第四章 功與動能的由來
第三節 普遍性功概念的提出－白努利
除 了 命 題 39 之 外，牛 頓 留 待 給 後 人 發 展 的，還 有「 分 力 」作 功 概 念 的 雛 型 。 如 圖 13 所 示 ， 在 《 原 理 》 第 八 章 命 題 40 定 理 13 的 內 容 為 ：
若 有 一 物 體 受 到 某 形 式 的 向 心 力 ( 力 心 為 C ) 作 用，而 在 任 一 路 徑 上 ( 如 V I K ) 運 動 ； 而 另 一 物 體 則 沿 著 直 線 下 降 或 上 升 ( 如 V D E )； 若 已 知 在 某 一 相 同 高 度 時 ( 如 I 與 D ) 它 們 的 速 率 相 等，則 在 其 它 任 意 相 同 高 度 處 ( 如 K 與 E )，它 們 的 速 率 也 都 會 相 等 ( N e w ton , 1 846 , p . 168) 。
圖 13 ： 牛 頓 手 繪 兩 物 體 運 動 之 任 意 路 徑VIK 與 直 線VDE 圖 ，
ITN
為 直 角牛 頓 在 論 證 中 使 用 了 定 律 II 的 推 論 形 式：物 體 速 率 的 增 加 量 正 比 於 力 與 時 間 的 乘 積 ， 即 Δv=FΔt 來 分 析 路 徑 VIK 與 VDE 的 運 動 問 題 。 不 過 ， 由 於 路 徑 VIK 其 實 是 屬 於 二 維 運 動 ， 因 此 牛 頓 特 別 說 明 如 下 ：
力 與 運 動 路 徑 垂 直 的 分 力 ， 絕 不 會 改 變 物 體 的 速 率 ， 而 只 會 把 物 體 拉 離 開 直 線 路 徑，使 之 偏 離 於 軌 道 切 線 方 向 …；至 於 力 在 沿 物 體 運 動 方 向 的 分 力，
則 是 完 全 用 於 加 速 ( 即 速 率 改 變 )( Ne w ton , 184 6, p. 168) 。
以 上 可 說 是 牛 頓 運 用 向 量 概 念 處 理 二 維 運 動 的 證 據 ， 同 時 這 也 為 日 後 普 遍 性 「 作 功 」 概 念 的 出 現 開 啟 了 第 一 扇 窗 。 因 為 牛 頓 認 為 ， 在 二 維 運 動 的 作 用 力 僅 有 在 沿 著 速 度 或 位 移 方 向 上 的 平 行 分 量 F/ /，才 可 造 成 物 體 的 速 度 增 量 ， 而 垂 直 分 量 F則 只 會 改 變 速 度 方 向 。 在 圖 13 中 ， 由 於 D 與 I 至 力 心 C 之 距 離 皆 相 同，即 可 知 在 D 與 I 點 上 物 體 所 受 之 向 心 力 F 大 小 亦 相 同，則 可 用 等 長 之 短 線 段 DE=IN 來 表 示 這 些 向 心 力。
又 已 知 在 D 與 I 處 初 速 相 同 ， 且 極 短 距 離 下 ， 則 位 移 長 度 DE 與 IK，
可 分 別 代 表 由 D 至 E 與 I 至 K 所 費 時 間
t
與 t。 因 此 ， 由 D 到 E 之 速 度 改 變 Δv1，與 由 I 到 K 之 速 度 改 變 Δv2，按 照 上 述 定 律 II 的 推 論 ， 可 寫 為 (姚 珩 、 李 秉 書 ， 2016a)2
1
F t DE DE DE
v
2 2
//
2 F t IT IK IN DE
v
(16)
因 而 可 得 知 兩 速 度 增 量 Δv1和 Δv2彼 此 相 等，其 中 F/ /表 示 力 IN 在 沿 速 度 方 向 (或 沿 位 移 IK 方 向 )上 之 分 量，即 IT，式 中 並 引 用 了 在 直 角 三 角 形 ΔINK 的 邊 長 比 例 關 係 IT IK = IN2。 因 此 ， 在 其 它 任 意 相 同 高 度 處 (如 E 與 K)， 它 們 的 速 度 也 都 會 相 等 ， 而 得 證 。
在 (16)式 中 F/ /表 示 沿 位 移 IK 方 向 上 之 力 分 量 ， 速 度 增 量 Δv 則 正 比 於 「 沿 位 移 方 向 之 力 分 量 F/ /」 與 位 移 IK(或 時 間 t)的 乘 積 ， 這 是 物 理 學 史 上 首 次 出 現「 沿 位 移 方 向 之 力 分 量 」，及 討 論 它 與「 位 移 」乘 積 的 最 初 來 源 。
