地外行星的面積律與橢圓律

一、 以 地 球 為 中 心 的 觀 測 資 料 ， 轉 換 成 太 陽 中 心 的 座 標 表 示

如 何 驗 證 除 地 球 之 外 的 其 它 行 星 ， 例 如 火 星 繞 太 陽 是 否 遵 守 克 卜 勒 面 積 律 與 橢 圓 律 呢 ？ 則 我 們 應 要 想 辦 法 得 知 火 星 在 不 同 時 間 點 時 的 火 日 距 ， 以 及 當 時 火 星 對 太 陽 的 角 速 度 關 係 。 所 以 ， 不 能 再 使 用 上 一 節 發 生 火 星 衝 的 方 式 來 分 析 ， 因 為 若 視 火 星 為 不 動 的 定 點 ， 則 將 無 法 得 知 火 星 的 軌 道 運 動 ； 那 麼 該 如 何 得 知 火 星 在 不 同 位 置 的 火 日 距 與 角 速 度 呢 ？

圖 5： 太 陽

S

、 火 星

M

和 兩 個 地 球 位 置 E_i、

E

_j， 所 形 成 的 四 邊 形

SE

_i

ME

_j

如 圖 5 所 示 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao,

& Lee, 2015)， 在 某 一 任 選 的 時 間 點 ， 假 設 火 星 的 位 置 在 M 點 ， 而 地 球 當 時 的 位 置 在

E

_i， 則 經 過 一 個 火 星 年 (約 687 天 )後 ， 地 球 將 會 運 行

M 和 兩 個 地 球 位 置

E

_i、E ，便 可 形 成 一 個 四 邊 形_j SE_iME_j。若 任 意 選 取

另 外 ， 由 於 四 邊 形 SE_iME_j可 視 為 由

 SE

_i

M

及SE_jM 所 組 成 ， 其 中

測 量 之 值，故 可 令 可 測 量 之 值 k

表 5： 於 不 同 日 期 時 的 地 日 距

r

與 火 日 距

d

日 期

太 陽 於 黃 道 經 度 (^o)

火 星 於 黃 道 經 度 (^o) ( 當 日 )

j(^o)

k

j(^o) r_j

_d

當 日 次 日

i 1 9 7 1 / 1 0 / 1 0 1 9 6 . 2 3 5 1 9 7 . 2 2 3 3 1 7 . 7 2 3

11 8 . 3 2 2 0 . 9 5 8 3 9 . 8 5 3 1 0 0 0 0 0 1 3 7 3 7 0 j 1 9 7 3 / 8 / 2 7 1 5 3 . 7 5 7 1 5 4 . 7 2 3 3 5 . 4 3 5

i 1 9 7 3 / 1 2 / 1 0 2 5 7 . 9 9 6 2 5 9 . 0 1 2 2 6 . 5 8 5

1 2 2 . 0 5 9 0 . 9 1 4 3 4 . 3 8 7 9 8 3 6 2 1 4 7 5 9 9 j 1 9 7 5 / 1 0 / 2 8 2 1 4 . 1 2 2 2 1 5 . 1 2 1 9 2 . 0 6 3

i 1 9 7 6 / 2 / 2 0 3 3 0 . 6 8 5 3 3 1 . 6 9 3 7 9 . 7 2 7

1 5 9 . 2 8 8 2 . 6 8 8 1 2 . 3 6 2 9 7 3 4 3 1 6 0 8 1 4 j 1 9 7 8 / 1 / 7 2 8 6 . 5 1 3 2 8 7 . 5 3 3 1 2 7 . 2 2 5

i 1 9 7 8 / 3 / 1 0 3 4 9 . 2 6 7 3 5 0 . 2 6 6 11 2 . 6 3 8

1 4 0 . 6 5 7 1 . 3 2 9 2 2 . 0 9 0 9 7 4 9 3 1 6 4 3 5 0 j 1 9 8 0 / 1 / 2 6 3 0 5 . 3 6 3 3 0 6 . 3 8 0 1 6 4 . 7 0 6

