第三章 古典力學的奠定
第三節 牛頓萬有引力與克卜勒行星運動定律的關係
由 於 實 際 上 ， 天 體 的 行 星 運 動 遵 守 的 是 克 卜 勒 的 橢 圓 律 。 因 此 ， 接 下 來 ， 牛 頓 即 開 始 由 圓 周 運 動 ， 擴 展 到 橢 圓 運 動 的 討 論 。 而 其 中 最 關 鍵 的 是 ， 他 於 第 一 卷 第 三 章 所 提 出 的 ：
命 題 11 問 題 6 ： 一 個 物 體 在 橢 圓 軌 道 上 運 動 ， 求 指 向 橢 圓 焦 點 的 向 心 力 規 律 ( N e wt on, 18 46, p . 1 1 6) 。
在 該 問 題 6 中 ， 牛 頓 經 過 一 番 細 緻 且 繁 複 的 討 論 後 ， 得 到 向 心 力 會 正 比 於 橢 圓 半 長 軸 R 的 立 方 ， 且 反 比 於 物 體 與 焦 點 距 離
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的 平 方 。 也 就 是 ， 物 體 在 橢 圓 任 意 處 所 受 指 向 焦 點 的 向 心 力 為2 3
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而 這 也 符 合 今 日 用 現 代 數 學 嚴 格 推 導 的 結 果 (項 武 義 、 張 海 潮 ， 2008)
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由 於 在 同 一 個 橢 圓 軌 道 的 運 動 物 體 ， 其 週 期 T 與 半 長 軸 R 皆 為 定 值 ， 而 在 變 動 的 是 物 體 與 焦 點 的 距 離
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， 所 以 上 述 的 向 心 力 與 物 體 至 焦 點 的 距 離r
平 方 成 反 比 。 至 此 ， 牛 頓 已 經 證 得 橢 圓 軌 道 的 運 動 物 體 所 受 指 向 焦 點 的 向 心 力 也 是 屬 於 距 離 平 方 反 比 力 ， 而 這 與 之 前 牛 頓 所證 明 等 速 率 圓 周 運 動 物 體 所 受 的 向 心 力 都 一 樣 ， 都 是 距 離 平 方 反 比 力 ， 而 上 述 的 這 些 發 現 ， 可 說 是 牛 頓 發 展 萬 有 引 力 定 律 邁 開 的 第 二 步 。
到 目 前 為 止 ， 我 們 所 見 牛 頓 所 進 行 的 命 題 及 相 關 推 導 ， 都 是 建 立 在 向 心 力 作 用 的 前 提 上。然 而 在 真 實 世 界 中，行 星 作 等 速 率 圓 周 運 動 ， 或 橢 圓 運 動 時 ， 不 動 的 力 中 心 是 否 真 實 存 在 呢 ？ 牛 頓 很 清 楚 ， 吸 引 力 是 針 對 物 體 作 用 的 ， 而 且 必 然 會 遵 守 ：
定 律 III ： 任 一 作 用 力 總 是 會 有 其 相 等 的 反 作 用 力 。 或 者 ， 兩 物 體 相 互 之 間 的 作 用 力 總 是 大 小 相 等 ， 並 且 指 向 對 方 ( N e w t on, 184 6, p. 83 ) 。
