1 1 1

臺灣警察專科學校專科警員班三十五期（正期學生組）新生入學考試甲組數學科試題

壹、單選題：（一）三十題，題號自第1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。

（二）未作答者不給分，答錯者不倒扣。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

1. 試問有多少組整數數對^(x,y)滿足方程式 ^{x12y3 4}？

(A) 8 (B) 10 (C)

12

(D)

14

　。 2. 設^a,b皆為實數，已知二次函數 f(x)3x²axb在x2時有最大值7，試問a b的値為何？

(A)

1

(B) ³ (C) ⁵ (D) ⁷　。

3. 試求多項式 ^{f(x)x1052x 3}除以(x 1)(x1)的餘式為何？

(A) ⁰ (B) ^{x 1} (C) ^{3 x 3} (D) ^{5 x 1}　。 4. 設^a,b皆為實數，已知二次不等式6x²axb0的解為

2 5 3

1 

 x ，試求a b之值為多少？

(A)  16 (B)  18 (C)  20 (D)

 22

　。 5. 試求方程組

















10 4

3

17 4 3

3 2

y x

y x

的解(x,y)為何？

(A) ^(1,5) (B) ^(0,3) (C) ^(2,1) (D) ^(2,3)　。 6. 試問^{4log93log921 log97}的値為下列哪一個選項？

(A) ₂⁵ (B) ³ (C) ⁷₂ (D)

4

　。 7. 試求級數1425362023的和為多少？

(A) ³¹²⁰ (B) ³³⁶⁰ (C) ³⁵⁰⁰ (D) ³⁶⁸⁰　。 8. 已知等差數列^{an}的首項為

2

，公差為 3，試問數列^{an^}前10項的總和為多少？

(A) ^{ 95} (B) ^{ 115} (C) ^{ 135} (D) ^{ 155}　。

9. 把一張¹⁰⁰元的鈔票換成

1

元，5元，10元，50元這四種硬幣，要求每種硬幣都至少要

1

個，試問有多 少種的兌換方式？

(A) ¹⁶ (B)

24

(C) ³⁰ (D) ³⁶　。

10. 將

11

支相同的原子筆全部分給甲，乙，丙三位小朋友，每位小朋友都至少得到

₁

支，試問有多少種分法？

(A) ⁸ (B) ²⁸ (C) ³⁶ (D) ⁴⁵　。 11. 在^{(2x 2 1}_x⁾⁹的展開式中常數項的係數為多少？

(A) ²⁷⁶ (B) ⁶²⁷ (C) ⁶⁷² (D) ⁷²⁶　。

12. 投擲一個點數為^1,2,3,4,5,6的公正骰子，觀察出現的點數，

_A

表示出現的點數為質數的事件，

_B

表示出 現的點數為偶數的事件，試問

A

與

B

的積事件為何？

(A) ^{2} (B) ^{3,4,5,6} (C) ^{2,3,4,5,6} (D) ^{{1,2,3,4,5,6}}　。 13. 有8個數據x1,x2,,x8，已知 ⁸

32

1

 

k

x

k ， ⁸

200

1 2





k

x

k ，試問這8個數據的標準差為多少？

(A)

1

(B)

2

(C) 3 (D)

4

　。

14. 已知

^

為銳角且

5

sin 3，試求cos  tan之值為多少？

(A)

2

(B) ₂₀²⁷ (C) ₂₀³¹ (D) ₁₅³²　。 15. 已知^ABCD為平行四邊形，AB3，AD6，BAD60 ，試問對角線AC的長度為多少？

(A) ³ (B) ^{3 3} (C) ⁷ (D) ^{3 7}　。 16. 已知實數

^{x, y}

滿足(x3)² (y 4)² 4，試問x ² y²的最小值為多少？

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(A) 7 (B) 9 (C)

11

(D) ¹³　。 17. 設 t 為實數，而

a   ( 3 , 5 )

_，

_{( 1 , 2 )}

b  

，試問 ^a



_^tb



_{的最小值為多少？}

(A) ¹₅ (B) ¹₃ (C)

2

1 (D)

1

　。

18. 已知 ^a



^2_，b

^

_5，且

_a 

_與

_b ^

_{的夾角為60 ，試問 a}

^

_{ b}

^

_{的値為多少？}

(A) ¹³ (B) ¹⁵ (C) ¹⁷ (D) ¹⁹　。 19. 試求二階行列式 ₆⁵ ₇⁶ 的値為多少？

(A)

 2

(B)

 1

(C)

1

(D)

2

　。 20. 已知

a   ( 1 , 2 , 3 )

_，

) 5 , 4 , 3 ( b  

，試問由

a 

_與

_b ^

所張成的平行四邊形面積為多少？

(A) ⁶ (B) ^{2 6} (C) ^{3 6} (D) ^{4 6} 　。 21. 已知實數

^{x , y , z}

滿足x²2y²3z² 4，試問^{x2 y 3z}的最大值為多少？

(A) ⁶ (B) ^{2 6} (C) ^{3 6} (D) ^{4 6} 　。 22. 試問包含兩平行線 1^: ₂² ₃¹ ₄⁵

 



 

 y z

L x ，

4 4 3

3 2

: 1

2

 



 

 y z

L x 的平面之方程式為何？

(A) ^{2x 3y4z27} (B) ^{2x 3y4z 23} (C) ^{19x30y13z0} (D) ^{19x30y13z 57}　。 23. 已知 



 



 4 2

3

A 1 ， _



 





2 0

7

B 1 ， _



 





 

4 2

5

C 3 ，試問2AB C為何？

(A) 



 





6 6

8

2 (B) 



 



 14 2

18

4 (C) 



 





7 6

5

2 (D) 



 





3 6

6

2 　。

24. 設方陣 



 





