地球的面積律與橢圓律

由 於 克 卜 勒 的 天 文 系 統 認 為 ： 地 球 是 繞 著 太 陽 公 轉 並 不 斷 地 移 動 著 。 因 此 克 卜 勒 要 利 用 在 第 谷 在 地 球 上 觀 測 的 天 文 資 料 ， 推 知 行 星 繞 太 陽 運 動 的 三 大 定 律 ， 實 屬 相 當 不 易 之 事 。 以 下 我 們 首 先 說 明 克 卜 勒 於 數 據 應 用 上 的 想 法 突 破 ， 接 著 再 以 現 代 的 數 學 工 具 進 行 分 析 ， 說 明 我 們 現 在 如 何 應 用 地 球 觀 測 的 資 料，重 建 克 卜 勒 的 行 星 運 動 定 律 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)。

由 於 在 地 球 上 只 能 記 錄 行 星 在 天 球 上 的 位 置，而 在 克 卜 勒 的 時 代，

已 有 各 行 星 大 約 是 在 同 一 個 平 面 上 運 行 的 看 法 (例 如：火 星 與 地 球 軌 道 面 的 夾 角 為 1°53’，差 距 小 於 1%)。而 克 卜 勒 同 時 也 注 意 到 從 一 次 太 陽 、 地 球、火 星 三 連 星 (稱 為 火 星 衝 )，到 下 一 次 三 連 星 的 間 隔 約 為 780 天 ， 則 可 據 此 算 出 火 星 繞 日 公 轉 的 週 期 約 為 687 天 。

由 於 地 球 的 繞 日 週 期 約 為 365 天 ， 與 687 天 互 質 ， 因 此 每 當 經 過 687 天 ， 火 星 於 回 到 原 來 的 位 置 時 ， 則 地 球 的 位 置 都 會 完 全 不 相 同 。 接 下 來 ， 我 們 即 可 用 此 火 星 在 平 面 上 相 當 於 固 定 不 動 之 點 的 特 性 ， 再 與 太 陽 靜 止 固 定 的 位 置 進 行 對 照 ， 則 地 球 在 公 轉 軌 道 上 各 個 時 間 點 的 位 置 將 可 被 確 定 ， 如 此 一 來 ， 我 們 將 可 順 利 進 行 地 球 的 面 積 律 與 橢 圓 律 的 分 析 。

圖 1： 太 陽 S 、 火 星 M 與 地 球 E 的 位 置 示 意 圖

如 圖 1 所 示，若 火 星 衝 時 火 星 位 置 為 M 點，地 球 於

E

，太 陽 為

S

， 而

E

_i為 發 生 火 星 衝 之 前 687 天 地 球 的 位 置 、 且 E 為 發 生 火 星 衝 之 後_j 687 天 地 球 的 位 置 。 由 它 們 的 相 對 位 置 ， 我 們 即 可 看 出 ， 太 陽

S

、 火 星 M 和 兩 個 地 球 位 置

E

_i、 E ， 可 形 成 一 個 四 邊 形_j SE_iME_j。

以 下 ， 我 們 將 以 四 邊 形 SE_iME_j作 為 分 析 地 球 運 動 軌 跡 的 基 礎 ， 將 地 球 的 觀 測 數 據 轉 換 成 以 太 陽 為 中 心 的 觀 測 資 料 。

一、 地 球 的 面 積 律

1、 以 地 球 的 觀 測 資 料 ， 得 知 不 同 時 間 的 地 日 距

若 我 們 選 取 1911 年 11 月 25 日 4 時 59 分 發 生 火 星 衝 時 為 觀 測 的 基 準 日 (此 時 太 陽

S

在 黃 道 的 經 度 為 241.815°)， 則 1910 年 1 月 7 日 地 球 位 置 在

E

_i(與 太 陽 的 距 離 為

r

_i， 且 此 時 火 星 M 在 黃 道 的 經 度 為

21.175°，太 陽 則 是 2 86.062°)，E 則 為 1913 年 10 月 12 日 地 球 位 置 (與_j 太 陽 的 距 離 為r ， 且 此 時 火 星 M 在 黃 道 的 經 度 為 103.205°， 太 陽 則 是_j 198.239°)， 如 圖 2 所 示 。 則 由 天 球 上 黃 道 的 經 度 位 置 關 係 可 知 ： (以 上 天 文 數 據，由 美 國 海 軍 天 文 台 MICA Versin 2.2.2 軟 體 演 算 所 得 ) (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)

