Leibniz 如何想出微積分 ?
蔡聰明
一. 引言
Leibniz (1646-1716) 在 1714 年發表 一篇文章叫做“Historia et origo calculi differentialis” (即微分學的歷史與根源), 簡 述他發明微積分的整個故事, 開頭就這樣寫 著:
對於值得稱頌的發明, 了解其發明的真 正根源與想法是很有用的, 尤其是面對那 些並非偶然的, 而是經過深思熟慮而得的 發明。 展示發明的根源不光只是作為歷史 來了解或是鼓舞其他人, 更重要的是透過 漂亮的發明實例, 可以增進吾人發明的藝 術, 並且發明的方法也可公諸於世。 當代 最珍貴的發明之一就是一門新的數學分 析叫做微分學的誕生。 它的內涵已有足夠 的解說, 但是它的根源與動機卻少為人所 知悉。 它的發明幾乎已經有四十年的歷史 了. . .。
然後 Leibniz 說出他發明微積分的根源就是 差和分學。 在他的一生當中, 總是不厭其煩地 解釋著這件得意的傑作。 差和分與微積分之 間的類推關係, 恆是 Leibniz 思想的核心。 從 他的眼光看來, 兩者在本質上是相同的。 一方
面, 差和分對付的是離散的有限多個有限數;
另一方面, 微積分對付的是連續地無窮多個 無窮小。 因此, 微積分若少了差和分就好像 「 Hamlet」 劇本少了丹麥王子一樣。
二. 生平簡述
Leibniz 在 1646 年誕生於德國的 Leipzig (萊比鍚) 。 他父親是萊比錫大學的 法學與道德哲學的教授。 當他 6歲時, 父親就 去世了。 因此少年的 Leibniz 在學習的路途 上幾乎沒有人指引他。 這個小男孩所有的就 是父親留給他的一個書的世界。 一位聰慧而 早熟的孩子, 在約 8歲時就自學拉丁文, 12歲 時開始學希臘文。 這使得他沒有什麼困難就 可以使用父親遺留下來的豐富的圖書館。 泡 在書海中, 使他獲得了廣泛的古典作品之知 識。 他有能力閱讀幾乎所有的書, 閱讀變成 終身的興趣, 這使他也讀了大量的壞書。 後來 Leibniz寫道:
當我還很年輕時, 就開始認真思考各種問 題。 在15歲之前, 我常常獨自一個人到森 林中去散步, 比較並且對照 Aristotle 與 Democritus 的學說。
1
Leibniz在15歲時進入萊比錫大學就讀, 選讀 了宗教、 哲學及初等算術, 也聽了歐氏幾何的 課, 不過對幾何他並沒有投入。 他試圖自己研 讀 Descartes 的解析幾何學, 但是對他來說 似乎難一點。 在 17 歲時, 他提出一篇哲學論 文, 而得到學士學位。 那年夏天他到 Jena 大 學參加數學班, 然後又回萊比錫大學攻讀邏 輯、 哲學與法律, 次年就得到碩士學位。 20歲 寫出一篇優秀的組合學論文, 但是由於他太 年輕以致於萊比錫大學拒絕頒授給他博士學 位。 於是他轉到 Nuremberg 的 Altdorf 大 學, 並且在 1667 年 (21 歲) 得到哲學博士學 位。
完成學院工作後, 他進入政治界, 服務 於 Mainz 政府。 在 1672年到 1676年這段期 間, 由於外交任務的關係, 他被派往法國的巴 黎。 在巴黎他遇到了當時歐洲大陸最有學問 的 Huygens(1629-1695), 激起他對數學的 熱情, 並且創造了微積分, 使得在巴黎的四年 成為他一生當中數學原創性的顛峰時期 (the prime age of creation), 比美於 Newton 的 1664-1666年這段時間。
Leibniz 在 1680 年給朋友的信裡, 回憶 他在 1673年於巴黎遇到 Huygens 時所受到
的啟發, 他說:
