§33 數學期望值 (

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(1)

§33 數學期望值

(甲)數學期望值

(1)期望值的由來:

期望值的概念,緣起於賭金的分配,流傳是這樣的:

1654 年法國有甲、乙兩位實力相當的棋王,各出賭金 32 法郎相約賭賽,

規定先贏三局者為勝,勝者可獲得全部賭金(64 法郎),但每局必定要分出高 下,不能成和局。結果第一局甲贏了。不料這時突然發生一件重大事故,迫 令這樁賭賽中途停止,且以後也難有機會繼續比賽。於是公正人決定將賭金 64 平分還給甲、乙二位棋士,但二人為所分得的賭金之多寡爭執不下,一 位喜歡數學的賭徒米爾,就拿這個問題向巴斯卡請教。這就是有名的「賭金 分配問題」。

巴斯卡的解法:

他認為二人所分賭金的多寡,應與他們獲勝機會的大小成比例,

這樣分配才算公平。

他算出甲獲勝的機率為,乙獲勝的機率為 1 = 。所以他認為甲、乙二人獲勝的 機率比為 11:5。而不是之前的 1:1。賭金也應該按 11:5 來分配。

因此甲應分賭金_____________。乙應分賭金___________。

甲、乙應分得的賭金,就是「期望值」。

(2)事件的期望值:

在我們作決策的時候,不但要考慮獲勝的機率有多大,連帶著也要衡量獲勝後贏 得的「好處」有多少?失敗後遭受的「損害」有多少?

當我們賭賽(摸彩、競技、甚至與敵人決戰)之前,不能不預先估計我們能從這場賭 賽中「可能」獲得的好處有多少?這種事前預期的好處,就叫做這事的期望值。顯 然,期望值是由兩個因素決定的:

第一,這件事發生的機率有多大?

第二,若果真發生,會得到的報酬或遭受的損失是多少?

這兩個考慮的過程形成了期望值的概念,

於是定義為:(某事的期望值)=(某事發生的機率)(此事發生後應得的金額) 把「好處」用金額來表示是數量化的辦法。

定義:

設某件事發生的機率是 p,若此事件發生即可得到 m 元,則 mp 元,

就叫做此事件的數學期望值 ,簡稱為 期望值 。 實例:

任意丟擲一粒質料均勻的骰子,若出現 6 點可得 7 元,求出現 6 點的期望值是多 少?

[解法]:期望值=7 = 。

(2)

(3)隨機試驗的期望值 (a)定義:

如果一個隨機實驗有 k 種可能結果,各種結果的報酬分別為 m

1

,m

2

,..,m

k

,而得到這 些報酬的機率分別為 p

1

,p

2

,p

3

,…..p

k

,(其中 p

1

+p

2

+…..+p

k

=1,此式可用來簡單判斷 機 率 是 否 算 錯 ), 則 m

1

p

1

+m

2

p

2

+…+m

k

p

k

稱 為 此 隨 機 試 驗 的 期 望 值 , 記 為 E , (Expectation 的字母),即 E=m

1

p

1

+m

2

p

2

+…+m

k

p

k

實例:任意丟擲一粒質料均勻的骰子,若出現 a 點可得 a 元,求期望值是多少?

[解法]:E=1+2+3+4+5+6= 。

實例:設袋中有 10 元,5 元硬幣各 3 枚,自袋中任取 2 枚,求期望值為多少?

[解法]:

此試驗可能發生的結果為 10 元、10 元與 10 元、5 元與 5 元、5 元 發生的機率為

6

2 3 2

C

C

6

2 3 1 3 1

C C C

6

2 3 2

C C

所以期望值=20+15+10=15(元) (b)期望值與平均值:

實例:設袋中有 10 元,5 元硬幣各 3 枚,自袋中任取 2 枚,求期望值為多少?