後 來，瑞 士 數 學 家 白 努 利 (Johann Bernoulli,也 可 寫 成 Jean 或 John, 1667-1748)於 研 究 牛 頓 上 述 的 推 導 過 程 中 ， 得 到 了 啟 發 。 之 後 於 1715 年 ， 他 在 寫 給 伐 立 農 的 信 中 (Capecchi, 2012, p. 201)，更 進 一 步 首 次 提 出 了 「 能 」 (Energy)－ 即 今 日 所 言 「 功 」 (work)的 物 理 概 念 ：
假 想 有 一 個 微 小 運 動 … 施 力 將 會 造 成 前 進 ， 再 不 然 就 是 後 退 的 效 果 ， 除 非 施 力 是 垂 直 於 運 動 的 方 向 。 … 對 於 這 些 前 進 或 後 退 ， 也 就 是 我 所 說 的 虛 速 度 (v irt ua l v el o ci ty， 嚴 格 而 言 為 虛 位 移 )， 那 是 一 種 在 微 小 運 動 中 ， 運 動 狀 態 會 有 加 快 或 變 慢 的 傾 向 (V ar ig non , 1 725 , p . 17 5) 。
… 若 P 點 具 有 往 P p 短 直 線 方 向 的 微 小 運 動 ( 如 圖 14)， 則 到 p 點 後 ， 原 先 推 力 F P 就 改 由 推 力 fp 來 描 述 ， 其 中 fp 與 F P 完 全 平 行 。 … 若 由 原 來 的 P 點 再 畫 出 垂 直 於 推 力 fp 的 線 段 P C ， 則 你 將 會 進 而 得 到 施 力 F 的 虛 速 度 C p ， 此 時 「 F × C p 」 ， 我 稱 之 為 「 能 」 ( V a r ig n o n , 1 7 2 5 , p p . 1 7 5 - 1 7 6 ) 。
… 請 留 意 虛 速 度 C p 不 是 正 值 ， 就 是 負 值 。 若 F 對 P 點 作 用 的 是 推 力 ， 且 角 F Pp 是 鈍 角 ， 則 虛 速 度 C p 是 正 的 ； 若 角 F Pp 是 銳 角 ， 則 虛 速 度 Cp 是 負 的 ( V ar igno n, 172 5, p. 176) 。
圖 14 ： 虛 速 度 Cp 為 位 移 Pp 沿 力 方 向 之 分 量 ， 且 其 值 為 正
此 處 F×Cp 即 是 力 F 與 位 移 Pp 沿 力 方 向 分 量 Cp 之 乘 積 ， 亦 等 同 於 今 日 所 言「 力 F 作 用 在 物 體 形 成 位 移 Pp 所 作 的 功 」， 而 這 也 與 牛 頓 所 言 之 「 力 在 沿 物 體 運 動 (即 位 移 )方 向 的 分 力 」 與 「 位 移 Pp」 的 乘 積 完 全 等 價 ， 因 為 若 由 分 量 關 係 來 看 ， 可 知 ：
F×Cp＝ 力×(位 移 在 沿 力 方 向 的 分 量 )
＝ F×( Pp． cos∠PpC )
＝ ( F． cos∠PpC ) ×Pp
＝ (力 在 沿 位 移 方 向 的 分 力 ) ×Pp
而 這 也 可 說 是 今 日 物 理 教 科 書 中 ， 功 是 力 與 物 體 位 移 之 內 積 概 念 的 初 始 來 源。若 將「 能 」的 正、負 概 念 進 一 步 應 用 在 更 複 雜 些 的 情 況 ， 例 如 ： 當 物 體 同 時 受 到 多 個 外 力 作 用 ， 而 仍 可 以 維 持 平 衡 時 ， 白 努 利 認 為 這 將 符 合 以 下 堪 稱 美 妙 的 數 學 命 題 ：
不 管 是 何 種 直 接 或 間 接 的 力 在 作 用 ， 當 物 體 處 於 靜 力 平 衡 時 ， 這 些 力 所 造 成「 正 的 能 」之 總 和 將 會 等 於「 負 的 能 」之 總 和 ( V ari gnon , 172 5, p . 176) 。
此 命 題 便 是 後 人 所 稱 之 「 虛 速 度 (或 虛 功 )原 理 」。 拉 格 朗 日 (J. L.