那 時 我 幾 乎 沒 有 多 少 時 間 研 讀 幾 何。
Huygens 給我一本他剛出版的關於單 擺的著作。 當時我對於 Descartes (笛卡 兒) 的解析幾何與求面積的無窮小論證 法一無所知, 我甚至不知道重心的定義。
事實上, 有一次跟 Huygens 討論時, 我 誤以為通過重心的任何直線必將面積平 分為二, 因為這對於正方形、 圓形、 橢圓
形以及其它某些圖形顯然都成立。 聽到我 的話, Huygens開始笑了起來, 他告訴 我沒有什麼東西能夠超越真理的。 受到 這個啟發, 我非常興奮, 在未徹底讀過 歐氏幾何的情況下, 我開始研讀高等幾 何. . .。 Huygens認為我是一個好的幾何 學家, 比我自估的還要好。 他又交給我 Pascal 的著作, 要我研讀。 從中我學到了 無窮小論證法、 不可分割法以及重心的求 法。
巴斯卡的著作給 Leibniz 打開了一個新 世界, 讓他靈光一閃, 突然悟到了一些道理, 逐漸地經營出他的微積分理論。
Leibniz 在 1676 年 回 到 德 國, 於 Hanover 地方當政府的顧問與圖書館長, 長 達四十年之久。 雖然他的職業是律師與外交 官, 但是他多才多藝, 對各方面的學問都有 極濃厚的興趣, 並且以哲學家的身份聞名於 世。 由於他的極力鼓吹, 柏林科學院才得以在 1700 年成立。
三. 偉大的夢想
Leibniz曾回憶說:
我小時候學邏輯, 就開始養成對所學的東 西作挖深的思考習慣。
他一生持久而不變的目標是追尋一種普遍的 語言 (universal language) 與普遍的方 法, 使得可以統合地處理各式各樣的問題。 研 究 Leibniz 的學者 J.E. Hofmann(1899- 1972) 說:
Leibniz 熱情地, 全心全力地收集與吸收 能夠到手的所有知識, 然後給予新的大綜 合 (grand new synthesis), 變成統一的 整體。
Leibniz 說:
我有滿腦子的主意(ideas), 如果能有更 厲害的人深入去經營, 將他們美妙的靈心 與我的勞苦結合起來, 會是很有用的。
他在 1666年 (當時 20歲) 寫出“組合學 的藝術”(Art of combinatorics) 之論文。 在 前言中他預測這門新知識可以延拓應用到邏 輯、 歷史、 倫理學、 形上學, 乃至整個科學。
他又說:
假設我們可以用一些基本的字來表達人 類的思想, 因此可以想像有一系列的字, 各代表了簡單的概念, 那麼任何複雜的 概念都可以用這些字組合起來。 從而奇妙 的“發明術”(the Art of invention) 就變 成可能了: 即所有可能的概念與命題都可 以機械地產生。 據此我們不但可以探討已 知, 而且也可以追尋未知, 進一步從事更 深刻的研究。
這個美麗的夢想在 Leibniz 心中盤據了 一輩子。 事實上, 這只是古希臘哲學家 Dem- ocritus 所創立的原子論 (atomism) 的延 伸與翻版。 Democritus主張宇宙的森羅萬象 最終都可以化約成原子及其在空間中的運動、
排列與組合, 這是多麼美妙的想像。 除了在物 理學與化學上產生深遠的影響之外, 在方法 論 (methodology) 上, 也開啟了分析與綜合 的方法。 追究事物的組成要素就是分析法, 反 過來由組成要素組合出事物就是綜合法。 孫 子在他的兵法中, 說得更生動:
聲不過五, 五聲之變, 不可勝聽也;
色不過五, 五色之變, 不可勝觀也;
味不過五, 五味之變, 不可勝嘗也;
戰勢不過奇正, 奇正之變, 不可勝窮也;
奇正相生, 如循環之無端, 熟能窮之哉!
