ( i=1,2,,n )满足特征方程 (2)，就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.

如果函数 ( x₁ , x₂ ,,x_n )在特征曲线x_i  x_i(t) (i1,2,,n)上等于常数，即

 ( x₁(t) , x₂(t) ,, x_n(t) ) = c 就称函数 ( x₁, x₂,, x_n )为特征方程(2)的初积分(首次积分).

[齐次方程的通解]

1^o 连续可微函数u =  ( x₁, x₂,, x_n ) 是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是：  ( x₁,

x₂,, x_n )是这个方程的特征方程的初积分.

2^o 设i ( x₁ , x₂ ,, x_n ) ( i = 1,2,, n1) 是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立 的初积分(因此在D内的每一点，矩阵















































 

















n n n

n

n n

x x

x

x x

x

x x

x

1 2

1 1

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

































的秩为n1) ，则

u =  ( 1 ( x₁ , x₂ ,, x_n ) ,, n-1 ( x₁ , x₂ ,, x_n ) ) 是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中为n1个变量的任意连续可微函数.

[柯西问题] 考虑方程的柯西问题

 

 









 







 x n x n

i i

n i

x x u

x x u x x a

, ,

|

0 ,

, ,

2 1

2 1

0 1 1





 式中 ( x₂ ,, x_n )为已知的连续可微函数.

设i ( x₁ , x₂ ,, x_n ) ( i = 1,2,, n1) 为特征方程的任意n1个相互独立的初积分，引入 参变量 _i (i1,2,,n1)，从方程组

 

 

 



















 2 1

0 1 1

2 2

0 1 2

1 2

0 1 1

, , ,

, , ,

, , ,

n n n

n n

x x x

x x x

x x x







































解出x₂ ,, x_n 得

 

 















1 2

1

1 2

1 2 2

, , ,

, , ,

n n

n

n

x x































则柯西问题的解为

u =  ( 2 ( 1 , 2 ,, n-1 ) ,, n ( 1 , 2 ,, n-1 ) ) 2． 非齐次线性方程

它的求解方法与拟线性方程相同.

三、 一阶拟线性方程

一阶拟线性方程为

   





 



n

i

n i

n

i R x x x u

x u u x x x a

1

2 1 2

1, ,, , , ,, ,

其中a_i及R为x₁ , x₂ ,, x_n , u的连续可微函数且不同时为零.

[一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]

 

 













u x x x t R u

n i

u x x x t a

x

n n i

i

, , , d ,

d

) , , 2 , 1 ( , , , d ,

d

2 1

2 1







或



^{x x u}



^a



^{x x x u}



^R



^{x ux u}



a x

n n

n n

n , , ,

d ,

, ,

d ,

, ,

d

1 1

1 1

1



 

   

为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l: x_i = x_i (t) ( i=1,2,,n ) , u = u(t) 满足特征方程，则称 它为拟线性方程的特征曲线.

设 i ( x₁ ,,x_n,u ) ( i = 1,2,, n) 为特征方程的n个相互独立的初积分，那末对于任何连 续可微函数，

 ( 1 ( x₁,, x_n , u) , 2 ( x₁,, x_n , u) ,, n ( x₁,, x_n , u) ) = 0 都是拟线性方程的隐式解.

[柯西问题] 考虑方程的柯西问题

   

 









 







 x n x n

i

n i

n i

x x u

u x x x x R u u x x x a

, ,

|

, , , , ,

, , ,

2 1

2 1 2

1

0 1 1









为已知的连续可微函数.