i 1 9 8 0 / 4 / 2 0 3 0 . 2 6 9 3 1 . 2 4 5 1 4 6 . 9 7 8

1 4 9 . 5 9 6 1 . 7 8 6 1 7 . 7 3 3 9 8 3 1 4 1 6 3 3 5 9 j 1 9 8 2 / 3 / 8 3 4 7 . 2 6 9 3 4 8 . 2 6 8 1 9 7 . 6 7 3

i 1 9 8 2 / 6 / 1 0 7 9 . 0 0 0 7 9 . 9 5 6 1 8 5 . 2 0 2

1 6 1 . 6 6 9 3 . 0 8 0 11 . 6 7 4 9 9 6 7 7 1 5 4 9 3 1 j 1 9 8 4 / 4 / 2 7 3 7 . 0 9 2 3 8 . 0 6 5 2 3 5 . 4 2 3

2、 由 地 球 觀 測 資 料 ， 得 知 火 星 對 太 陽 的 角 速 度

如 圖 7 為 相 隔 一 日 ， 火 星 由 M 運 行 至₁ M 時 ， 太 陽 、 地 球 、 火 星₂ 所 形 成 的 兩 組 四 邊 形 SE_i1M₁E_j1和 SE_i2M₂E_j2。 而 火 星 的 角 速 度 即 為 每 日 火 星 由 M 至₁ M 所 夾 角 度₂



。 對 於

 SE

_j1

M

₁而 言 ， 由 內 角 和 之 關 係 可 得 (項 武 義 、 張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：



























 M₁SE_j1 180 _{j1 j1} 180 118.322 39.853 21.825

a  

圖 7： 相 隔 一 日 太 陽 、 地 球 、 火 星 所 形 成 兩 組 四 邊 形

SE

_i1

M

₁

E

_j1和

SE

_i2

M

₂

E

_j2

同 理 ， 由

 SE

_j2

M

₂的 內 角 和 關 係 及 表 6 可 得

表 6： 相 隔 一 日 後 ， 地 球 觀 測 太 陽 與 火 星 所 得 之 天 文 數 據

日 期

太 陽 於 黃 道 經 度 (^o)

火 星 於 黃 道 經 度(^o) ( 次 日 )

2

j (^o)



^(o)

k

j2(^o)

次 日 再 次 日

i 1 9 7 1 / 1 0 /1 0 1 9 7 .2 2 3 1 9 8 .2 1 3 3 1 8 .0 8 1

11 8 .9 8 9 7 7 . 6 5 3 0 .9 7 0 3 9 . 5 2 5 j 1 9 7 3 / 8 /2 7 1 5 4 .7 2 3 1 5 5 .6 9 0 3 5 . 7 3 4

i 1 9 7 3 / 1 2 /1 0 2 5 9 .0 1 2 2 6 0 .0 2 9 2 6 . 7 6 4

1 2 2 .9 3 8 6 5 . 4 1 9 0 .9 3 4 3 3 . 9 6 3 j 1 9 7 5 / 1 0 /2 8 2 1 5 .1 2 1 2 1 6 .1 2 0 9 2 . 1 8 3

i 1 9 7 6 / 2 /2 0 3 3 1 .6 9 3 3 3 2 .7 0 1 8 0 . 0 2 9

1 6 0 .6 4 2 4 6 . 8 6 2 2 .8 8 1 11 . 5 6 9 j 1 9 7 8 / 1 /7 2 8 7 .5 3 3 2 8 8 .5 5 2 1 2 6 .8 9 1

i 1 9 7 8 / 3 /1 0 3 5 0 .2 6 6 3 5 1 .2 6 4 11 2 .7 3 5

1 4 1 .8 1 0 5 1 . 8 3 5 1 .3 7 7 2 1 . 5 1 5 j 1 9 8 0 / 1 /2 6 3 0 6 .3 8 0 3 0 7 .3 9 6 1 6 4 .5 7 0

i 1 9 8 0 / 4 /2 0 3 1 . 2 4 5 3 2 . 2 2 0 1 4 7 .1 3 8

1 5 0 .7 9 8 5 0 . 3 3 2 1 .8 6 6 1 7 . 0 8 5 j 1 9 8 2 / 3 /8 3 4 8 .2 6 8 3 4 9 .2 6 7 1 9 7 .4 7 0

i 1 9 8 2 / 6 /1 0 7 9 . 9 5 6 8 0 . 9 11 1 8 5 .5 0 8

1 6 2 .9 1 2 4 9 . 6 4 4 3 .3 0 7 1 0 . 9 0 9 j 1 9 8 4 / 4 /2 7 3 8 . 0 6 5 3 9 . 0 3 6 2 3 5 .1 5 3