由 以 上 的 敘 述 ， 我 們 可 得 知 ， 不 可 能 只 有 單 一 的 向 心 力 存 在 。 也 就 是 說 ， 當 物 體 受 到 向 心 力 作 用 而 在 軌 道 上 運 動 時 ， 則 同 時 也 必 定 存 在 另 一 個 反 作 用 力 ， 並 作 用 於 另 一 個 物 體 上 。 並 且 ， 由 於 兩 物 體 相 互 間 的 作 用 力 都 是 指 向 對 方 ， 造 成 了 一 種 互 相 接 近 的 傾 向 ， 所 以 ， 我 們 也 可 將 物 體 所 受 到 的 向 心 力 稱 為 引 力。若 再 配 合 定 律 I，則 我 們 可 知 ， 不 論 是 吸 引 還 是 被 吸 引 的 物 體 ， 受 到 力 作 用 後 ， 實 際 上 都 不 會 是 真 正 的 靜 止 (Newton, 1846, p. 194)。 因 此 ， 在 我 們 真 實 的 世 界 中 ， 向 心 力 所 指 的 位 置 一 直 都 會 改 變 。 為 了 說 明 得 更 清 楚 ， 牛 頓 寫 下 了
命 題 57 定 理 20 ： 互 相 吸 引 的 兩 物 體 ， 圍 繞 著 它 們 共 同 重 心 ， 也 互 繞 對 方 而 繪 出 相 似 圖 形 ( N ew to n, 184 6, p. 19 4) 。
命 題 65 定 理 25 ： 受 的 力 隨 其 到 中 心 距 離 平 方 而 減 小 的 物 體 ， 能 彼 此 間 沿 著 橢 圓 運 動 。 而 由 焦 點 引 出 的 半 徑 掠 掃 過 的 面 積 極 近 似 於 與 時 間 成 正 比
根 據 上 述 命 題 ， 牛 頓 認 為 兩 個 彼 此 吸 引 物 體 ， 互 繞 的 橢 圓 運 動 ， 其 實 並 不 容 易 受 到 另 一 個 很 遠 極 大 物 體 的 作 用 而 有 所 改 變 。 除 非 是
( 極 大 物 體 ) 所 造 成 的 加 速 吸 引 力 不 均 勻 ， 或 者 是 ( 極 大 物 體 對 兩 物 體 ) 沿 吸 引 方 向 的 平 行 線 發 生 ( 明 顯 ) 傾 斜 ( Ne w ton , 184 6, p. 201) 。
而 這 即 可 說 明 ， 為 何 觀 測 到 行 星 在 繞 太 陽 公 轉 的 同 時 ， 也 可 見 到 衛 星 繞 著 行 星 運 動─除 非 是 星 球 之 間 的 距 離 太 過 接 近 ， 而 發 生 了 攝 動 現 象 (Newton, 1846, pp. 201-202)。 於 是 ， 接 下 來 牛 頓 即 開 始 由 向 心 力 轉 而 開 始 思 考 吸 引 力 的 概 念 。 也 就 是 ：
命 題 69 定 理 29 ： 在 若 干 物 體 A 、 B 、 C 、 D … 等 等 的 系 統 中 ， 如 果 其 中 的 A 吸 引 所 有 其 它 物 體 B、 C、 D … 等 等 ， 則 加 速 力 反 比 於 它 到 吸 引 物 體 距 離
的 平 方 ； 而 另 一 個 物 體 B， 也 吸 引 所 有 其 它 物 體 A、 C、 D … 等 等 ， 則 加 速 力 也 反 比 於 它 到 吸 引 物 體 距 離 的 平 方；而 A 和 B 吸 引 物 體 的 絕 對 力 之 比 ， 就 等 於 這 些 力 所 屬 的 A 和 B 質 量 比 (N e w ton , 1 84 6, p. 216) 。
這 是 因 為 已 知 物 體 所 受 運 動 力 正 比 於 加 速 力 a 乘 以 物 體 的 質 量 m，