 

2 1

3 k

A k ，其中k為正實數，已知方陣

A

沒有乘法反方陣，試問正實數k的値為多少？

(A)

1

(B)

2

(C) 3 (D)

4

　。

25. 試問拋物線^{x2  4x 4y80}的準線方程式為何？

(A) ^{y 0} (B) ^{y 1} (C) ^x2 (D) ^{x 3}　。 26. 試求無窮等比級數 ^ 2 ^ 3 ^34 ^

8 3

4 3

2 3

1 的和為多少？

(A) ₇⁶ (B)

1

(C) ⁷₆ (D) ¹⁰₉ 　。

27. 擲一個點數為^1,2,3,4,5,6的公正骰子3次，觀察出現的點數，試問5點出現次數的期望值為多少？

(A) 6

1 (B)

5

1 (C)

3

1 (D)

2 1 　。

28. 箱子中有三個球：一個紅球和二個白球，現從箱子中取四次球，每次取一個球且取後放回，試問這四次 的取球的結果恰有

2

個紅球的機率為多少？

(A) ₃² (B) ₉⁴ (C) ₂₇⁸ (D) ¹⁶₈₁　。

29. 設函數 ^{f(x)2cos(x}₄^)3，其中

x

為實數，試問函數 ^f(x)的最大值為多少？

(A)

1

(B) ³ (C) ⁵ (D) ⁷　。

30. 試求

6 5

3 lim ₂ 4

2

3  







 x x

x x

x 的値為何？

(A)

1

(B)

2

(C) 3 (D)

4

　。

第 2 頁，共 4 頁

貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。

（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項 全部答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項 不給分。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

31. 設^a,b,c,d 皆為實數，試問下列哪些選項一定正確？

(A) 若^{a b}且c d，則acbd (B) 若^{a b}且c d，則a cb d (C) 若a b且c d，則ac bd (D) 若a b，則_{a }² _b²

(E) 若^{a b}，則_{a }³ _b³　。

32. 設多項式 ^f(x)滿足 f(1)5,f(2)7，試問下列哪些選項正確？

(A) ^f(x)除以^{( x 1)}的餘式為5 (B) ^f(x)除以^{(2x 2)}的餘式為10 (C) ^f(x)除以^{( x 2)}的餘式為

7

(D) ^f(x)除以(x²  3x2)的餘式為5 (E) ^f(x)除以(x²  3x2)的餘式為2 x 3　。

33. 箱子中有

1

個紅球，

2

個白球，3個黑球，現從箱子中任意取出兩球，試問下列哪些選項正確？

(A) 這兩球皆不是紅球的機率為₃¹ (B) 這兩球恰有一個是紅球的機率為₃¹

(C) 這兩球皆不是白球的機率為₅³ (D) 這兩球恰有一個是白球的機率為₁₅⁸

(E) 這兩球皆是白球的機率為₁₀¹ 　。

34. 設^A,B是樣本空間中的兩個事件且滿足

5 ) 3 (

5, ) 2 ( 10, ) 3

(A  P B  P AB 

P ，試問下列哪些選項正確？

（備註：

A '

表示事件

A

的補集）

(A) ^P(A')₁₀⁷ (B) ^P(AB)₅¹ (C) ^{P(A'B')}₅² (D) ^P(A'B)₅⁴ (E) ^P(AB')₁₀⁷ 　。 35. 下列有關組合數Cmⁿ 的敘述哪些正確？

(A) 7 5⁷

2 C

C  (B)

C

₁¹

 C

₁²

 C

₁³

 C

₁⁴

 C

₁⁵

 C

₁⁶

  3

(C)

C

₁¹

 C

₁²

 C

₁³

 C

₁⁴

 C

₁⁵

 C

₁⁶

 7

(D) 6^{6 0}

6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6

0  C C  C C  C C 

C (E) 6^{6 36}

6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6

0 C C C C C C 

C 　。

36. 在坐標平面上，設圓^{C:x2y2 2x4y 40}，試問下列哪些直線和圓C有交點？

(A) L1^:3x⁴y⁴⁰⁰ (B) L2^:3x⁴y³⁰⁰ (C) ^{L3:3x4y200} (D) L4^:3x⁴y¹⁰⁰ (E) L5^:3x⁴y⁰ 。

37. 點^P(3,4,5)是空間中的一個點，試問下列哪些選項正確？

(A) 點

P

到原點的距離為

12

(B) 點

P

到

^xy

平面的距離為5 (C) 點

P

到

xz

平面的距離為3 (D) 點

P

到

x

軸的距離為3 (E) 點

P

到

z

^{軸的距離為5 。}

38. 設二階行列式_b^a _d^{c 5}，其中^a,b,c,d皆為實數，試問下列哪些選項正確？

(A) _c^a _d^{b 5} (B) ^b_a ^d_c ^5 (C) ³_b^{a 3}_d^{c 45}

(D) ^a_b^{2b c}_d^{2d 5} (E) ^a_b^{2b c}_d^{2d 10}。 39. 設^X,Y,Z 皆為二階方陣，試問下列哪些選項一定正確？

(A)

XY  YX

(B) ^{X(YZ)(XY)Z} (C) ^{X(YZ)XYXZ}

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(D) ^{(XY)2X22XYY2} (E) 若 



 



 0 0

0

X 0 且 _



 



 0 0

0

Y 0 ，則 _



 



 0 0

0

XY 0 。

40. 設函數 ^{f(x)sin(2x3)4}，其中

x

為實數，試問下列哪些選項正確？

(A) 函數 ^f(x)的最小值為3 (B) 函數 ^f(x)的最大值為

4

(C) 函數 ^f(x)的週期為



(D) 函數 ^f(x)的週期為2 (E) 函數 ^f(x)的週期為4 。

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