橢圓切線交點軌跡的探討

橢圓切線交點軌跡的探討

羅美音 _• 蘇映竹

壹、 研究動機

由基本觀念“橢圓任兩條切線若互相垂 直, 則其交點軌跡為一個圓”加以延伸, 探討 不同情況下, 橢圓切線交點的軌跡。

貳、 研究目的

一、 當橢圓兩切線相交時, 夾角恆保持為定角 θ(0 < θ < π), 則其交點軌跡為何種圖 形?

二、 過橢圓上兩點 P (a cos φ, b sin φ)、Q(a cos(φ + θ), b sin(φ + θ)), (其中 θ 為 定角, 且 0 < θ < π), 作兩切線, 則其交 點軌跡為何種圖形?

參、 研究器材

電腦、QBasic軟體

肆、 研究過程

如研究目的所述, 分為兩種情形討論切 線交點的軌跡, 並限制以下討論的橢圓方程 式為 ^x_a²2+^y_b²² = 1, 亦即 b²x²+a²y²= a²b², 且 a > b > 0 (參見伍、 討論一之 (三))。

一 . 兩切線夾定角 θ

提要: (一) 軌跡方程式之推演: 求與 橢圓 b²x² + a²y² = a²b² 相切且交角為 θ(0 < θ < π) 之兩切線交點軌跡的方程 式。

1. 由

(x²− a²)m²− 2xym + (y²− b²) = 0 (∗) 之兩根是交於點 (x, y) 之兩切線的斜率, 以及 cot θ = ±^1+mm1−m^1m22, 得

(x²+ y²− a² − b²)²

= 4 cot²θ(b²x²+ a²y²− a²b²) (∗∗)

2. 令 u = x², v = y², 將(∗∗)式化簡, 得

u²+2uv+v²−2(a²+b²+2b²cot²θ)u

−2(a²+b²+2a²cot²θ)v+4a²b²cot²θ +(a² + b²)² = 0。 (∗ ∗ ∗)

(二) 軌跡圖形之繪製

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v

u

圖一、(∗ ∗ ∗) 式之圖形。

v

u

圖二、 取圖一之第一象限部分。

v

u

圖三、 取 (√u,√v)、(−√u,√v)、

(−√ u,−√

v)、(√ u,−√

v) 之點, 所成圖形即為所求。 參見伍、 討論二。

內容: (一) 軌跡方程式之推演過程:

y

P(x1, y₁) x

圖四

1. 設 y = m1x+

^q

a²m²₁+ b² 與 y = m₂x+

^q

a²m²₂+ b² 交於 P (x1, y₁)

∴







y₁ = m₁x₁+

^q

a²m²₁+ b² y₁ = m2x₁+

^q

a²m²₂+ b² m₁, m₂ 是 (y₁−mx1)² = a²m²+b² 之 兩根, 化簡得 (x²₁− a²)m²− 2x1y₁m+ (y₁²− b²) = 0 同理可推得

(x²−a²)m²−2xym+(y²−b²) = 0 (∗) 之兩根是交於點 (x, y) 之兩切線的斜 率。

(1) 若 x² − a² 6= 0, 令 (∗) 式的兩根 為 m₁, m₂ 則 m₁ + m2 = _x^22xy_−a², m₁m₂ = _x^y22_−a^−b22

∴

cot θ = ±1+m1m₂ m₁−m²

= ± 1+m₁m₂

q

(m1+m2)²−4m¹m₂

= ± 1 + _x^y22−b_−a²²

q

(_x^2xy2

−a²)²−^4(y_x²²_−a^−b22)

= ± x²−a²+ y²−b²

√4b²x²+4a²y²−4a²b²

∴

x²− a² + y²− b²

= cot θ · (±

^q

4b²x²+ 4a²y²− 4a²b²) (x²+ y²− a²− b²)²

= 4(b²x²+ a²y²− a²b²) cot²θ (∗∗)

