§33 數學期望值 (

(1)

§33 數學期望值

(甲)數學期望值

(1)期望值的由來：

期望值的概念，緣起於賭金的分配，流傳是這樣的：

1654 年法國有甲、乙兩位實力相當的棋王，各出賭金 32 法郎相約賭賽，

規定先贏三局者為勝，勝者可獲得全部賭金(64 法郎)，但每局必定要分出高下，不能成和局。結果第一局甲贏了。不料這時突然發生一件重大事故，迫令這樁賭賽中途停止，且以後也難有機會繼續比賽。於是公正人決定將賭金 64 平分還給甲、乙二位棋士，但二人為所分得的賭金之多寡爭執不下，一位喜歡數學的賭徒米爾，就拿這個問題向巴斯卡請教。這就是有名的「賭金分配問題」。

巴斯卡的解法：

他認為二人所分賭金的多寡，應與他們獲勝機會的大小成比例，

這樣分配才算公平。

他算出甲獲勝的機率為，乙獲勝的機率為 1 = 。所以他認為甲、乙二人獲勝的機率比為 11：5。而不是之前的 1：1。賭金也應該按 11：5 來分配。

因此甲應分賭金___。乙應分賭金_。

甲、乙應分得的賭金，就是「期望值」。

(2)事件的期望值：

在我們作決策的時候，不但要考慮獲勝的機率有多大，連帶著也要衡量獲勝後贏得的「好處」有多少？失敗後遭受的「損害」有多少？

當我們賭賽(摸彩、競技、甚至與敵人決戰)之前，不能不預先估計我們能從這場賭賽中「可能」獲得的好處有多少？這種事前預期的好處，就叫做這事的期望值。顯然，期望值是由兩個因素決定的：

第一，這件事發生的機率有多大？

第二，若果真發生，會得到的報酬或遭受的損失是多少？

這兩個考慮的過程形成了期望值的概念，

於是定義為：(某事的期望值)=(某事發生的機率)(此事發生後應得的金額) 把「好處」用金額來表示是數量化的辦法。

定義：

設某件事發生的機率是 p，若此事件發生即可得到 m 元，則 mp 元，

就叫做此事件的數學期望值，簡稱為期望值。實例：

任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現 6 點可得 7 元，求出現 6 點的期望值是多少？

[解法]：期望值=7 = 。

(2)

(3)隨機試驗的期望值 (a)定義：

如果一個隨機實驗有 k 種可能結果，各種結果的報酬分別為 m

1

,m

2

,..,m

k

,而得到這些報酬的機率分別為 p

1

,p

2

,p

3

,…..p

k

，(其中 p

1

+p

2

+…..+p

k

=1，此式可用來簡單判斷機率是否算錯 )，則 m

1

p

1

+m

2

p

2

+…+m

k

p

k

稱為此隨機試驗的期望值，記為 E ， (Expectation 的字母)，即 E=m

1

p

1

+m

2

p

2

+…+m

k

p

k

。

實例：任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現 a 點可得 a 元，求期望值是多少？

[解法]：E=1+2+3+4+5+6= 。

實例：設袋中有 10 元，5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，求期望值為多少？

[解法]：

此試驗可能發生的結果為 10 元、10 元與 10 元、5 元與 5 元、5 元發生的機率為

₆

2 3 2

C

、

₆

2 3 1 3 1

C C C



、

₆

2 3 2

C C

所以期望值=20+15+10=15(元) (b)期望值與平均值：

實例：設袋中有 10 元，5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，求期望值為多少？

[解法]：

我們將袋中的硬幣想成有 6 枚總和 45 元的硬幣，平均一枚硬幣的價值=元，

因此二枚硬幣平均價值=元2=15 元，與前面期望值的結果一致。

有時候計算期望值時，也可以考慮用平均價值的慨念來處理。

[例題1] 某人擲一枚均勻硬幣 2 次，若出現 2 個正面，即可得 400 元；若出現 1 個正面 1 個反面，即可得 100 元；若出現 2 個反面，則輸 500 元，試求其期望值為多少？Ans：25 元

[ 例題2] 數人賭博，其中 1 人做莊，不做莊的先交給莊家 3 元，得到擲 1 個公正銅板

(3)

