第三章 古典力學的奠定
第二節 牛頓的力概念與圓周運動
處 在 當 時 的 時 空 環 境 下，牛 頓 本 人 也 深 知 機 械 論 者 所 提 出 的 碰 撞，
因 此 他 在 1687 年 的 巨 著《 自 然 哲 學 的 數 學 原 理 》－ 簡 稱《 原 理 》－ 就 強 調 物 體 的 「 運 動 狀 態 」 要 改 變 就 必 須 要 有 「 力 」 作 用 的 看 法 。 以 下 即 是 牛 頓 在 《 原 理 》 一 書 中 ， 對 於 「 力 」 概 念 的 敘 述 ：
定 義 4： 外 力 ( i mpr e ss ed f orc e) 是 施 予 在 物 體 的 作 用 ， 以 便 改 變 其 處 於 靜 止 或 沿 一 直 線 作 等 速 度 運 動 的 狀 態 ( N e wt on, 18 46 , p. 74) 。
定 律 I ： 任 一 物 體 都 會 保 持 其 靜 止 或 者 在 直 線 上 的 等 速 運 動 狀 態 ， 除 非 有 外 力 作 用 迫 使 它 的 運 動 狀 態 發 生 改 變 ( N e wt on , 1 846, p . 8 3) 。
值 得 一 提 的 是 ， 在 《 原 理 》 中 總 共 有 八 個 定 義 ， 而 其 中 關 於 向 心 力 的 定 義 就 佔 有 四 個 。 以 下 即 是 牛 頓 關 於 向 心 力 的 四 個 定 義 ：
定 義 5 ： 向 心 力 是 物 體 所 受 到 指 向 於 一 個 中 心 點 的 拉 力 、 推 力 或 者 是 任 何 的 傾 向 ( Ne w ton , 1846 , p. 74) 。
定 義 6 ： 向 心 力 的 絕 對 量 是 向 心 力 的 一 種 衡 量 ， 它 正 比 於 由 中 心 向 周 遭 空 間 傳 遞 作 用 的 原 因 效 能 所 決 定 ( Ne w ton , 1846 , p. 75) 。
定 義 7 ： 向 心 力 的 加 速 量 是 向 心 力 的 一 種 衡 量 ， 它 正 比 於 在 給 定 時 間 內 向 心 力 所 產 生 的 速 度 ( N e w t on, 184 6, p. 76 ) 。
定 義 8 ： 向 心 力 的 運 動 量 是 向 心 力 的 一 種 衡 量 ， 它 正 比 於 在 給 定 時 間 內 向 心 力 所 造 成 的 運 動 ( 量 ) ( N ew to n, 184 6, p . 7 6) 。
為 了 簡 潔 起 見 ， 牛 頓 把 定 義 6 到 定 義 8 的 向 心 力 三 種 量 ， 分 別 稱 為 絕 對 力 (absolute force)、 加 速 力 (accelerative force)與 運 動 力 (motive force)，並 且 認 為 絕 對 力 屬 於 力 的 中 心，沒 有 它，則 不 可 能 有 在 其 周 圍 存 在 的 加 速 力 。 而 加 速 力 就 是 一 種 使 物 體 加 速 所 具 有 的 空 間 特 性 ， 可 使 處 於 其 中 的 物 體 具 有 運 動 的 能 力 。 運 動 力 則 是 屬 於 物 體 ， 可 用 來 表 示 物 體 趨 向 於 中 心 的 整 體 企 圖 和 傾 向 (Newton, 1846, pp. 75-77)。所 以，
牛 頓 認 為 在 地 球 表 面 附 近 ， 加 速 重 力 對 所 有 物 體 都 是 一 樣 的 ， 與 物 體 本 身 的 輕 或 重 無 關 ； 而 運 動 力 就 是 物 體 的 重 量 ， 也 就 是 「 運 動 力 是 由 加 速 力 與 物 體 的 質 量 乘 積 所 決 定 」 (Newton, 1846, p. 76)， 因 此
