第五回 多項式(1)
基本性質與運算
高中基礎數學統整講義
一、二次函數(含單項函數)
1. 二次函數二次函數二次函數二次函數：：：：
若兩個變數 x，y 之間的關係可以表成 y＝ax2＋bx＋c ( a，b，c 是常數，a≠0 )，則 y 就稱為 x 的二次函數二次函數二次函數。二次函數。。。
2. 二二二二次函數的圖形次函數的圖形次函數的圖形次函數的圖形：：：：
二次函數 y＝ax2的圖形是拋物線。
(1) 頂點在原點 ( 0，0 )，對稱軸是 y 軸。
(2) a 大於 0 時，開口向上；a 小於 0 時，開口向下。
(3)| a |愈大，開口愈小；| a |愈小，開口愈大。
(4) y＝ax2的圖形與 y＝－ax2的圖形對稱於 x 軸。
3. 二二二二次函數次函數次函數次函數圖形圖形的圖形圖形的的的特徵特徵特徵特徵：：：：
二次函數 y＝f (x)＝ax2＋bx＋c＝a ( x－h )2＋k 的圖形Γ可由 y＝ax2的圖形平移而得，故其圖 形Γ也是一條拋物線。
(1)(i) a＞0，開口向上 (ii) a＜0，開口向下
(2)頂點 V ( h，k )＝( －b
2a , 4ac－b2
4a )，對稱軸：x＝－b 2a 。 4. 二二二二次函數次函數次函數次函數各係數各係數的各係數各係數的的的影響影響影響影響：：：：
利用【數學實驗室】觀察二次函數 y＝f (x)＝ax2＋bx＋c 中，a, b, c 各係數的影響：
(1) 函數圖形的【樣子】(拋物線的開口方向與開口大小)只受 a 的影響。
(2) 函數圖形的【位置】(拋物線的頂點)同時受 a, b, c 的影響。
(3) 函數圖形必過( 0, c )。
5. 奇函數與偶函數奇函數與偶函數奇函數與偶函數奇函數與偶函數：：：：
(1)對定義域內每一點 x，若函數 f (x) 恆有 f (－x )＝－f (x)，則稱 f (x) 為奇函數奇函數奇函數。奇函數。。 。 (2)對定義域內每一點 x，若函數 f (x) 恆有 f (－x )＝f (x)，則稱 f (x) 為偶函數偶函數偶函數。偶函數。。 。 6. 奇函數與偶函數圖形的幾何意義奇函數與偶函數圖形的幾何意義奇函數與偶函數圖形的幾何意義奇函數與偶函數圖形的幾何意義：：： ：
(1)奇函數的圖形，對稱於原點 ( 0，0 )，如右圖。
(2)偶函數的圖形，對稱於 y 軸，如下圖。
【例題 1】如下圖是一座拋物線形的拱橋﹐寬為 24 公尺﹐最高點 S 離地面 8 公尺﹐中間有一根 支撐柱PQ的高度為 6 公尺﹐試求此支撐柱與拱橋邊緣較近的距離AP之長。[6 公尺]
解：
【類題 1】設二次函數y=4x−x2與 x 軸圍出一內接長方形 ABCD﹐如圖﹐又點 A 坐標為( , 0)t ﹐ 試求長方形 ABCD 周長最大值。[10]
解：
【例題 2】設二次實係數多項式函數 f (x)＝ax2＋2ax＋b 在區間－1 ≤ x ≤ 1 上的最大值為 7、最 小值為 3，試求( a , b )的所有可能值。[(1, 4) 或 (－1, 6)] 【【【【101.指考乙指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
【類題 2a】設 f (x)＝x2＋a ( 1－x2 ) 為一實係數多項式函數，a 為常數。下列敘述何者正確：[(2)(4)]
(1) 不論 a 是何值，f (x) 的函數圖形都不可能是直線
(2) 不論 a 是何值，若 f (x) 有極值，極值都等於 a (註：極大值與極小值統稱極值)
(3) 0 有可能是 f (x) 的極大值 (4) 若 a≠0，則 f (x)＝0 無重根 【【【【94.指考甲指考甲指考甲指考甲】】】】 解：
【類題 2b】設 f (x) 為實係數二次多項式，且已知 f (1)＞0、f (2)＜0、f (3)＞0。令 g (x)＝f (x)＋( x－2 ) ( x－3 )，請選出正確的選項。[(3)(4)]
(1) y＝f (x) 的圖形是開口向下的拋物線 (2) y＝g (x) 的圖形是開口向下的拋物線 (3) g (1)＞f (1) (4) g (x)＝0 在 1 與 2 之間恰有一個實根
(5) 若 α 為 f (x)＝0 的最大實根，則 g (α)＞0 【【【【103.學測學測學測學測】】】】 解：
【類題 2c】設 a＜b＜c。已知實係數多項式函數 y＝f (x) 的圖形為一開口向上的拋物線，且與 x 軸交於 ( a , 0 )、( b , 0 ) 兩點；實係數多項式函數 y＝g (x) 的圖形亦為一開口向上的拋物線，