[例題3] 袋中有 10 元、5 元硬幣各 4 枚，自袋中任取 3 枚，求期望值。

Ans：22.5 元

[例題4] 根據統計資料得知，一個 50 歲的人，在一年內存活的機率為 98.5％，今有一個 50 歲的人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險，須繳保費一萬元，則保險公司獲利的期望值為　　　。Ans：2350 元

(練習1) 假設每次付款 150 元參加抽獎，獎金有 300 元,200 元,100 元三種，機率分為,,，求每次得獎金的期望值？Ans：100 元

(練習2) 某人擲一枚均勻硬幣 2 次，若出現 2 個正面，即可得 400 元；

若出現 1 個正面 1 個反面，即可得 100 元；若出現 2 個反面，則輸 500 元，

試求其期望值為多少？Ans：25 元]

(練習3) 擲一公正骰子，若出現點數為偶數，則可得 3 倍點數的錢，若出現點數為奇數，則輸掉點數 2 倍的錢，請求出這個試驗的期望值。

Ans：3 元

(練習4) 擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得總額之期望值為____________元。Ans：4.5 元

(練習5) 袋中有 10 個硬幣，其中有 4 個 10 元，3 個 5 元，其他 3 個同值，

若從袋中一次取出二個硬幣的期望值為 11.6 元，求其他 3 個硬幣之值為何？

Ans：1 元

(練習6) 發行每張 1 元的彩券 2000 張，其中有 2 張獎金各 500 元，有 8 張獎金各 100 元，有 10 張獎金各 10 元。問購此彩券是否有利？

Ans：否

(練習7) 根據統計資料，每年房屋失火的機率為。某人將其房屋向產物保

險公司投保 2000000 元的火災險，期間一年，保費是 10000 元。求保險公

司獲益的期望值是多少？Ans：9800 元

(4)

期望值的注意事項：

(a)期望值是各種可能的報酬乘以得此報酬的機率之和，此所謂報酬不一定指金錢，也可以是其他數值。

(b)一張統一發票值 1.6236 元，2 張發票值 21.6236 元，也就是期望值有「可加性」。

(c)一種遊戲如有輸贏，它是否公平，端看期望值是否為 0？

(d)要計算期望值需要將各種結果(如得獎是機車、電視機等)換算成同一單位 (如金錢)後才能計算。

[例題5] 有關擲骰子的期望值：

(1)擲 1 粒骰子求點數的期望值。

(2)同時擲 2 粒骰子，求點數和的期望值。

(3)同時擲 6 粒骰子，求點數和的期望值。

Ans：(1)(2)7(3)21

[ 例題6] 有 5 個選項的選擇題

(1) 若單選每題答對給 8 分，則答錯應扣分才公平。

(2) 若是多重選擇題，每題答對給 12 分，則答錯應扣分才公平。

Ans ：(1)2 分(2)分

[ 例題7] 袋中有 k 號球有 k

²

個(k=1,2,3…,n)，今從其中選取一個，則選取之球的球號

的期望值。 Ans：

(5)

[例題8] 某食品每天早上製造蛋糕，並以 1 個 25 元賣出(1 個蛋糕成本為 15 元)，每日餘下未賣出的蛋糕將之丟掉，該店統計 50 日得到下表

1 日賣出蛋糕數 230 250 270 290 合計

日數 6 18 20 6 50

(6)

(1)製造出 270 個蛋糕的期望值為多少元？

(2)若要使利益之期望值最大，則必須要製造多少個蛋糕？(但每日只許製造 230 或 250 或 270 或 290 個蛋糕)

Ans：(1)2400 元 (2)250 個蛋糕

[ 例題9] 袋中有 5 個紅球，4 個白球，今任意從袋中取 3 球，則取到白球個數的期望值=？ Ans：個

[例題10] 將 5 個球任意分派到 3 個箱子中，請求空箱子個數的期望值=？

Ans：0.4

(7)

[例題11] 甲，乙，丙分別出 340 元，300 元，丙出 270 元，輪流投擲一公正的骰子，

依甲，乙，丙，甲，乙，丙，之次序，誰先投出么點者為勝，可獲得全部 … 獎金，(1)此遊戲對甲，乙，丙三人而言，那一人最不利？　　　。(2) 若遊戲改為只有甲，乙二人，依甲，乙，乙，甲，甲，乙，乙，甲，之次 … 序，誰先投出么點者為勝，可獲得全部獎金，遊戲之前，乙出 300 元，為使遊戲公平，甲應出　　　元。

