4-2 橢 圓

4-2 橢 圓

1. 右圖是一橢圓﹐已知B ﹐ D ﹐ E ﹐ F 四個點中有一個點 為其焦點﹐試判別哪一點是橢圓的焦點？（善用尺規）

(1)B (2) D (3) E (4) F ﹒

解：設焦點為 P ﹐因滿足

a

² 

b

² ﹐知

c

² AP a BC﹐ 善用尺規知焦點為 F ﹐故選(4)﹒

2. 設橢圓x²4y² 16的兩焦點為F 和₁ F ﹐若點 P 在橢圓上₂ 且滿足PF₁3PF₂﹐試問PF₁的長為

(1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 8﹒

解：橢圓的標準式為

2 2

16 4 1

x y

  ﹐知a4﹐

得PF₁PF₂ 2a8﹐且已知PF₁3PF₂﹐得PF₁6﹐故選(3)﹒

3. 請問下列哪一個選項為橢圓

2 2

2 2

2 0 7 5 5

x y y

   的中心？

(1)(0, 0) (2) (7, 0) (3) (0, 1) (4) (0, 5) ﹒ 解：橢圓的標準式為

2 2

2 2

( 5) 7 5 1

x y



  ﹐知橢圓的中心為 (0, 5) ﹐故選(4)﹒

4. 橢圓的兩焦點F₂( 3, 0) ﹐F₁(3, 0)且通過 (0, 4)P ﹐試求：

(1)中心坐標﹒ (2)長軸長﹒ (3)含短軸的直線﹒

解：(1)中心是F F_{1 2}的中點 (0, 0) ﹒

(2)因PF₂ 5﹐PF₁5﹐得長軸長2aPF₁PF₂ 10﹒ (3)含短軸的直線x0﹒

5. 橢圓

2 2

4 2 1

x y

tt 

  的長軸在x軸上﹐則 t 的範圍為 2 

t

3 ﹒

解：

a

²    ﹐知4

t

0 t4﹒

2 2 0

b

   ﹐知

t

t 2﹒

2 2

a

 ﹐

b

4  t t 2﹐知t3﹒由以上得知2 t 3﹒

6. 在坐標平面上﹐橢圓x²4y²8x ky   的圖形對稱5 0 於直線 y ﹐則2 k值為 16 ﹒

解：橢圓

2

2 2

( 4) 4( ) 21

8 16

k k

x

 

y

   的對稱中心 ( 4, ) 8



k

在直線

y

 上﹐2 2

8

k  ﹐得

k16﹒

1. 已知橢圓

2 2

( 1) ( 2) 25 16 1

x  y  ﹐試求橢圓的 (1)中心﹒ (2)焦點﹒ (3)長軸端點﹒

解：長軸為水平﹐a5﹐b4﹐c3﹒ (1)中心(1, ﹒ 2)

(2)焦點 ( 2,  ﹐ (4, 2)2)  ﹒ (3)長軸端點 ( 4,  ﹐ (6, 2)2)  ﹒

2. 已知橢圓

2 2

( 1) ( 3) 8 16 1

x  y  ﹐試求橢圓的 (1)中心﹒ (2)焦點﹒ (3)長軸長﹒

解：長軸為鉛直﹐a4﹐b2 2﹐c2 2﹒ (1)中心 (1, ﹒ 3)

(2)焦點 (1, 3 2 2)﹐ (1, 3 2 2)  ﹒ (3)長軸長2a8﹒

3. 試求滿足下列各條件的橢圓方程式：

(1)兩焦點F(4, 0)﹐F( 4, 0) ﹐長軸長為 10﹒

(2)兩焦點F(5, 3)﹐F( 1, 3) ﹐短軸長為 8﹒

解：(1) 長軸為水平﹐中心 (0, 0) ﹐2a10﹐2c8﹒ 由a5﹐c4﹐b3得方程式

2 2

25 9 1

x



y

 ﹒ (2) 長軸為水平﹐中心 (2, 3) ﹐2b8﹐2c6﹒

由b4﹐c3﹐a5得方程式

2 2

( 2) ( 3) 25 16 1

x

 