(2) 若 x² − a² = 0, 則一條切線無斜率, 而 另一切線斜率為 m, 此時 (∗) 式化為

±2aym + (y²− b²) = 0 (

^∵

x= ±a) 移項後平方 (y² − b²)² = 4a²y²m²,

^∵

此時 m = cot θ, 且 x²− a² = 0,

^∴

可 得 (x² + y² − a² − b²)² = 4(b²x² + a²y²− a²b²) cot²θ; 亦即 (∗∗) 式。

由 (1),(2) 知 (∗∗) 式為所求軌跡的方程式。

令 u = x², v = y² 代入 (∗∗) 式

u²+2uv + v²− 2(a²+ b² + 2b²cot²θ)u

−2(a²+ b²+ 2a²cot²θ)v + 4a²b²cot²θ +(a²+ b²)² = 0

將上式定為 (∗ ∗ ∗) 式 (參見伍、 討論一)。

(二) 軌跡圖形之繪製 v

u 圖一、

_{(∗ ∗ ∗)}

式之公式解如下

₍

令

u

為

v

之 參數

₎

v = −u+(a

²

+b

²

+2a

²

cot

²

θ ) ± q

4(cot

²

θ+1)a

⁴

cot

²

θ −4u(a

²

−b

²

) cot

²

θ

將

_u

代入

_,

可得對應之

_v,

作

_{(∗ ∗ ∗)}

式之圖。

v

u

圖二、

^∵ u = x

²

≥ 0, v = y

²

≥ 0, ∴

將圖 一之圖形取第一象限之部分。

v

u

圖三、 取

₍ ^√ _u, ^√ _{v ), (−} ^√ _u, ^√ _{v ), (−} ^√ _u,

− √ v), ( √

u, − √

v)

之點

_,

所成圖形即為所求

₍

參 見伍、 討論二

₎

。

二、 過橢圓 b ² x ² + a ² y ² = a ² b ² 上兩 點 P (a cos φ, b sin φ), Q(a cos φ + θ), b sin(φ + θ)) (θ 為定角 0 < θ <

π) 作兩切線之交點軌跡。

提要: 所得軌跡是一個橢圓 ^x2

( ^a

cosθ 2

)²

+₍ ^yb2

cosθ 2

2) = 1

y Q(a cos(φ + θ), b sin(φ + θ))

P (a cos φ, b sin φ)

θ φ a x

b

圖五

內容: 如上圖, 過 P 點之切線為

acos φ

a² x+ ^{bsin φ}_b2 y= 1 化簡得

bcos φx + a sin φy = ab (1) 同理, 過 Q 點之切線為

bcos(φ + θ) ·x+a sin(φ+θ). y = ab (2) (1),(2) 之交點為

x=

     

ab asin φ ab asin(φ + θ)

      

    

bcos φ asin φ bcos(φ + θ) asin(φ + θ)

     

= a ×sin(φ + θ) − sin φ sin(φ + θ − φ)

= a ×2(cos^2φ+θ₂ ) · sin^θ2

2 sin^θ₂ · cos^θ₂

=a· cos(φ + ^θ₂) cos^θ₂ 同法

y=

     

bcos φ ab bcos(φ + θ) ab

      

    

bcos φ asin φ bcos(φ + θ) asin(φ + θ)

     

=b· sin(φ + ^θ2) cos₂^θ

∴

x· cos ^θ2

a = cos(φ + θ

2) (3) y· cos ^θ₂

b = sin(φ + θ

2) (4) (3)² + (4)² : ^xa

cosθ 2

!

2

+ ^yb

cosθ 2

!

