第四节

二、无界函数的反常积分

第四节

常义积分 积分限有限 被积函数有界

推广

一、无穷限的反常积分

反常积分 ( 广义积分 )

反常积分

第五章

一、无穷限的反常积分

引例 . 曲线

1

y  x

x  1

^x

2

1 y  x A

1





d x A x

其含义可理解为









b

x

A x

1 2

lim d b

b

b

x

lim 1 



 

  



 

 

  



b 1 1

lim  1

定义 1. 设

f ( x )  a C [ ,   ) , 取 b  a ,

x

x

b

f

b

lim



( ) d

存在 ,则称此极限为

f (x)

记作

x

x f x

x

f

b a

a

( ) d lim  ( ) d



^

这时称反常积分

f x x

a

( ) d



f x x

a

( ) d



类似地 , 若

f ( x )  C ( 

, b ] ,

x x

f x

x

f

a a

b

( ) d lim  ( ) d



^

, ) ,

( )

( x C   

若 f



f ( x ) d x  f x x

a

lim



( ) d ^

^lim

^

^{f ( x ) d x}

只要有一个极限不存在 , 就 称

x x

f ( ) d



无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 .

 ,





它表明该反常积分发散 .

, )

( )

( 是 的原函数

若 F x f x

; ) ( lim

)

( F x

F  

F ( ) lim F ( x )

x





则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

x

x

a

f ( ) d



^{ F (x )} _a ^{   F (  )  F ( a )}

x x

b

f

d )



( ^{ F (x ) b} _{ } ^{ F ( b )  F (  )} x

x f ( ) d



^{ F (x )} _ ^ _ ^{  F (  )  F (  )}

例 1. 计算反常积

分

.

1 d



_{ x} ^x

解 :



_{1 } ^{d x} _x

^{ [ arctan x ]}

2 ) ( _  2 

    o x

y

1 2 1

y



思考 :

0 ?

1 d

2

 对吗



^x  _x ^x







 







 

 ₁ ^x  ^d _x ^x

₂ ^{1 ln( 1 x}

⁾

注意 : 对反常积分 , 只有在收敛的条件下才能使用

“ 偶倍奇零” 的性质 , 否则会出现错误 .

例 2. 证明第一类

p

分



_x ^{d x}

证 : 当 p =1 时有



^d _x ^{x   ln x }

^{ }



_x ^{d x}

^ _ ^ _

_ ^

a p

p x

1

1

 

 

当 p ≠ 1 时有

 1 p

 1 , p

1

1





p a

, 当 p >1 时收敛 ; p 时发散 (a>0) .

≤1

 ,



因此 , 当

p >1

1 ;

1





p

a

p≤1

散 .

例 3. 计算反常积分

d ( 0 ) .

0





^{t e}

^{t p}

解 :

e

p t

 原式 

0



 ^{ 1} _p 

^e

^{d t}

t

e

p



 1

0





2

1

 p





2 2

1 d

1 sin :

1 x

x

ex x

二、无界函数的反常积分

引例 : 曲线

y  1 x

^x

x  1





0

d x A x

其含义可理解为



 

 ¹

0

lim d

t t x

A x

x t

t

2 1 lim



) 1

( 2

lim0 t

t 

 _



 2

y  1 x

0

A

1 x

y



定义 2. 设

f ( x )  C ( a , b ] ,

,

a t

取 ^{存在 ,}

x x

f x

x

f

a t t b

a

( ) d lim  ( ) d

 ^

这时称反常积分 ^b

f x x

a

( ) d



就称反常积分 ^b

f x x

a

( ) d



类似地 , 若

f ( x )  C [ a , b ) ,

x x

f x

x

f ^t

b a t b

a ( )d lim





若极限 t

lim



f ( x ) d x

数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分 , 记 作

则定义

则称此极限为函

若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明 :

, )

( ]

, [ )

( 在 上除点 外连续

若 f x a b c a  c  b

c

的

无界函数的积分又称作第二类反常积分 ,无界点常称 邻域内无界

,



^{f ( x ) d x}  

^f ( ^x ) d ^{x } 

^{f ( x ) d x}

x x

t

f

c a

t

lim

 ( ) d



f x x

c t

t

lim

 ( ) d



为瑕点 ( 奇点 ) .

例如 ,

x

x

x d

1 1

1 1



_ ^{ } 

^{( x  1 ) d x}

间断点 , 而不是反常积分

. 则本质上是常义积分 ,

则定义

注意 : 若瑕点

, )

( )

( 是 的原函数

设 F x f x

x x

b

f

a

( ) d

 ^{ F ( b}

^{)  F ( a )}

x x

b

f

a

( ) d

 ^{ F ( b )  F ( a}

⁾

x x

b

f

a

( ) d

 ^{ F ( b}

^{)  F ( a}

⁾

则也有类似牛 – 莱公式的

若 b 为瑕点 ,

则若

a

若

a , b

, ) , ( b a

c 



^{f ( x ) d x}  ^{F ( b )  F ( c}

^{)  F ( c}

^{)  F ( a )}

可相消吗 ?



^d _x ^x

   1  1   2

1

1



 

 

 x

下述解法是否正确 :

, ∴ 积分收敛 例 4. 计算反常积

分

d ( 0 ) .

0 2 2





_a ^x  _x ^a

原式 0

arcsin



 

 



a

x  arcsin 1

2

 

例 5. 讨论反常积分



^d _x ^x

解 :



^d _x ^{x } 

^d _x ^{x } 

^d _x ^x

1

1





 

 

 

x   

 



0

1

x  

所以反常积分



^d _x ^x

例 6. 证明反常积分



_{( x } ^{d x} _{a )}

证 : 当

q = 1

当

q < 1



_x ^d _ ^x _a  ln ^ x  a ^

 

当

q≠1



x _ a

x ) (

d



 

 

 

a q b

q a x

1

)

(



 

  ^{1 , q  1}

)

(

q a

b





 1 , q





所以当

q < 1

值为

1 ;

)

(

q a

b





当

q ≥ 1

.

例 7. 求反常积分



( _ 1 )

d x x

x

内容小结

1.

被积函数无界 常义积分的极限

2.



_x ^{d x}



 



_{( x} ^{d x} _{a )}

 1 p

 1

p ( a  0 )

 



_{( b} ^{d x} _{x )}

^{1 , q  1}

)

(

q a

b





 1 , q





 ,

 ) , 1 (

1

1

 a

p

说明 :

(1)

. 例如 ,



1 _

d x

x ^ 

^{d t} ( 令 x sin  t ）

(2)