這 便 是 歷 史 上 首 次 出 現 力 可 表 示 為 f=ma 的 來 源 (姚 珩、李 秉 書 ， 2015， 頁 24)， 由 於 該 式 的 清 晰 、 簡 潔 ， 之 後 便 一 直 成 為 教 科 書 所 採 用 定 律 II 的 標 準 寫 法，並 對 以 後 力 學 的 運 算 及 發 展 有 很 大 的 推 促 作 用，
影 響 深 遠 。
以 下 ， 我 們 就 來 看 白 努 利 如 何 應 用 f=ma 來 處 理 一 端 固 定 ， 另 一 端 與 受 壓 彈 簧 連 接 之 物 體 的 運 動 問 題 。 由 於 已 知 彈 簧 產 生 形 變 x 時 可 對 物 體 施 以 彈 力 p， 若 最 初 受 壓 物 體 處 於 靜 止 ， 釋 放 後 彈 簧 於 恢 復 至 原 長 時 ， 物 體 恰 脫 離 彈 簧 之 末 速 率 為 v， 則 由 定 律 II 可 知 (Bernoulli, 1736, p. 6)：
vdv mdx
p
接 著 ， 經 積 分 之 後 ， 即 可 得 到 ： pdx vv
m2
。 後 來 於 1742 年 時 ， 白 努 利 再 次 重 新 寫 下 彈 力 p 對 物 體 m 作 用 所 造 成 末 速 率 v 的 關 係 為 ： (Bernoulli, 1742, p. 395)mvv pdx 2
1
它 們 代 表 的 是「 彈 力 對 物 體 所 作 之 功 (因 )＝ 物 體 動 能 之 變 化 (果 )」。 而 我 們 可 由 此 一 彈 力 作 用 的 關 係 式 ， 得 知 當 時 的 「 活 力 守 恆 原 理 」 就 相 當 於 是 今 日 的 「 功 能 定 理 」 。
另 外 ， 除 了 牛 頓 在 命 題 40 定 理 13 提 出 「 分 力 」 作 功 的 數 學 雛 形 之 外 ， 在 該 命 題 中 ， 其 實 他 也 已 經 明 確 地 指 出 ： 在 向 心 力 的 作 用 下 ， 無 論 物 體 是 走 何 種 路 徑 (直 線 或 曲 線 )， 則 物 體 的 瞬 時 速 率 其 實 是 由 高 度 (即 物 體 與 力 心 的 距 離 )所 決 定 。
因 此 ， 在 該 命 題 的 推 論 II 中 ， 牛 頓 就 特 別 提 到 ： 若 物 體 和 力 心 的 距 離 為 r 時 所 受 到 的 向 心 力 為 rn - 1， 且 該 物 體 與 力 心 於 最 大 距 離 R 時 為 靜 止 狀 態 ， 則 由 命 題 39、 40 可 知 ：
對 於 振 動 或 是 其 它 任 意 可 能 的 軌 道 運 動 …，不 論 是 正 在 上 升 或 者 下 降 的 物 體 ， 在 任 意 高 度 r 處 的 速 率 將 會 正 比 於 Rnrn 。 ( N e w t on, 184 6, p. 16 9)
雖 然 ， 牛 頓 當 時 沒 有 對 上 述 的 推 論 結 果 再 做 進 一 步 說 明 ， 不 過 顯 然 他 已 經 知 道 在 向 心 力 的 作 用 下 ， 物 體 的 末 速 率 與 運 動 種 類 或 路 徑 無 關 ， 而 是 由 初、末 位 置 (R、r)就 可 決 定，故 此 推 論 結 果，最 後 也 為 將 來「 位 能 」 的 出 現 埋 下 了 伏 筆 。 至 此 ， 我 們 可 說 ， 牛 頓 最 偉 大 的 貢 獻 在 於 提 出 創 新 的 力 概 念 ， 他 不 但 讓 物 理 學 由 運 動 學 演 進 至 力 學 ， 同 時 也 奠 定 能 量 物 理 學 發 展 的 基 礎 。