§６．１　重积分的定义

第七章 重积分

本章主要讨论多元函数的积分学. 对多元函数来说, 积分区域是多样的. 就二元函数而 言, 积分域可以是平面内的区域或平面内的曲线. 对三元函数来说, 积分域可以是空间的立 体, 空间的曲线和曲面等. 通过以下各章的学习, 我们会发现这些积分定义中的思想是相同 的, 但各种积分的计算则有较大的差别. 读者在多元积分学中应在掌握各种积分的定义的基 础上, 熟练掌握各种积分的计算方法.

§６．１　重积分的定义

本节中我们主要详细介绍二重积分的定义, 读者不难利用本节的方法, 自己给出n )

3

(n≥ 重积分相应的定义.

1.1 区域的面积

为了将定积分推广至二元函数在平面区域内的积分, 首先必须解决平面区域的面积的 定义问题.

回忆一下, 在初等数学中, 我们能求出多边形区域的面积. 在定积分中, 我们会求曲边 梯形的面积. 设y = f(x)^在[a,b]连续, 并且对一切x∈[ ba, ]^有f (x)>0. 则由y= f(x)^,

] , [ ba

x∈ ^, x轴, x =a^及x =b^{围成了一个曲边梯形Q}. 从定积分的定义我们可以看出 ,

Q的面积实际上是Q的所有外接多边形的面积的下确界, 同时它也是Q的所有内接多边形 的面积的上确界.

以上的讨论启发我们给出以下定义. 设A是一个多边形, 记m( A)为A的面积.

定义 1: 设E是平面内的一个点集, 记

{ }

{

^{BA BA BE⊂EA}

}

^.

=

⊂

=

是多边形且

是多边形且 ； m

M

若inf m(A) supm(B)

A∈M = B∈m , 则称E是可求面积的. 上式中的公共值称为E的面积, 记作 )

( E m .

若一个区域D是由逐段光滑的曲线围成时, 则D是可求面积的. 事实上, 我们可以对 D分成一些曲边梯形的并, 从而转化为定积分的问题.

另外, 设非负函数y= f(x)^, x∈[ ba, ]^是[a,b]上一个不可积的函数. 记

{

^{x y y f x a x b}

}

E = ( , ) 0≤ ≤ ( ), ≤ ≤ , 则E是没有面积的. 因为f(x)^在[a,b]^{上达布上和的下确界} inf m(A)

A M∈

= ^{, 而达布下和的上}

确界 supm(B)

B m∈

= . 由f(x)的不可积我们推出

) ( sup ) (

inf m A m B

A∈M > B∈m ^.

从而说明了E是不可求面积的.

从面积的定义中可以看出, 一个区域D^{是有面积的充要条件是}D^的边界∂D^是有面积

的, 并且m(∂D)=0.

1.2 二重积分的定义

设D是平面内一个可求面积的有界闭区域, z= f(x,y)^是D上的一个非负连续函数.

从几何上看, z= f(x,y),(x,y)∈D是空间的一块曲面. 它确定了一个以D^{为底的曲顶柱} 体V . 现在我们来求它的体积v.

我们下面利用定积分的思想. 我们首先用光滑曲线将D^分成n^{个小块闭区域}∆D₁^, Dn

D ∆

∆ ₂,L, , 我 们 称 给 了 D 的 一 个 分 划 . 由 于 D 可 求 面 积 , 从 而 每 个

) , , 2 , 1

(j n

D_j = L

∆ 也可求面积, 记它的面积为∆σ_j^{. 从}D的这个分划, 我们得到了n^个以

) , (x y f

z = ^, (x,y)∈∆D_j 为 顶 , 以∆D_j 为 底 的 曲 顶 柱 体V_j . 在∆D_j ^{上 任 取 一 点}

) ,

(ξ_j η_j , 我们得到了∆V_j^{体积的一个近似值} f(ξ_j,η_j)∆σ_j. 由此我们得到v^{的一个近似}

值

∑

=

∆

≈ ⁿ

j

j j

f j

v

1

) ,

(ξ η σ ^.

记

{

j^的直径

}

n j

∆D

= 1≤ ≤

λ max ^{, 当}λ→0^时若

∑

=

→ ⁿ ∆

j

j j

f j

0 1 ( , )

lim ξ η σ

λ

存在, 则我们便求出了V 的体积.