而 由 定 律 III 可 知，作 用 力 與 反 作 用 力 大 小 相 等。故 物 體 B 所 受 指 向 A 的 加 速 力 與 由 物 體 A 所 受 指 向 B 的 加 速 力 比，應 等 於 A 的 質 量 比 B 的 質 量 。 換 句 話 說 ， A 所 造 成 B 指 向 A 的 加 速 力 ， 是 由 A 的 絕 對 力 所 造 成 ， 因 此 A 的 絕 對 力 應 正 比 於 A 的 質 量 (Newton, 1846, pp. 216-217)。
由 於「 吸 引 」就 是 物 體 彼 此 間 互 相 接 近 的 一 切 企 圖 (Newton, 1846, p. 217)， 所 以 ， 於 命 題 69 定 理 29 所 提 到 的 吸 引 力 ， 其 實 也 是 一 種 指 向 對 方 的 向 心 力 。 不 過 ， 由 於 之 前 於 討 論 向 心 力 或 吸 引 力 時 ， 考 慮 的
都 是 對 質 點 的 作 用 ， 並 不 考 慮 物 體 質 量 的 分 佈 。 那 麼 在 真 實 世 界 中 ， 實 際 上 具 有 體 積 的 星 球 間 ， 其 作 用 力 是 否 也 是 一 種 距 離 平 方 反 比 力 呢 ？ 後 來 ， 牛 頓 於 探 討 均 勻 球 體 所 受 的 吸 引 力 關 係 時 ， 成 功 運 用 了 微 積 分 技 巧 而 得 到 了 以 下 命 題 (Newton, 1846, p. 221)：
命 題 74 定 理 34 ： 在 相 同 條 件 下 ， 球 外 的 小 球 所 受 到 的 吸 引 力 ， 反 比 於 它 到 球 心 距 離 的 平 方 。
命 題 75 定 理 35 ： 若 作 用 在 給 定 球 上 各 點 的 向 心 力 隨 到 這 些 點 的 距 離 平 方 而 比 例 減 少 。 則 我 認 為 ， 另 一 個 類 似 的 球 也 會 受 到 它 的 吸 引 力 ， 且 該 力 與 兩 球 心 距 離 的 平 方 成 反 比 。
至 此 ， 我 們 可 知 無 論 是 太 陽 、 行 星 或 衛 星 … 等 天 體 ， 於 考 慮 實 際 星 球 所 具 有 的 體 積 時 ， 其 彼 此 間 的 吸 引 力 ， 仍 然 是 一 種 與 兩 球 心 距 離 相 關 的 平 方 反 比 力 。 而 這 也 為 日 後 於 討 論 星 球 之 間 的 吸 引 力 作 用 時 ， 提 供 了 正 確 、 有 效 且 簡 潔 的 數 學 關 係 。
不 過 ， 牛 頓 在 論 述 吸 引 力 的 想 法 時 ， 始 終 未 曾 解 釋 ： 為 何 吸 引 力 可 在 沒 有 任 何 接 觸 或 碰 撞 的 情 況 下 發 生 ？ 而 這 是 機 械 論 者 所 關 切 的 。 為 此，牛 頓 另 外 建 構 了 一 套 實 驗 哲 學，表 明 他 並 不 從 純 哲 學 思 辯 出 發 ， 也 就 是 他 並 不 虛 構 假 說 。 其 創 新 的 立 論 方 式 為 ： 在 《 原 理 》 的 前 二 卷 中 ， 一 律 由 天 體 的 自 然 現 象 (如 由 克 卜 勒 之 面 積 律 、 橢 圓 律 及 週 期 律 ) 導 出 所 有 的 基 本 數 學 命 題 ， 接 著 再 由 數 學 命 題 (而 不 是 假 說 )出 發 ， 而 在 第 三 卷 中 說 明 世 界 的 運 作 體 系 。
以 下，就 是 牛 頓 在《 原 理 》第 三 卷 中，於 開 始 討 論 萬 有 引 力 之 前 ， 所 提 出 自 然 哲 學 研 究 的 四 條 推 理 規 則 ， 如 下 所 示 (Newton, 1846, pp.