如 果 我 們 攀 登 到 加 速 重 力 小 的 地 方 ， 則 重 量 也 會 相 應 地 減 小 ， 而 且 ( 重 量 ) 總 是 物 體 ( 質 量 ) 與 加 速 力 的 乘 積 。 所 以 在 加 速 力 減 少 到 一 半 的 地 方 ， 原 先 輕 2 倍 或 3 倍 的 物 體 ， 其 重 量 將 會 輕 4 倍 或 6 倍 (N e w ton , 1846 , p. 77) 。
可 見 當 時 牛 頓 即 已 知 道「 運 動 力 (f)正 比 於 加 速 度 (a)×質 量 (m)」的 關 係 ，然 而 牛 頓 在《 原 理 》中 卻 從 未 寫 過 f=ma 的 數 學 形 式 (姚 珩、李 秉 書 ， 2015， 頁 23)。 以 現 在 的 觀 點 來 看 ， 我 們 可 知 絕 對 力 就 相 當 於 今 日 所 稱 的 場 源 ， 加 速 力 為 力 場 ， 而 運 動 力 則 為 物 體 所 受 的 外 力 。
後 來 ， 關 於 力 ， 牛 頓 清 楚 地 寫 下 了 其 定 量 的 數 學 表 達 方 式
定 律 II ： 運 動 ( 量 ) 的 變 化 正 比 於 施 加 的 運 動 力 ( mo ti ve for c e) ； 且 變 化 的 方 向 是 由 該 施 力 作 用 的 直 線 所 決 定 ( N e wt on, 18 46 , p. 83) 。
亦 即 作 用 於 物 體 的 運 動 力 ， 正 比 於 物 體 的 動 量 變 化 ， 且 物 體 的 動 量 變 化 方 向 就 是 所 受 力 的 方 向 。 如 圖 10 所 示 ， 原 本 保 持 同 一 速 率 和 方 向 的 運 動 物 體 ， 在 一 定 量 的 時 間 內 ， 可 由 A 至 B。 根 據 定 律 I， 若 所 受 到 的 外 力 為 零 ， 則 在 相 同 時 間 內 ， 可 由 B 到 c； 但 若 結 果 是 物 體 偏 離 原 本 的 直 線 方 向 而 在 相 同 時 間 內 由 B 到 C， 則 根 據 定 律 II 可 知 ， 該 物 體 所 受 的 力 將 會 正 比 於 線 段 cC，且 所 受 到 的 力 方 向 將 會 是 由 c 指 向 C。
圖 10 ： 物 體 受 力 與 動 量 變 化
有 了 上 述 的 定 義 與 定 律 之 鋪 陳 為 基 礎 ， 接 著 牛 頓 即 開 始 由 克 卜 勒 的 行 星 定 律 出 發 ， 進 行 向 心 力 對 物 體 運 動 的 數 學 命 題 討 論 。 尤 其 在 第 一 卷 的 第 二 章 中 ， 牛 頓 提 到 了 ：
命 題 1 定 理 1 ： 做 環 繞 運 動 的 物 體 ， 所 受 向 心 力 與 指 向 力 不 動 中 心 的 半 徑 所 掠 掃 的 面 積 與 在 同 一 平 面 上 ， 且 正 比 於 畫 出 該 面 積 所 需 的 時 間 ( N e w t on,
由 圖 10 與 圖 11，我 們 可 看 出，由 於 AB 與 Bc 線 段 相 等，且 皆 以 S 為 三 角 形 的 頂 點 ， 故 ΔABS 與 ΔBcS 面 積 相 等 。 又 當 物 體 受 到 的 是 向 心 力 時 ， 由 定 律 II 可 知 cC 方 向 與 BV 方 向 平 行 ， 因 此 連 帶 地 也 將 與 BS 平 行，而 由 於 ΔBcS 與 ΔBCS 都 是 以 BS 為 共 同 底 邊，且 c 與 C 等 高 ， 因 此 它 們 的 面 積 相 等 。 最 後 可 知 ΔABS 與 ΔBCS 的 面 積 也 都 相 等
(Newton, 1846, pp. 103-104)。
同 理 ， 在 相 等 時 間 間 隔 內 ， 受 到 同 樣 的 向 心 力 將 會 造 成 ΔBCS、
ΔCDS、 ΔDES 與 ΔEFS 面 積 皆 相 等 。 若 該 時 間 間 隔 趨 近 於 零 ， 則 邊 界 ABCDEF 將 會 成 成 為 一 條 曲 線 ， 亦 即 向 心 力 將 使 得 物 體 連 續 偏 離 該 曲 線 的 切 線 方 向 (Newton, 1846, p. 104)， 故 我 們 可 得 知 ：
