−z 5的所有點z所成的圖形為？ (A)一直線 (B)一圓 (C)一橢圓 (D)一雙曲線 4

(1)

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臺灣警察專科學校專科警員班第二十五期（正期學生組）新生入學考試甲組數學科試題

壹、單選題：（一）三十題，題號自第 1 題至第 30 題，每題二分，計六十分。

（二）未作答者不給分，答錯者倒扣該題分數四分之一。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

1. 設a、b∈N, 2a² −b除以 5 餘 2，a除以 5 餘 3，則b除以 5 的餘數為？

(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1 2. 一直線 L 過點（2，3）且在第一象限內與兩坐標軸所圍成的三角形面積之最小值為？

(A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) ²⁵

2 3. 在複數平面上，滿足 z i− = −z 5的所有點z所成的圖形為？

(A)一直線 (B)一圓 (C)一橢圓 (D)一雙曲線

4.

2 2

2 3 1

lim 3 2 5

n

n n

→∞

− + +

− + =？

(A) ² 3

− (B) ³

2

− (C)¹

5 (D)²

3 5. 設x為實數，若無窮數列

(

^{1 2}⁻ ^x

)

ⁿ ^收斂，則^x^{的範圍為何？}

(A)0< <x 1 (B)0< ≤x 1 (C)0≤ <x 1 (D)0≤ ≤x 1

6. 有一無窮數列 a_n ，其一般項

1 n n

k

a k

=

∑

^, ⁿ^∈^N^{, 則}

1

n an

∞

∑

= ^＝？

(A)¹

4 (B)¹

2 (C) 1 (D) 2

7. 設 ^{f x}

( )

^{為一實係數多項式，若} ^f

(

^{3 4}⁻ ⁱ

)

^{+ =}⁶ ⁰^，則 ^f

(

^{3 4}⁺ ⁱ

)

⁺²^＝？

(A) 8 (B) –4 (C)− +4 4i (D)8 8i+ 8. 設α 、β 、γ 為方程式x³−3x²+ − =x 4 0之三根，則

(

¹⁻^α

)(

¹⁻^β

)(

¹⁻^γ

)

^之值為？

(A) –5 (B) –1 (C) 4 (D) 9

9. 計算7⁷ − ⋅ + ⋅ − ⋅ +8 7⁶ 9 7⁵ 17 7⁴ 20 7⋅ + ⋅ + ⋅ +³ 6 7² 8 7 2＝？

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9

10. 不等式

(

^log^x

)

² ^<^log^x²^{的整數解有多少個？}

(A) 98 (B) 99 (C) 100 (D) 101 11. 若4^x− ⋅ + =8 2^x 2 0之兩根為α 、β ，則α β+ ＝？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

※請接背面

(2)

第二頁（共四頁）

12. 若0

4 θ π

< < ，則 1 sin 2− θ − 1 sin 2+ θ ＝？

(A)2 sinθ (B)−2 sinθ (C)2 cosθ (D)−2 cosθ

13. ∆ABC中，若AB= 10, BC= 5, CA=5，則∆ABC的最大內角度數為？

(A)45° (B)60° (C)120° (D)135°

14. ∆ABC中，若cosAcosB=sinAsinB，則∆ABC為何種三角形？

(A)正三角形 (B)銳角三角形 (C)直角三角形 (D)鈍角三角形 15. 設a=sin1, b=sin 2, c=sin 3，則關於a、b、c之大小順序，下列敘述何者正確？

(A)c> >b a (B)a> >b c (C)c> >a b (D)

b a c > >

16. 化簡tan tan¹ ⁴ 3

−  π 

 

 =？

(A)² 3

π (B)

3

π (C)

3

−π (D) ²

3

− π

17. 化簡

(

^{cos 70} ^{sin 70}

)(

^{sin 55} ^{cos 55}

)

cos 45 sin 45

i i

i

° + ° ° + °

° − ° ＝？

(A)¹ ³

2+ 2 i (B) ¹ ³ 2 2 i

− + (C) ³ ¹

2 +2i (D) ³ ¹ 2 2i

− +

18. 設| a | = 2, | b | = 1, | a + 2b | = 2，則 a 與 b 的夾角為？

(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°

19. 在坐標平面上，點^A

( )

^{1, 2} ^，點^B

(

⁻^{3, 4}

)

^，直線^L^{: 3}^x⁻⁴^y⁺¹⁰⁼⁰^，若^AB與直線 L 相交於 P 點，則AP PB: 之值為？

(A)¹

5 (B)¹

3 (C) 1 (D) 5

20. 設空間中，二平行平面E₁: 2x− +y 2z+ =3 0, E₂: 4x−2y+4z− =9 0，則E₁與E₂ 的距離為？

(A)¹

2 (B)⁵

2 (C) 2 (D) 4

21. 空間中，一直線

1

: 1

1

x t

L y t

z t

 = +

 = +

 = +



, t∈R，落在平面E x: +ay+2z=b上，a、b∈R，則數對

( )

^{a b}^, ^＝？

(A)（–1, 2） (B)（–2, 1） (C)（–3, 0） (D)（–4, –1）

22. 空間中，四點 A（1, －1, 0）、B（0, 1, 0）、C（2, 3, 4）、D（－1, 1, 3），則四面體 ABCD 的體積為？

(A)¹³

3 (B)²⁶

3 (C) 13 (D) 26

23. 坐標平面上，有一圓^C^:

(

^x⁺³

) (

²⁺ ^y⁻²

)

² ⁼⁹，自原點（0, 0），作圓 C 的切線段長為？

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 24. 坐標平面上，抛物線Γ:x²+ − − =x y 8 0與直線L: 5x− −y 12=0相切於點^{P a b}

( )

^, ^，則^{a b}⁺ ^＝？

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

※請接下頁

(3)

第三頁（共四頁）

25. 甲、乙、丙…等 6 個人排成一列，甲排在乙、丙之前的方法有幾種？

(A) 90 (B) 120 (C) 150 (D) 240

26. 一袋中，有 10 個球，編號自 1 到 10 號，若每一球被選取的機會均等，自袋中任意取三球，則三球中任兩 球不連號的機率為？

(A) ⁷

15 (B) ⁹

15 (C)¹²

15 (D)¹⁴

15

27. 一均勻骰子的 6 個面，點數分別為 1、1、2、2、3、3，將此骰子投擲四次，則此四次出現之點數和的 期望值為？

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 28. 若x+ + ≤y z 12，則x、y、z的非負整數解有多少組？

(A) 91 (B) 220 (C) 455 (D) 495 29. 設a、b、c、d∈R, a²+b² =4, c²+d² =9, 則ab cd+ 之最大值為？

(A) 13 (B)¹³

2 (C) 6 (D) 5

30. 設x、y、z均為正數, 且x+ + =y z 1, 則¹ ⁴ ⁹

x+ +y z之最小值為？

(A) 6 (B) 14 (C) 36 (D) 196

貳、多重選擇題：（一）共十題，題號自第 31 題至第 40 題，每題四分，計四十分。

（二）每題五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的，每題皆不倒扣，五個選項全部答對得該題全部分數，只錯一個選項可得一半分數，錯兩個或兩個以上選項不給分。

（三）請將正確答案以２Ｂ鉛筆劃記於答案卡內。

31. k∈R，若 x − =3 k，則關於此方程式的解，下列敘述何者正確？

(A)k <0時，無解

(B)k =0時，有四相異實數解 (C)0< k <3時，有四相異實數解 (D)k =3時，有三相異實數解 (E)k >3時，有三相異實數解

32. 下列五個函數的圖形，哪些與直線y=x恰交於一點？

(A)y=2^x (B) ¹ 2

x

y  

=    (C)y=log x (D)y= logx (E) ₁

10

log

y= x

33. 在空間中，下列敍述何者正確？

(A)平行於同一平面的兩相異直線必平行 (B)平行於同一直線的兩相異平面必平行

(C)過已知平面外一點，恰有一直線與此平面平行 (D)過已知平面外一點，恰有一平面與此平面平行 (E)過已知直線外一點，恰有一直線平行於此直線

※請接背面

(4)

第四頁（共四頁）

34. 圓 C：(x−3)²+(y−2)² =1 及一點 P(4,5)，則下列哪些選項中的直線過 P 點且與圓 C 相切？

(A)L1：3x–4y+8=0 (B)L2：4x–3y–1=0 (C)L3：3x+4y–32=0 (D)L₄：4x+3y–31=0 (E)L₅：x=4

35. 空間中，一點 A（4, －4, 4）及一球面S x: ²+y²+z²−2x−4y+4z=0，設點 A 到球面 S 的最小距離為 m，

最大距離為 M，則下列敍述何者正確？

(A) 2<m<5 (B) 5<m<8 (C) 8<M<11 (D) 11<M<14 (E) M=3m 36. 關於方程式

(

^x⁻³

) (

²⁺ ^y⁺²

)

² ⁻

(

^x⁺¹

) (

²⁺ ^y⁻¹

)

² ⁼^k^{所代表的圖形}^Γ^{，下列何者為真？}

(A)k =3時，Γ為一雙曲線 (B)k =4時，Γ為一橢圓 (C)k =5時，Γ為兩射線 (D)k =6時，Γ為一線段 (E)k =7時，Γ圖形不存在

37. 把「庭院深深深幾許」七個字全取而排成一列，則下列敘述何者正確？

(A)任意排列，共有 840 種排法

(B)使其中三個「深」字完全連在一起的排法共有 360 種 (C)使其中三個「深」字完全分開的排法共有 360 種

(D)使其中三個「深」字恰有兩個「深」相鄰的排法共有 480 種 (E)使其中三個「深」字不完全連在一起的排法共有 720 種 38. 設 A、B 為兩獨立事件，且

( )

⁷

P A =12,

( )

¹⁹

P A∪B = 24，則：

(A)

( )

¹

P B =2 (B)

( )

⁷

P A B = 24 (C)

( )

⁵

P A′ ∩B = 24 (D)

( )

⁵

P A B′ =12 (E)

( )

⁵

P A B′ ′ =12

39. 關於二次曲線Γ:xy=4，下列敘述何者正確？

(A)Γ為一抛物線 (B)Γ為一橢圓 (C)Γ為一雙曲線 (D)Γ兩焦點距離為 8 (E)Γ的正焦弦長為4 2 40. 設矩陣 ¹ ³

1 3

A x

x

 − 

=  − ，則下列那些選項中的x值，使得矩陣 A 的乘法反矩陣存在？

(A)x=0 (B)x=1 (C)x=2 (D)x=3 (E)x=4