[解法]:

我們將袋中的硬幣想成有 6 枚總和 45 元的硬幣,平均一枚硬幣的價值=元,

因此二枚硬幣平均價值=元2=15 元,與前面期望值的結果一致。

有時候計算期望值時,也可以考慮用平均價值的慨念來處理。

[例題1] 某人擲一枚均勻硬幣 2 次,若出現 2 個正面,即可得 400 元;若出現 1 個正 面 1 個反面,即可得 100 元;若出現 2 個反面,則輸 500 元,試求其期望值 為多少?Ans:25 元

[ 例題2] 數人賭博,其中 1 人做莊,不做莊的先交給莊家 3 元,得到擲 1 個公正銅板

(3)

[例題3] 袋中有 10 元、5 元硬幣各 4 枚,自袋中任取 3 枚,求期望值。

Ans:22.5 元

[例題4] 根據統計資料得知,一個 50 歲的人,在一年內存活的機率為 98.5%,今有 一個 50 歲的人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險,須繳保費一萬 元,則保險公司獲利的期望值為      。Ans:2350 元

(練習1) 假設每次付款 150 元參加抽獎,獎金有 300 元,200 元,100 元三 種,機率分為,,,求每次得獎金的期望值?Ans:100 元

(練習2) 某人擲一枚均勻硬幣 2 次,若出現 2 個正面,即可得 400 元;

若出現 1 個正面 1 個反面,即可得 100 元;若出現 2 個反面,則輸 500 元,

試求其期望值為多少?Ans:25 元]

(練習3) 擲一公正骰子,若出現點數為偶數,則可得 3 倍點數的錢,若 出現點數為奇數,則輸掉點數 2 倍的錢,請求出這個試驗的期望值。

Ans:3 元

(練習4) 擲一均勻硬幣三次,若每出現一個正面得 5 元,一個反面賠 2 元,則所得總額之期望值為____________元。Ans:4.5 元

(練習5) 袋中有 10 個硬幣,其中有 4 個 10 元,3 個 5 元,其他 3 個同值,

若從袋中一次取出二個硬幣的期望值為 11.6 元,求其他 3 個硬幣之值為 何?

Ans:1 元

(練習6) 發行每張 1 元的彩券 2000 張,其中有 2 張獎金各 500 元,有 8 張獎金各 100 元,有 10 張獎金各 10 元。問購此彩券是否有利?

Ans:否

(練習7) 根據統計資料,每年房屋失火的機率為。某人將其房屋向產物保

險公司投保 2000000 元的火災險,期間一年,保費是 10000 元。求保險公

司獲益的期望值是多少?Ans:9800 元

(4)

期望值的注意事項:

(a)期望值是各種可能的報酬乘以得此報酬的機率之和,此所謂報酬不一定指金 錢,也可以是其他數值。

(b)一張統一發票值 1.6236 元,2 張發票值 21.6236 元,也就是期望值有 「可加性」。

(c)一種遊戲如有輸贏,它是否公平,端看期望值是否為 0?

(d)要計算期望值需要將各種結果(如得獎是機車、電視機等)換算成同一單位 (如金錢)後才能計算。

[例題5] 有關擲骰子的期望值:

(1)擲 1 粒骰子求點數的期望值。

(2)同時擲 2 粒骰子,求點數和的期望值。

(3)同時擲 6 粒骰子,求點數和的期望值。

Ans:(1)(2)7(3)21

[ 例題6] 有 5 個選項的選擇題

(1) 若單選每題答對給 8 分,則答錯應扣 分才公平。

(2) 若是多重選擇題,每題答對給 12 分,則答錯應扣 分才公平。

Ans :(1)2 分(2)分

[ 例題7] 袋中有 k 號球有 k

2

個(k=1,2,3…,n),今從其中選取一個,則選取之球的球號

的期望值。 Ans:

(5)

[例題8] 某食品每天早上製造蛋糕,並以 1 個 25 元賣出(1 個蛋糕成本為 15 元),每日 餘下未賣出的蛋糕將之丟掉,該店統計 50 日得到下表

1 日賣出蛋糕數 230 250 270 290 合計

日數 6 18 20 6 50

(6)

(1)製造出 270 個蛋糕的期望值為多少元?