表 7： 不 同 日 期 時 ， 火 星 的 角 速 度



值

日 期 a(^o) b(^o) c(^o)



^{(o/ d )}

1 9 7 1 / 1 0 /1 0 2 1 . 8 2 5 2 1 . 4 8 6 0 .9 6 6 0 .6 2 7

1 9 7 3 / 1 2 /1 0 2 3 . 5 5 4 2 3 . 1 0 0 0 .9 9 9 0 .5 4 5

1 9 7 6 / 2 /2 0 8 .3 5 0 7 .7 8 9 1 .0 2 0 0 .4 5 8

1 9 7 8 / 3 /1 0 1 7 . 2 5 3 1 6 . 6 7 5 1 .0 1 6 0 .4 3 9

1 9 8 0 / 4 /2 0 1 2 . 6 7 1 1 2 . 11 7 1 .0 0 0 0 .4 4 5

1 9 8 2 / 6 /1 0 6 .6 5 7 6 .1 7 9 0 .9 7 2 0 .4 9 5

3、 由 地 球 觀 測 資 料 ， 得 知 火 星 於 繞 行 太 陽 時 所 對 應 的 張 角

如 圖 8， 以 火 星 在 1971 年 10 月 10 日 位 置 M 作 為 參 考 點 ， 此 時₁ 對 於SE_j1M₁， 為 可 觀 測 值 ，_j1  為 可 由 觀 測 值 推 導 之 值 ， 我 們 可 由_j1 三 角 形 內 角 和 關 係，得 到 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：























180 _{1 1} 180 118.322 39.853 21.825

1 j j

a   。

其 餘 1973 年 12 月 10 日 的 a2、1976 年 2 月 20 日 的 a3… 等 日 期 的 a 值 ， 如 表 8 所 示 。

圖 8： 地 球 於 觀 測 火 星 期 間 ， 火 星 繞 行 太 陽 時 所 對 應 的 張 角

接 下 來 ， 我 們 可 再 由 圖 5 求



的 方 式 ， 由 地 球 的 觀 測 數 據 ， 得 到 在 圖 8 中 地 球 由 E 到_j1 E 對 於 太 陽 公 轉 的 夾 角 。 因 此 ， 若 以 太 陽 S 至_j2 地 球 E 連 線 為 x 軸 ， 即 方 向 角 為 0°時 ， 則_j1

2

二、 以 天 文 數 據 重 現 火 星 的 面 積 律 與 橢 圓 律

1、 重 現 火 星 的 面 積 律

克 卜 勒 行 星 面 積 律 意 謂 著 ， 行 星 與 太 陽 的 連 線 在 相 同 時 間 內 掃 過 相 等 的 面 積 ， 其 數 學 關 係 如 (2)式 。 至 此 ， 我 們 可 結 合 表 5 和 表 7 所 提 供 不 同 日 期 的 日 火 距 d 及 火 星 角 速 度



， 而 得 到 表 9 之 d²_j /d_i²與 /_i _j關 係 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。

表 9： 不 同 日 期 的

d

²_j

/ d

_i²與

 /

_i



_j^{之 關 係}

日 期 d



^{(o/ d ) d2}j ^/di²⁽^x) _i/_j( y) ^{(x－y ) / y}

( %)