Leibniz 也夢想著要建立一套普遍的 數學, 他稱之為“Characteristica Univer- salis”, 使得思想也可以化約成計算。 他解釋
說:
如果有了這樣的數學, 那麼我們探討形上 學與道德規範時, 就可以如同幾何學與分 析學之論證推理一般。 兩個哲學家萬一發 生意見衝突, 他們的爭吵就不會嚴重過兩 個會計員, 這時只需拿起筆, 平心靜氣地 坐下來, 然後互相說(必要的話可找個證 人): 讓我們計算一下。
Leibniz 對於發明術一直深感興趣, 他 說:
沒有什麼東西比看出發明的根源更重要, 我認為這比發明出來的東西更有趣。
他計劃寫一本書來探討發明術, 可惜從未實 現。 發明術也許只是人類永遠無法實現的一 個夢想, 好像是往昔的煉金術 (發財夢)、 煉 丹術 (長生夢)、 永動機夢、 煉預測未來術, 以及近年來的煉基因術 (algeny) 一樣。 人 類需要有夢想, 今日所證實的, 也許就是過 去的夢想。 煉金術與煉丹術促成了化學的誕 生, 而煉發明術呢? 它也產生了非常豐富的 成果, 例如認知科學 (cognitive science)、
發明的心理學、 人工智慧, 大腦的思考機制 之研究, Polya(1888-1985) 關於數學的解題 (problem solving) 與猜測式推理 (plausi- ble reasoning) 之精闢研究, 以及近代科學 哲學 (philosophy of science) 一改以往只重 科學知識的“邏輯驗證”(the logic of justi- fication) 而變成以“發現的理路”(the logic of discovery) 為中心, 專注於知識的成長
與演化機制 (the growth and evolutional problem) 之探討, 科學革命的結構之研究 (Thomas Kuhn). . .等等。
Leibniz 認為:
世界上的所有事情, 都按數學的規律 來發生。
這種深刻的“自然的數學觀”比美於 Galileo (1564 -1642) 的名言: “自然之書是用數學 語言來書寫的”。 據此, Leibniz提倡世界的先 定和諧論 (pre-estabilished harmony), 並 且論證這個世界是所有可能世界中最好的一 個 (the best of all possible worlds), 這是 極值問題的一個應用。 Einstein(1879-1955) 說:
渴望窺探這個先定和諧的自然結構, 是科 學家不竭的毅力與恆心的泉源。
Leibniz 更有一顆敏銳的“妙悟靈心”, 他早 年就對這個世界感到驚奇而問道:
為什麼是存有而不是沒有呢?
(Why is there something instead of nothing?)
接著再問:
那裡存在的是什麼?
(What is there ?)
對這些玄奧飄渺的問題深具興趣, 正 是“哲學心靈”的明證。 古人提出了許多答案, 例如原子論, 畢氏學派的萬有皆數. . .等等。
Leibniz 提出了單子論 (the theory of mon- ads), 單子是構成宇宙的至微單位, 反映著大
千世界, 這恰是微積分中無窮小概念的抽象 翻版。
在方法論 (methodology) 上, Leib- niz強調充足理由原理 (the principle of suf- ficient reason): 沒有東西是沒有理由的 (nothing is without reason); 以及連續性 原理 (the principle of continuity), 他說:
沒有東西是突然發生的, 自然不作飛躍, 這是我的一大信條。
連續性原理有廣泛的解釋, 例如從差和分連 續化變成微積分就是一個好例子。 另外, 數學 家 Cauchy(1789-1857) 根據連續性原理宣 稱, 連續函數列的極限函數仍然是連續的, 並 且給出了一個錯誤的證明。 後來才發現“均勻 收斂”(uniform convergence) 必足以保證 極限函數之連續性。
四. 差和分學: 從 Pascal 三角到 Leibniz 三角
在 1672 年春天, Leibniz 抵達巴黎, 他 的第一個成就是發現求和可以用求差來計算, 即用減法可以求算加法。 後來他曾描述他為 何會想到差分以及差分的差分 (即二階差分) 等等的概念, 並且強調差分扮演著他的所有 數學思想的主角。 在邏輯中, 他徹底地分析真 理, 發現終究可化約成兩件事: 定義與恆真語 句 (indentical truths)。 反過來, 由恆真語 句就可推導出豐碩的結果。 他舉數列為例來 展示: 由A = A或A − A = 0出發, 可得
A−A+B−B +C−C +D−D+E−E = 0
即 A−(A−B)−(B−C)−(C−D)−(D−E)−E = 0
令 A−B = K, B−C = L, C−D = M, D−E = N, 則得
A − K − L − M − N − E = 0
K + L + M + N = A − E 亦即差之和等於第一項與最後一項之差。
換言之, 給一個數列v = (vk), 考慮接 續兩項之間的差
vk+1−vk = uk
所成的數列u = (uk), 叫做 (右) 差分數列 (還有左差分, 同理可討論), 那麼顯然有
n
X
k=1
uk = (vn+1−vn)+(vn−vn−1) + . . . + (v2−v1)
= vn+1−v1
採用登山的解釋就很明白了: 想像山路 鋪成台階, 每一階相對於地面的高度為v1, v2, . . . , vn+1, 而階差高度為u1, u2, . . . , un, 那 麼從甲地登到乙地共昇高
u1+ u2+ . . . + un=
n
X
k=1
uk
另一方面這又等於vn+1−v1, 參見下圖 1.
圖1
例子: 考慮立方數列及其各階差分數列:
0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, . . . 1, 7, 19, 37, 61, 91, . . .
