，以 表示位移，则力 所作的功为 M S F 一物体在常力 作用下沿直线从点 移动到点 F M

§3.2 数量积 向量积 混合积

一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

三、向量的混合积 四、小结

一、两向量的数量积

一物体在常力F作用下沿直线从点

M

到点

M

θ S

F

W | || | cos 启示

实例

两向量作这样的运算 , 结果是一个数量 . M₁

F

θ S M₂

定义 1 两个向量 α 与 β 的数量积是一个数，它等 于这两个向量的长度与它们的夹角 θ=(α,β) 余弦的乘积

，记作 α·β 或 (α ， β) ，即

α·β=|α|·|β|·cosθ

α β



, Pr

cos

|

| β θ  j_α β



, Pr

cos

|

| α θ  j_βα α j β

β

α  | | Pr _β

  | α | Pr j_α β.

数量积也称为“点积”、“内积”.

结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 一个向量在这向量的方向上的投影的乘积 .

关于数量积的说明：

0 )

2

( α  β 



.

|

| )

1

( α α  α ²

) ( 

,

 0

θ α α | α || α | cosθ | α |² . 证

) ( 

证

, 0

cosθ  ^{ } , 2



, 0 cosθ  2 ,

 



 0

 β

α ^{当 | α | 0, | β | 0} 时

. β α 

. β α 



当 或 之一为零时，可以认为α β β

α 



0 cos

|

||

| 





α β α β θ

数量积符合下列运算规律：

（ 1 ）交换律

：

. α β β

α   

（ 2 ）分配律

（ 3 ）若 为数：：  ^{(λα)  β  α  (λβ)  λ(α  β),}

若 、 为数：

 

易证

. )

(α  β γ  α  γ  β γ

. )

(α  β γ  α  γ  β γ

例 1 试用向量证明三角形的余弦定理 . 证 设在△ ABC 中，

∠BCA=θ,|BC|= α, |CA|= β,|AB|= γ ， A B

α C

γ β 要证 γ²= α²+ β²-2αβ cos θ θ

则有 γ=α-β ， 从而 |γ|²=γ·γ=(α-β)·(α-β)

=α·α+β·β-2α·β

=|α|²+|β|²-2|α|·|β|cos (α,β)∧

记 CB=α ， CA=β, AB=γ ，

即 γ ²= α ²+ β²-2 α β oos θ

例 2 已知 |α|=3,|β|=6 ， α 与 β 的夹角为 π/3

，且向量 3α-λβ 与 α+2β 垂直，求 λ 的值 . 解 由两个向量垂直的充要条件，得

0=(3α-λβ)·(α+2β)

=3α²+(6-λ)α·β-2λβ²

=3|α|²+|α||β|(6-λ) cos(π/3)-2λ|β

|

=81-81λ

于是 λ=1.

直角坐标系下向量内积的计算

设 α=x₁i+y₁j+z₁k=(x₁,y₁,z₁),β=x₂i+y₂j+z₂k=(x₂,y₂,z₂).

按数量积的运算规律可得

, k j

i  

  i  j  j  k  k  i  0, ,

1

|

|

|

|

|

| i  j  k 



.

 1











 i i j j k k α·β=(x₁i+y₁j+z₁k)(x₂i+y₂j+z₂k)

α·β =x¹x₂+y₁y₂+z₁z₂. 数量积的坐标表达式

|,

||

cos |

β α

β θ  α 



2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1

2 1 2

1 2

cos 1

z y

x z

y x

z z y

y x

θ x











 



 β

α x₁x₂  y₁y₂  z₁z₂ 0

由此可知两向量垂直的充要条件为

特别地

θ β

α β

α  | || | cos

由

两向量夹角余弦的坐标表示式

例 3 设 α=(1,2,3),β=(8,5,11),γ=(7,5,1). 求 α+β+γ 的长度和方向余弦，并求 α+β+γ 与 α 的夹角 .

=(16,12,15).

解 α+β+γ=(1 ， 2 ， 3)+(8 ， 5 ， 11)+(7 ， 5 ， 1)

|α+β+γ|= =25 ，

 16² 12² 15²

它的方向余弦为 cosα= 16/25 ， cosβ= 12/25 ， cosγ= 15/25=3/5

α+β+γ 与 α 的夹角 的余弦为φ

 φ

cos | || | .

α γ

β α

α γ

β α







 ）

（

2 2

2 2 3

1 25

) 3 , 2 , 1 .(

15 12 16



（ ， ，） 4 25

3 15

2 12

1

16    

 14

70

 17

 70

14 arccos17

 φ

二、 两向量的向量积

设O_{为一根杠杆}L_{的支点，有一力} F

作用于这杠杆上P_点处．力F

与OP_的夹角为



力F

对支点O_{的力矩是一向量}M

，它的模为：

|

||

|

|

| M   OQ F 

 sin

|

||

| OP F 



的方向垂直于OP_与F

所决 定的平面,指向符合右手系.

实例

L

F

P Q O



向量积的几何意义：

向量积也称为“叉积”、“外积”.

定义 2 两向量 α 与 β 的向量积是一个向量，

记作 α×β ，它的模是

|α×β|=|α|·|β|sinθ (θ= （ α,β ）），它的方 向与 α 和 β 垂直，并且 α 、 β 、 α×β 构成右手 系，



β θ ^{| β sin| θ}

α

如果 α 与 β 是非零且不共线的向量， α 与 β 的叉积的模 |α×β|=|α||β|sinθ 就是以 α 、 β 为邻 边的平行四边形面积的数值 .

