行政院國家科學委員會補助專題研究計畫期中報告
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應用逆向工程與快速原型技術製造齒列矯正器暨其臨床應用與評估※
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子計畫二：透明齒列矯正器之逆向工程與力學分析 (1/3)※
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計畫類別：整合型計畫
計畫編號：NSC 90–2212–E–011–050
執行期間：90 年 8 月 1 日 至 91 年 7 月 31 日 計畫主持人：林清安
計畫參與人員：盧仁凱、吳佩亭、余祖輝
本成果報告包括以下應繳交之附件：
□ 赴國外出差或研習心得報告一份
□ 赴大陸地區出差或研習心得報告一份
□ 出席國際學術會議心得報告及發表之論文各一份
□ 國際合作研究計畫國外研究報告書一份
執行單位：國立臺灣科技大學 機械系
中 華 民 國 91 年 5 月 20 日
行政院國家科學委員會專題研究計畫期中報告
應用逆向工程與快速原型技術製造齒列矯正器暨其臨床應用與評估 子計畫二：透明齒列矯正器之逆向工程與力學分析 (1/3)
計畫編號：NSC 90–2212–E–011–050 執行期限：90 年 8 月 1 日 至 91 年 7 月 31 日
主持人：林清安（[email protected]） 國立臺灣科技大學 機械系教授 計畫參與人員：盧仁凱、吳佩亭、余祖輝 國立臺灣科技大學 機械系研究生 一、中文摘要
目前透明牙套矯正牙齒方式，是依醫師 的經驗以手動的方式調整石膏齒模，再翻製 成透明牙套，讓病人戴上。本計畫將發展出 視窗軟體，讓醫師可在電腦中調整齒模，調 整後可直接輸出 STL 檔，製作快速原型，再 翻製成透明牙套，節省醫師調整齒模的時間。
在調整齒模方面，首先利用視窗選取的 方式分割欲矯正的牙齒，再利用牙弓線的觀 念，標記出目標線段和來源線段，計算出兩 線段的差距，即為欲矯正齒至正確位置的移 動量。
關鍵詞：快速原型、三角網格、牙弓線 二、計畫緣由與目的
一般在在做牙齒矯正時，可分為傳統的 鋼線矯正及新興的透明牙套(Invisalign System)矯正。兩種方式各有其優缺點，其中 透明牙套的矯正方式較傳統的鋼線矯正有一 較明顯的優點為美觀。所以有越來越多的 人，開始選擇使用透明牙套的方式去矯正牙 齒。
在使用透明牙套矯正牙齒的過程中，大致上 包含以下幾個流程
1.牙醫師需要去複製病人牙齒的石膏模型 2.在石膏模型上，割下欲矯正的牙齒
3.根據經驗法則，以手動方式去調整石膏齒 模
4.以調整好的牙齒石膏模型去複製透明牙套 其中步驟 2、3，可以應用逆向工程的方法化 簡，也就是說，將牙齒的資料電腦化。如此 調整牙齒只需要在螢幕上模擬即可，而且可 以得到矯正牙齒移動的確切數據。一旦矯正 的次數較多時，將可省下可觀的時間及人
力，而不必重覆去做步驟 2、3 的動作。根據 這個想法，所以將針對這個部分，去探討逆 向工程應用在牙齒矯正的適用性，以及去發 展一套專門的軟體去化簡牙齒矯正的流程。
三、結果與討論 3.1 分割點資料
直接判斷點是否落於選取多邊形內是很 困難的，但是若判斷點是否落於三角形內則 非常簡單，基於這個想法，所以我們將多邊 形給三角形化，如此即可藉由點資料是否落 於這些三角形的聯集中而決定其在邊界內或 邊界外，以下將介紹凹和凸多邊形如何的三 角形化。
(1) 凸多邊形：
首先將起始節點跟其它節點相連，n 個 節點會形成(n-2)個三角形，而後以三角形之 聯集來取代凸多邊形，也就是說只要點落於 任何一個三角形內，就是落於凸多邊形內，
如圖 1 所示。
(2) 凹多邊形：
