機率機率

(1)

(2)

機率

(3)

^先備知識

集合與元素：

子集 : 若 A 為 B 的子集。定義為：若

，我們以表示。

聯集與交集： (a) 聯集 ( ):

(b) 交集 ( ):

差集：

補集：

DeMorgan’s laws:

a A  a B A  B

 A B { |x x A x B   }

 A B { |x x A x B   }

{ , }

A B  x A x B  ' { | }

A  x x A

1 1

( ) ' '

n n

i i

n n

i i

A A

 



 

 

(4)

樣本空間與事件

 當我們考慮一個不可準確預測將來出現情形的試驗。雖然我們不能更進一步了解試驗結果，但是我們可以知道它所有出現的情況。那我們把所有出現情形收集成為一個集合，我們把此集合稱為樣本空間，那我們通常以來表示。

 樣本空間中的每一元素稱為一個樣本點，簡稱樣本。任何一個樣本空間的子集，我們稱為一個事件。因此，一個事件就是一個出現可能情形所形成的集合。

 如果一個事件都不會發生，我們就稱為空事件，以空集合的表示。如果，則我們稱與為互斥事件。

Note. 建議如果要看一些簡單集合的關係，可以用 Venn diagram 來幫助判斷。

(5)

假設 E 是任意一個事件， S 是樣本空間，則：

Axiom1

Axiom2

Axiom3 若 A 與 B 為 2 個互斥事件，則可推出：

1.

2. 若，則

3.

Note. 總共有種可能，其中

0  P E( ) 1 ( ) 1

P S 

( ) ( ) ( )

P A B  P A  P B

( ') 1 ( ) P E   P E

E  F P E( )  P F( )

1 2

1

( _n) ⁿ ( )_i ( _i _i )

i i i

P E E E P E P E E

 

    

   

1 2

1 1

1 2

( 1) ( ) ( 1) ( )

r r

r n

i i i n

i i i

P E E E P E E E

 

 

     



    

1 2

( )

i i ir

i i i

P E E E

 



  C_rⁿ r{1, 2, , }. n

(6)

古典機率

 在很多自然的情況下，我們都會假設在樣本空間中的樣本點出現的情形是 equally likely 。如果我們考慮一個事件的樣本空間 S 是有限集合，令。

則通常我們假設

 從這裡我們也便可以得到 Axiom3( 想想看為什麼？ ) ，如果我們希望它也要符合 Axiom3 ，我們便可以得到

 這樣子的話它就同時符合 3 個 axioms 。

{1, 2, , } S   n

({1}) ({2}) ({ }) P  P   P n

({ }) 1 , 1, 2, ,

P i i n

 n  

(7)

 所以對於任意一個事件 E ，

此定義是由 Pierre-Simon Laplace(France,1749~1827) 所提出，也稱為古典機率定義。

 Note. 如果以後是樣本點所形成的集合，我們會將簡寫成

底下我們看看一些常見古典機率的問題！

( ) ( )

( ) P E n E

 n S

({ }) P i ( ).

P i

(8)

機率 機率

機率機率