《数学实验》第7讲

《数学实验》第7讲

主要内容：

符号计算基础

常用符号计算函数： compose limit diff int

taylor solve dsolve

符号计算基础

• 符号计算函数可以完成准确的推导、计算 如求导、求极限。

• 一般使用规则：

计算中的符号变量需要先定义

再调用符号计算相关函数进行处理。

• 符号计算部分功能

• 复合运算、变量代换及化简

• 线性代数：行列式，特征值等

• 微积分：求导，求极限，定积分，微 分方程的求解等。

快速入门：求极限，求导数

数学问题 MATLAB程序

syms x;

r=limit(exp(-x),x,+inf)

syms x;

d=diff(x*x*exp(x),x,1)

0 lim

=

+

→

x

x

e

x x

x

xe x e

e

x

) 2

(  = +

定义符号变量syms

• syms命令定义符号变量，可以一次定 义多个变量

• 一般用法：

syms arg1 arg2 …

syms arg1 arg2 … real

syms arg1 arg2 … positive

• 示例1：创建符号表达式x²+y² syms x y

f=x^2+y^2

示例2：创建符号数组f（2行2列）

syms x y

f=[x^2-2*x*y+y^2, x+y; x-y, x*y+y*y]

输出：

f =

[ x^2 - 2*x*y + y^2, x + y]

[ x - y, y^2 + x*y]

符号计算基础

定义符号变量sym

• 用于创建符号变量；也可将字符或数字转换为符号类型，sym 一次处理一个变 量或表达式。

• 基本用法：sym(A)

如果A是字符串，则产生一个符号数或变量；

如果A是数值标量或数值矩阵，则其转为符号类型。

示例： x1=sym('x1’), a=sym('sqrt(200)'), v=sym('[100 200]') 运行输出：

x1 = x1

a = 10*2^(1/2) v=[ 100, 200]

符号计算基础

定义符号变量用法比较

• syms与sym使用对比：

• 示例：使用syms定义（与下列调用sym语句效果相同）

• syms x y real

• 使用sym定义：

x = sym('x','real');

y = sym('y','real');

符号计算基础

符号表达式的替换subs

• subs函数将符号表达式中的符号变量用其他符号表达式或数 值代替，实现符号的替换。其使用格式为：

subs(s, old, new)

• 将s表达式中old变量替换为new。

old可以是单一变量，也可以是由s表达式中多个变量构成的向 量，new用来替换的符号表达式。

• 示例：

syms x y z

f=x^2+y^2+z^2

fval=subs(f,[x,y],[1,2])

运行结果：

f = x^2 + y^2 + z^2 fval = z^2 + 5

其他用法：

fval=subs(f,{'x','y'},{1,2}) fval=subs(f,{x,y},{1,2})

符号计算基础

符号表达式的化简

• simplify：对表达式进行化简

• 示例：

syms x y

s1 = simplify(cos(x)^2-sin(x)^2) s2 = simplify(x^3+3*x^2+3*x+1)

• 返回结果：

s1 = cos(2*x) s2 = (x + 1)^3

符号计算基础

符号计算精度及其数据类型转换（自看）

• digits:显示vpa计算结果的有效数字的位数

• digits(n):设置vpa计算结果的有效数字的位数

• vpa(s):计算符号表达式s的数值结果

• vpa(s,n):采用n位有效数字计算精度求s的数值结果

• double(s):将符号表达式s转化为双精度数值

• char(s):将符号表达式s转化为字符串

符号计算基础

示例：

• >> t=sqrt(sym(pi)), a=vpa(t), b=double(t), whos a b

t = pi^(1/2)

a = 1.7724538509055160272981674833411 b = 1.7725

Name Size Bytes Class Attributes a 1x1 112 sym

b 1x1 8 double

符号计算精度及其数据类型转换

符号计算基础

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

复合计算函数 compose

• 主要用法：

• compose(f, g): 返回复合函数f(g(y))，其中f=f(x),g=g(y).

x和y分别为f、g中找到的符号变量.

• compose(f, g, z): 返回复合函数f(g(z)), f=f(x), g=g(y),

x,y含义同上一种用法. 最后用指定变量z代替变量y.

• compose(f, g, x, y, z): 返回复合函数f(g(z)).

