第二节
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
且在 D 上连续时 ,
0 )
,
(
x y
当被积函数
f
b x
a
x y
D
(x
) ( ):
1 2
D f
(x
,y
) dx
dy
a b
dx
12( ( x x ) ) f
(x
,y
)dy
由曲顶柱体体积的计算可知 ,
若 D 为
X –
型区域则
)
1 ( x y
)
2 ( x y
b x o
y
D a x
若 D 为 Y – 型区
域
d y
c
y x
D
(y
) ( ):
1 2 y
)
1 ( y x
)
2 ( y x
x d
c o y x
y x
y f
y )
( , )d( ) (
2
1 c d
dy
D f
(x
,y
) dx
dy
则o x y
说明 : (1) 若积分区域既是 X– 型区域又是 Y – 型区 域 ,
D f
(x
,y
) dx
dy
为计算方便 , 可选择积分序 , 必要时还可以交换积分 序
.
)
2 ( x y
o x y
D a b
)
1 ( y
x d x 2 ( y )
c
则有x
)
1 ( x y
y y y
x
x f
x )
( , )d( ) (
2
1
b
a
dx
x y
x
y f
y )
( , )d( ) (
2
1
d
c
dy
(2) 若积分域较复杂 , 可将它分成若干
D 1 D 2 D 3
X-
型域或 Y- 型域 ,
D
D
1 D
2 D
3则
x y
2 1
1
x y
o
2例 1. 计算
I
Dx
2y d ,
其中 D 是直线 y ＝ 1, x ＝ 2 , 及y
＝ x 所围的闭区域 .x
y
例 2. 计算
D x y
d
, 其中 D 是抛物 线x y 2
所围成的闭区域 .解 : 为计算简便 , 先对 x 后对 y 积 分 ,
:
D
x d y x
D x y
d
2 1
dy
2
1
2 2
1 2 x y y
2 dy
y
12 2 1
[y
(y
2)2
y 5
] dy
1 2 6
2 1 3
4 4
2
1
4 3 2 6
y y y y
8
45
D
x y 2
2 y x
2
1 o 4
y
x
y
2
x
y
2y
2 1
y
y 2
2 y
2
x
y
及直线
则
例 3. 计算 sin d d ,
D x x x y
其中 D 是直线y
x
,y
0,所围成的闭区域 .
o x
y
D
x x y
解 : 由被积函数可知因此取 D 为 X – 型域 :,
x
x D y
0 : 0
D x y
x
x
d dsin
0 x
dy
0
sinx
dx
cos
0
x
2
0
sin dx x
x
x
先对 x 积分不行 ,
说明 : 有些二次积分为了积分方便 , 还需交换积分顺 序 .
例 4. 交换下列积分顺序
2
2
8 0 2
2 2 2
0 2
0
d ( , )d dx
( , )dx
y y
x f x
y y
x f x
I
解 : 积分域由两部分组成 : 2 ,
0
: 0
1 2 2
1
x
x D y
2
8
2
y
x
D
22 2
y
x
o 2
D
1 2 12x y
2
2 2
2
8
: 0
2
2 x
x D y
2
1 D
D
D
将
:
D
视为 Y– 型区域 ,
则
2
8
2
y
x
y
20 y
D f x y x y
I
( , )d d 0 2
dy 2 8 y y
2f
(x
,y
)dx
x
y
o
k k
k r
r
k k
k k
k
k r r
cos , sin 对应有二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下 , 用同心圆
r =
常 数则除包含边界点的小区域外 , 小区域的面 积
k
k k
k k
k r r r
r
2 1
[ ( )]) , ,
2 , 1
(
k n
k
在
k
(r k
, k
),
k
k
k
r k
r
k
k
r k
1 2 2
内取点
k k
k r
r
2 1
( )2
及射线
= 常数 , 分划区域 D 为r k r k
k
k
r k
k k
k k
k k
k n
k
r r
r r
f
( cos , sin )lim
0 1
k k
n
k
f k
( , )lim
0 1
D f
(x
,y
)d r
d r d
即
D f
(r
cos
,r
sin
)
d
r
dr
dr
d
D
o
)
1 (
r
)
2 (
r
)
1 (
r
o
)
2 (
( ( ) ) r
2 1
d ) sin ,
cos
(
f r r r r
设 ( ) ( ),
:
1 2
r
D
则 D f
(r
cos
,r
sin
)r
dr
d
d
特别 ,
对
2 0) ( : 0
r
D
D f
(r
cos
,r
sin
)r
dr
d
0 ( ) f
(r
cos
,r
sin
)r
dr
2
0
d) (
r o
D
若 f ≡1 则可求得 D 的面
积
(
) d
21
2
0
2
D
d思考 : 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原 点 , 试
答 : (1) 0
;) (
r o D
y
x
)(
r D o y
x
问
的变化范围是什么 ?(1) (2)
2 ) 2
2
(
例 6. 计算
D e x
2 y
2 dx
dy
, 其中D
:x 2
y 2
a 2
. 解 : 在极坐标系下 ,
2 0
: 0
a D r
原式
D a r e r
dr
0
2
r a
e
0
2
2 2 1
(1e a 2
)x 2
e
的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角r 2
e r
d r d
0 2
d
由于
故
坐标计算 .