1 9 7 1 / 1 0 /1 0 1 3 7 3 7 0 0 .6 2 7 1 .0 0 0 1 .0 0 0 0 .0 0 0

1 9 7 3 / 1 2 /1 0 1 4 7 5 9 9 0 .5 4 5 1 .1 5 4 1 .1 5 1 0 .2 7 3

1 9 7 6 / 2 /2 0 1 6 0 8 1 4 0 .4 5 8 1 .3 7 0 1 .3 6 9 0 .1 3 8

1 9 7 8 / 3 /1 0 1 6 4 3 5 0 0 .4 3 9 1 .4 3 1 1 .4 2 9 0 .1 8 7

1 9 8 0 / 4 /2 0 1 6 3 3 5 9 0 .4 4 5 1 .4 1 4 1 .4 0 8 0 .4 3 0

1 9 8 2 / 6 /1 0 1 5 4 9 3 1 0 .4 9 5 1 .2 7 2 1 .2 6 8 0 .3 5 3

在 表 9 中 ， 火 星 的 d²_j /d_i²與 /_i _j最 大 的 差 距 不 超 過 0.5%， 這 說 明 了 火 星 面 積 率 的 正 確 性 。 而 造 成 誤 差 的 可 能 原 因 是 ， 我 們 將 火 星 的 角 速 度 以 每 日 的 平 均 角 速 度 代 替 了 瞬 時 角 速 度 ， 以 及 火 星 和 地 球 公 轉 軌 道 面 的 夾 角 實 際 上 為 1°53’， 而 不 是 在 同 一 平 面 所 造 成 。 因 此 ， 這 樣 的 結 果 令 人 感 到 興 奮 又 不 意 外 。

2、 重 現 火 星 的 橢 圓 律

在 第 一 節 已 知 最 簡 單 情 況 下 的 傅 利 葉 級 數 表 示 ， 將 會 等 同 於 橢 圓 的 極 座 標 方 程 式 ， 現 將 (5)式 改 寫 如 下



 sin 1 cos

1 1

0 a b

d a  

其 中 ， d 為 行 星 至 太 陽 的 連 線 長 度 ， 而



則 為 行 星 到 太 陽 連 線 的 方 向 角 。

由 於 欲 知

a

₀、a 及₁ b 三 個 未 知 係 數，則 至 少 需 有 三 組₁ (d, )數 據 才 能 求 得。我 們 可 結 合 表 5 和 表 8 所 對 應 的 日 火 距 d 及 火 星 方 向 角



關 係，而 得 到 表 10(項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；Hsiang, Chang, Yao,

& Lee, 2015)。

表 10 ： 各 個 日 期 所 對 應 的 日 火 距 d 及 火 星 方 位 角



關 係

結 果 ， 我 們 可 知 火 星 繞 日 的 日 火 距 倒 數

1 / d

與



的 週 期 函 數 為



 0.00000022sin cos

00000058 .

0 00000669 .

1 0





d  (12)

為 了 實 際 驗 證 上 述 火 星 繞 日 的 週 期 函 數 具 有 普 遍 性，如 表 11，我 們 可 再 選 取 其 它 五 個 不 同 日 期 的(d, )觀 測 數 據 ， 並 以 其 中 的



代 入 (12)式 求 得 其 日 火 距

d 

，並 與 觀 測 的

d

進 行 比 較。由 於

d 

與

d

的 相 對 誤 差 不 超 過 0.9%，則 可 知 (12)式 具 有 相 當 高 的 準 確 性 (項 武 義、張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)。

表 11 ： 選 取 其 它 五 個 不 同 日 期 的 觀 測 數 據 並 與 (12 )式 結 果 進 行 比 較

日 期 d



^(o)

d 

⁽

d 

^-

d

^)/

d

^{( %)}

1 9 8 0 / 4 /2 0 1 6 3 3 5 9 1 8 4 .3 5 7 1 6 3 2 4 6 -0 . 0 6 9

1 9 8 2 / 6 /1 0 1 5 4 9 3 1 2 2 8 .1 6 7 1 5 4 7 3 4 -0 . 1 2 7

1 9 8 4 / 7 /2 5 1 4 3 6 9 2 2 7 5 .6 2 2 1 4 3 6 0 6 -0 . 0 6 0

1 9 8 6 / 9 /2 0 1 3 6 6 9 6 3 3 6 .8 7 0 1 3 6 7 2 7 0 .0 2 2

1 9 8 8 / 1 2 /1 0 1 4 4 3 3 3 4 1 3 .3 3 0 1 4 5 6 0 0 0 .8 7 8

此 外 ， 由 於 (4)式 和 (12)式 具 有 相 同 的 數 學 形 式 ， 故 我 們 可 確 認 火

在文檔中 古典力學中主要基本原理形成過程的探討－從克卜勒行星運動定律到能量守恆定律 (頁 26-42)