设 1 ( x₁ , x₂ ,, x_n , u) ,, n ( x₁ , x₂ ,, x_n , u) 为特征方程的n个相互独立的初积分，引 入参变量

n



₁, ₂,, , 从

 

 

 

















n n

n

n n

u x x x

u x x x

u x x x













, , , ,

, , , ,

, , , ,

2 0 1

2 2

0 1 2

1 2

0 1 1



























解出 x₂ ,, x_n , u

 

 

 

















n n n

n

n

u x x

























, , ,

, , ,

, , ,

2 1

2 1

2 1 2 2

























则由

       

   



^{, ,, ,, ,, ,, ,, , , , ,, ,,}



⁰

, , , ,

2 1 2

1 2

2 1 2 2

1 1 2

1







n n

n

n n

n u x x x u x x x u

x x x V







































给出柯西问题的隐式解.

四、 一阶非线性方程

[完全解·通解·奇异解] 一阶非线性方程的一般形式为

 



i n



x p u

p p p u x x x F

i i

n n

, , 2 , 1

0 ,

, , , , , ,

, _{2 1 2}

1







 

 



若一阶偏微分方程的解包含任意n个独立的常数，则称这样的解为完全解(全积分).

若V ( x₁, x₂ ,, x_n , u , c₁ , c₂,,c_n ) = 0为方程的完全解，从



^{i n}



c V V

i

, , 2 , 1 0

,

0   



 

消去c_i ，若得一个解，则称它为方程的奇异解(奇积分).

以两个独立变量为例说明完全解与通解、奇异解的关系，设方程

 

y q z x p z q

p z y x

F 

 



 

0, ,

, , , , 有完全解

V (x,y,z,a,b)=0 ( a,b为任意常数), 则方程等价于从方程组

 









 





 











0 ,

0 0 , , , ,

z q V y p V

z V x V

b a z y x V

消去a,b所得的方程.

利用常数变易法把a,b看作x, y的函数，将V (x,y,z,a,b)=0求关于x, y的偏导数，得

0 0

 























 























y b b V y a a q V z V y V

x b b V x a a p V z V x V

那末

0 ,

0 















 

















y b b V y a a V x

b b V x a a V

与V=0联立可确定a,b.有三种情况：

1 0



 





b V a

V ，将其与V(x,y,z,a,b)=0联立可确定不含任意常数的奇异解.

2 如 0



 



 



 





y b x b y a x

a ，即回到完全解.

3 当 / 0 , / 0



 





b V a

V 时，必有

 

 

^{,, 0}



 y x

b

a ，这时，如果不属于情形2 ，则a与b存在函数 关系：b=(a)，这里为任意可微函数，并从方程V(x,y,z,a,b)=0和^_^{V }_ ^

 

a V

b a

  0消去 a,b，可确定方程的通解.

定理 偏微分方程的任何解包含在完全解内或通解内或奇异解内.

[特征方程·特征带·特征曲线·初积分] 在一阶非线性方程：

 

F x x₁, ₂,,x u p p_n, , ₁, ₂,,p_n 0 中，设F对所有变量的二阶偏导数存在且连续，称



^{i n}



u p F x F t

p

p p F t

u p

F t x

i i i

n

i i

i i

i

, , 2 , 1 )

d ( d

d , d

1

 



 



 





 



 









或

u p F x

F p u

p F x F

p p

p F u p

F x p

F x p F x

n n

n n

i i

i n

n



 



 







 



 





 



 





 









d d d d

d d

1 1

1

2 1 2

1

1  

为非线性方程的特征方程.设特征方程的解为x_i=x_i(t), u=u(t), p_i=p_i(t) (i=1,2,…,n)称它为非线性 方程的特征带.在x₁,x₂,,xn,u空间的曲线x_i=x_i(t), u=u(t) (i=1,2,…,n)称为非线性方程的特征曲 线.如果函数G



x₁,x₂,,xn,u,p₁,p₂,,pn



在特征方程的任一解x_i=x_i(t) (i=1,2,,n), u=u(t), p_i=p_i(t) (i=1,2,,n)上等于常数，即

             

 

G x t x t₁ , ₂ ,,x t u t p t p t_n , , ₁ , ₂ ,,p t_n  C 那末函数G



x₁,x₂,,xn,u,p₁,p₂,,pn



称为特征方程的初积分.