6, 12, 18, 24, 30, . . . 6, 6, 6, 6, . . .
0, 0, 0. . . . 由此我們立即讀出
1 + 7 + 19 + 37 + 61 = 125 − 0 = 125, 7 + 19 + 37 + 61 + 91 = 216 − 1 = 215, 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 91 − 1 = 90, 12 + 18 + 24 + 30 = 91 − 7 = 84。
Leibniz 發現這個規律, 覺得非常新奇、
美妙, 像小孩子玩積木一樣興奮不已。 進一 步, 他研究 Pascal 三角 (1654 年, 又叫算 術三角)。 Pascal 三角是作為開方、 二項式展 開、 排列組合與機率之用, 參見 [2], Leib- niz 卻從中玩索出差和分的道理。 下面我們列 出 Pascal 三角常見的三種排法:
(I)
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 ...
(II)
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1
...
(III)
1 1 1 1 1 1 · · · 1 是萬數之源 1 2 3 4 5 6 · · · 自然數 1 3 6 10 15 21 · · · 三角形數 1 4 10 20 35 56 · · · 角錐形數 1 5 15 35 70 126 · · ·
... ... ... ... ... ...
問題: 請說明上述 Pascal 三角的構成法。
在 (II) 的排列法中, 斜對角線上的數 相加, 所得到的數恰好構成費氏數列 (Fi- bonacci sequence):
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · ·
這個數列含有許多美妙的性質, 我們不 預備講述。
由 (III) 的排列法中, Leibniz 立即讀 出許多關於行或列求和的結果, 例如
3 + 6 + 10 + 15
= (4−1)+(10−4)+(20−10)+(35−20)
= 35 − 1 = 34
同理
10 + 20 + 35 + 56 = 126 − 5 = 121。
Leibniz 在巴黎遇到 Huygens 時, 對 Huygens 描述他用求差來求和的結果, Huy- gens 立即建議他做下面富於挑戰性的問題。
問題: (Huygens 問題) 求無窮級數之和
∞
X
k=1
2
k(k + 1) = 1 1+1
3+· · ·+ 1
k(k + 1)/2+· · · (1) 這個問題涉及無窮多項的相加, 它源自計算 某種賭局 (a game of chance) 的機率。
這 個 級 數 每 一 項 的 分 母 恰 是 畢 氏 學 派“形數” (figurate numbers) 中的三角形 數:
因此, 級數 (1) 就是三角形數的倒數之 和。 Leibniz 立即就求得這個和: 因為
2
k(k + 1) = 2 k − 2
k + 1
所以首n項之和為 Sn =
n
X
k=1
2 k(k + 1)
=
n
X
k=1
(2 k − 2
k + 1)
= 2 − 2 n + 1
從而
∞
X
k=1
2
k(k + 1) = lim
n→∞(2 − 2
n + 1) = 2。
我們在機率史的文獻上查不到 Huy- gens 的機率問題, 不過我們倒有下面相關的 例子: 一個袋子裝有一個白球及一個黑球, 從 中任取一個球, 若得白球就停止; 若得黑球, 則再填加一個黑球到袋中, 變成兩黑一白, 再 任取一球, 若得白球就停止; 若又得黑球, 別 再添加一個黑球到袋中, 變成三黑一白, 如此 繼續下去, 那麼第一回合得白球的機率為12, 第二回合得白球的機率為1
2× 13, 第三回合得 白球的機率為1
2 × 23 × 14 = 13 × 14, · · ·等等, 故終究得白球的機率為
1 2+ 1
2 × 3+ 1
3 × 4+· · ·+ 1
k(k + 1)+· · ·= 1。
Leibniz 解決了 Huygens 問題後, 進一步模仿 Pascal 三角, 建構一個今日 所謂的“調和三角”(harmonic triangle) 或 Leibniz 三角, 一口氣解決了更多求無窮級數 和的問題。
調和三角是這樣做成的: 第一行排上調 和數列, 第二行依次排上第一行的前項減去 後項之差, 以後就按此要領做下去, 結果如下 :
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1
7 · · ·
1 2
1 6
1 12
1 20
1 30
1
42 · · ·
1 3
1 12
1 30
1 60
1 105 · · ·
1 4
1 20
1 60
1 140 · · ·
1 5
1 30
1 105 · · · ... ... ...