证

β α

) 2

( //



于是 θ=0 或 π ，即 α∥β ；

当 α ， β 中有一个为零或两个都为零时，

由于零向量与任何向量都平行，所以结论仍然 成立 .

当 α ， β 都不为零时，如果 α×β=0 ， 由于 |α|≠0, |β|≠0 ，故必有 sinθ=0 ，

反之，如果 α∥β ，那么 θ=0 或 θ=π ， 于是 sinθ=0, 从而 |α×β|=0 ，即 α×β=0.

向量积符合下列运算规律：

（ 1 ） ^{α  β  β  α.}

（ 2 ）分配律

：

. )

(α  β  γ  α  γ  β  γ

（ 3 ）若 为数：^{ (λα) β  α  (λβ)  λ(α  β).}

下面来推导向量积的坐标表示式



 β α

， k j

i  



,

 0









 i j j k k

 i

, j i

k   ,

i k

j   ,

k i

j    k  j  i, i  k   .j

k x

y y

x j

x z z

x i

y z z

y ) ( ) ( )

( _{1 2}  _{1 2}  _{1 2}  _{1 2}  _{1 2}  _{1 2}



向量积的坐标表达式 设 α=x₁i+y₁j+z₁k

， β=x₂i+y₂j+z₂k,

（ x₁i+y₁j+z₁ k ）

（ x₂i+y₂j+z₂ k ）



向量积还可用三阶行列式表示 向量积符合下列运算规律：

2 2

2

1 1

1

z y

x

z y

x

k j

i β

α

 

 



 

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

y x

y x

x z

x z

z y

z

y ， ，

解

β α

γ  

2 1

1

4 2

3







k j

i

, 5 10 j  k



, 5 5 5

10

|

| γ  ²  ² 



|

|

0

γ γ   γ

 .

5 1 5

2 



 



 



 j k

下面推导混合积的坐标表达式

三、向量的混合积

定义 3 设已知三个向量 α 、 β 和 γ. 如果先作 两个向量 α 和 β 的向量积 α×β ，把所得到的向量与 第三个向量 γ 再作数量积 (α×β)·γ ，这样得到的数 量叫做三向量 α 、 β 、 γ 的混合积 . 记作

(α ， β ， γ) 或［ α β γ ］ .

设α=x₁i+y₁j+z₁k

， β=x₂i+y₂j+z₂k , γ

=x₃i+y₃j+z₃k,

2 2

2

1 1

1

z y

x

z y

x

k j

i



 



2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1

1 , ,

y x

y x

z x

z x

z y

z

y 





 因为

所以 (α ， β ， γ) =(α×β)·γ

2 2

1 1

3 2

2

1 1

3 2

2

1 1

3 x y

y z x

z x

z y x

z y

z

x y  



3 3

3

2 2

2

1 1

1

z y

x

z y

x

z y

x

 混合积的坐标表达式

（ 1 ）向量混合积的几何意义：

α γ

β

β α

关于混合积的说明：

(α ， β ， γ)=(α×β)·γ 的 绝对值表示以向量 α 、 β 、 γ 为棱的平行六面体的体积 .

如果 α 、 β 、 γ 组成左手系

，那么混合积的符号是负的 .

如果向量 α 、 β 、 γ 组成 右手系，那末混合积的符号是 正的；

γ β

α  

 ( )  (βγ)α  (γ α) β.

α γ

β

f β

α 

A D

B θC

因为以向量 α 、 β 、 γ 为棱的平行六面体的底面 积 S 在数值上等于 |α×β|

，它的高 h 等于向量 γ 在 向量 f 上的投影的绝对值，

即 h=|Prj_fγ|=|γ||cosθ| ，所 以平行六面体的体积

V=Sh=|α×β||γ||cosθ|=|(α ， β ， γ)|.

(2) 混合积具有轮换对称性

［ α β γ ］





（ 3 ）三向量共面的充要条件是 证 若 α 、 β 、 γ 共面，

当 α∥β 时， α×β=0 ， 自然有 α×β)·γ=0 ；

因而 α×β⊥γ ，仍有 (α×β)·γ=0.

反之，若 (α ， β ， γ)=0

当 α×β=0 时，有 α∥， β ，故 α 、 β 、 γ 共面；

，有 α×β⊥γ ，

当 α∥



当 α×β≠0 时

又因 α×β 亦垂直于 α 及 β ，从而 α 、 β 、 γ 共 面 .

(5) (α,β,γ+mα)=(α,β,γ)

由混合积的定义可得下列性质：

(1) ( α ， α ， γ)=0 ；

(2) (α ， β ， γ)=-(β ， α ， γ) ； (3) ((α₁+α₂) ， β ， γ)

=(α₁,β,γ)+(α₂,β ， γ) ； (4) (kα,β,γ)=(α, kβ,γ)

=(α,β, kγ)= k (α,β,γ) ， 其中 k ,m 是实数 .

解 _{由立体几何知，四面体的体积等于以向量}AB_、 AC_、AD_{为棱的平行六面体的体积的六分之一}^.

] 6 [

1 AB AC AD

V 

} ,

,

{ x

x

y

y

z

z

AB    



} ,

,

{ x

x

y

y

z

z

AC    

} ,

,

{ x

x

y

y

z

z

AD    

1 4

1 4

1 4

1 3

1 3

1 3

1 2

1 2

1 2

6 1

z z

y y

x x

z z

y y

x x

z z

y y

x x

V

























式中正负号的选择必须和行列式的符号一致 .

1

2

3

（结果是一个数量）

（结果是一个向量）

（结果是一个数量）

（注意共线、共面的条件）

四、小结