[求完全解的拉格朗日－恰比方法] 考虑两个变量的情况.

对于方程F(x,y,z,p,q)=0，选择使雅可比式

 

 

, ⁰

, 



 q p

G

F 的一个初积分G(x,y,z,p,q).解方程组

 

 

F x y z p q G x y z p q a

, , , , , , , ,











0 (a为任意常数)

得p(x,y,z,a)及q(x,y,z,a).则方程

dz=pdx+qdy

的通解V(x,y,z,a,b)=0(b是积分dz=pdx+qdy出现的任意常数)就是方程F(x,y,z,p,q)=0的完全解.

例 求方程^z2



^{p2 q2}



^{ x2 y2的完全解.}

解 方程的特征方程为



^{p q}



^{x z}



^{pp q}



^{p y z}



^{xq y}



^q

z z q

z y p z

x

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

d 2

2

d 2

d 2

d 2

d



 



 

 

 这里成立

zp x x

p z z

pd  d  d 所以特征方程的一个初积分为z²p² －x² .

解方程组 ^z



^{p q}

 

^{x y}



z p x a

2 2 2 2 2

2 2 2

   0

 





 (a为任意常数)

得 p a x

z q y a

  ²  ²z ,

积分微分方程

dz a x

z dx y a

z dy

 

 

2 2

得完全解

z x x a y y a a x x a

y y a

2 2 2 b

2

      2

  

ln (b为任意常数)

[某些容易求完全解的方程]

1 仅含p,q的方程F(p,q)=0

G=p是特征方程的一个初积分.从F(p,q)=0与p=a(a为任意常数)得q=(a)，积分 dz=adx+(a)dy

得完全解

z=ax+(a)y+b (b为任意常数) 2 不显含x,y的方程F(z,p,q)=0

特征方程为

z q F

q z

p F p q

q F p p F

z q

F y p F x



 





 





 



 



 





d d

d d

d

因此qdp-pdq=0，显然G q

 p为一个初积分，由F(z,p,q)=0，q=pa(a为任意常数)解得p=(z,a).

于是由

dz=(z,a)dx+a(z,a)dy 得



_

 

^d_z^z_,a ^{xayb} (b为任意常数) 可确定完全解.

3 变量分离形式的方程 ^{f x p}i



i i



i n

,



 ^ 1

0 特征方程为

n n n n

i i

i i n

n n

x f p x

f p p

p f z p

f x p

f x



 







 





 



 











d d

d d

d

1 1 1

1 1 1

1  

可取初积分G_i=f_i(x_i,p_i) , (i=1,2,,n).从f_i(x_i,p_i)=a_i (i=1,2,,n)解出 p_i=i(x_i,a_i)

得完全解

 







 ⁿ

i

i i i

i x a x b

z

1

d

 , 式中a_i,b为任意常数，且 a_i

i n



 ^ 1

0. [克莱罗方程] 方程

 

z p x_{i i} f p p p_n

i

 n 



 ^{1 2} 1

, ,, 称为克莱罗方程，其完全解为

 

z c x_{i i} f c c c_n

i

 n 



 ^{1 2} 1

, ,, 对c_i微分得

x f

i c

i

  

 (i=1,2,…,n) 与完全解的表达式联立消去c_i即得奇异解.

例 求方程z－xp－yq－pq=0的完全解和奇异解.

解 这是克莱罗方程，它的完全解是

z=ax+by+ab 对a,b微分，得x=－b,y=－a，消去a,b得奇异解

z=－xy [发甫方程] 方程

P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=0 (1) 称为发甫方程，如果P,Q,R二次连续可微并满足适当条件，那末方程可积分.如果可积分成一 关系式时，则称它为完全可积.