(2)若要使利益之期望值最大,則必須要製造多少個蛋糕?(但每日只許製 造 230 或 250 或 270 或 290 個蛋糕)

Ans:(1)2400 元 (2)250 個蛋糕

[ 例題9] 袋中有 5 個紅球,4 個白球,今任意從袋中取 3 球,則取到白球個數的期望 值=? Ans:個

[例題10] 將 5 個球任意分派到 3 個箱子中,請求空箱子個數的期望值=?

Ans:0.4

(7)

[例題11] 甲,乙,丙分別出 340 元,300 元,丙出 270 元,輪流投擲一公正的骰子,

依甲,乙,丙,甲,乙,丙, 之次序,誰先投出么點者為勝,可獲得全部 … 獎金,(1)此遊戲對甲,乙,丙三人而言,那一人最不利?      。(2) 若遊戲改為只有甲,乙二人,依甲,乙,乙,甲,甲,乙,乙,甲, 之次 … 序,誰先投出么點者為勝,可獲得全部獎金,遊戲之前,乙出 300 元,為使 遊戲公平,甲應出      元。

Ans :(1)丙(2)341 元

(練習8) 袋中有 12 個球,其中有 3 個白球。若機會均等,試求袋中任取 3 個球時,選中白球個數的期望值。 Ans:個

(練習9) (1)9 個樣品中有 2 個不良品,今取出 3 個,則含有不良品個數 的期望

值為__________個。

(2) 40 個樣品中有 4 個不良品,今取出 2 個,則含有不良品個數的期 望值為__________個。Ans:(1) (2)

(練習10) 袋中有 1 號球 1 個,2 號球 2 個,…,n 號球 n 個,自袋中任取 一球,若取得 r 號球可得 r 元,請問期望值=? Ans:

(練習11) (1)在五選一的單選題中,若答對得 5 分,反之答錯應倒扣____

_____

分才公平。

(2)有一複選題,有五個敘述,其中至少有一個敘述是正確的,若此題 答對得 5 分,若答錯則應倒扣__________分才公平。

Ans:(1) (2)

(8)

(練習12) 網球一盤比賽先勝 6 局者贏,贏一盤可得獎金 1000 元,甲、乙 兩人實力相當,但甲已連勝 5 局,請問如果因下雨不再繼續比賽,則甲、

乙兩人如何分配獎金才公平?Ans:甲:1000

64

63

元、乙:1000

64 1

(練習13) 設飯糰一個售價為 15 元,而成本是每個 10 元。建中合作社每天 賣出的飯糰個數經 50 日的統計如下:

一日的需求量(個) 40 50 60 70 80

日 數 2 8 12 18 10

(9)

出 現 結 果

鼠 牛 老 虎

率0.1 0.4 0.5

若一直保持如此的需求量,而且每日的剩下的飯糰都要廢棄,則一日準 備 70 個飯糰的獲利期望值為 元。 Ans:248 元

(練習14) 袋中有 10 個球,其中有 2 個白球,取球機會相等,求 (1)任取 3 球,則取得白球數的期望值為      。

(2)每次取 1 球,取後放回,於第 k 次始取到白球,則取到白球次數的 期望值為      。

Ans:(1) (2) 5

(練習15) 甲、乙、丙三人輪流依甲乙丙甲乙丙……,依順序投兩公正銅板 先得兩正面者獲勝,欲使公平起見,若甲勝給  3600 元,則乙、丙獲勝應 各給多少?Ans: 乙給 4800 元,丙給 6400 元。

綜合練習

(1) 有一種遊戲,每次輸贏規則如下:先從 1 至 6 中選出一個號碼 n,再擲三粒均 勻骰子,若三粒骰子的點數全是 n,則可贏 3 元;恰有兩個點數為 n,則得 2 元;恰有一個骰子點數為 n,則得 1 元;而沒有點數為 n,則輸 1 元;如此,

玩一次的期望值(贏為正,輸為負)為__________元。 (86 學科)