且跟 x 軸相交於 ( b , 0 )、( c , 0 ) 兩點。請選出 y＝f (x)＋g (x) 的圖形可能的選項。[(4)(5)]
(1)水平直線 (2)和 x 軸僅交於一點的直線 (3)和 x 軸無交點的拋物線 (4)和 x 軸僅交於一點 的拋物線 (5)和 x 軸交於兩點的拋物線 【【【102.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 2d】若 a 為整數，且 y＝－7x2＋ax＋1
3 的圖形與 x 軸的兩個交點都介於 x＝－1 與 x＝1 之間，則滿足這樣條件的 a 有 個。[13] 【【【104.指考乙【 指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
【類題 2e】設 f (x)為二次實係數多項式，已知 f (x)在 x＝2 時有最小值 1 且 f ( 3)＝3，請問 f ( 1) 之值為下列哪一選項？[(3)]
(1)5 (2)2 (3)3 (4)4 (5)條件不足，無法確定 【【【105.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【例題 3】設 f (x)＝( x－1 )2＋( x－2 )2＋( x－3 )2＋( x－4 )2＋( x－5 )2，試求 f (x) 的最小值及對 應的 x 值。[x＝3，最小值 10]
解：
【類題 3a】設a b, 都是實數﹐且二次函數 f x( )=a x( −1)2+b滿足f(4)>0, f(5)<0﹐則 (1), (0), ( 1), ( 2), ( 3), ( 4)
f f f − f − f − f − 的值中﹐哪些是正數﹐哪些是負數？
[正數： f(1)﹐ f(0)﹐ f −( 1)﹐ f −( 2)；負數：f −( 3)﹐f −( 4)] 解：
【類題 3b】設 m，n 為小於或等於 4 的相異正整數且 a，b 為非零實數。已知函數 f (x)＝axm與 函數 g (x)＝bxn的圖形恰有 3 個相異交點，請選出可能的選項。[(1)(3)]
(1) m，n 皆為偶數且 a，b 同號 (2) m，n 皆為偶數且 a，b 異號 (3) m，n 皆為奇數且 a，b 同號 (4) m，n 皆為奇數且 a，b 異號
(5) m，n 為一奇一偶 【【【【106.學測學測學測學測】】】】 解：
二、多項式及其運算
1. 多項式的定義多項式的定義多項式的定義多項式的定義：：：：
設 n 是正整數或 0，而 a0，a1，…，an是 (n＋1) 個給定的常數。凡可寫成 an xn＋an－1 x n－1＋…＋a1 x＋a0形式的式子，稱為 x 的多項式多項式多項式多項式。
2. 非非非非多項式多項式多項式多項式的代數式的代數式的代數式的代數式：：：： 形如下列的式子：
(1) x＋ 1
x ， x＋1
x－1 － x－1
x＋1 ，分母含有變數 x，它們都是分式分式分式分式。
(2) x－ x ， 3
x＋ x ，根號內含有變數 x，它們都是根式根式根式根式。分式與根式都不是多項式分式與根式都不是多項式分式與根式都不是多項式分式與根式都不是多項式。
3. 多項式的多項式的多項式的多項式的次數次數次數次數：：：：
一個多項式的次數次數次數次數是指各單項式次數中的最大次數，f (x) 的次數的次數的次數的次數簡記為 deg f (x)。0 稱為零稱為零稱為零稱為零 多項式
多項式 多項式
多項式，規定為「沒有次數沒有次數沒有次數沒有次數」。 零次多項式
零次多項式 零次多項式
零次多項式與零多項式零多項式零多項式零多項式合稱為常數多項式常數多項式常數多項式常數多項式。
4. 整係數多項式整係數多項式整係數多項式整係數多項式：：：：
各項係數都是整數的多項式，簡稱為整係數多項式整係數多項式整係數多項式整係數多項式，，，，同樣可以定義 有理係數多項式
有理係數多項式 有理係數多項式
有理係數多項式、、、、實係數多項式實係數多項式實係數多項式實係數多項式。
5. 多項式多項式多項式多項式的除法原理的除法原理的除法原理的除法原理★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★：：： ：