由此我们有以下定义.

定义 2: 设D是平面内可求面积的闭区域, z = f(x,y)^是定义在D上的函数. 用光滑 曲线族将D作一分划∆D₁,L,∆D_j,L,∆D_n, 记∆D_j^的面积为∆σ_j和

{

j^的直径

}

n

j ∆D

=max1≤ ≤

λ ^.

在每个∆D_j^{上任取一点}(ξ_j,η_j)^{, 作和数}

∑

=

∆

= ⁿ

j

j j

f j

I

1

) ,

(ξ η σ ^.

如果不管分划及(ξ_j,η_j)^{如何选取, 当}λ →0^时 I 的极限存在, 则称z= f(x,y)^在D^上可 积, 并称此极限为f(x,y)^在D内的二重积分. 记为





∆

=

∑

∫∫

→ ₌

n

j

j j j D

f dxdy

y x f

0 1 ( , )

lim )

,

( ξ η σ

λ .

) , (x y

f 称为被积函数, D称为积分区域.

用ε−δ 语言可以将以上定义更加精确化. 称z= f(x,y),(x,y)∈D^在D上可积, 若 存在某定数 A, 对任意的ε >0^{, 存在}δ >0^{, 使得对}D^{的任何分划}∆D₁,L,∆D_j,L,∆D_n, 对任意的(ξ_j,η_j)∈D_j^{, 只要λ =} _{≤ ≤}

{

^∆ j^的直径

}

^<δ

n j

D

1

max 时, 就有

ε σ

η

ξ ∆ − <

∑

=

A f

n

j

j j j 1

) ,

( .

读者不难自己给出n(n≥3)重积分的定义.

习题 1: 叙述三重积分的定义.

§６．２　重积分的存在性与性质

在本节中我们先讨论重积分的存在性问题, 然后再讨论重积分的一些基本性质.

2.1 重积分的存在性

我们这里只讨论二重积分.

设D是平面内具有面积的区域, z= f(x,y)^是D上的一个函数. 我们首先注意到: 若

) , (x y

f ^在D无界, 则它在D的二重积分一定不存在. 该事实的证明完全与定积分中相应 性质的证明类似. 因此我们下面总假定所论及的函数是有界的.

对D^{的任何一个分划}∆D₁,L,∆D_n, 相应地z= f(x,y)^在每个∆Dj^{上有上确界}Mj ,

下确界m_j, 及振幅ω_j =M_j −m_j. 从而我们得到了关于该分划的达布上和及下和

∑

= ∆

= ⁿ

j

j

Mj

D f S

1

) ,

( σ ^,

∑

= ∆

= ⁿ

j

j

mj

D f s

1

) ,

( σ ^.

记I =inf S(f,D)^, I =sups(f,D). 以上的上下确界是对D的所有分划取的, 则如同定 积分中相应性质, 我们可得到以下的定理.

定理 1: 设D是平面内可求面积的区域, z= f(x,y)^在D内有界. 则以下命题等价:

1）z= f(x,y)^在D内可积.

2）∀ε >0^, ∃δ >0^{, 对D的任何分划}∆D₁,L,∆Dn, 只要

{

j^的直径

}

n

j D

D = ∆

≤

≤ 1

max ) λ( δ

< ^{, 就有}

ε σ ω ∆ <

=

−^{s f D}

∑

^{j j}

D f

S( , ) ( , ) .

3）∀ε >0^, ∃ D^的分划∆D₁,L,∆D_n, 使得 ε

<

− ( , ) )

,

(f D s f D

S .

4）I =I^.

由此我们可以得到以下的结果.

定理 2: 设D是平面内可求面积的区域, z = f(x,y)^在D连续. 则z = f(x,y)^在D可 积.

2.2 积分的性质

定理 3: 设D是平面内可求面积的闭区域, z₁ = f(x,y), z₂ = g(x,y)^{在D可积. 则以}

下结论成立:

1） 对任意的常数a,b, af +bg^在D可积且

∫∫

∫∫

∫∫

^{+ = +}

D D

D

gdxdy b

fdxdy a

dxdy bg af )

( .

2）在D上若f(x,y)≤ g(x,y)^{, 则}

∫∫

∫∫

^≤

D D

dxdy y x g dxdy y x

f( , ) ( , ) .