Ans ：(1)丙(2)341 元

(練習8) 袋中有 12 個球，其中有 3 個白球。若機會均等，試求袋中任取 3 個球時，選中白球個數的期望值。 Ans：個

(練習9) (1)9　個樣品中有　2　個不良品，今取出　3　個，則含有不良品個數的期望

值為__________個。

(2)　40　個樣品中有　4　個不良品，今取出　2　個，則含有不良品個數的期望值為__________個。Ans：(1) (2)

(練習10) 袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，…，n 號球 n 個，自袋中任取一球，若取得 r 號球可得 r 元，請問期望值=？ Ans：

(練習11) (1)在五選一的單選題中，若答對得　5　分，反之答錯應倒扣____

_____

分才公平。

(2)有一複選題，有五個敘述，其中至少有一個敘述是正確的，若此題答對得　5　分，若答錯則應倒扣__________分才公平。

Ans：(1) (2)

(8)

(練習12) 網球一盤比賽先勝 6 局者贏，贏一盤可得獎金 1000 元，甲、乙兩人實力相當，但甲已連勝 5 局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、

乙兩人如何分配獎金才公平？Ans：甲：1000

64

63

元、乙：1000

64 1

元

(練習13) 設飯糰一個售價為 15 元，而成本是每個 10 元。建中合作社每天賣出的飯糰個數經 50 日的統計如下：

一日的需求量(個) 40 50 60 70 80

日數 2 8 12 18 10

(9)

出現結果

老

鼠牛老虎

機

率0.1 0.4 0.5

若一直保持如此的需求量，而且每日的剩下的飯糰都要廢棄，則一日準備 70 個飯糰的獲利期望值為元。 Ans：248 元

(練習14) 袋中有 10 個球，其中有 2 個白球，取球機會相等，求 (1)任取 3 球，則取得白球數的期望值為　　　　　。

(2)每次取 1 球，取後放回，於第 k 次始取到白球，則取到白球次數的期望值為　　　　　。

Ans：(1) (2) 5

(練習15) 甲、乙、丙三人輪流依甲乙丙甲乙丙……，依順序投兩公正銅板先得兩正面者獲勝，欲使公平起見，若甲勝給　3600　元，則乙、丙獲勝應各給多少？Ans：　乙給　4800　元，丙給 6400　元。

綜合練習

(1) 有一種遊戲，每次輸贏規則如下：先從 1 至 6 中選出一個號碼 n，再擲三粒均勻骰子，若三粒骰子的點數全是 n，則可贏 3 元；恰有兩個點數為 n，則得 2 元；恰有一個骰子點數為 n，則得 1 元；而沒有點數為 n，則輸 1 元；如此，

玩一次的期望值(贏為正，輸為負)為__________元。 (86 學科)

(2) 投擲一枚不均勻的骰子，出現 X 點的機率為 AX+B，並且可以得到 X 元，

(X=1,2,3,4,5,6)，若已知期望值為 4 元，試求 A,B 之值。

(3) 一賭博機器有兩個電鈕，每按一次，

會出現老鼠、牛、老虎三種不同動物中的一種，

設每種動物出現的機率如右：

每賭一次（即同時按兩個電鈕）須先付　 5　元，

且設出現結果不互相影響，若兩隻老鼠同時出現，

則機器會自動付給　 50　元，若兩隻牛同時出現則付給　 10　元，

若兩隻老虎同時出現則付給　 5　元，其他情形一概不付，求賭一次所得之期望值為____________元。

(4) 老張　　過去買釋迦的經驗是平均 5 個中就有 1 個釋迦內長蟲不能吃須丟掉，因此有次到水果攤買釋迦時向老板抱怨，老板說今天釋迦每斤 70 元，如果老張要求當場打開，則售價提高至每斤 80 元，但如打開有蟲可退回，試以「期望值」的觀點來看，老張應否要求打開？

(5) 袋子有 3 個球，2 個球上面標 1 元，1 個球標 5 元，從袋中任取兩個球，即可得到兩個球所標錢數的總和，則此玩法所得錢數的期望值是多少？ (88.學科) (6) 某市為了籌措經費而發行彩券，該市決定每張彩券的售價為 10 元；且每發行一百萬張彩卷，即附有一百萬元獎 1 張，十萬元獎 9 張，一萬元獎 90 張，一千元獎 900 張。假設某次彩券共發行三百萬張，試問當你購買一張彩券時，

