勾股定理證明-G200
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH .
2. 在 AH 上取一點 F ，使得 HF AC b，以 HF 為邊長向外作正方形 HFGO . 3. 在 FG 上取一點 L ，使得 GLBC a，以 GL 為邊長向外作正方形 GLDE . 4. 在 GO 上取一點T ，使得 OT BC a，連TH , TD .
5. 過T 點作垂直 FH 的直線，交 FH 於 N 點， DL , TN 相交於 M 點。
6. 分別以 A 點, H 點為圓心， AC , BC 為半徑畫圓，兩圓相交於 P 點，連 PA , PH . 7. 延長 HP 至Q 點，使得 HQ ACb，連 QK .
8. 延長 KQ 至 R 點，使得 KR ACb，連 RB . 9. BR , AP 相交於 S 點。
A B
H
C
K E D
G F
N R M
P S Q L
T
O
【求證過程】
以 AB 為邊長向外作正方形 ABKH ，證明正方形 ABKH 面積等於正方形GLDE 的面 積加上正方形 HFGO 的面積，最後推出勾股定理的關係式。
1. 證明三角形AHP 全等於三角形 DTM ： 因為 AP AC, HPBC, AH AB，所以
AHP ABC
(SSS 全等).
因為TM ED a BC, DM ET EO TO (a b ) a b AC, 90
DMT ACB
，所以
DTM ABC
(SAS 全等).
故
. AHP DTM
2. 證明三角形 HKQ 全等於三角形TDE ：
設 CAB x, CBA y，且已知x y 90。因為
90 90
QHK AHP CBA CAB
, HQ ACb, HK AB，所以 HKQ ABC
(SAS 全等).
因為 DE a BC, ET b AC, TED90 ACB，所以 TDE ABC
(SAS 全等), 故
. HKQ TDE
3. 證明三角形 KBR 全等於三角形 HTO ：
因為BKR90 HKQ90 CBA CAB, KR ACb, BK AB，所以 KBR ABC
(SAS 全等).
因為 OT BCa, OH b AC, TOH 90 ACB，所以 HTO ABC
(SAS 全等).
故
KBR HTO
. 4. 證明三角形 BAS 全等於三角形THN ：
因為
90 90
ABS KBR CBA CAB
,
90 90
SAB PAH CAB CBA
, BAAB，所以 BAS ABC
(ASA 全等).
因為 NC TO a BC, TN OH b AC, TNH 90 ACB，所以 TNH ABC
(SAS 全等).
故
BAS THN
. 5. 證明四邊形 PQRS 的面積等於四邊形 FLMN 的面積：
四邊形 PQRS 中，因為 AHP ABC, HKQ ABC, KBR ABC，所以 90
APH ACB
, QKH ACB90, KRB ACB90，可推得
90 SPQ PQR QRS
，因此
四邊形PQRS的四個內角都是直角，
又因為 PQHQHP b a, QRKRKQ b a，所以 ( )2
PQRS b a
四邊形 是面積為 的正方形。
四邊形 FLMN 中，因為四個內角都是直角， FLFGLG b a,
LM GT GO TO b a，所以
( )2
PFLMN b a
四邊形 是面積為 的正方形。
故
PQRS FLMN
四邊形 面積 四邊形 面積。
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH AHP HKQ KBR BAS PQRS
DTM TDE HTO THN FLMN
GLDE HFGO
正方形 面積 面積 面積 面積 面積 面積
面
四邊形
四邊形
正方形 正方
積 面積 面積
形
面積 面積
面積，
即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：根據魯米斯( E.S. Loomis ) 在他的著作《勾股定理》中說：這個證明是他在 1926 年 3 月 26 日想到的。
2. 心得：此證明將正方形ABKH 面積切割成四個直角三角形以及一個小正方形，四個 直角三角形可以再拼成兩個長方形，接著再證明兩個長方形加上一個小正方 形的面積，剛好等於正方形 GLDE 的面積加上正方形 HFGO 的面積，是個滿 特別的證明方式，切割的方式也很有美感。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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