3） f(x,y)^在D内可积且

∫∫

∫∫

^≤

D D

dxdy y x f dxdy y x

f( , ) ( , ) .

4）积分第一中值定理: 若f(x,y)^在D内连续, 则∃(ξ,η)∈D^{, 使得} )

( ) , ( )

,

(x y dxdy f m D

f

D

η ξ

∫∫

= ^.

5）设D₁, D₂是可求面积的闭区域, 且D₁UD₂ =D, D₁°ID₂°=∅. 则f 在D可积 的充要条件是f 在D₁, D₂可积, 且

∫∫

∫∫

∫∫

^{= +}

2 1

) , ( )

, ( )

, (

D D

D

dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x

f ^.

以上定理的证明可仿照定积分的证明给出, 请读者自行补出.

§６．３　化重积分为累次积分

3.1 化二重积分为累次积分

在利用定积分计算旋转体的体积时, 我们所用的方法是对垂直该直线的截面积进行积 分的. 从二重积分的几何意义, 我们不难得到以下的计算方法.

定理 1: 设f(x,y)在矩形D=[a,b]×[c,d]可积, 并且对任意的x∈[ ba, ], 积分I( x)

∫

= ^d

c f(x,y)dy存在. 则

∫

∫

∫

∫∫

^{= =} c^d

b a b

D a

dy y x f dx dx

x I dxdy y x

f( , ) ( ) ( , ) .

证明: 对[a,b]及[ dc, ]分别作分划

. ,

1 0

1 0

d y y

y c

b x x

x a

m n

=

<

<

<

=

=

<

<

<

=

L L

由 此 我 们 得 到 小 矩 形 ∆σ_ij =[x_i−1,x_i]×[y_j−1,y_j],(i=1,2,L,n, j =1,2,L,m) . 记

) , (x y

f ^在∆σ_ij^{上的上下确界分别为}Mij及m_ij, 则对∀ξ_i ∈[x_i−1,x_i], 我们有

j ij y

y i

j

ij y f y dy M y

m ^j

j

∆

≤

≤

∆

∫

−1

) ,

(ξ ^,

从而有

∫ ∑

∑

= =

∆

≤

=

≤

∆ ^m

j

j ij i

d

c i

m

j

j

ij y f y dy I M y

m

1 1

) ( )

,

(ξ ξ

及

∑∑

∑

∑∑

= = ∆ ∆ ≤ = ∆ ≤ =ⁿ = ∆ ∆

i m

j

i j ij n

i

i i n

i m

j

i j

ij y x I x M y x

m

1 1

1

1 1

)

(ξ ^.

注意到当^max

{

^,

}

⁰

1

1 ∆ ∆ →

≤

≤

≤

≤ i j

m j

n

i x y 时, 上面不等式的两端都趋向于

∫∫

D

dxdy y x

f( , ) . 而由定积分

的定义知

∑

= n ∆

i

i

i x

I

1

(ξ ) ^趋于

∫

^abI(x)dx. 定理得证.

显 然 , 当z= f(x,y) ^在D=[a,b]×[c,d]可 积 , 且 对 任 意 的 y∈[ dc, ]^, I( y)=

∫

^{ba f(x,y)dx存在时, 我们有}

∫

∫

∫∫

^{= cd ab}

D

dx y x f dy dxdy

y x

f( , ) ( , ) .

特别地, 当z= f(x,y)^在D=[a,b]×[c,d]连续时, 我们有

∫

∫

∫

∫

∫∫

^{= ab cd = cd ab}

D

dx y x f dy dy

y x f dx dxdy

y x

f( , ) ( , ) ( , ) .

下面我们进一步讨论夹在两条平行于坐标轴的直线之间的区域的二重积分的计算问题.

定理 2: 设D=

{

⁽x^,y⁾ a≤ x≤b^,ϕ1⁽x⁾≤ y ≤ϕ2⁽x⁾

}

^{, 其中}ϕ₁(x)^与ϕ₂(x)^在[a,b]连

续. f(x,y)^在D可积, 且对任意的x∈[ ba, ]^{, =}

∫

1²⁽⁽⁾⁾

) , ( )

( ^x

x f x y dy

x

I ^ϕ

ϕ 存在. 则

∫

∫

∫∫

⁼ (⁽)⁾

2 1

) , ( )

,

( ^x

x b D a

dy y x f dx dxdy

y x

f ^ϕ

ϕ .