由此調和三角可以讀出 1
2 +1 6 + 1
12 + 1 20+ 1
30+ · · · = 1 從而 Huygens 問題的答案是
2 2+2
6+ 2 12+ 2
20+· · ·+ 2
k(k + 1)+· · · = 2 另外我們也可以讀出
1 3 + 1
12 + 1 30+ 1
60+ · · · = 1
2 (2) 1
4 + 1 20+ 1
60+ 1
140 + · · · = 1
3 (3) 等等。 將 (2) 式乘以 3 就得到角錐形數的倒 數之和:
1 1 +1
4 + 1 10+ 1
20+ · · · = 3 2 將 (3) 式乘以 4 就得到
1 1 +1
5 + 1 15+ 1
35+ · · · = 4 3 同理也可得
1 1 +1
6 + 1 21+ 1
56+ 1
126 + · · · = 5 4 Descartes 說得好:
由一個例子的考察, 我們可以抽取出一條 規律。 (From the consideration of an example we can form a rule.)
換言之, 一個好的例子往往能夠反映出一般 規律, 即特殊孕育出普遍, 或所謂的“一葉知 秋”、“見微知著”的意思。 我們由上述例子歸 結出求和的共通模式 (pattern):
定理1: (差和分根本定理) 對於給定的一個數 列u = (un), n = 1, 2, · · ·, 如果可以找到另 一個數列v = (vn) , 使得
un = vn+1−vn 那麼就有
b
X
n=a
un = vb+1−va (4) 其中a, b ∈ N 且a < b。
我們引入適當的概念與記號:
定義: 設 c = (cn) 為一個數列, 令數列 ∆c 為 (∆c)n = cn+1 −cn(簡記為∆cn)。 我們 稱∆c為數列c的 (第一階) 差分, ∆為差分算 子。Pb
n=acn叫做定和分 (簡稱和分)。 因此, 定 理 1引出了兩個基本問題:
(i) 研究差分算子∆在運算上的基本性質。
(ii) 已知一個數列u = (un), 求另一個數列 v = (vn)使得u = ∆v。
第一個問題很容易, 在此從略。 其次, 利 用 (i), 第二個問題原則上也不難。 在u =
∆v中, 我們稱v為u的反差分數列或不定和 分。 事實上, 已知數列u = (uk), k = 1, 2, · · ·定義一個新數列b = (bn)如下:
bn =
n−1
X
k=1
uk (5)
則易驗知b = (bn)滿足 u = ∆b
換言之, b = (bn)就是u = (un)的一個 不定和分。 顯然, u的不定和分不唯一, 可以 無窮多個 (例如 (5) 式再加上任意常數都還 是u的不定和分), 但是任何兩個不定和分只 差個常數。
對這一切作深入而有系統的研究就是差 和分學的內容 (包括差分方程)。 差和分的 學習對於微積分的了解非常有助益, 因為兩 者不過是離散與連續之間的類推與觀照而已。
離散的差和分簡單明瞭, 再連續化就得到了 微積分。 一般微積分教科書往往有如下的缺 點: 忽略差和分學, 或類推與連續化處理得 不好。
五. Leibniz 如何看出微積 分學根本定理?
甲
.從差分到微分
考慮函數y = F (x), x ∈ [a, b], 作[a, b]的分割
a = x1 < x2 < · · · < xn+1 = b 得到差分∆xk = xk+1−xk與∆F (xk) = F (xk+1) −F (xk), k = 1, · · · , n。 Leib- niz 想像 (或根據他的連續性原理, princi- ple of continuity), 讓分割越來越細密, 乃 至作無窮步驟的分割, 使每一小段都變成無 窮小 (infinitesimal), 於是差分∆xk變成微 分dx(∆改為d且丟棄指標k) 其中dx表示無 窮小, 它不等於 0 並且要多小就有多小。 從而
差分∆F (xk) = F (xk+1) − F (xk) 變成微分dF (x) = F (x + dx) − F (x)
dF (x)表示獨立變數x變化 dx時, 相應函數 值的無窮小變化量。 換言之, 微分是差分在無 窮小時之類推。
Leibniz 在 1684 年首次給出微分的概 念與記號, 以及如下的演算公式:
例1. 設F (x) = xn則dF (x) = nxn−1dx。
Leibniz 的論證是這樣的:
dF (x) = F (x + dx) − F (x)
= (x + dx)n−xn
= nxn−1dx+nC2xn−2(dx)2 + · · · + nCn(dx)n