於有凹節點的關係，所以會導致應用在 凸多邊形的演算法失效，改良的辦法為，忽 略所有凹節點，使其成為凸多邊形。用凸多 邊形演算法，切割成三角形，再將包含於凸 多邊形內之凹節點所形成的三角形面積扣 掉，也就是說將凸節點形成之三角形聯集減 去凹節點形成之三角形聯集，可以取代凹多 邊形。因此點資料若落於等效三角形中，則 可以判定落於此凹多邊形內，如圖 2 所示。
藉由多邊形分割運算，並配合點群的即 時移動包含旋轉、平移、放大… 等等，從不 同的視角處理點群，可以輕易的分割出牙齒
點資料，進行牙齒矯正所需的調整。
3.2 牙齒矯正程序
利用標準齒上皆有牙弓弧線的幾何型 態，來標記出矯正齒和固定齒的牙弓線，每 一顆牙齒標記出的牙弓線依功能不同，而分 別稱之為目標線段(L
t
)和來源線段(Lo
)，所謂 的來源線段即代表矯正齒目前所在之位置，目標線段即代表欲將矯正齒矯正的目標位 置，利用目標線段和來源線段即可求出矯正 量，其移動流程如圖 3。
首先在 2D 的 X-Y平面上，本論文提出 兩種不同的標記點矯正法則，分別為四點移 動法和六點移動法，由使用者在電腦螢幕上 點選出標記點所在的位置，每兩各標記點連 線形成線段 L
t
和 Lo
，計算 Lt
和 Lo
重疊所需 之平移量和旋轉角度，將矯正齒依照所計算 出的平移量和旋轉角度，在 X-Y平面上先做 平移再做旋轉，由此一步驟將會使病患牙齒 的牙弓弧線貼近標準齒的牙弓弧線，使牙齒 位置排列整齊，但矯正齒並不只有排列上的 問題，有時是牙齒生長時傾斜了，例如：暴 牙，此時利用目標線段當旋轉軸，而矯正齒 將對著此旋轉軸進行旋轉，以調整牙齒的傾 斜量。本程式是由使用者控制輸入適當的旋 轉量，使矯正齒不再傾斜，由於旋轉軸為三 維空間中的一條直線，所以在計算旋轉量 時，將使用剛體轉換矩陣進行原始模型座標 系之嵌合，才可求出旋轉量。3.2.1 標記點的搜尋法則
由於矯正齒的移動量計算是以標記點所 在位置為計算依據，因此標記點選取位置的 不同，將會明顯地影響矯正的結果。先在 X-Y 平面上，以滑鼠打下的點為中心，定出一個 正負各 5 pixel 正方形範圍，只對這個範圍內 的資料作點距離的運算，其計算流程如下(參 考圖 4)：
步驟一：使用者點下滑鼠，程式中取得了滑 鼠座標(假設 x=10, y=10)
步驟二：定義搜尋範圍：
x 的最小範圍為 x – 5 = 10 – 5 = 5 x 的最大範圍為 x + 5 = 10 + 5 = 15 y 的最小範圍為 y – 5 = 10 – 5 = 5 y 的最大範圍為 y + 5 = 10 + 5 = 15
步驟三：找出位在搜尋範圍內與滑鼠座標距 離最接近的點，記錄此點即為標記 點之位置
以圖 4 來說，點 P
0
為使用者在電腦螢幕 上，利用滑鼠所選取的標記點，以點 P0
為中 心，各別向外擴張 5 ㎜形成一個搜尋範圍，經過初次搜尋比對後，只剩下方框內的黑點 (P
1
、P2
、P3
、P4
、P5
)留下，計算P 1
、P2
、P3
、P 4
、P5
個別和 P0
之間的距離，求出 P4
是距 離最近的點，若 P4
點的位置是使用者所需求 的位置，便把 P4
點的(X、Y、Z)紀錄下來視 為標記點的位置，反之則將 P4
從搜尋範圍中 刪除，再利用剩下的點資料(P1
、P2
、P3
、P5
)，搜尋出 P
5
為在目前的搜尋範圍中最接近標記 點的點資料，並確認 P5
是否位於正確的位 置。直到搜尋出第一個標記點後，等待使用 者打下第二個標記點，以同樣的搜尋法，找 出第二個標記點，這兩個標記點連成的線段 就是調整牙齒的牙弓線段。3.2.2 矯正齒之平面移動、轉動
為了計算出矯正齒在 X-Y平面上之移動 量、轉動角度，本論文提出兩種不同的標記 點矯正法則，分別為四點移動法和六點移動 法。
(1) 四點移動法