圖 2：

SE

_i

ME

_j所 形 成 的 四 邊 形



2、 以 地 球 的 觀 測 資 料 ， 得 知 地 球 相 對 於 太 陽 的 角 速 度

至 於 地 球 在

E

_i與 E 時， 相 對 於 太 陽 的 角 速 度_j



_i與 ，則 可 由 地 球_j 在

E

_i與 E 時 ， 至 隔 一 天 的 同 一 時 間 ， 地 球 相 對 於 太 陽 所 行 經 的 角 度 求_j 得。由 於 地 球 與 太 陽 的 位 置 相 差 180°，如 圖 3 所 示。故 接 下 來 我 們 可 將 地 球 為 中 心 的 角 度 觀 測 資 料，轉 換 成 以 太 陽 為 中 心 的 角 度 關 係 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)。

圖 3： 以 地 球 為 中 心 的 座 標 ， 轉 換 成 以 太 陽 為 中 心 的 角 度 座 標

由 觀 測 數 據 可 知 ， 1910 年 1 月 7 日 時 ， 太 陽 在 黃 道 的 經 度 為 286.062°， 而 在 1910 年 1 月 8 日 時 ， 太 陽 在 黃 道 的 經 度 為 2 87 . 081° 。 因 此 地 球 相 對 於 太 陽 ， 於 當 日 的 平 均 角 速 度

i





(180+287.081)－ (180+286.062)＝ 1.019(°/d)

由 於 1913 年 10 月 13 日 時，太 陽 在 黃 道 的 經 度 為 199.229°，則 同 理 可 知 ， 地 球 相 對 於 太 陽 的 平 均 角 速 度 ：

3、 重 現 地 球 的 面 積 律

表 1： 由 火 星 衝 (1 911 年 11 月 25 日 )逆 推 與 順 推 687 天 倍 數 的

 ,  ,  , 

時 間 i _i() _i() _i() ⁱ

(^o/ d )

時 間 j _j() _j() _j() ^j

(^o/ d ) 1 9 1 0 / 1 / 7 9 5 . 11 3 4 4 . 2 4 7 4 0 . 6 3 9 1 . 0 1 9 1 9 1 3 / 1 0 / 1 2 9 5 . 0 3 4 4 3 . 5 7 6 4 1 . 3 9 0 0 . 9 9 0

1 9 0 8 / 2 / 2 0 5 7 . 7 8 1 8 8 . 4 11 3 3 . 8 0 8 1 . 0 0 7 1 9 1 5 / 8 / 3 0 5 8 . 7 7 8 8 6 . 1 2 7 3 5 . 0 9 6 0 . 9 6 7

1 9 0 6 / 4 / 4 2 9 . 2 1 2 1 3 1 . 7 8 3 1 9 . 0 0 5 0 . 9 8 4 1 9 1 7 / 7 / 1 7 3 1 . 4 2 6 1 2 7 . 8 6 6 2 0 . 7 0 8 0 . 9 5 5

1 9 0 4 / 5 / 1 7 3 . 4 5 6 1 7 4 . 1 3 9 2 . 4 0 5 0 . 9 6 3 1 9 1 9 / 6 / 4 6 . 2 7 6 1 6 9 . 3 8 9 4 . 3 3 5 0 . 9 5 7

1 9 0 2 / 6 / 3 0 2 1 . 5 11 1 4 4 . 2 6 2 1 4 . 2 2 7 0 . 9 5 4 1 9 2 1 / 4 / 2 1 1 8 . 9 7 3 1 4 8 . 6 3 5 1 2 . 3 9 3 0 . 9 7 5

1 9 0 0 / 8 / 1 2 4 7 . 6 1 5 1 0 2 . 6 9 8 2 9 . 6 8 7 0 . 9 6 0 1 9 2 3 / 3 / 9 4 6 . 0 9 4 1 0 5 . 6 7 3 2 8 . 2 3 3 0 . 9 9 9

1 8 9 8 / 9 / 2 4 7 8 . 8 0 5 6 0 . 5 1 8 4 0 . 6 7 7 0 . 9 8 1 1 9 2 5 / 1 / 2 4 7 8 . 5 2 5 6 1 . 7 6 0 3 9 . 7 1 5 1 . 0 1 7

1 8 9 6 / 11 / 6 1 3 5 . 1 8 6 1 7 . 3 4 0 2 7 . 4 7 3 1 . 0 0 5 1 9 2 6 / 1 2 / 1 2 1 3 5 . 4 2 7 1 7 . 4 4 3 2 7 . 1 3 0 1 . 0 1 7