(2) 投擲一枚不均勻的骰子,出現 X 點的機率為 AX+B,並且可以得到 X 元,

(X=1,2,3,4,5,6),若已知期望值為 4 元,試求 A,B 之值。

(3) 一賭博機器有兩個電鈕,每按一次,

會出現老鼠、牛、老虎三種不同動物中的一種,

設每種動物出現的機率如右:

每賭一次(即同時按兩個電鈕)須先付  5  元,

且設出現結果不互相影響,若兩隻老鼠同時出現,

則機器會自動付給  50  元,若兩隻牛同時出現則付給  10  元,

若兩隻老虎同時出現則付給  5  元,其他情形一概不付,求賭一次所得之期望 值為____________元。

(4) 老張     過去買釋迦的經驗是平均 5 個中就有 1 個釋迦內長蟲不能吃須丟掉,因 此有次到水果攤買釋迦時向老板抱怨,老板說今天釋迦每斤 70 元,如果老張 要求當場打開,則售價提高至每斤 80 元,但如打開有蟲可退回,試以「期望 值」的觀點來看,老張應否要求打開?

(5) 袋子有 3 個球,2 個球上面標 1 元,1 個球標 5 元,從袋中任取兩個球,即可 得到兩個球所標錢數的總和,則此玩法所得錢數的期望值是多少? (88.學科) (6) 某市為了籌措經費而發行彩券,該市決定每張彩券的售價為 10 元;且每發行 一百萬張彩卷,即附有一百萬元獎 1 張,十萬元獎 9 張,一萬元獎 90 張,一 千元獎 900 張。假設某次彩券共發行三百萬張,試問當你購買一張彩券時,

你預期會損失____元。(88 社)

(7) 某電子公司欲擴廠,新建廠房中有大中小三種規模。建廠規模的決策與未來 一年的經濟景氣情況有關;經濟景氣如果高度成長,則建大規模廠較有利,

如果微幅成長或持平,則建中規模廠即可,如果經濟衰退,則應建小規模 廠。進一步評估三種廠規模在四種經濟景氣情況下的獲利如下:(89 社)

利潤

(百萬元/年) 建廠規模

大 中 小 P

景 高度成 50 40 30 0.3

(10)

情 況

微幅成

長 10 30 20 0.1

持平 5 10 5 0.4

衰退 30 10 2 0.2

(11)

經分析未來一年經濟高度成長的機率為 P

1

=0.3,微幅成長的機率為 P

2

=0.1,持平的機率為 P

3

=0.4,衰退的機率為 P

4

=0.2。試問以未來一年 利潤期望值越大越好的判斷準則,此公司選用那一種建廠規模獲利最佳?

最佳的建廠決策下,未來一年它的利潤期望值是多少?(百萬元)

(8) 某次數學測驗共有 25 題單一選擇題,每題都有五個選項,每答對一題可得 4 分,答錯倒扣 1 分。某生確定其中 16 題可答對;有 6 題他確定五個選項中有 兩個選項不正確,因此這 6 題他就從剩下的選項中分別猜選一個;另外 3 題 只好亂猜,則他這次測驗得分之期望值為 分。(92 學科)

( 計算到整數為止,小數點以後四捨五入。)

(9) 某電視台舉辦抽獎遊戲,現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有

1000 、800、600、0 元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球(取後即放 回),主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金,並規定抽取到 0 元的人可以 再摸一次,但是所得獎金折半(若再摸到 0 就沒有第三次機會);則一個參加者 可得獎金的期望值是 元。(93 學科)

(10) 某公司考慮在甲、乙兩地間選擇一地投資開設新廠。經評估,在甲地設廠,

如獲利,預計可獲利 10000(萬元);如不獲利,預計將虧損 7000(萬元)。在乙地 設廠,如獲利,預計可獲利 6000(萬元);如不獲利,預計將虧損 5000(萬元)。

又該公司評估新廠在甲、乙兩地獲利的機率分別為 0.6、0.7。如以獲利期望值 為決策準則,該公司應選擇甲地或乙地投資?寫出作決策的過程。(91 指定乙)

(11) 某引擎製造商擬出售 10 個引擎,可能完全售出或完全被退回,其驗貨方式是

「任意選取二個引擎來檢查,若有缺陷,則整批退回,否則全部被接受」,

今一引擎成本為 70 萬元,售價 95 萬元,設此批引擎中有一個是有缺陷,試 問此引擎製造商獲利的期望值=?