将x=g(y)代入f(x)中, 最后用指定的变量z代替变量y

• 示例：

syms

x y t

g = sin(y)^2

h = compose(f,g,x,y,t) 运行结果：

f = 1/(x + 1) g = sin(y)^2

h = 1/(sin(t)^2 + 1)

复合计算函数 compose

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

计算极限函数：limit

• 函数一般使用格式：

limit(f,x,a):

计算f(x)当x趋向于a的极限 limit(f,x,a,'right’):

计算右极限

limit(f,x,a,'left’):

计算左极限

• 示例：计算数列的极限。

• 编程实现：

syms

n

an=(1+1/n)^n;

S=limit(an,n,inf) %计算数列极限

• 返回结果：

• S = exp(1)

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

示例：

求一元函数极限 ，并绘图观察函数在变量x趋于0时函数的变化趋势。

x x

x

) lim sin(

→0

实践题1（5min）

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

求导计算 diff

• 用法：

diff(s,'v') 求s对自变量v的1阶导数 diff(s,'v',n) 求s对自变量v的n阶导数

• 注：'v' 可以为符号变量

已知

f ( x , y ) = x

y + 2 xy + y

x f





y f





编写程序：

syms x y

f= x^2*y + 2*x*y + y*y d1 = diff(f,x,1)

d2 = diff(f,y,1)

运行结果：

d1 = 2*y + 2*x*y

d2 = x^2 + 2*x + 2*y

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

实践题2（5min）

• 求下列函数的一阶导数：

2

2

x

a y ae

x

= +

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

符号积分函数int

• 用法：

• s=int(expr,var)：

以expr表达式中的变量var为积分变量计算不定积分

• s=int(expr,var,a,b)

以expr表达式中的变量var为积分变量计算定积分，积 分上下限分别为b和a。

⚫ 示例: 使用符号工具箱函数解下列不定积分：

 ^{x ln( x}

^{− dx 1 )}

f=int(x*log(x*x-1))

常用符号计算函数：compose\limit\diff\int

泰勒(taylor)多项式函数

一般用法：

• taylor(f)： 计算f的5阶麦克劳林多项式

•

• taylor(f,v,a)： 计算f在点a展开的麦克考林多项式

•

f：函数的表达式或者符号变量 v：为函数的自变量

0 2

0 0 0 0

( )

0

0

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2!

( )

( ) ( )

!

n

n

n

f x

f x f x f x x x x x

f x

x x R x

n

 

= + − + −

+ + − +

常用符号计算函数：taylor\solve\dsolve

泰勒(taylor)多项式函数

• 求e^x的7阶泰勒多项式.

>>taylor(exp(x),x,0,'order',8) ans =

x^7/5040 + x^6/720 + x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1

>>taylor(exp(x),x,'expansionpoint',0,'order',8) ans =

x^7/5040 + x^6/720 + x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1 说明：以上两个语句效果相同。

常用符号计算函数：taylor\solve\dsolve

求解方程(组)： solve

示例：

求解含参数的方程组 ax+by=10, ax-by=20

编程实现：

s=solve('a*x+b*y=10','a*x-b*y=20','x','y') sol_x = s.x

sol_y = s.y

运行结果： ^{s =} x: [1x1 sym]

y: [1x1 sym]

常用符号计算函数：taylor\solve\dsolve

求解微分方程： dsolve

示例：求下列微分方程的特解:

要点：

1. 用字符串描述微分方程及其初始条件；

2. 导数的表示规则：以未知函数y为例,

“Dy”表示对y的1阶导数，

“D2y”表示对y的2阶导数，其他各阶导数类似.

编程实现：

y=dsolve('Dy=(10-0.02*t)*t','y(0)=4','t') 运行结果：

y = 4 - (t^2*(t - 750))/150

4 )

0 ( , ) 02 . 0 10

( − =

= t t y

dt dy

150

) 750 4 (

2

−

−

= t t y

常用符号计算函数：taylor\solve\dsolve

实践题3 (2min)

求下列微分方程的特解

:

4 )

0 ( , ) 01 . 0 50

( − =

= y y y

dx dy

常用符号计算函数：taylor\solve\dsolve

补充部分：定义符号变量syms

• 练习：使用syms定义20个符号变量 x1,x2,…, x20.

• 常规定义形式：syms x1 x2 x3 … x20

• 编程实现：

• for

• eval(sprintf('syms x%d',i))

• end

• whos Name Size Bytes ^{运行结果：} Class Attributes

i 1x1 8 double x1 1x1 112 sym

x2 1x1 112 sym x3 1x1 112 sym

… …

常用符号计算函数：taylor\solve\dsolve

学到了什么？

符号计算基础

常用符号计算函数： compose limit diff int

taylor solve dsolve