設 f (x) 與 g (x) 是給定的兩個多項式，且g(x)≠0，用 f (x) 除以 g (x)，恰有恰有恰有恰有一組多項式 q (x)，
r (x)，使得 f (x)＝g (x)‧q (x)＋r (x)【被除式被除式被除式被除式＝＝＝＝除式除式除式除式××商××商商商＋＋＋＋餘式餘式餘式餘式】， 其中 r (x)＝0 或 deg r (x)＜deg g (x)【餘式餘式餘式餘式＝＝＝＝００００或其次數低於除式或其次數低於除式或其次數低於除式或其次數低於除式】， 此時滿足上式的 q (x)、r (x) 分別稱為 f (x) 除以 g (x) 的商商商商、、、、餘式餘式餘式餘式。。。 。
【例題 4】設 f (x)＝2x3＋5x2＋x－2，g (x)＝2x－1，試求 f (x) 除以 g (x)的商式及餘式。
解：
【類題 4】設 f (x)＝x5＋1，g (x)＝x＋1，試求 f (x) 除以 g (x) 的商式 q (x) 及餘式 r (x)。
[q (x)＝x4－x3＋x2－x＋1，r (x)＝0 ] 解：
【例題 5】設多項式 f(x)以 a
x −b除之得商式q( x)，餘式 r，試求下列各小題之商式與餘式：
(1)以ax − 除b f(x) (2)以x − 除b ( ) a
f x (3)以a2x−b除 f(ax)
(4)以x−1除 ( ) a
f bx (5)以ax − 除b af(x)
解：
【類題 5】設多項式 f(x)以ax+b a( ≠0)除之得商q( x)，餘式 r，試求以 a
x + b除x2 f(x)之商與
餘式。[ r
a x b x q
ax2 ( )+( − ) ； r a b
2 2
] 解：
6. 餘式定理餘式定理餘式定理餘式定理：：：：
設 f (x) 是一個 n 次多項式 ( n ≥ 1 )，且 a≠0，則 (1) f (x) 除以 x－c 的餘式為 f (c)。
(2) f (x) 除以 ax－b 的餘式為 f ( b a )。
(3) f (x) 除以 ax＋b 的餘式為 f ( －b a )。
【例題 6】已知多項式 f (x) 除以 x2－x＋3 的餘式為 x－2，且 g (x) 除以 x2－x＋3 的餘式為 2x＋5，求 f (x)．g (x) 除以 x2－x＋3 的餘式。
解：
【類題 6】設 2x4＋7x3＋ax2－8x－b
x2＋3x＋1 能化成 x 的多項式，試求 a，b 之值，並求此多項式。
[a＝2，b＝3；2x2＋x－3]
解：
【例題 7】設多項式 f (x) 被 x2－1 除後的餘式為 3x＋4，且已知 f (x) 有因式 x。試求 f (x) 被 x ( x2－1 ) 除後的餘式。
解：
【類題 7】設多項式 f (x) 除以 x2－5x＋4 及 f (x) 除以 x2－5x＋6 所得餘式分別為 x＋2，3x＋4，
求 f (x) 除以 ( x－1 ) ( x－2 ) ( x－3 ) 的餘式。[－2x2＋13x－8]
解：
【例題 8】若多項式 x2＋x＋2 能整除 x5＋x4＋x3＋px2＋2x＋q，則
p＝ ，q＝ 。[3，8] 【【【94.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 8】若 f (x)＝x3－2x2－x＋5，則多項式 g (x)＝f ( f (x) ) 除以 ( x－2 ) 所得的餘式為
(1) 3 (2) 5 (3) 7 (4) 9 (5) 11 [5] 【【【92.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【例題 9】設 f (x)＝ax6－bx4＋3x－ 2 其中 a，b 為非零實數，則 f (5)－f (－5)之值為
(1)－30 (2) 0 (3) 2 2 (4) 30 (5)無法確定(與 a，b 有關) [(4)] 【【【【96.學測學測學測學測】】】】 解：
【類題 9】學生練習計算三次多項式 f (x)除以一次多項式 g (x)的餘式，已知 f (x)的三次項係數 為 3，一次項係數為 2，甲生在計算時把 f (x)的三次項係數錯看成 2（其它係數沒看錯），乙 生在計算時把 f (x)的一次項係數錯看成－2（其它係數沒看錯）。而甲生和乙生算出來的餘式 剛好一樣。試問 g(x) 可能等於以下哪些一次式？
(1) x (2) x－1 (3) x－2 (4) x＋1 (5) x＋2 [(1)(3)(5)] 【【【【95.學測學測學測學測】】】】 解：
