一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入

(1)

(2)





















n n

nn n

n

n n

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a



2 2 1

1

2 2

2 22 1

21

1 1

2 12 1

11

1. 线性方程组

的解取决于 _系数 ^a_ij



ⁱ^, ^j ^ ¹^,²^,_^,ⁿ



^,



i , , ,n



b_i  1 2 

常数项

一、矩阵概念的引入

(3)

















n nn

n n

b a

a a

b a

a a

b a

a a



2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

对线性方程组的研究可转化为对 这张表的研究 . 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为

2. 某航空公司在 A,B,C,D

四城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间 的航班图 , 如果从 A 到 B 有 航班 , 则用带箭头的线连接 A 与 B.

A

B

C D

(4)

四城市间的航班图情况常用表格来表示 :

发站

到站

A B C D

其中表示有航班 .

为了便于计算 , 把表中的改成 1, 空白地方填上 0, 就得到一个数表 :

(5)

1 1

1 0

0 0 0

0

0 0

0

这个数表反映了四城市间交通联接情况 .

A B C D

A B C

D

(6)

二、矩阵的定义二、矩阵的定义

由个数

排成的行列的数表m n m n



ⁱ ^m ^j ⁿ



a_ij  1,2,, ;  1,2,,

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a







2 1

2 22

21

1 12

11

称为矩阵 . 简称矩阵 .m  n ^m ^ ⁿ _记作

(7)



















mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A



1 1

2 22

21

1 12

11

简记为 ^A ^ ^A_m__n ^

 

^a_ij _m__n ^

 

^a_ij ^.

 

_元^的

矩阵 n m

A ,

.

,简称为元

的元素个数称为

这m  n A

元素是实数的矩阵称为实矩阵 , 元素是复数的矩阵称为复矩阵 . 主对角线

副对角线

(8)

例如 



 





 9 6 4 3 5 3

0

1 是一个实矩阵 ,²^ ⁴

















2 2

2

2 2

2

2 6

13 i

是一个复矩阵 ,3  3

















4 2 1

是一个矩阵 ,31



² ³ ⁵ ⁹



是一个矩阵 ,1 4

 

⁴

是一个矩阵 .11

(9)

例如 













2 2

2

2 2

2

2 6

13 i

是一个 3 阶方阵 . 几种特殊矩阵

(2) 只有一行的矩阵



â₁^,â₂^, ^,â_n



^,

A  

称为行矩阵 ( 或行向量 ).

(1)行数与列数都等于的矩阵，称为阶n A n

n. 方阵 . 也可记作A

(10)

2 ,

1



















an

a a

B 

只有一列的矩阵

称为列矩阵 ( 或列向量 ).

称为对角对角矩阵矩阵 ( 或对角阵对角阵） .

















n





0 0

2 1

（ 3 ） 形如的方阵 , O

O 不全为 0

(11)

（ 4 ）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零 矩阵记作或 .

n m 

n

om_

o

注意



⁰ ⁰ ⁰ ⁰



^.

0 0



















不同阶数的零矩阵是不相等的 .

例如

记作 ^A ^ ^diag



^₁^,^₂^,_^,^_n



^.

(12)

(5) 方阵















1 0

0

0 1

0

0 0

1



En

E

称为单位矩阵（或单位阵） . 同型矩阵与矩阵相等的概念

O

1. 两个矩阵的行数相等 , 列数相等时 , 称为同型矩阵 .

全为 1

(13)

2. 两个矩阵为同型矩阵 , 并且对应元 素相等 , 即 ^A 

   

^a_ij 与^B ^b_ij



ⁱ ¹^,²^, ^,^m^; ^j ¹^,²^, ^,ⁿ



^,

b

a_ij  _ij     则称矩阵相等A与B , 记作 A  B.

例如 





























9 3

4 8

3 14

7 3

6 5

2 1

与 为同型矩阵 .

(14)

例 1 n个变量x₁, x₂,, x_n与m个变量y₁, y₂,, y_m之间的关系式





















. , ,

2 2 1

1

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

n mn m

m m

n n

x a

y

x a

y

x a

x a y



的到变量

表示一个从变量 x₁, x₂,, x_n y₁, y₂,, y_m 线性变换 .

为常数. 其中 a_ij

(15)





















. , ,

2 2 1

1

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

n mn m

m m

n n

x a

y

x a

y

x a

x a y





















mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A



1 1

2 22

21

1 12

11



系数矩阵

(16)

线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系 .

若线性变换为











n

n x

y

x y



, ,

2 2

1 1

称之为恒等变换 .











n

n x

y

x y



, ,

2 2

1 1

对应

















1 0

0

0 1

0

0 0

1



单位阵 .

(17)

线性变换













. cos

sin

, sin

cos

1 1

y x

y

y x

x



 ^对应



 



 



cos sin

sin cos

X Y

O   ^{P ,}



^x ^y





₁ ₁



1 x , y P

这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换 .

(18)

例 2 设

1 ,

3 , 1

2 1

3

3 2

1 



 



 



 



 

z y

B x A

. , ,

, x y z B

A 求

已知 

解  A  B,

. 2 ,

3 ,

2  



 x y z

(19)

三、小结三、小结

(1) 矩阵的概念



















mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A



1 1

2 22

21

1 12

11

列的一个数表行n

m

(20)

(2) 特殊矩阵

 



 



^方阵

^

^m ^ ⁿ

^

^;

行矩阵与列矩阵 ; 单位矩阵 ;

对角矩阵 ;对角矩阵 零矩阵 .

. 1 0

0

0 1

0

0 0

1



















2 ,

1



















an

a a

B 



â₁^,â₂^, ^,â_n



^,

A  

















n





0 0

2 1

(21)

思考题思考题

矩阵与行列式的有何区别 ?

(22)

思考题解答思考题解答

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同 .

一、矩阵概念的引入 一、矩阵概念的引入









一、矩阵概念的引入

一、矩阵概念的引入

二、矩阵的定义 二、矩阵的定义





 

 

 





 





o









   













三、小结 三、小结

 



 











思考题 思考题

思考题解答 思考题解答

一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入

二、矩阵的定义二、矩阵的定义

三、小结三、小结

^

^

思考题思考题

思考题解答思考题解答