因為第二項之後都含有dx的高次項, 這些都 是比dx還高階的無窮小, 棄之可也, 所以
dF (x) = dxn= nxn−1dx。
特別地,
dx3 = 3x2dx, dx2 = 2xdx。
定理2. 設u = u(x)與v = v(x)為兩函數, a與c為常數, 則有
(i) d(c) = 0 (ii) d(au) = adu
(iii) d(u ± v) = du ± dv (iv) d(u · v) = udv + vdu (v) d(uv) = vdu − udv
v2
上述 (iv) 今日叫做 Leibniz 規則。
例2. 若u = x−n, 則du = −nx−n−1dx, 若u = xm/n, 則du = mnx(m/n)−1dx。
只要知道一些基本函數的微分公式, 透 過定理 2 就可以求得更複雜函數的微分公式。
這就是原子論“以簡御繁”的方法。 微分的演
算, 在 Leibniz 之前都是個案的處理, 之後 就有了全盤系統化的處理辦法, 這就是進步。
Leibniz 利用微分來求函數v = v(x)的 極值, 其方法是解方程式dv = 0。 他也引 入二階微分的概念與演算, 並且利用二階微 分ddv = 0的條件來求反曲點 (point of in- flection)。
乙
.從和分到積分
數列u = (uk)與函數y = f (x), x ∈ [a, b], 都是“函數”, 一個定義在自然數 集N上, 一個定義在區間[a, b]上, 因此兩者分 別是離散 (discreteness) 與連續 (continu- ity) 之間的類推。
和分 (summation) 探究數列的求 和Pn
k=1uk問題, 積分探求函數圖形在[a, b]之上 所圍成的面積, 見下圖 2。 兩者具有密切的關 係。
圖2
首先觀察到, 和分可以解釋為下面圖3之柱狀 圖的面積。
圖3 其次將函數y = f (x)離散化:
作區間[a, b]的分割
x1 = a < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 = b 考慮和分Pn
k=1f (xk)∆xk, 其幾何意義就是 下圖 4 諸矩形所成的陰影面積, 它是圖 2 的近 似面積。
圖4
現在想像將[a, b]分割成無窮多段的無窮小段 dx(即微分), 想成是差分∆xk= xk+1−xk的 極致 (參見圖 2), 然後考慮無窮小矩形的面 積f (x) · dx, 從x = a連續地累積到x = b。 這樣的求和跟和分有關但卻不同, 為了區 別起見 Leibniz 在 1686 年首度將記號P改 為R。 理由是: S表示求和 Sum 的第一個字 母, 將S稍微拉伸變成R, 表示連續地求和。 因 此, 就用美妙的記號Rabf (x)dx來表示圖 2 陰 影領域的面積, 說成f 在[a, b]上的積分。 換言 之, 陰影領域的面積就是無窮多個無窮小矩
形面積的連續求和, 即定積分 (definite in- tegral)。
Leibniz 進一步把積分R看作是微分d的 逆運算, 例如由公式
d(1
3x3) = x2dx 就得到
Z
x2dx =
Z
d(1
3x3) = 1 3x3。 一般而言,
Z
dF (x) = F (x)。
Leibniz說: 像乘方與開方, 和分與差分,R 與 d 是互逆的。
丙
.從差和分根本定理到微積分根本 定理
如何求算積分Rabf (x)dx呢?
這是一個千古大難題。 Archimedes 利 用窮盡法 (the method of exhaustion), 只 會算出
Z a
0 x2dx = 1 3a3。
Cavalieri(1598-1647) 利用不可分割法或無 窮小法 (the method of indivisible and in- finitesimal) 求得
Z a
0 xndx = 1
n + 1an+1, n = 1, 2, · · · , 7 Fermat(1601-1665) 利用動態窮盡法求得
Z a
0 xm/ndx = n
m + na(m+n)/n 這些都是個案解決, 而且都算得相當辛苦。
Leibniz 有了微分與積分互逆的觀點, 以及差和分根本定理, 很快就看出“吾道一以
貫之”的微積分根本定理, 利用微分法普遍而 系統地解決求積分的難題。 這是微積分史, 乃 至人類文明史上的偉大時刻 (the great mo- ment)。 Leibniz將他的發現在 1693 年發表。
考慮函數y = F (x), x ∈ [a, b]。
作[a, b]的分割:
a = x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 = b 由差和分根本定理知
n
X
k=1
∆F (xk) = F (b) − F (a) (6) 或者
n
X
k=1
∆F (xk)
∆xk
∆xk = F (b) − F (a) (7) 現在讓分割不斷加細, 使每一小段都變成無 窮小, 將∆改為d, P改為R(記號變形記), 上 下限指標改為b, a, 那麼 (6) 與 (7) 兩式就變 形為
Z b
a dF (x) = F (b) − F (a) (8)
Z b
a
dF (x)
dx dx = F (b) − F (a) (9) 從而, 欲求Rabf (x)dx, 只要找到另一個函 數y = F (x), 使得
dF (x)
dx = f (x) (10) 那麼就有
Z b
a f (x)dx =
Z b
a
dF (x)
dx dx = F (b)−F (a) (11) Eureka!Eureka!我們自然就得到微積分裡最 重要的一個結果:
定理3. (微積分學根本定理)
給一個函數f , 如果可以找到另一個函
數F 使得 dF (x)
dx = f (x) 或 dF (x) = f (x)dx (12) 那麼就有
Z b
a f (x)dx = F (b) − F (a) ≡ F (x)
b
(13)a
這個定理完全是定理 2 的平行類推!我們稱 (13) 式為 Newton-Leibniz 公式, 因為牛頓 也獨立地發現它。 今日我們還要求 f 為連續 函數。
Leibniz 創造優秀的記號, 透過差和分 根本定理, “直觀地”就看出了微積分根本定 理。 Leibniz 說:
值得注意的是, 記號幫忙我們發現真理, 並且以最令人驚奇的方式減輕了心靈的 負荷。
Leibniz一 生 對 記 號 非 常 講 究。 數 學 家 Laplace (1749-1827) 也說:
數學有一半是記號的戰爭。
我們要強調, 記號的適當創造與幾握, 是掌握 數學的要訣。 下面將 Leibniz 所創造的記號 作個對照表:
離散的差和分 連續的微積分
∆ d
P R
xk x
∆xk dx
P
k
Rb
a·dx
∆F (x)
∆x
dF (x) dx
在定理 3 中, 赫然出現了dF (x)dx 之記號, 這是微積分裡頭的一個關鍵性概念。 它代表 什麼意義? 如何定義?
首 先 讓 我 們 來 解 釋 它 的 幾 何 意 義。dF (x)
dx 是由∆F (xk)
∆xk 的無窮小化得來的。 顯 然
∆F (xk)
∆xk
= F (xk+1) − F (xk) xk+1−xk
代表函數 y = F (x) 的圖形上, 通過兩點 (xk, F (xk))與(xk+1, F (xk+1))的割線斜率, 參見圖 5。
圖5 無窮小化後的dF (x)
dx 就是通過(x, F (x))點的 切線斜率, 參見下圖 6。
圖6
因此, 求積分Rabf (x)dx從幾何觀點來 看就是, 找一條新的曲線y = F (x), 使其切 線斜率dF (x)
dx 為f (x), 那麼Rabf (x)dx的答案
就是F (b) − F (a)。 據此, Leibniz也稱求積 分為求反切線的問題 (the inverse tangent problem)。
下面考慮dF (x)
dx 的定義。 按照上述的思 路, dF (x)dx 當然定義成
F (x + dx) − F (x)
dx 或 lim
∆x→0
∆F (x)
∆x 其中 dx 代表 x 的“無窮小”變化量, ∆F (x)
= F (x + ∆x) − F (x), lim 表示取極限 (limit)。 這分別代表無窮小論證法與極限論 證法。 後者是“以有涯逐無涯”的論證方式, 即 由割線斜率來探取切線斜率。 有時 dF (x)
dx 也
記成 DF (x) 或 F′(x)。
由F (x)求 出dF (x)dx 叫做 導 微 (動 詞 用)。dF (x)dx 叫做 F (x) 的導函數 (deriva- tive)。 已知函數 f (x), 欲求另一個函 數F (x)使得dF (x)dx = f (x), 是為微分的 逆算。 我們稱F (x)為f (x)的反導函數 (an- tiderivative)。 因此, 定理 3 告訴我們, 欲 求積分Rabf (x)dx, 只要找到f (x)的反導函 數F (x), 那麼F (b) − F (a)就是答案了。 這 就是用微分法解決積分問題, 普遍而可行的 辦法。 要點是, 求反導函數並不太難。
如何求一個函數的導函數呢?