384-385)：
規 則 I：所 尋 求 自 然 現 象 的 原 因，不 得 超 出 真 實 和 足 夠 解 釋 其 現 象 的 內 容 。
規 則 II ： 因 此 ， 對 於 相 同 的 自 然 現 象 ， 必 須 盡 可 能 地 尋 求 相 同 的 原 因 。
規 則 III ： 若 物 體 的 特 性 既 不 會 增 加 也 不 會 減 少 ， 且 在 實 驗 所 及 的 範 圍 為 所 有 物 體 所 共 有 ， 則 應 視 為 一 切 物 體 的 普 遍 屬 性 。
規 則 I V ： 在 實 驗 哲 學 中 ， 我 們 由 現 象 所 歸 出 的 命 題 應 被 視 為 完 全 正 確 或 非 常 接 近 真 實 ， 而 不 去 想 像 任 何 與 之 相 反 的 種 種 假 說 ， 直 到 出 現 更 正 確 的 命 題 或 反 例 出 現 的 時 候 。
上 列 的 哲 學 規 則 說 明 了 自 然 現 象 背 後 的 本 質 就 是 簡 單 性 與 普 適 性 ， 因 此 過 多 無 謂 的 原 因 解 釋 ， 反 而 是 一 種 累 贅 。 例 如 ， 在 第 三 卷 命 題 4 定 理 4 的 討 論 中 ， 牛 頓 就 應 用 上 述 的 規 則 I 與 II， 說 明 了 距 離 平 方 反 比 力 與 重 力 的 關 係 ， 其 內 容 如 下 ：
月 球 的 平 均 軌 道 半 徑 約 為 地 球 半 徑 的 60 倍 ， … 。 如 果 月 球 沒 有 了 運 動 ， 則 它 將 會 受 到 使 其 維 持 在 原 本 軌 道 上 的 ( 距 離 平 方 反 比 ) 力 作 用 ， 而 落 向 地 球 。 … ， 當 它 落 在 地 球 表 面 上 時 ， 該 力 應 為 其 在 原 本 軌 道 上 的 6 0
6 0 倍 ( N e w to n , 1 8 4 6 , p p . 3 9 1 - 3 9 2 ) 。亦 即 在 該 命 題 中 ， 牛 頓 根 據 當 時 已 知 的 月 球 週 期 及 地 球 周 長 ， 將
由 距 離 平 方 反 比 力 關 係 可 知 ， 若 月 球 的 位 置 在 地 球 表 面 上 ， 則 其 重 力 加 速 度 應 為 在 公 轉 軌 道 的60 倍，也 就 是2
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。 而 這 與 重 物 在 地 球 表 面 上 實 測 的 重 力 加 速 度9.8m/s2相 比 較，極 為 相 近 ， 相 對 誤 差 僅 為 0.41%。 最 後 ， 牛 頓 於 總 結 時 說 道 ：使 月 球 停 留 在 軌 道 上 的 ( 距 離 平 方 反 比 ) 力 ， 於 月 球 落 到 地 球 表 面 上 時 ， 就 會 變 成 是 我 們 所 看 到 的 重 力 。 所 以 ( 根 據 規 則 I 和 II) ， 使 月 球 停 留 在 其 軌 道 上 的 力 與 我 們 平 常 所 稱 的 重 力 完 全 相 同 ( N e w t on, 184 6, p. 39 2) 。
因 此 ， 無 論 是 在 地 表 的 重 力 或 是 在 天 體 上 的 向 心 力 ， 其 實 都 是 同 一 種 性 質 的 力 ， 也 就 是 距 離 平 方 反 比 力 。 而 由 定 律 III 可 知 ， 在 天 體 之 間 普 遍 存 在 、 互 相 指 向 對 方 的 向 心 力 ， 其 實 都 是 一 種 彼 此 吸 引 的 力 在 作 用 ， 也 就 是 ：
指 向 任 一 行 星 的 重 力 與 由 該 處 到 該 行 星 中 心 距 離 的 平 方 成 反 比 。 … 所 有 的 行 星 之 間 也 會 相 互 吸 引 ( Ne w ton , 1846 , p. 393) 。