(12) 同時擲三粒公正的骰子,求(a)三粒骰子的點數均相同時,可得 300 元;恰有 兩粒點數相同時,可得 200 元,則其期望值為      元。

(b) 出現最大點數的期望值為      。

(13) 將 3 個球投入 3 個不同的袋子裡,每次投一個球,連續投 3 次,則每個袋子都 有球的機率為      ,3 個球都在同一袋子的機率為      ,空袋子 個數的期望值為      。

(14) 某保險公司銷售旅遊平安保險,每名保額 200 萬元,保費 800 元,公司的管 理與銷售成本為 200 元,根據統計得知,出險的機率為,試求對每一保戶,

保險公司獲利的期望值。

(15) 袋中有 1 號球 1 個,2 號球 2 個,…,n 號球 n 個,自袋中任取一球,若取得 r 號球可得 r1 元,請問期望值=?

(16) 甲、乙兩人輪流投擲兩粒公正的骰子,約定先擲得點數和為  7  者可得  110  元,

若由甲先擲,則甲、乙兩人的期望值為 。

(17) 擲三粒骰子一次,須先付 10 元,若出現點數均相同時,可得 120 元;點數成 等差時,可得 30 元,求

(a) 此遊戲是否有利?      。(答有利或不利)

(b) 要使遊戲公平,應將出現點數成等差時,可得 30 元,更改為    元。

(18) 甲乙兩人做對局遊戲,二人獲勝的機率均等,誰先勝三局可得獎金 5600 元,

進行至第二局且甲都獲勝時,因故遊戲必須停止。現依先勝三局的機會來分

錢,請問甲乙二人各應分得多少元?

(12)

(19) 袋中有 1,2,3 號卡片各 2 張,求取出 2 張時,數字積的期望值。

(20) 將 3 本不同的書,任意放入 4 個抽屜,求空抽屜個數的期望值。

進階問題

(21) 證明擲 n 個公正骰子一次,則其正面出現個數的期望值為。

(22) 袋中有  5  個黑球,3  個白球,今由袋中任意取出一球(設各球被取出機會均 等),若取出的球為白球,則停止取球,若取出黑球,則將球放回袋中,再 由袋中任取出一球,如此進行直到取出白球為止,令  x  表示取得黑球的次數,

則  x  的期望值=? Ans:

(23) 設某人站在數線點位置上投擲一個骰子,得 1 點或 2 點,朝正方向前進一單 位,得其餘點數,朝負方向前進一單位。此人連續擲 4 次骰子,求此人所在位 置的坐標之期望值=?

綜合練習解答

(1)-17/216 (2)A=,B= (3)1.65 (4)應要求打開[提示:打開的期望值=

0+(10)=8,不打開的期望值=(70)+0=14] (5)14/3 元 (6)6.3 (7)中廠的建 廠規模最佳,利潤期望值為 17 百萬元 (8) 68 (9)675 (10)E(甲)=3200 萬元,E(乙)

=2700 萬元,故應到甲地投資 (11) 60 萬元 (12) (a)

3 275

(b)

24

119

(13)

9 2

9 1

9

8

(14) 200 元 (15) (16)甲 60 元,乙 50 元 (17) (a)不利(b)40 元

(18)甲 4900 元,乙 700 元 (19) (20) (21)n(S)=2

n

,恰出現 k 個正面樣本點為





 





 

個 個

反 反 反 反 反 反

k n

k

之排法,共=

Ckn

個,所以 P(恰 k 個正面)=

n

n

Ck

2 期望值=1

Cnn

2

1

+2

Cnn

2

2

+…+n

n

n

Cn

2 =[1

C1n

+2

C2n

+…+n

Cnn

]=[n 2

n1

]=。

(22) [提示:投一次的期望值=1 +(1)=,所以 4 次的期望值為]

數據

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參考文獻

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