在做計算時, 若採用無窮小論證法, 就要 記住無窮小詭譎的雙重性格: 它不等於 0, 但 是要多小就有多小。 這樣看來, 無窮小不是死 的, 而是活生生的小精靈。 通常無窮小dx可 正可負, 即正無窮小與負無窮小, 這種情 形dx不等於 0, 但其絕對值小於任意正實數。
例 3. 考慮F (x) = x3, 則 dF (x)
dx = F (x + dx) − F (x) dx
= (x + dx)3−x3
dx , (因為dx 6= 0)
= 3x2·dx + 3x(dx)2+ (dx)3
= 3x2+ 3x · dx + (dx)dx 2
= 3x2
(因為dx可任意小, 故後兩項棄之可也。)
如果你對“無窮小”感到“不自在”, 那麼 我們也可以採用極限論證法:
DF (x)
= lim
∆x→0
F (x+∆x)−F (x)
∆x
= lim
∆x→0
(x + ∆x)3−x3
∆x
= lim
∆x→0
3x2 ·∆x+3x · (∆x)2+(∆x)3
= lim ∆x
∆x→0(3x2+ 3x · ∆x + (∆x)2) = 3x2 殊途同歸! 在計算過程中, 我們的論證是這樣 的: 由於∆x 6= 0, 故可以從分子與分母消去;
其次因為∆x → 0, 故2x + ∆x → 2x。 這樣 的論證其實跟無窮小論證法差不多。 目前較 通行是極限論證法。
事實上, 極限概念有直觀 (良知良能) 的 一面, 也有深奧的一面 (ǫ − δ與ǫ − N定式), 真正要說清楚是相當費事的。 留給正式微積 分課去解說。
例 4. 因為D(13x3) = x2, 故由 Newton- Leibniz 公式得
Z b
a x2dx = 1 3x3
b
a
= 1 3b3−1
3a3。
我們作一個很重要的觀察:
給一個數列u, 若數列v滿足∆v = u, 我 們就記為
∆−1u =Xu =X∆v = v 而稱Pu為u的不定和分, 因而P與∆互逆。
這樣做非常方便, 定和分只需附加上下限就 好:
n
X
k=1
uk= vk
k=n+1
k=1
= vn+1−v1。 同理, 由
dF (x) = f (x)dx 或 dF (x)dx = f (x)
我們就記為 d−1f (x) =
Z
f (x)dx =
Z
dF (x) = F (x) 而稱R f (x)dx為f 的不定積分 (indefinite integral), 因而R與d互逆。 再把上下限套上 去就得到 Newton-Leibniz 公式:
Z b
a f (x)dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a)。
六. 結語
總之, 微積分就是利用極限或無窮小 來建立微分與積分, 再透過微分的逆向運算 (由f 求 d−1f ) 來求積分 (面積、 體積、 表面 積、 曲線長、 重心及里程等等), 而微分的正 向運算 (由 F 求 dF 或dFdx) 又可掌握住求切 線、 速度、 密度、 變化率及極值問題, 甚至揭 開了函數的結構之謎 (Taylor 分析)。
微分法是非常鋒利的兩面刃, 是人類破
天荒的成就。 S.Bochner 說得好:
微分是一個偉大的概念, 它不但是分析 學而且也是人類認知活動中最具創意的 概念。 沒有它, 就沒有速度或加速度或動 量, 也沒有密度或電荷或任何其它密度, 沒有位勢函數的梯度, 從而沒有物理學 中的位勢概念, 沒有波動方程; 沒有力 學, 沒有物理, 沒有科技, 什麼都沒有([8], p.276)。
參考書目
1. C.H. Edwards, The Historical Develop- ment of the calculus, Springer-verlag, 1979, 凡異出版社有林聰源的中譯本。
2. A.W.F. Edwards, Pascal’s Arithmetical Triangle, Oxford Univ.Press, 1987。
3. Leibniz, Philosophical papers and let- ters, Ed. L.E. Loemker, Synthese His- torical Library, 1976.
4. A. Weil, Review of Hofmann, Bull.
Am. Math. Soc. 81, 676-688, 1975.
5. M.E. Baron, The origin of the infinites- imal calculus. New York: Dover, 1987.
(初版 1969)
6. T. Koetsier, Lakatos’ philosophy of Mathematics, A Historical Approach, North-Holland, 1991.
7. D. Struik, A Source Book in Mathemat- ics, 1200-1800, Harvard Univ. Press, 1969.
8. S. Bochner, The Role of Mathematics in the Rise of Science, Princeton Univ.
Press (1966), Fourth Printing, 1981。
9. I Grattan-Guinness (editor), From the Calculus to Set Theory, 1630-1910,An Introductory History,Duckworth,1980.
10. C. B. Boyer, The History of the Cal- culus and its Conceptual Development, Dover, 1959. (First Published in 1949)
—本文作者任教於台灣大學數學系—