1 方程完全可积的充分必要条件 当且仅当P,Q,R满足条件

0 ) (

) (

)

( 







 







 









y P x R Q x R z Q P z Q y

P R (2)

时，存在一个积分因子(x,y,z)，使

dU₁=(Pdx+Qdy+Rdz) 从而方程的通解为

U₁(x,y,z)=c 特别，当 0, 0, 0







 







 









y P x Q x

R z P z

Q y

R 时，存在一个函数U(x,y,z)满足

z R U y Q U x P U



 



 



  , ,

从而 dU=Pdx+Qdy+Rdz 所以方程的通解为

U(x,y,z)=c 所以完全可积的发甫方程的通解是一单参数的曲面族.

定理 设对于发甫方程(1)在某区域D上的完全可积条件(2)成立，则对D内任一点M(x,y,z)一 定有方程的积分曲面通过，而且只有一个这样的积分曲面通过.

2 方程积分曲面的求法

设完全可积条件(2)成立.为了构造积分曲面，把z看成x,y的函数(设R(x,y,z)≠ 0)，于是原方 程化为

R y x Q R

z Pd d

d  

由此得方程组

   

   













 







 



4 ,

,

3 ,

,

1 1

z y x R Q

Q y z

z y x R P

P x z

发甫方程(1)与此方程组等价.

把方程(3)中的y看成参变量，积分后得一个含有常数c的通解



x y c



z , ;~

然后用未知函数^{c y~}

 

^代替常数c，将^{z }



^{x y c y, ; ~}

  

^{代入方程(4)}，在完全可积的条件下，可 得^{~c y}

 

的一个常微分方程，其通解为

   

~ ,

c y  y c

c为任意常数，代回^{z }



^{x y c y, ; ~}

  

中即得发甫方程的积分曲面 z=(x,y,(y,c))

由于发甫方程关于x,y,z的对称性，在上面的讨论中，也可把x或y看成未知函数，得到同样 的结果.

例 求方程yzdx+2xzdy+xydz=0的积分曲面族.

解 容易验证完全可积条件成立，显然存在一个积分因子 1

xyz，用它乘原方程得 d 0

d 2

d   

z z y

y x

x 积分后得积分曲面族

xy²z=c 也可把方程化为等价的方程组











 





 



y z y

z x z x z

2

把y看成参变量，积分

x z x z 



 得通解

zxc 用未知函数^{~c y}

 

^代替c^，将zxc~

 

y 代入方程

y z y

z 2



 

 得

   

y y c y

y

c 2~

d

d~ 

积分后有

 

~c y c

 y₂ 所以原方程的积分曲面族是

xy²z=c

五、 一阶线性微分方程组

[一阶线性偏微分方程组的一般形式] 两个自变量的一阶线性方程组的形式是



^{i n}



F u x C

B u t

A u _i

n

j j ij n

j

n

j

j ij j

ij 0 1,2, ,

1

1 1

 





 

 







 



 

或



i n



f u x b

a u t

u

i n

j j ij n

j

j ij

i 0 1,2, ,

1 1

 





 

 





 





(1) 其中A_ij,B_ij,C_ij,F_i,a_ij,b_ij,f_i是(x,t)的充分光滑函数.

[特征方程·特征方向·特征曲线]







 



 i j

j i t

a_{ij ij} x _ij

, 1

, , 0

0 d )

det(  d 

称为方程组(1)的特征方程.在点(x,t)满足特征方程的方向 t x d

d 称为该点的特征方向.如果一条曲 线l，它上面的每一点的切线方向都和这点的特征方向一致，那末称曲线l为特征曲线.

[狭义双曲型方程与椭圆型方程] 如果区域D内的每一点都存在n个不同的实的特征方向，

那末称方程组在D内为狭义双曲型的.

如果区域D内的每一点没有一个实的特征方向，那末称方程组在D内为椭圆型的.