7. 因因因因式定理式定理式定理式定理：：：：
設 f (x) 是一個 n 次多項式 ( n ≥ 1 )，且 a≠0，則 (1) x－c 是 f (x)的因式 ⇐ f (c)＝0。
(2) ax－b 是 f (x)的因式 ⇐ f ( b
a )＝0。
(3) ax＋b 是 f (x)的因式 ⇐ f ( －b
a )＝0。
【例題 10】設 , ,a b c∈N且 a＞b＞c，若 x－c 為 x ( x－a ) ( x－b )－7 之因式，試求 a，b，c 之 值。[a＝8，b＝2，c＝1]
解：
【類題 10】設 f (x) 為三次多項式，且 f (2)＝f (3)＝5，f (0)＝11，f (1)＝9，試求 f (4) 之值。[15]
解：
【例題 11】設 f (x)＝8x3－12x2＋4x＋1，試求 f (1.501)之近似值(四捨五入至三位小數)。
解：
【類題 11】設 f x( )=8x3+2x+6，試求 f(0.49)至小數第二位。[7.92]
解：
【例題 12】設
12 4
1 +
x= ，試求x4 +x3 +x2 + x+5之值。[
4 3 24 − ]
解：
【類題 12】試求 4 ( 3＋2 2
2 )4－8 ( 3＋2 2
2 )3－15 ( 3＋2 2
2 )2＋15 ( 3＋2 2
2 )－4 之值。
[2 2] 解：
【例題 13】多項式 4 ( x2＋1 )＋( x＋1 )2 ( x－3 )＋( x－1 )3等於下列哪個選項？[(5)]
(1) x ( x＋1 )2 (2) 2x ( x－1 )2 (3) x ( x－1 ) ( x＋1 ) (4) 2 ( x－1 )2 ( x＋1 )
(5) 2x ( x－1 ) ( x＋1 ) 【【【100.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 13a】設 a，b，c 為實數，且二次多項式 f (x)＝ax ( x－1 )＋bx ( x－3 )＋c ( x－1 ) ( x－3 ) 滿足 f (0)＝6、f (1)＝2、f (3)＝－2。請問 a＋b＋c 等於下列哪一個選項？[(2)]
(1) 0 (2) 2/3 (3) 1 (4) －1/2 (5) －4/3 【【【【102.指考乙指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
【類題 13b】假設多項式 f (x)＝2－2x＋4x ( x－1 )＋x ( x－1 ) ( x－2 ) g (x)，其中 g (x) 為一實 係數多項式。請選出一定正確的選項。[(1)(3)(4)(5)]
(1) f (x) 有 ( x－1 ) 的因式 (2) f (x) 沒有 ( x＋1 ) 的因式 (3) f (x) 被 ( x－2 ) 除的餘式等於 6 (4) 0 不是 f (x)＝0 的根
(5) 通過 ( 0 , f ( 0 ) )、( 1 , f ( 1 ) )、( 2 , f ( 2 ) ) 的最低次插值多項式為 2－2x＋4x ( x－1 ) 【【【103.指考乙【 指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
【類題 13c】設 f (x) 為一實係數多項式，且 f (x) 除以 ( x－1 )( x－2 )2的餘式為( x－2 )2＋g (x)，
其中 g (x)為一次多項式。請選出正確的選項。[(1)(2)(4)]
(1) 若知道 f (1)及 f (2)，則可求出 g (x) (2) f (x) 除以 ( x－2 ) 的餘式是 g ( 2) (3) f (x) 除以 ( x－1 ) 的餘式是 g ( 1) (4) f (x) 除以 ( x－2 )2 的餘式是 g (x) (5) f (x) 除以 ( x－1 )( x－2 ) 的餘式是 x－2＋g (x) 【【【104.指考乙【 指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
【類題 13d】設 f (x) 為一未知的實係數多項式，但知道 f (x) 除以 ( x－5 ) ( x－6 )2的餘式為 5x2＋6x＋7。根據上述條件，選出正確的選項。[(4)(5)]
(1) 可求出 f (0) 之值 (2) 可求出 f (11) 之值
