六、函數 6-1

六、函數

6-1

【類題練習 1】 (1) ^f

( )

15 (2) ^f

( )

【類題練習 2】 (1) −4, 5 (2) 5, −2, 1

【想想看】 不是, 因為只知道天數, 並不能確定月份, 例如: 一年中每月 30 天的月份就有 4, 6, 9, 11 這四個月.

【家庭作業】 1. B 2. C

3. f(2) =17 4. f(5) =3 5. 34, −5

− −

6. 12, 2, 31

7. 因為分母x− 不能為 0,所以2 x= 時, 沒有對應的函數值. 2 8. ○¹ f(1)+ f(5)− f(9)=1+5−2=4

○² (1+ + +4 2 8+5+7)×3+1+4 = 86

(0, 3)

(−3, 0)

f(x) = x+ 3 6-2

【類題練習 1】

x −3 0

y 0 3

【類題練習 2】

h(x) =−2 (0,−2) (3,−2)

x 0 3

y −2 −2

【家庭作業】 1. B 2. D

( 5

−2, 0)

(0, 5) f(x) = 2x+ 5 3.

x − ⁵ 2 0

y 0 5

(0, 4) (4, 4) 4.

x 0 4

y 4 4

f(x) =−3, x≥0 (0,−3) (3,−3)

5.

x 0 3

y −3 −3

6.

(0, 2)

g(x) = 6 2 3

− x (3, 0)

x 0 3

y 2 0

7. y= − −x 1 1, 1 1, 1

x x

x x

− + ≥

= ⎨⎧⎩ − <

x 0 1 2

y −1 0 −1 8. ○¹ 3

20 500

y= − x

(0, −1)

(1, 0)

(2, −1)

○² x= 3000⇒ 3

20 3000 2

y= −500× = ^（℃）

9. ○¹ 1

( ) 20 f x = −15x

○² 1

(6) 20 6

f = −15× 3

195

= (公分) (8) 20 1 8

f = −15× 7

1915

= (公分)

○³ 1

(301) 20 301

f = −15× ^＜0

蠟燭燃燒 300 分鐘後,長度剩下 0;

所以不可能燃燒 301 分鐘, 因此 f(301)無解..

6-3

【類題練習 1】 (1) (−1, 3) (2) ( 1 ,−2)

【類題練習 2】

x −3 −2 −1 0 1 2 3 y 18 8 2 0 2 8 18

2 2

y = x

【類題練習 3】 開口由大而小依序為： 1 ^{2 2}

, ,

y= −2x y = −x y = −2x²的圖形

【類題練習 4】 下, 2

【類題練習 5】

x −3 −2 −1 0 1 2 3 y −15 −5 1 3 1 −5 −15

2 2 3 y= − x +

【類題練習 6】

x −4 −3 −2 −1 0 1 2

y 9 4 1 0 1 4 9

( 1)2

y= x+

【類題練習 7】 (1) 右, 2 (2) 左, 3

【類題練習 8】 y=2x² −12x+23 =2(x² −6x+3 )² +23 18− 2(x 3)2 5

= − +

x 0 1 2 3 4 5 6

y 23 13 7 5 7 13 23

2 2 12 23 y= x − x+

【類題練習 9】 y= − +x² 6x−5= −(x² −6x+3 ) 5² − +9 (x 3)2

= − − + 4

x 0 1 2 3 4 5 6

y −5 0 3 4 3 0 −5

2 6 5

y= − +x x−

【家庭作業】 1.

x −1 0 1 2 3

y −11 −2 1 −2 −11

3( 1)2 1 y= − x− +

2. y =

− 2x

3. y = 5x²−10x+2=5(x−1)²−3, 頂點：( 1 ,−3), 對稱軸:x− =1 0

4. 沿鉛直方向向下移動 3 個單位長後, 圖形可與 x 軸相切表示 新圖形頂點在 x 軸上, 亦即y坐標為 0.

原函數式 y =−2(x−1)²+3的圖形頂點為（1,3）, 所以沿鉛 直方向向下移動 3 個單位長, 圖形可與 x 軸相切.

5. 將 y = 的圖形沿水平方向向右移動 3 個單位長, 並沿鉛直方向向下移動 2 個單位長, 新的頂點坐標為

3(x 2)2 1

− − +

（5,－1）, 所以新的函數式為y= −3(x−5)²−1.

6. ^固定函數y =−2x²+6x−3＝ 3 ² 3 2( )

2 2

− x− + ^{的圖形頂點,} 將 圖形旋轉18 , 只改變圖形的開口方向, 所以, 所得的新函 數為

0^D

3 2 3 2( )

2 2

y= x− + . 6-4

【類題練習 1】 圍成邊長為50 公尺的正方形, 面積為最大, 其面積為 2500 平方 公尺.

【類題練習 2】 (1) 將 20 分成 10, 10 兩數, 其平方和最小.

(2) 將 20 分成 10, 10 兩數, 其乘積最大.

【類題練習 3】 (1)不恆為正, 也不恆為負. (2) 恆為負.

【類題練習 4】 x=−5 時, 函數有最大值 48; x= 1 時, 函數有最小值 0.

【家庭作業】 1. 圍成邊長為 75 公尺的正方形面積為最大, 其面積為 5625 平方 公尺.

2. 將 30 分成 15, 15 兩數, 其平方和最小.

3. 將 30 分成 15, 15 兩數, 其乘積最大.

4. 時間為 1/2 秒時, 達到最高點, 其高度為 40.5 呎.

5. x=5 時, 函數有最大值 36; x=2 時, 函數有最小值 6.

6. 因為y = − + + mx² x 的最大值為⁷ 4,

所以, y = − + + mx² x ＝

2

2 1 1

2 4

y= −⎣⎡⎢⎢x − +x ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎥⎦⎥⎤+ +m

的最大值為 ¹

m+ 4=⁷

4. 因此m=3 2^. 7. 因為，當x=3時, f x( )的最小值為－2, 所以 f x( )=ax²+bx+c的頂點為（3,－2）.

因此可設函數式為 ^{f x( )=a x}

(

)

又圖形通過(0, 1), 所以^1=a

(

)

得 1

a= 3,代入 ^{( )}

(

)

(

)

f x =a x− − =3 x− −

= ( ) ^{1 2} 2 1 f x =3x − x+ .

比較係數，得b= −2, c=1,所以 8 a+ − = − . b c 3 8. x²+2y² +z²−6x+4y−10z+13

＝^x2−6x+2

(

)

＝^{x2−6x+ +32 2}

(

)

＝

(

)

(

) (

)

所以最小值為－23.

9. (1) y=2 x−2²+ −x 8² =2(x−2)² +(x−8)² =3x²−24x+ 27

(2) y=3(x−4)²+24 (3) 24