1 8 9 4 / 1 2 / 2 0 11 7 . 6 7 0 2 6 . 7 1 4 3 5 . 6 1 7 1 . 0 1 9 1 9 2 8 / 1 0 / 2 9 11 7 . 3 9 9 2 6 . 4 6 3 3 6 . 1 3 8 0 . 9 9 9

1 8 9 3 / 2 / 1 7 0 . 5 7 9 7 1 . 0 0 5 3 8 . 4 1 6 1 . 0 1 4 1 9 3 0 / 9 / 1 6 7 1 . 0 9 2 6 9 . 4 0 7 3 9 . 5 0 1 0 . 9 7 6

1 8 9 1 / 3 / 1 7 3 9 . 8 7 5 11 4 . 7 4 4 2 5 . 3 8 1 0 . 9 9 4 1 9 3 2 / 8 / 2 4 1 . 6 4 5 111 . 3 9 9 2 6 . 9 5 6 0 . 9 5 8

1 8 8 9 / 4 / 2 9 1 3 . 3 2 8 1 5 7 . 4 6 7 9 . 2 0 5 0 . 9 7 1 1 9 3 4 / 6 / 2 0 1 6 . 0 11 1 5 2 . 9 11 11 . 0 7 8 0 . 9 5 4

1 8 8 7 / 6 / 1 2 11 . 7 4 4 1 6 0 . 6 9 6 7 . 5 6 0 0 . 9 5 5 1 9 3 6 / 5 / 7 8 . 9 8 0 1 6 5 . 3 5 4 5 . 6 6 6 0 . 9 6 6

1 8 8 5 / 7 / 2 6 3 7 . 3 9 8 11 8 . 2 3 6 2 4 . 3 6 6 0 . 9 5 6 1 9 3 8 / 3 / 2 4 3 5 . 4 2 2 1 2 1 . 8 0 4 2 2 . 7 7 4 0 . 9 9 1

1 8 8 3 / 9 / 8 6 5 . 8 8 7 7 6 . 3 4 0 3 7 . 7 7 3 0 . 9 7 2 1 9 4 0 / 2 / 9 6 5 . 11 8 7 8 . 1 9 6 3 6 . 6 8 6 1 . 0 1 2

1 8 8 1 / 1 0 / 2 1 1 0 7 . 1 9 7 3 3 . 5 4 4 3 9 . 2 5 9 0 . 9 9 7 1 9 4 1 / 1 2 / 2 7 1 0 7 . 2 6 7 3 3 . 9 4 1 3 8 . 7 9 2 1 . 0 1 9

1 8 7 9 / 1 2 / 4 1 5 1 . 9 2 2 1 0 . 2 4 2 1 7 . 8 3 6 1 . 0 1 5 1 9 4 3 / 11 / 1 4 1 5 1 . 6 4 9 1 0 . 2 0 3 1 8 . 1 4 8 1 . 0 0 7

1 8 7 8 / 1 / 1 6 8 4 . 9 1 9 5 4 . 5 4 7 4 0 . 5 3 3 1 . 0 1 8 1 9 4 5 / 1 0 / 1 8 4 . 9 3 7 5 3 . 5 3 2 4 1 . 5 3 1 0 . 9 8 5

1 8 7 6 / 2 / 2 9 5 0 . 8 0 0 9 8 . 5 6 4 3 0 . 6 3 5 1 . 0 0 3 1 9 4 7 / 8 / 1 9 5 2 . 0 8 8 9 5 . 8 4 0 3 2 . 0 7 2 0 . 9 6 3

表 2 ： 不 同 日 期 的

r

_j²

/ r

_i²與

 /

_i



_j^{之 關 係}

時 間 j 時 間 i

r

_j²

/ r

_i^{2( ＝ x)}  /_i _j( ＝ y) (x－y ) / y( % ) 1 9 1 3 / 1 0 /1 2 1 9 1 0 / 1 /7 1 .0 3 0 1 .0 3 0 0 .0 4 2