受 向 心 力 作 用 的 物 體 ， 於 軌 道 上 遵 守 克 卜 勒 的 面 積 律 。
圖 11 ： 以 微 分 觀 點 來 看 等 速 率 圓 周 運 動 物 體 的 行 經 路 徑
ABCDEF
緊 接 著 ， 在 命 題 2 定 理 2 中 ， 牛 頓 亦 證 明 了 ： 若 物 體 在 任 意 曲 線 上 運 動 ， 且 遵 守 面 積 律 ， 則 該 物 體 所 受 到 的 力 ， 必 為 向 心 力 。 這 是 因 為 當 在 相 同 時 間 內 ， 若 ΔABS、 ΔBCS、 ΔCDS、 ΔDES 與 ΔEFS 面 積 皆 相 等 時 ， cC 方 向 與 BV 方 向 必 然 平 行 ； 而 根 據 定 律 II， 物 體 在 B 所 受 的 力 方 向 為 由 c 指 向 C， 亦 即 是 指 向 力 的 不 動 中 心 S。
同 理 ， 物 體 在 C 所 受 的 力 方 向 為 由 d 指 向 D， 亦 即 是 指 向 力 的 不 動 中 心 S… 依 此 類 推 ， 在 B、C、 D、 E、 F 所 受 的 力 都 是 指 向 不 動 的 中 心 點 S， 故 得 證 。 至 此 ， 結 合 上 述 命 題 1 定 理 1 以 及 命 題 2 定 理 2 的 論 述 ， 可 見 牛 頓 已 經 明 白 宣 告 了 ：
克 卜 勒 面 積 律 的 物 理 意 義 即 是 等 同 於 向 心 力 的 存 在 ， 反 之 亦 然 。 (項 武 義 、 張 海 潮 ， 2008， 頁 10； 姚 珩 、 田 芷 綾 ， 2010， 頁 30； 田 芷 綾 、 姚 珩 ， 2010， 頁 4)
也 就 是 牛 頓 已 經 將 面 積 律 與 向 心 力 劃 上 完 全 相 等 的 關 係 ， 而 這 也 是 牛 頓 後 來 得 以 發 展 萬 有 引 力 定 律 的 第 一 步 。 接 下 來 ， 牛 頓 即 開 始 論 述 等 速 率 圓 周 運 動 的 向 心 力 定 量 表 達 式 ， 其 內 容 如 下 ：
命 題 4 定 理 4 ： 沿 不 同 圓 周 作 等 速 率 運 動 之 不 同 物 體 ， 其 向 心 力 指 向 各 自 圓 周 的 中 心 ， 且 它 們 的 比 ， 正 比 於 等 時 間 內 經 過 的 弧 長 之 平 方 ， 除 以 圓 周 的 半 徑 ( Ne w ton , 1846 , p. 107) 。
若 以 現 代 微 分 觀 點 來 看 等 速 率 圓 周 運 動 物 體 的
ABCDEF
路 徑 (如 圖 11)， 當 SB 是 某 一 特 定 的 半 徑r
， 則 AB 是 位 移 x
； 且 由 於 相 同 時再 由
SAB
與 BCc
相 似 關 係 可 知Cc/BcAB/SB， 即 v / v x / r
。 我 們由 週 期T r3/2，與 速 率
v 2 r / T r / T
的 關 係，我 們 現 在 可 再 將 向 心 力 進 一 步 表 示 為2 3 2 2 2
2
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至 此 ， 牛 頓 在 推 論 中 已 經 成 功 應 用 了 週 期 律 ， 而 得 知 作 等 速 率 圓 周 運 動 物 體 的 所 受 向 心 力 ， 其 實 就 是 距 離 平 方 反 比 力 ， 顯 然 牛 頓 往 萬 有 引 力 定 律 的 發 展 又 邁 進 了 一 步。不 過 令 人 感 到 好 奇 的 是，接 下 來 牛 頓 應 該 要 如 何 做 ， 才 能 將 向 心 力 概 念 擴 展 到 普 遍 性 更 高 的 萬 有 引 力 概 念 呢 ？