你預期會損失____元。(88 社)

(7) 某電子公司欲擴廠，新建廠房中有大中小三種規模。建廠規模的決策與未來一年的經濟景氣情況有關；經濟景氣如果高度成長，則建大規模廠較有利，

如果微幅成長或持平，則建中規模廠即可，如果經濟衰退，則應建小規模廠。進一步評估三種廠規模在四種經濟景氣情況下的獲利如下：(89 社)

利潤

(百萬元/年) 建廠規模

大中小 P

景高度成 50 40 30 0.3

(10)

情況

微幅成

長 10 30 20 0.1

持平 5 10 5 0.4

衰退 30 10 2 0.2

(11)

經分析未來一年經濟高度成長的機率為 P

1

=0.3，微幅成長的機率為 P

2

=0.1，持平的機率為 P

3

=0.4，衰退的機率為 P

4

=0.2。試問以未來一年利潤期望值越大越好的判斷準則，此公司選用那一種建廠規模獲利最佳？

最佳的建廠決策下，未來一年它的利潤期望值是多少？(百萬元)

(8) 某次數學測驗共有 25 題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題可得 4 分，答錯倒扣 1 分。某生確定其中 16 題可答對；有 6 題他確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這 6 題他就從剩下的選項中分別猜選一個；另外 3 題只好亂猜，則他這次測驗得分之期望值為分。(92 學科)

( 計算到整數為止，小數點以後四捨五入。)

(9) 某電視台舉辦抽獎遊戲，現場準備的抽獎箱裡放置了四個分別標有

1000 、800、600、0 元獎額的球。參加者自行從抽獎箱裡摸取一球(取後即放回)，主辦單位即贈送與此球上數字等額的獎金，並規定抽取到 0 元的人可以再摸一次，但是所得獎金折半(若再摸到 0 就沒有第三次機會)；則一個參加者可得獎金的期望值是元。(93 學科)

(10) 某公司考慮在甲、乙兩地間選擇一地投資開設新廠。經評估，在甲地設廠，

如獲利，預計可獲利 10000(萬元);如不獲利，預計將虧損 7000(萬元)。在乙地設廠，如獲利，預計可獲利 6000(萬元);如不獲利，預計將虧損 5000(萬元)。

又該公司評估新廠在甲、乙兩地獲利的機率分別為 0.6、0.7。如以獲利期望值為決策準則，該公司應選擇甲地或乙地投資?寫出作決策的過程。(91 指定乙)

(11) 某引擎製造商擬出售 10 個引擎，可能完全售出或完全被退回，其驗貨方式是

「任意選取二個引擎來檢查，若有缺陷，則整批退回，否則全部被接受」，

今一引擎成本為 70 萬元，售價 95 萬元，設此批引擎中有一個是有缺陷，試問此引擎製造商獲利的期望值=？

(12) 同時擲三粒公正的骰子，求(a)三粒骰子的點數均相同時，可得 300 元；恰有兩粒點數相同時，可得 200 元，則其期望值為　　　元。

(b) 出現最大點數的期望值為　　　。

(13) 將 3 個球投入 3 個不同的袋子裡，每次投一個球，連續投 3 次，則每個袋子都有球的機率為　　　，3 個球都在同一袋子的機率為　　　，空袋子個數的期望值為　　　。

(14) 某保險公司銷售旅遊平安保險，每名保額 200 萬元，保費 800 元，公司的管理與銷售成本為 200 元，根據統計得知，出險的機率為，試求對每一保戶，

保險公司獲利的期望值。

(15) 袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，…，n 號球 n 個，自袋中任取一球，若取得 r 號球可得 r1 元，請問期望值=？

(16) 甲、乙兩人輪流投擲兩粒公正的骰子，約定先擲得點數和為　 7　者可得　 110　元，

若由甲先擲，則甲、乙兩人的期望值為。

(17) 擲三粒骰子一次，須先付 10 元，若出現點數均相同時，可得 120 元；點數成等差時，可得 30 元，求

(a) 此遊戲是否有利？　　　。(答有利或不利)

(b) 要使遊戲公平，應將出現點數成等差時，可得 30 元，更改為　　元。

(18) 甲乙兩人做對局遊戲，二人獲勝的機率均等，誰先勝三局可得獎金 5600 元，

進行至第二局且甲都獲勝時，因故遊戲必須停止。現依先勝三局的機會來分

錢，請問甲乙二人各應分得多少元？

(12)