注 :利用例 6 可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
d 2
0
2
e x x
事实上 , 当 D 为 R
2
时 , D y
x x y
e 2 2
d d e x 2
dx e y 2
dy
2
0
d4
2
e x x
利用例 6 的结果 , 得
) 1
( lim
d
4
2 2 2
0
a a
x x e
e
①
故①式成立 .
例 7. 求球体
x 2
y 2
z 2
4 a2
被圆柱面x 2 y 2 2 a x
)0
(
a
所截得的 ( 含在柱面内的 ) 立体的体积 . 解 : 设由对称性可知
D
: 0 r
2a
cos
, 0
2
d d4
4
a 2 r 2 r r V
D
2
0
d4
0 2 a cos
4a 2
r 2 r
dr
d ) sin
1 3 (
32
2
0
3
3
a
)3 2 ( 2
3
32
3
a
o x
y z
a
2
内容小结
(1) 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 :
•
若积分区域为
(x
,y
)a x b
,y 1
(x
)y y 2
(x
)
D
则
D f
(x
,y
)d
a b
dx y y 1 2 ( ( x x ) ) f
(x
,y
)dy
•
若积分区域为
(x
,y
)c y d
,x 1
(y
)x x 2
(y
)
D
则
x
y
)
1 ( y x x
D
d c
)
2 ( y x
x
D f
(x
,y
)d
c d
dy x x 1 2 ( ( y y ) ) f
(x
,y
)dx
)
1 ( x y y
)
2 ( x y
y
x y
a b
D
( ,
)
, 1
(
) 2
(
)
r r
D
D f
(x
,y
)d
D f
(r
cos
,r
sin
)则
( )
) (
2 1
d ) sin
, cos (
d
f r r r r
极坐标系情形 : 若积分区域为
d d rr
D o
)
1 (
r
)
2 (
r
(3)
计算步骤及注意事项• 画出积分域
• 选择坐标系
• 确定积分序
• 写出积分限
• 计算要简便
域边界应尽量多为坐标线
被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少
累次积好算 图示法
不等式
充分利用对称性 应用换元公式
ax y
2 解：原式
a y
0
d a 2 a
dy
2
ax x 2
y
2
2 y
a a
x
Ex: 1.
给定 改变积分的次序 .) 0 (
d ) , (
2
d0
2
2 2
x f x y y a
I a ax
x ax
a y
0
d
2 2
22
d ) ,
y
(a a
a
y f x y x
a 2 a a 2 y 2 f
(x
,y
) dx a
a
y 2 f x y x
2
2 ( , )d
a
x
2 y 2
2
a
a
2a
o x
y
2
3
1
6
sin 4
r
y x
y
D
(x 2
2
)d d
2 4 sin sin
2 r
d rr
y y
x 2
2
4y y
x 2
2
20 3
y
x
2.
计算 其中 D 为由圆所围成的 ,
d d
)
(
x 2 y 2 x y
D
x 2
y 2
2y
,y y
x 2
2
4 及直线x 3 y 0 , y
3x
0 解：平面闭区域 .
0 3
x
y
sin 2
r
o x
y
2 4
3
6
d