1 9 1 5 / 8 /3 0 1 9 0 8 / 2 /2 0 1 .0 4 5 1 .0 4 2 0 .2 9 5 1 9 1 7 / 7 /1 7 1 9 0 6 / 4 /4 1 .0 3 3 1 .0 3 1 0 .1 7 7 1 9 1 9 / 6 /4 1 9 0 4 / 5 /1 7 0 .9 8 7 1 .0 0 6 -1 . 8 8 2 1 9 2 1 / 4 /2 1 1 9 0 2 / 6 /3 0 0 .9 7 0 0 .9 7 8 -0 . 8 6 1 1 9 2 3 / 3 /9 1 9 0 0 / 8 /1 2 0 .9 5 9 0 .9 6 1 -0 . 1 7 1 1 9 2 5 / 1 /2 4 1 8 9 8 / 9 /2 4 0 .9 6 3 0 .9 6 4 -0 . 1 0 3 1 9 2 6 / 1 2 /1 2 1 8 9 6 / 11 /6 0 .9 8 5 0 .9 8 8 -0 . 2 9 7 1 9 2 8 / 1 0 /2 9 1 8 9 4 / 1 2 /2 0 1 .0 2 0 1 .0 1 9 0 .0 9 4

1 9 3 0 / 9 /1 6 1 8 9 3 / 2 /1 1 .0 4 1 1 .0 3 9 0 .2 1 2 1 9 3 2 / 8 /2 1 8 9 1 / 3 /1 7 1 .0 4 1 1 .0 3 8 0 .3 0 0 1 9 3 4 / 6 /2 0 1 8 8 9 / 4 /2 9 1 .0 0 8 1 .0 1 7 -0 . 9 3 4

1 9 3 6 / 5 /7 1 8 8 7 / 6 /1 2 0 .9 5 7 0 .9 8 8 -3 . 1 3 3 1 9 3 8 / 3 /2 4 1 8 8 5 / 7 /2 6 0 .9 6 7 0 .9 6 5 0 .2 11

1 9 4 0 / 2 /9 1 8 8 3 / 9 /8 0 .9 6 3 0 .9 6 0 0 .2 8 5 1 9 4 1 / 1 2 /2 7 1 8 8 1 / 1 0 /2 1 0 .9 8 1 0 .9 7 8 0 .2 8 6 1 9 4 3 / 11 /1 4 1 8 7 9 / 1 2 /4 1 .0 1 6 1 .0 0 8 0 .7 7 7 1 9 4 5 / 1 0 /1 1 8 7 8 / 1 /1 6 1 .0 4 1 1 .0 3 4 0 .6 7 3 1 9 4 7 / 8 /1 9 1 8 7 6 / 2 /2 9 1 .0 4 8 1 .0 4 2 0 .5 7 8 1 9 4 9 / 7 /6 1 8 7 4 / 4 /1 3 1 .0 3 4 1 .0 2 7 0 .6 5 3

在 表 2 中 ， 我 們 可 看 出

r

_j²

/ r

_i²與 /_i _j兩 者 差 距 甚 小 (皆 小 於 4%，

絕 大 部 份 小 於 1%)， 應 可 視 為 相 等 。 由 於 火 星 年 687 天 和 地 球 年 365 天 互 質 ， 此 即 意 謂 在 表 1 中 ， 每 隔 687 天 所 取 的 40 個 地 球 位 置 將 不 會 重 覆 ， 也 就 是 遍 布 在 整 個 地 球 公 轉 的 軌 道 上 。 因 此 ， 由 表 2 的 分 析 結 果 ， 我 們 可 得 知 “ r²



=常 數 ” 在 地 球 軌 道 上 具 有 普 適 的 正 確 性 。

由 以 上 分 析 可 知 ， 克 卜 勒 面 積 律 可 將 由 地 球 觀 測 天 文 的 「 角 度 」 關 係 ， 轉 化 為 原 先 難 以 得 知 的 ， 地 球 於 不 同 位 置 時 的 「 距 離 」 關 係 。 這 是 面 積 律 在 實 際 應 用 上 的 偉 大 之 處 ， 也 是 日 後 牛 頓 發 展 向 心 力 概 念 的 起 點 (項 武 義 、 張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； 項 武 義 、 張 海 潮 、 陳 鵬 仁 、 姚 珩 ， 2010)。

二、 地 球 的 橢 圓 律

1、 橢 圓 方 程 式 與 傅 利 葉 級 數

如 何 由 地 球 觀 測 的 數 據 得 知 地 球 的 軌 道 是 橢 圓 呢 ？ 以 下 ， 我 們 先 由 橢 圓 方 程 式 的 數 學 分 析 開 始。如 圖 4。若 橢 圓 的 一 個 焦 點 在 (－ c, 0)，