(3) 可求出 f (x) 除以 ( x－5 )2的餘式 (4) 可求出 f (x) 除以 ( x－6 )2的餘式
(5) 可求出 f (x) 除以 ( x－5 ) ( x－6 ) 的餘式 【【【【105.指考乙指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
【例題 14】坐標平面上，若拋物線 y = x2＋2x－3 的頂點為 C，與 x 軸交點為 A, B，則cos ACB∠ =？ [3/5] 【【【107.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 14】已知多項式 f (x) 除以 x2－1 的餘式為 2x＋1，試選出正確的選項。[(2)(3)(5)]
(1) f (0) = 1 (2) f (1) = 3
(3) f (x) 可能為一次式 (4) f (x) 可能為 4x4＋2x2－3
(5) f (x) 可能為 4x4＋2x3－3 【【【107.學測【 學測學測學測】】】】 解：
8. 一個一個一個一個 n 次函數由次函數由次函數由次函數由 n＋＋＋＋1 點唯一確定點唯一確定點唯一確定點唯一確定：：：： (1)一次函數 y＝ax＋b 由兩點唯一確定。
(2)二次函數 y＝ax2＋bx＋c 由三點唯一確定。
(3)n 次函數 y＝f (x) 由 n＋1 點唯一確定。
(4)設二次函數 y＝f (x) 圖形通過 ( x1 , y1 )，( x2 , y2 )，( x3 , y3 )三點，
則求 f (x)可用：(i)拉格朗日插值法(如下) (ii)待定係數法(牛頓插值多項式) 9. 拉格朗日拉格朗日拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值插值插值插值多項多項多項多項式式式式：：：：
(1)圖形通過(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)三點的二次插值多項式二次插值多項式二次插值多項式二次插值多項式為 f (x)＝b1‧ ( x－a2 ) ( x－a3 )
( a1－a2 ) ( a1－a3 ) ＋ b2‧ ( x－a1 ) ( x－a3 ) ( a2－a1 ) ( a2－a3 ) ＋ b3‧ ( x－a1 ) ( x－a2 )
( a3－a1 ) ( a3－a2 )。
(2)圖形通過(a1，b1)，(a2，b2)，(a3，b3)，(a4，b4)四點的三次插值多項式三次插值多項式三次插值多項式三次插值多項式為 f (x)＝b1‧ ( x－a2 ) ( x－a3 ) ( x－a4 )
( a1－a2 ) ( a1－a3 ) ( a1－a4 ) ＋ b2‧ ( x－a1 ) ( x－a3 ) ( x－a4 ) ( a2－a1 ) ( a2－a3 ) ( a2－a4 ) ＋ b3‧ ( x－a1 ) ( x－a2 ) ( x－a4 )
( a3－a1 ) ( a3－a2 ) ( a3－a4 ) ＋ b4‧ ( x－a1 ) ( x－a2 ) ( x－a3 ) ( a4－a1 ) ( a4－a2 ) ( a4－a3 ) 。
【例題 15】設三次函數 y＝f (x) 的圖形通過( 2 , 3 )，( 3 , 5 )，( 0 , 11 )，( 1 , 9 ) 四點，
(1)試用拉格朗日插值公式寫出 f (x) (2)試求 f (4) 之值。
解：
【類題 15】設 f (x) 是三次多項式，且 f (0)＝1，f (1)＝9，f (2)＝7，f (3)＝13，試求 f (4) 之值。
[45]
解：
【類題 16】設 二次函數y=mx2+10x+m+6的圖形都在直線y =2的上方，則 m 的範圍為：[(2)]
(1)m >0 (2)m > − +2 29 (3)0<m< − +2 29 (4)− −2 29<m< − +2 29 (5)m < − −2 29或
2 29
m > − + 。 【【【84.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 17】設 f x( )= x5 +6x4 −4x3 +25x2 +30x+20，則 f −( )7 =？ [6] 【 【【86.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 18】設 f x( )為 一 多 項 式 。 若 (x+1) ( )f x 除 以 x2+x+ 的 餘 式 為1 5x + ， 則3 f( )x 除 以