(19) 袋中有 1,2,3 號卡片各 2 張，求取出 2 張時，數字積的期望值。

(20) 將 3 本不同的書，任意放入 4 個抽屜，求空抽屜個數的期望值。

進階問題

(21) 證明擲 n 個公正骰子一次，則其正面出現個數的期望值為。

(22) 袋中有　 5　個黑球，3　個白球，今由袋中任意取出一球（設各球被取出機會均等），若取出的球為白球，則停止取球，若取出黑球，則將球放回袋中，再由袋中任取出一球，如此進行直到取出白球為止，令　 x　表示取得黑球的次數，

則　 x　的期望值=？ Ans：

(23) 設某人站在數線點位置上投擲一個骰子，得 1 點或 2 點，朝正方向前進一單位，得其餘點數，朝負方向前進一單位。此人連續擲 4 次骰子，求此人所在位置的坐標之期望值=？

綜合練習解答

(1)-17/216 (2)A=，B= (3)1.65 (4)應要求打開[提示：打開的期望值=

0+(10)=8，不打開的期望值=(70)+0=14] (5)14/3 元 (6)6.3 (7)中廠的建廠規模最佳，利潤期望值為 17 百萬元 (8) 68 (9)675 (10)E(甲)=3200 萬元，E(乙)

=2700 萬元，故應到甲地投資 (11) 60 萬元 (12) (a)

3 275

(b)

24

119

(13)

9 2

；

9 1

；

9

8

(14) 200 元 (15) (16)甲　60　元，乙　50　元 (17) (a)不利(b)40 元

(18)甲 4900 元，乙 700 元 (19) (20) (21)n(S)=2

ⁿ

，恰出現 k 個正面樣本點為





 





 

個個

反反反反反反

k n

k 

之排法，共=

C_kⁿ

個，所以 P(恰 k 個正面)=

_n

n

Ck

2 期望值=1

C_nⁿ

2

1

+2

C_nⁿ

2

+…+n

_n

n

Cn

2 =[1

C₁ⁿ

+2

C₂ⁿ

+…+n

Cnⁿ

]=[n 2

^n1

§33 數學期望值 (

§33 數學期望值

(甲)數學期望值

(1)期望值的由來：

期望值的概念，緣起於賭金的分配，流傳是這樣的：

1654 年法國有甲、乙兩位實力相當的棋王，各出賭金 32 法郎相約賭賽，

巴斯卡的解法：

他認為二人所分賭金的多寡，應與他們獲勝機會的大小成比例，

這樣分配才算公平。

他算出甲獲勝的機率為，乙獲勝的機率為 1 = 。所以他認為甲、乙二人獲勝的 機率比為 11：5。而不是之前的 1：1。賭金也應該按 11：5 來分配。

因此甲應分賭金_____________。乙應分賭金___________。

甲、乙應分得的賭金，就是「期望值」。

(2)事件的期望值：

在我們作決策的時候，不但要考慮獲勝的機率有多大，連帶著也要衡量獲勝後贏 得的「好處」有多少？失敗後遭受的「損害」有多少？

當我們賭賽(摸彩、競技、甚至與敵人決戰)之前，不能不預先估計我們能從這場賭 賽中「可能」獲得的好處有多少？這種事前預期的好處，就叫做這事的期望值。顯 然，期望值是由兩個因素決定的：

第一，這件事發生的機率有多大？

第二，若果真發生，會得到的報酬或遭受的損失是多少？

這兩個考慮的過程形成了期望值的概念，

於是定義為：(某事的期望值)=(某事發生的機率)(此事發生後應得的金額) 把「好處」用金額來表示是數量化的辦法。

定義：

設某件事發生的機率是 p，若此事件發生即可得到 m 元，則 mp 元，

就叫做此事件的數學期望值 ，簡稱為 期望值 。 實例：

任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現 6 點可得 7 元，求出現 6 點的期望值是多 少？