當使用者在螢幕所顯示的矯正齒上點選 出 4 個標記點(連成兩條牙弓線段)時，設定第 一條牙弓線段為目標線段(L
t
)，第二條牙弓線 段稱之為來源線段(Lo
)。將來源線段中點(Mo
) 移動( X∆
、 Y∆
)至目標線段中點(Mt
)，除此之 外令線段 Lo
旋轉θ角度貼合至 Lt
上，如圖 5 為四點標記之移動、轉動示意圖。(2) 六點移動法
當使用者在螢幕所顯示的矯正齒上點選 出 6 個標記點(三條牙弓線段)時，設定第一、
二條牙弓線段(L
1
、L2
)其兩邊端點連線為目 標線段(Lt
)，第三條牙弓線段(L3
)稱之為來源 線段(Lo
)，並計算來源線段中點(Mo
)距目標線 段中點(Mt
)的距離(即為移動量 D)和線段 Lo
貼合至線段 L
t
之旋轉量(θ)，如圖 6 為六點 標記之移動、轉動示意圖。3.2.3 點資料之 3D 旋轉
上述步驟是將矯正齒在 X-Y 平面上位移 至所需之位置，但有時矯正齒是為傾斜的生 長。因此設牙弓線段中的目標線段為旋轉 軸，使點資料在三維空間中做旋轉，改善矯 正齒為傾斜的問題，如圖 7 為改善矯正齒的 傾斜示意圖。
3.3 系統開發
本研究將應用 Visual C++ 語言開發牙齒 矯正專用軟體，並以實例驗證各演算法之正 確性。在此舉出實例做為說明：圖 8 為矯正 前的牙齒示意圖，圖 9 為利用四點移動法所 矯 正 後 的 牙 齒 示 意 圖 ， 其 移 動 量 x=-0.179mm，y=-2.410mm，z=0mm，旋轉角 度=-7°。
四、結論
本計畫由擷取點資料開始到產生分割個 別牙齒的點資料檔，也提出矯正齒列的方法 之外。系統的開發可以達到以下的目標：
1. 可以使用電腦模擬出醫師的治療計劃，提 供給病患專業的解說治療相關的議題，節 省雙方時間。
2. 矯正齒的移動量也有精確的數字以供評 估，而不是以肉眼或尺歸做大略的估算。
而利用電腦輔助設計的圖形功能，模擬出 矯正齒的矯正過程，改變傳統依靠經驗手 工排牙的工作方式，並為排牙過程提供量 化的依據，提高其工作效率。
五、參考文獻
1. Braun S,Hnat WH,Fender WE,Legan HL,”The from of the human dental arch”, Angle Orthod,68(1):29-36,1998.
六、圖表
圖 1 凸多邊形轉換成等效三角形
= -
(7)凹多邊形 = 凸節點之三角形 - 凹節點之三角形
(1)凹多邊形 (2)判斷是否有凹節點
凹 節 點
(3)紀錄凹節點跟前後兩 節點形成之三角形
(6)將凸多邊形切割成三角形 (5)依順序連接所有
節點 形成凸多邊形
(4)拿掉凹節點
圖 2 凹多邊形轉換成正確之等效三角形
移動方向 Lt
Lo
線段Lt和 Lo重合 X
Y
Z
平移 旋轉
旋轉角度 旋轉軸
旋轉後 之中線 旋轉前
之中線
圖 3 矯正齒之平移、旋轉示意圖
Y 15
10
5
5 10 15 X
搜尋範圍
使用者打下的點 P1 P0
P2 P3 P5
P4
0
圖 4 搜尋標記點示意圖
Lt和Lo重合
先移動 完成 ( , )∆X∆Õ
Lt 移動方向
Lo
再轉動( )θ
轉動角度( )θ Mt和Mo重合
∆X
移動方向
Mo
Mt D
∆Y
圖 5 四點標記之移動、轉動示意圖
再轉動( )θ
Mt和Mo重合
轉動角度( )θ
∆Y 移動方向 L1
Mo
Mt
∆X D
L2 L3
Lt Lo= L2
L1
先移動
( , )∆X∆Y L2 完成
Lt和Lo重合
移動方向
圖 6 六點標記之移動、轉動示意圖
旋轉軸
牙冠 頸線
牙根 旋轉後 之中線
旋轉前 之中線
牙齒側示圖 旋轉角度( ) γ 矯正前
矯正後
圖 7 改善矯正齒的傾斜示意圖
圖 8 牙齒矯正前示意圖
圖 9 牙齒矯正後示意圖