2 1
x +x+ 的 餘 式 為 何 ？[2x +5] 【 【【【87.學測學測學測學測】】】】 解：
【類題 19】設 ,a b 均 為 實 數 ， 且 二 次 函 數 f x( )=a x( −1)2+b滿 足 f ( )4 >0, f ( )5 <0， 則 下 列 何 者 為 真 ？ (1) f ( )0 >0 (2) f −( )1 >0 (3) f −( 2)>0 (4) f −( 3)>0
(5 ) f −( 4)>0。[(1)(2)(3)] 【 【【87.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 20】設 多 項 式 f x( )除 以 x2−5x+ ，餘 式 為4 x + ；除 以2 x2−5x+ ，餘 式 為6 3x + 。4
則 多 項 式 f x( )除 以 x2−4x+ ， 餘 式 為 何 ？3 [5x −2] 【【【【90.學測學測學測學測】】】】 解：
【類題 21】設 , ,a b c 為 實 數 ， 若 二 次 函 數 f x( )=ax2+bx+c的 圖 形 通 過(0, 1− )且 與 x 軸 相 切 ， 則 下 列 選 項 何 者 正 確 ？ (A)a <0 (B)b > 0 (C )c = − 1 (D)b2+4ac=0
(E )a+ + ≤ 。b c 0 [(A)(C)(E )] 【【【【90.學測學測學測學測】】】】 解：
【類題 22】設 , ,a b c 為 實 數 ， 且 二 次 函 數 f x( )=ax2+bx+c滿 足 f ( )−1 = −3, f ( )3 = −1,
2 4 0
b − ac< ， 則 ： (A)a <0 (B)c <0 (C) (0)f < f(1) (D) (4)f < f(5)
(E ) f( 3)− < f( 2)− 。[(A)(B)(C)(E )] 【【【【90.社數社數社數社數】】】】 解：
【類題 23】設 多 項 式 (x +1)6除 以 x + 的 餘 式 為 ax b2 1 + ， 求( , )a b 。[ ( 8, 0)− ]【【【【92.學測補考學測補考學測補考學測補考】】】】 解：
【類題 24】設 某沙漠地區某一段時間的溫度函數為 f t( )= −t2+10t+11﹐其中1≤ ≤t 10﹐則這段時 間內該地區的最大溫差為：(1) 9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5) 36。[(4)] 【【【96.學測【 學測學測學測】】】】 解：
【類題 25】某製造玩具工廠，每次接到訂單都需開模 5 萬元， 製造每一千個玩具材料費需 2 萬元，由此建立生產的基本成本函數 f (x)＝5＋2x，其中 x 以千個為單位。依過去經驗，接到 訂單數量與報價總值有如下關係：
以此資料建立一個二次函數的報價總值函數 g (x)，以及獲利函數 h (x)＝g (x)－f (x)。
(1)若接到訂單為20 千個，試問交貨時，每千個玩具的基本成本平均是多少萬元？[2.25]
(2)試求報價總值函數 g (x)。[−0.1x2+8x]
(3)根據 h (x)，試問訂單數量是 千個時，獲利總值最高為 萬元。[30，85]【【【【98.指考乙指考乙指考乙指考乙】】】】 解：
數量 ( 千個 ) 報價總值 ( 萬元 ) 5
10 15
37.5 70 97.5
【類題 26】設f x1( ), f x2( )為實係數三次多項式，g x( )為實係數二次多項式。已知 f x1( ), f x2( )除以 ( )
g x 的餘式分別為r x1( ), r x2( )。試選出正確的選項。[(1)(2)(5)]
(1)−f x1( )除以g x( )的餘式為−r x1( ) (2) f x1( )+ f x2( )除以g x( )的餘式為r x1( )+r x2( ) (3) f1( )x f x2( )除以g x( )的餘式為r1( ) ( )x r x2 (4) f x1( )除以−3 ( )g x 的餘式為 1 1( )
3 r x
−
(5) f x r x1( ) ( )2 − f x r x2( ) ( )1 可被g x( )整除。 【【【108.學測【 學測學測學測】】】】 解：