[解法]：期望值=7 = 。

(3)隨機試驗的期望值 (a)定義：

如果一個隨機實驗有 k 種可能結果，各種結果的報酬分別為 m

,m

,..,m

,而得到這 些報酬的機率分別為 p

,p

,p

,…..p

，(其中 p

+p

+…..+p

=1，此式可用來簡單判斷 機 率 是 否 算 錯 )， 則 m

p

+m

p

+…+m

p

稱 為 此 隨 機 試 驗 的 期 望 值 ， 記 為 E ， (Expectation 的字母)，即 E=m

p

+m

p

+…+m

p

。

實例：任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現 a 點可得 a 元，求期望值是多少？

[解法]：E=1+2+3+4+5+6= 。

實例：設袋中有 10 元，5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，求期望值為多少？

[解法]：

此試驗可能發生的結果為 10 元、10 元與 10 元、5 元與 5 元、5 元 發生的機率為

、



、

所以期望值=20+15+10=15(元) (b)期望值與平均值：

實例：設袋中有 10 元，5 元硬幣各 3 枚，自袋中任取 2 枚，求期望值為多少？

[解法]：

我們將袋中的硬幣想成有 6 枚總和 45 元的硬幣，平均一枚硬幣的價值=元，

因此二枚硬幣平均價值=元2=15 元，與前面期望值的結果一致。

有時候計算期望值時，也可以考慮用平均價值的慨念來處理。

[例題1] 某人擲一枚均勻硬幣 2 次，若出現 2 個正面，即可得 400 元；若出現 1 個正 面 1 個反面，即可得 100 元；若出現 2 個反面，則輸 500 元，試求其期望值 為多少？Ans：25 元

[ 例題2] 數人賭博，其中 1 人做莊，不做莊的先交給莊家 3 元，得到擲 1 個公正銅板

[例題3] 袋中有 10 元、5 元硬幣各 4 枚，自袋中任取 3 枚，求期望值。

Ans：22.5 元

[例題4] 根據統計資料得知，一個 50 歲的人，在一年內存活的機率為 98.5％，今有 一個 50 歲的人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險，須繳保費一萬 元，則保險公司獲利的期望值為 。Ans：2350 元

(練習1) 假設每次付款 150 元參加抽獎，獎金有 300 元,200 元,100 元三 種，機率分為,,，求每次得獎金的期望值？Ans：100 元

(練習2) 某人擲一枚均勻硬幣 2 次，若出現 2 個正面，即可得 400 元；

若出現 1 個正面 1 個反面，即可得 100 元；若出現 2 個反面，則輸 500 元，

試求其期望值為多少？Ans：25 元]

(練習3) 擲一公正骰子，若出現點數為偶數，則可得 3 倍點數的錢，若 出現點數為奇數，則輸掉點數 2 倍的錢，請求出這個試驗的期望值。

Ans：3 元

(練習4) 擲一均勻硬幣三次，若每出現一個正面得 5 元，一個反面賠 2 元，則所得總額之期望值為____________元。Ans：4.5 元

(練習5) 袋中有 10 個硬幣，其中有 4 個 10 元，3 個 5 元，其他 3 個同值，

若從袋中一次取出二個硬幣的期望值為 11.6 元，求其他 3 個硬幣之值為 何？

Ans：1 元

(練習6) 發行每張 1 元的彩券 2000 張，其中有 2 張獎金各 500 元，有 8 張獎金各 100 元，有 10 張獎金各 10 元。問購此彩券是否有利？

Ans：否

(練習7) 根據統計資料，每年房屋失火的機率為。某人將其房屋向產物保

他算出甲獲勝的機率為，乙獲勝的機率為 1 = 。所以他認為甲、乙二人獲勝的機率比為 11：5。而不是之前的 1：1。賭金也應該按 11：5 來分配。

因此甲應分賭金___。乙應分賭金_。

在我們作決策的時候，不但要考慮獲勝的機率有多大，連帶著也要衡量獲勝後贏得的「好處」有多少？失敗後遭受的「損害」有多少？

當我們賭賽(摸彩、競技、甚至與敵人決戰)之前，不能不預先估計我們能從這場賭賽中「可能」獲得的好處有多少？這種事前預期的好處，就叫做這事的期望值。顯然，期望值是由兩個因素決定的：

就叫做此事件的數學期望值，簡稱為期望值。實例：

任意丟擲一粒質料均勻的骰子，若出現 6 點可得 7 元，求出現 6 點的期望值是多少？

,而得到這些報酬的機率分別為 p

=1，此式可用來簡單判斷機率是否算錯 )，則 m

稱為此隨機試驗的期望值，記為 E ， (Expectation 的字母)，即 E=m

此試驗可能發生的結果為 10 元、10 元與 10 元、5 元與 5 元、5 元發生的機率為

[例題1] 某人擲一枚均勻硬幣 2 次，若出現 2 個正面，即可得 400 元；若出現 1 個正面 1 個反面，即可得 100 元；若出現 2 個反面，則輸 500 元，試求其期望值為多少？Ans：25 元