由 於 牛 頓 已 經 說 明 月 球 所 受 到 的 向 心 力 ， 或 者 月 球 與 地 球 之 間 的 引 力 ， 就 是 我 們 平 常 所 稱 的 重 力 。 又 因 為 在 地 表 附 近 所 有 的 物 體 都 會 受 到 重 力 ， 因 此 這 種 引 力 是 物 體 所 普 遍 具 有 的 ， 不 但 存 在 於 地 表 與 物 體 ， 同 時 也 普 遍 存 在 於 衛 星 與 行 星 、 行 星 與 太 陽 之 間 ， 也 就 是 所 有 物 體 之 間 ； 而 這 也 可 由 地 球 所 發 生 的 潮 汐 現 象 與 太 陽 及 月 球 對 海 洋 所 造 成 的 引 潮 力 關 係 而 得 到 解 釋 。 於 是 接 下 來 ， 牛 頓 在 第 三 卷 寫 下 了
命 題 7 定 理 7 ： 一 切 的 物 體 之 間 都 存 在 著 一 種 引 力 ， 而 它 正 比 於 各 物 體 所 包 含 的 質 量 ( Ne w ton , 184 6, p. 397) 。
由 於 目 前 所 知 的 一 切 源 自 於 物 體 質 量 的 引 力 ， 都 是 屬 於 距 離 平 方 反 比 力 。 因 此 ， 命 題 7 定 理 7 其 實 就 是 我 們 今 日 所 言 ， 萬 有 引 力 定 律 最 初 的 出 處 。
綜 上 所 述 ， 我 們 可 看 出 ， 萬 有 引 力 的 概 念 在 《 原 理 》 的 推 論 中 ， 並 不 是 如 教 科 書 所 言 ， 是 由 克 卜 勒 週 期 律 與 牛 頓 定 律 II 及 定 律 III 直 接 一 步 到 位 得 知 。 而 是 牛 頓 以 其 超 凡 智 慧 ， 首 先 由 當 時 公 認 正 確 的 克 卜 勒 面 積 律 得 到 向 心 力 的 概 念 ， 接 著 再 搭 配 週 期 律 及 牛 頓 的 定 律 II，
依 序 寫 下 物 體 的 圓 周 及 橢 圓 運 動 向 心 力 的 數 學 式 表 示 ， 也 就 是 向 心 力 是 一 種 距 離 平 方 反 比 力。然 而，當 時 的 牛 頓 並 不 以 此 數 學 命 題 為 滿 足 ， 接 著 他 再 由 定 律 III，結 合 天 體 觀 測 的 結 果 提 出 向 心 力 其 實 就 是 一 種 星 體 彼 此 之 間 的 吸 引 力 ， 並 以 實 證 數 據 證 明 ， 這 種 星 球 之 間 吸 引 的 向 心 力 與 在 地 表 上 各 物 體 所 受 到 指 向 地 心 的 重 力 ， 在 本 質 上 其 實 是 同 一 種 力。因 此，當 牛 頓 於《 原 理 》第 三 卷 分 析 得 知，已 知 所 有 的 行 星 繞 日 、 衛 星 繞 行 星 ， 甚 至 是 月 球 和 太 陽 對 地 表 上 的 潮 汐 漲 落 等 現 象 ， 都 是 吸 引 力 在 作 用 後 ， 即 大 膽 地 由 實 驗 哲 學 的 規 則 ， 拋 棄 機 械 論 的 假 說 ， 而 主 張 所 有 一 切 萬 物 皆 普 遍 具 有 相 吸 引 的 性 質 。 而 這 種 正 比 於 兩 質 點 的 質 量 (
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)平 方 成 反 比 的 吸 引 力 ， 就 是 牛 頓 所 言 的 萬 有 引 力 F， 也 就 是 ：依 序 寫 下 物 體 的 圓 周 及 橢 圓 運 動 向 心 力 的 數 學 式 表 示 ， 也 就 是 向 心 力 是 一 種 距 離 平 方 反 比 力。然 而，當 時 的 牛 頓 並 不 以 此 數 學 命 題 為 滿 足 ， 接 著 他 再 由 定 律 III，結 合 天 體 觀 測 的 結 果 提 出 向 心 力 其 實 就 是 一 種 星 體 彼 此 之 間 的 吸 引 力 ， 並 以 實 證 數 據 證 明 ， 這 種 星 球 之 間 吸 引 的 向 心 力 與 在 地 表 上 各 物 體 所 受 到 指 向 地 心 的 重 力 ， 在 本 質 上 其 實 是 同 一 種 力。因 此，當 牛 頓 於《 原 理 》第 三 卷 分 析 得 知，已 知 所 有 的 行 星 繞 日 、 衛 星 繞 行 星 ， 甚 至 是 月 球 和 太 陽 對 地 表 上 的 潮 汐 漲 落 等 現 象 ， 都 是 吸 引 力 在 作 用 後 ， 即 大 膽 地 由 實 驗 哲 學 的 規 則 ， 拋 棄 機 械 論 的 假 說 ， 而 主 張 所 有 一 切 萬 物 皆 普 遍 具 有 相 吸 引 的 性 質 。 而 這 種 正 比 於 兩 質 點 的 質 量 (