提要 283：偏微分方程式之解的重疊原理 偏微分方程式

提要 283：偏微分方程式之解的重疊原理

偏微分方程式(Partial Differential Equation)之解的重疊原理(Superposition Principle) 與常微分方程式之解的重疊原理是一樣的，說明如下：

偏微分方程式之解的重疊原理(Superposition Principle)

若

u

₁、

u

₂分別為線齊性偏微分方程式之解，

則

_{u  c}

₁

_u

₁

_{ c}

₂

_u

₂(

c

₁、

c

₂為任意常數)亦為原式之解，稱為通解(General Solution)。

其中

u

₁、

u

₂稱為通解中之基底(Basis)。

證明：

茲以三維之 Laplace 偏微分方程式 ₂ 0

2 2 2 2

2 













z u y

u x

u

為例加以證明。設

u

₁、

u

₂均 為此 Laplace 偏微分方程式之解，則：

2 0

1 2 2

1 2 2

1 2

 











z u y

u x

u

2 0

2 2 2

2 2 2

2 2

 











z u y

u x

u

以上兩式分別乘以

c

₁、

c

₂，再相加後可得：

2

0

2 2 2 2

1 2 2 1

2 2 2 2

1 2 2 1

2 2 2 2

1 2

1

  

 







 



 

 

 







 



 

 

 







 





z c u z c u y

c u y c u x

c u x c u

並可改寫為：

     

2 0

2 2 1 1 2 2

2 2 1 1 2 2

2 2 1 1 2

 

















z u c u c y

u c u c x

u c u c

由此可知

u  c

₁

u

₁

 c

₂

u

₂亦為線齊性偏微分方程式 ₂ 0

2 2 2 2

2 













z u y

u x

u

之解。

附註：重疊原理僅適用於線性且齊性的微分方程式。