y

  ﹒ 4. 試求滿足下列各條件的橢圓方程式：

(1)短軸端點B(4, 0)﹐B( 4, 0) ﹐長軸長為 10﹒

(2)兩焦點F(1, 5)﹐F(1, 1) ﹐短軸長為 8﹒

解：(1) 長軸為鉛直﹐中心 (0, 0) ﹐2a10﹐2b8﹒ 由a5﹐b4﹐c3得方程式

2 2

16 25 1

x



y

 ﹒ (2) 長軸為鉛直﹐中心 (1, 2) ﹐2b8﹐2c6﹒

由b4﹐c3﹐a5得方程式

2 2

( 1) ( 2) 16 25 1

x

 

y

  ﹒

5. 坐標平面上﹐已知△ABC中﹐ ( 3, 0)B  ﹐ (3, 0)C 且周長為 16﹒

若頂點 A 均在圖形 上﹐求  的方程式﹒

解：BC6﹐得ABAC10﹐ A 所在圖形 中 ( 3, 0)

F

 ﹐ (3, 0)

F

且2a10的橢圓方程式為

2 2

25 16 1

x



y

 ﹒

6. 橢圓9x²25y² 225的兩焦點為F ﹐₁ F ﹐已知 P 為橢圓上的一動點﹐使 ₂

△PF F 為等腰三角形﹐試問_{1 2} P 點共有 6 個﹒

解：PF₁PF₂時﹐ P 在F F_{1 2}的中垂線上﹐有 2 個點﹒

1 1 2

PF F F ﹐PF₂ F F_{1 2}時的 P 點分別落在以

F ﹐

₁

F 為圓心﹐

₂

半徑為F F_{1 2} 8的圓上﹐兩圓與橢圓各有 2 個交點﹒得2 2 2  6（個）﹒

1. 第一個繞行地球的人造衛星是蘇聯於西元 1957 年所發射的史潑尼克一號

（Sputnik I）﹐其繞行軌道是橢圓﹐以地心為一焦點﹐這衛星離地面的最大高 度是 800 公里﹐而離地面的最小高度是 200 公里﹐又地球的半徑是 6400 公 里﹐試問這橢圓軌道的長軸長為 13800 公里﹒（取整數）

解：設地心為 F ﹐長軸兩端點為 A 與 A ﹐ 800 6400 7200

A F    ﹐AF200 6400 6600﹐ 知橢圓軌道的長軸長為A A  A F AF 13800（公里）﹒

2. 有一座側看為半橢圓形的大橋﹐已知全長 AA50公尺﹐

設橋中心點O﹐鋼架的最高點 H 時﹐OH 15公尺﹐則距 離 A 點 5 公尺的 F 點處﹐鋼架的高度為 9 公尺﹒

解：坐標平面上設 (0, 0)

O

﹐ (25, 0)

A

﹐

H

(0, 15)﹐ 得橢圓方程式為

2 2

625 225 1

x y

  ﹐

因OF OAAF 20﹐設 (20, )

B b ﹐代入橢圓方程式

400 2

625 225 1



b

 ﹐得b9﹐知 F 處鋼架的高度為 9 公尺﹒

3. 有一個音樂廳是由橢圓繞長軸旋轉半圈而成的半橢圓球體﹒此橢圓的長軸 長為 100 公尺﹐短軸長為 60 公尺﹐若演奏者位於其中一個焦點上﹐已知另 一個焦點所在的座位可以聽到最清晰的聲音﹐則這個座位離演奏者的距離為

80 公尺﹒（10 分）

解：橢圓的長軸長2a100﹐短軸長2b60﹐ 50

a ﹐b30﹐而

a

² 

b

² ﹐得

c

² c40﹐知距離為2c80（公尺）﹒