[狭义双曲型方程组的柯西问题]

1 化方程组为标准形式——对角型

因为det(a_ij-ij)=0有n个不同的实根1(x,t) ,,n(x,t)，不妨设 ) , ( )

, ( ) ,

( ₂

1 x t  x t _n x t

  

那末常微分方程

 

x t



i n



t x

i , 1,2, ,

d

d   

的积分曲线l_i (i=1,2,…,n)就是方程组(1)的特征曲线.

方程



^{aij k ij}



^{ ki}

i

n  



 ^{  } 1

0 的非零解(k(1) ,,k(n))称为对应于特征方向k的特征矢量.

作变换

 ^u



^{i n}



v

n

j

j j i

i 1,2, ,

1

 







 可将方程组化为标准形式——对角型

 

a

 

x t v

 

x t



i n



x t v t x

v

i n

j

j ij i

i

i , , , 1,2, ,

1

 



 

 













所以狭义双曲型方程组可化为对角型，而一般的线性微分方程组(1)如在区域D内通过未知 函数的实系数可逆线性变换可化为对角型的话，(此时不一定要求 i都不相同)，就称这样的 微分方程组在D内为双曲型的.

2 对角型方程组的柯西问题 考虑对角型方程组的柯西问题

     

    

^{i n}



x x

v

t x v

t x x a

t v t x

v

i i

n

j

i j ij i

i i

, , 2 , 1 0

,

, ,

,

1  











 

 















i(x)是[a,b]上的连续可微函数.设ij,i,i在区域D内连续可微，在D内可得相应的积分方程组

 

^{x t}

 

^{x v t}



^{i n}



v

li i

n

j j ij i

i

i , _~ d 1,2, ,

1

 



 



 





 









式中l_i为第i条特征曲线l_i上点(x,t)与点(x_i,0)之间的一段，(x_i,0)为l_i与x轴上[a,b]的交点.上式可 以更确切地写为

 

^

   

^

 

^t_^ _ⁿ

   

^

   

^

   

_^

j

i i i

j i

ij i

i

i x t x x t a x x t v x x t x x t

v 0

1

d , , , ,

, , ,

, , 0

, ,

,         

(i=1,2,,n)

式中x_i=x_i(x,t,t)为过点(x,t)的第i条特征曲线，利用逐次逼近法可解此积分方程.为此令

 

       

 

         

^{ }

   

 

   

 

         

^{ }

   

 

   



















n i

t x x

t x x v t

x x a t

x x t

x v

n i

t x x

t x x v t

x x a t

x x t

x v

n i

t x x t

x v

i i

t n

j

i k j i

ij i

i k

i

i i

t n

j

i j i

ij i

i i

i i i

, , 2 , 1 d

, , ,

, , , ,

, , 0

, , ,

, , 2 , 1 d

, , ,

, , , ,

, , 0

, , ,

, , 2 , 1 0

, , ,

} { }

{

0 1

1

0 1

0 1

0

























 

 













































序列{v_i^(k)} (k=0,1,2,)一致收敛于积分方程的连续可微解v_i(x,t) (i=1,2,,n)，这个v_i(x,t)也就 是对角型方程组的柯西问题的解.

设在区域D内对角型方程组的柯西问题的解存在，那末解与初值有下面的关系：

(i) 依赖区间：过D中任意点M(x,t)作特征曲线l₁,l_n，交x轴于B,A，称区间[A,B]为M点的依 赖区间(图14.1(a))，解在M点的值由区间[A,B]的初值确定而与[A,B]外的初值无关.

(ii) 决定区域：过点A,B分别作特征曲线l_n,l1,称l_n,l₁ 与区间[A,B]围成的区域D₁为区间[A,B]

的决定区域(图14.1(b))，在区域D₁中解的值完全由[A,B]上的初值决定.

(iii) 影响区域：过点A,B分别作特征曲线l₁,l_n，称l₁,l_n与[A,B]围成的区域D₂为区间[A,B]的影 响区域(图14.1(c)).特别当区间[A,B]缩为一点A时，A点的影响区域为D₃(图14.1(d)).在区域D₂中 解的值受[A,B]上的初值影响，而在区域D₂外的解的值则不受[A,B]上的初值影响.