[例題4] 根據統計資料得知，一個 50 歲的人，在一年內存活的機率為 98.5％，今有一個 50 歲的人參加一年期保險額度為五十萬元的人壽保險，須繳保費一萬元，則保險公司獲利的期望值為　　　。Ans：2350 元

(練習1) 假設每次付款 150 元參加抽獎，獎金有 300 元,200 元,100 元三種，機率分為,,，求每次得獎金的期望值？Ans：100 元

(練習3) 擲一公正骰子，若出現點數為偶數，則可得 3 倍點數的錢，若出現點數為奇數，則輸掉點數 2 倍的錢，請求出這個試驗的期望值。

若從袋中一次取出二個硬幣的期望值為 11.6 元，求其他 3 個硬幣之值為何？

(a)期望值是各種可能的報酬乘以得此報酬的機率之和，此所謂報酬不一定指金錢，也可以是其他數值。

(b)一張統一發票值 1.6236 元，2 張發票值 21.6236 元，也就是期望值有「可加性」。

(1) 若單選每題答對給 8 分，則答錯應扣分才公平。

(2) 若是多重選擇題，每題答對給 12 分，則答錯應扣分才公平。

[例題8] 某食品每天早上製造蛋糕，並以 1 個 25 元賣出(1 個蛋糕成本為 15 元)，每日餘下未賣出的蛋糕將之丟掉，該店統計 50 日得到下表

(2)若要使利益之期望值最大，則必須要製造多少個蛋糕？(但每日只許製造 230 或 250 或 270 或 290 個蛋糕)

[ 例題9] 袋中有 5 個紅球，4 個白球，今任意從袋中取 3 球，則取到白球個數的期望值=？ Ans：個

(練習9) (1)9　個樣品中有　2　個不良品，今取出　3　個，則含有不良品個數的期望

(2)　40　個樣品中有　4　個不良品，今取出　2　個，則含有不良品個數的期望值為__________個。Ans：(1) (2)

(練習10) 袋中有 1 號球 1 個，2 號球 2 個，…，n 號球 n 個，自袋中任取一球，若取得 r 號球可得 r 元，請問期望值=？ Ans：

(練習11) (1)在五選一的單選題中，若答對得　5　分，反之答錯應倒扣____

(2)有一複選題，有五個敘述，其中至少有一個敘述是正確的，若此題答對得　5　分，若答錯則應倒扣__________分才公平。

(練習12) 網球一盤比賽先勝 6 局者贏，贏一盤可得獎金 1000 元，甲、乙兩人實力相當，但甲已連勝 5 局，請問如果因下雨不再繼續比賽，則甲、

(練習13) 設飯糰一個售價為 15 元，而成本是每個 10 元。建中合作社每天賣出的飯糰個數經 50 日的統計如下：

日數 2 8 12 18 10

若一直保持如此的需求量，而且每日的剩下的飯糰都要廢棄，則一日準備 70 個飯糰的獲利期望值為元。 Ans：248 元

(練習14) 袋中有 10 個球，其中有 2 個白球，取球機會相等，求 (1)任取 3 球，則取得白球數的期望值為　　　　　。

(2)每次取 1 球，取後放回，於第 k 次始取到白球，則取到白球次數的期望值為　　　　　。

(練習15) 甲、乙、丙三人輪流依甲乙丙甲乙丙……，依順序投兩公正銅板先得兩正面者獲勝，欲使公平起見，若甲勝給　3600　元，則乙、丙獲勝應各給多少？Ans：　乙給　4800　元，丙給 6400　元。

每賭一次（即同時按兩個電鈕）須先付　 5　元，

則機器會自動付給　 50　元，若兩隻牛同時出現則付給　 10　元，

若兩隻老虎同時出現則付給　 5　元，其他情形一概不付，求賭一次所得之期望值為____________元。

(7) 某電子公司欲擴廠，新建廠房中有大中小三種規模。建廠規模的決策與未來一年的經濟景氣情況有關；經濟景氣如果高度成長，則建大規模廠較有利，