則 其 笛 卡 兒 座 標 (x, y)與 極 坐 標 (r, θ)的 關 係 應 可 寫 為 (項 武 義、張 海 潮 、 姚 珩 ， 2010； Hsiang, Chang, Yao, & Lee, 2015)：

c r

x  cos  

, yrsin



(3)

圖 4： 橢 圓 的 笛 卡 兒 座 標 (x, y)與 極 坐 標 (r, θ)的 關 係

已 知 橢 圓 的 笛 卡 兒 座 標 方 程 式 為

x

²

/ a

²

 y

²

/ b

²

 1

， 其 中 a 為 半 長 軸 ， b 為 半 短 軸 。 將 (3)式 代 入 ， 可 得

0 )

cos

( a  c  b

²



r 

,

r ( a  c cos  )  b

²

 0

若 只 取 r 的 正 值 ， 則

2、 重 現 地 球 的 橢 圓 律

由 於 在 地 球 上 的 觀 測 數 據 無 法 直 接 得 知 (5)式 的 r， 而 是 只 能 知 道 地 球 在 r 時 觀 測 天 體 的 角 度 。 不 過 ， 幸 好 我 們 可 由 面 積 律r²



=常 數 c 的 關 係 ， 得 知 ：

 r c 1

所 以 ， 可 再 將 (5)式 改 寫 成





a₀a₁cos b₁sin (6)

也 就 是 藉 著 克 卜 勒 的 面 積 律，我 們 即 可 由 地 球 上 觀 測 的 角 度 數 據，

來 驗 證 地 球 所 運 行 的 軌 道 是 否 符 合 橢 圓 律 ， 也 就 是 (6)式 是 否 成 立 (項 武 義、張 海 潮、姚 珩，2010；項 武 義、張 海 潮、陳 鵬 仁、姚 珩，2010)。

首 先 ， 我 們 應 試 著 求 出 (6)式 的 三 個 未 知 數

a

₀、a 及₁ b ， 而 這 需 要₁ 三 組(



,



)的 數 據 才 能 得 知 。 現 在 ， 我 們 可 隨 意 選 取 以 2001 年 4 月 5 日 太 陽 至 地 球 的 連 線 為 方 向 角



=0°，則 其 它 2001 年 7 月 10 日、2001 年 10 月 15 日 及 2002 年 1 月 20 日 的 方 向 角



及 角 速 度



，將 如 下 表 3 所 示 。

表 3： 計 算 地 球 軌 道 橢 圓 方 程 式 係 數 的 觀 測 數 據

時 間

太 陽 於 黃 道 經 度(^o)



(^o)



(^o/ d )

當 天 隔 日

2 0 0 1 / 4 /5 1 5 . 5 1 7 1 6 . 5 0 0 0

2 0 0 1 / 7 /1 0 1 0 8 .0 5 4 1 0 9 .0 0 7 9 2 . 5 3 7 0 .9 5 3

2 0 0 1 / 1 0 /1 5 2 0 1 .9 4 9 2 0 2 .9 4 1 1 8 6 .4 3 3 0 .9 9 2 2 0 0 2 / 1 /2 0 2 9 9 .9 9 9 3 0 1 .0 1 6 2 8 4 .4 8 2 1 .0 1 8

我 們 將 表 3 的 三 組 (



,



)的 數 據 分 別 代 入 (6)式 中 ， 接 著 即 可 運 算 求 得 三 元 一 次 聯 立 方 程 組 之 解 ， 如 下

0 

a 0.992989, a₁ － 0.00106, b₁－ 0.01663

再 代 回 (6)式 後 ， 即 可 得 地 球 的 橢 圓 軌 道 方 程 式 為





 0.9929890.00106cos 0.01663sin (7)

為 了 驗 證 上 式 的 有 效 性 ， 我 們 再 任 取 八 個 不 同 日 期 的 地 球 觀 察 數 據



，分 別 代 入 (7)式 後 並 設 0.9929890.00106cos 0.01663sin 。 接 著 我 們 比 較 由 計 算 所 得 之  與 觀 測 所 得 之  的 差 距，即 可 得 知 (7) 式 橢 圓 方 程 式 的 有 效 性 ， 如 表 4。

表 4： 任 取 八 個 不 同 日 期 的 地 球 觀 察 數 據 驗 證 橢 圓 方 程 式

在文檔中 古典力學中主要基本原理形成過程的探討－從克卜勒行星運動定律到能量守恆定律 (頁 12-26)