2

= 1 是 一橢圓。

伍、 討論

一、(∗ ∗ ∗) 式 (一) 在 (∗ ∗ ∗) 式:

u²+2uv+v²−2(a²+b²+2b²cot²θ)u

−2(a²+ b²+ 2a²cot²θ)v +4a²b²cot²θ+ (a²+ b²)² = 0 的圖形中, 若將座標軸旋轉 45^◦, 可得一 拋物線如下:

h

u^′− (a²+ b²)(cot²θ+ 1)

√2

i

2

=√

2(a²− b²) cot²θ

·

^h

v^′+(a²+b²)²cot²θ+2a⁴+2b⁴ 2√

2(a²−b²)

i

(註) (二) 承 (一), 控制此拋物線開口大小的是

|√

2(a²−b²) cot²θ|, 所以當 θ 越接近 ^π₂, 或 a 越接近 b, 此拋物線將越接近一直線 (拋物線之對稱軸), L : u + v = k > 0, 亦即 x²+ y² = k > 0, 因此交點軌跡越 接近一個圓, 見圖六。

特款: 當 θ = ^π₂ 或 a = b 時, u, v 圖形 為一直線, 交點軌跡是一個圓。

v

u

圖六

(三) 當 a > b 時, 所得圖形如圖六, 但 a < b 時, 拋物線開口向右下方, 為了 簡化問題, 且因為可將原來橢圓之長軸旋 轉至 x 軸上, 故交點軌跡之形狀並未改 變, 所以在本探討中, 皆定義原來之橢圓 為 ^x_a²2 + ^y_b²² = 1, 且 a > b。

二、 圖三所得圖形有內外兩圈, 原因如下:

(一) 兩切線相交時夾角有兩個 (此兩角互補)。

(二) 導出的軌跡方程式, 與夾角有關的只有 cot²θ 項, 因此互補的兩角代入後產生共 同的圖形。

陸、 結論

一、 與橢圓 b²x² + a²y² = a²b²(a > b) 相 切, 且交角為 θ 之兩切線, 所作交點軌跡 的方程式為

(x²+ y²− a²− b²)²

= 4 cot²θ(b²x²+ a²y²− a²b²)

交點軌跡亦是一斜拋物線 (∗ ∗ ∗) 之 u, v 坐標開平方根之後所得的圖形。

二、 過橢圓 b²x² + a²y² = a²b² 上兩 點 P (a cos φ, b sin φ), Q(a cos(φ+θ), bsin(φ + θ)), 作兩切線, 則其交點軌跡 為一個橢圓:





x

a cos^θ₂





2

+





y

b cos^θ₂





2

= 1

註: 所謂“旋轉”係指坐標軸繞原點旋轉之意, 如下圖, 將 x, y 軸繞原點 O 旋轉一角 β 至 x^′, y^′ 之位置, 則 x^′, y^′ 軸亦可建立一新的坐 標系, 設單位長不變, 則對坐標平面上任一點 P, 其原坐標 (x, y) 與新坐標 (x^′, y^′) 有如 下之關係:







x= x^′cos β − y^′sin β y= x^′sin β + y^′cos β

y P(x, y) y^′

(x^′, y^′)

β x^′

α

β x

O

其次可藉旋轉將二次錐線 Ax² + Bxy +Cy²+ Dx + Ey + F = 0 的“xy”項消掉, 步驟如下: 設旋轉的角度 β (通常 0 < β <

π

2), 原坐標 (x, y), 新坐標 (x^′, y^′), 則由上述 公式:







x= x^′cos β − y^′sin β y= x^′sin β + y^′cos β

代入錐線中, 整理, 並利用二倍角公式可得:

(A cos²β+B

2 sin 2β + C sin²β)x^′2 +[(C − A) sin 2β + B cos 2β]x^′y^′ +(A sin²β−B

2 sin 2β + C cos²β)y^′2 +(D cos β + E sin β)x^′

+(−D sin β + E cos β)y^′+ F = 0 上式 x^′y^′ 之係數為零的充要條件為 (C − A) sin 2β + B cos 2β = 0 即 cot 2β =

A−C

B , 因此只要取旋轉的角 β 滿足 cot 2β =

A−C

B , 就能將方程式中的第二項消掉。

柒、 參考資料

1. 聽笑話學數學, 洪鋕雄編著, 77年8月協進圖 書有限公司出版, 113∼115頁。

—羅美音就讀於國立成功大學建築學系一年 級_,蘇映竹就讀於嘉義女中三年級—