图14.1

[线性双曲型方程组的边值问题] 以下列线性方程组来说明：

 















 

 









 

 





2 1 2

2 2 2

1 1 1 1









c v b u x a v t

v

c v b u x a u t

u

(1)

1 第一边值问题(广义柯西问题) 设在平面(x,t)上给定曲线段AB^ ，它处处不与特征方向相 切.过A,B分别引最左和最右的特征曲线l₁及l₂.要求函数u(x,t),v(x,t)在AB^ ，l₁及l₂围成的闭区域

D上满足方程组，且在AB^ 上取给定的函数值(图14.2(a)).

2 第二边值问题(古沙问题) 设l₁是过P点的第一族特征线，l₂是第二族特征线，在l₁的一段

PA上给定v(x,t)的数值，在l₂的一段PB上给定u(x,t)的数值，过A点作第二族特征线，过B点作

第一族特征线相交于Q.求在闭区域PAQB上方程组的解(图14.2(b)).

3 第三边值问题 设AB为非特征曲线的曲线弧，AC为一特征线弧，且在AB与AC之间不存 在过A点的另外特征曲线,过C点作第二族特征线与过B点的第一族特征线交于E点，在AC上给 定v(x,t)的数值，在AB上给定u(x,t)的数值，求ACEBA所围成的闭区域D上的方程组的解(图 14.2(c)).

图14.2

[边值问题的近似解——特征线法] 以上定解问题，

可用逐步逼近法求解，也可用特征线法求解的近似值.

以第一边值问题为例说明.

在曲线AB上取n个分点A₁,A₂,, A_n，并记A为A₀，B 为A_n+1，过A₀按A₀的第二特征方向作直线与过A₁按A₁的 第一特征方向作直线相交于B₀；过A₁按A₁第二特征方向

作直线与过A₂按A₂的第一特征方向作直线相交于B₁,最后得到B_n(图14.3).用如下的近似公 式来确定方程组(1)的解u(x,t),v(x,t)在B_i (i=0,1,2,…,n)的数值：

图14.3

                 ^{ } 

                 ^{ } 

u B u A B A a A u A b A v A c A A

v B v A B A a A u A b A v A c A A

i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i

     

     







      





1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1

2 2 2 1

2 1 2

1

1 2

1





于是在一个三角形网格的节点上得到u,v的数值.再经过适当的插值，当n相当大，A_i、A_i+1的 距离相当小时，就得到所提问题的足够近似的解.

[特殊形式的拟线性方程组——可化约系统] 一般的拟线性方程组的问题比较复杂，目前 研究的结果不多，下面介绍一类特殊形式的拟线性方程组——可化约系统.如果方程组









 

 



 



 





 

 



 



 





0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

x D v t C v x B u t A u

x D v t C v x B u t A u

中所有的系数只是u,v的函数，称它为可化约系统.

考虑满足条件

   

, ⁰

, 



 t x

v u

的方程组的解u=u(x,t),v=v(x,t).x,t可以表示成u,v的函数，且

     

 

     

 

u v t x

u t x

v v

u t x

u x t

v

v u

t x

v t x

u v

u t x

v x t

u

, , ,

, ,

, , ,

, ,







 





 



 





 

 

 









 



原方程化为









 

 



 



 





 

 



 



 





0 0

2 2

2 2

1 1

1 1

u D t u C x v B t v A x

u D t u C x v B t v A x

这是关于自变量u,v的线性方程组.这样就把求拟线性方程组满足

 

 

, ⁰

, 



 t x

v

u 的解，化为解线性 方程组的问题.而此线性方程组满足条件

 

 

^{,, 0}



 v u

t

x 的解，在(x,t)平面上的象即为原来拟线性

方程组的解.