证明: 任取一矩形D₁ =[a,b]×[c,d]^{, 使得}D⊂D₁^{. 定义}





∈

= ∈

.

\ ) , ( ,

0

, ) , ( ), , ) (

,

~(

1 D

D y x

D y x y x y f

x f

由二重积分的性质知~( , ) y x

f ^在D₁可积, 且对任意的x∈[ ba, ]^,

) ( )

, ( )

, ( )

( ( )

) (

) ( ) ( 1

2 2 1

1 f x y dy I x

dy y x f x

I ^d

x x x x c d

c  =

 + +

=

=

∫ ∫ ∫ ∫

ϕ

ϕ ϕ

ϕ .

由定理 1, 我们有

. ) , (

) ,

~( )

,

~( )

, (

) (

) (

2 1 1

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫∫

=

=

=

x x b a

d c b a D

D

dy y x f dx

dy y x f dx dxdy

y x f dxdy y x f

ϕ ϕ

定理证毕.

如果区域D=

{

⁽x^,y⁾ c≤ y≤d^,ψ1⁽y⁾≤ x≤ψ2⁽y⁾

}

^{, 其中}ψ₁(y)^与ψ₂(y)^{是[ dc, ]}

上的连续函数 . f(x,y)^在D可积, 且对任意的y∈[ dc, ]^{, =}

∫

1^{2(( ))}

) , ( )

( ^y

y f x y dx

y

I ^ψ

ψ 存在.

则

∫ ∫

∫∫

⁼ c^d

y D y

dx y x f dy dxdy

y x

f ^{( )}

) (

2 1

) , ( )

,

( ^ψ

ψ .

若一个区域能分成若干个以上我们讨论过的区域, 则二重积分的计算即可归结为定积 分的计算.

例 1: 求

∫∫

⁻

D

dxdy y x^{2 2}

4 , 其中D^是由y=0,y=x^和x =1所围成的区域.

解:

∫∫

^{4 2 − 2 =}

∫ ∫

^{01 0x 4 2 − 2}

D

dy y x dx dxdy y x

3 . 2

3 3 1 3

2 3

arcsin 2 2

2 4

1 0

2 1

0 0

2 2 2







 +

 =





 +

=



 − +

=

∫

∫

₌⁼

π π x dx

x dx x y

y y x

y x y

显然, 以上积分也可以化为

∫ ∫

^{01dy y1 4x2 −y2dx}. 但读者不难发现如果采取这种积分 顺序, 计算是十分复杂的. 由此可见, 积分顺序的选取对积分的计算有很大的影响.

例 2: 求由z= xy, z= x+ y,x+ y=1, x=0, y =0所围立体的体积.

解: 设^D=

{

(^x,^y) 0≤^x ≤1, 0≤ ^y≤1−^x

}

, 则此立体的体积可看为底为D的两个曲 顶分别为z = x+y^及z= xy的柱体的体积之差.

[ ] [ ]

27 ) 4

( )

( ¹

0 1

0 + − =

=

− +

=

∫∫ ∫ ∫

^−x

D

dy xy y x dx dxdy xy y x

V .

例 3: 用两种不同的顺序将二重积分 ⁼

∫∫

D

dxdy y x f

I ( , ) 化为累次积分 , 其中D是由

2 ,

,

0 = ³ + =

= y x x y

y 所围.

解: 如果先对y积分, 则上限函数是分段函数, 因此有

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−

−

=

+

=

1 0

2

2 1

2 0 1

0 0

3 1 3

. ) , (

) , ( )

, (

y

y

x x

dx y x f dy

dy y x f dx dy y x f dx I

例 4: 计算积分^{I =}

∫ ∫

^{01dx x xsin}_y^ydy.

解: 由于

y y

sin 没有初等原函数, 所以我们不能直接计算. 设D^是由y =x ^和y = x

在第一象限所围成的区域, 则I是

y

z =sin y ^在D的二重积分. 从而我们有

1 sin 1 ) sin (

sin ¹

0 1 2

0 ² = − = −

=

∫ ∫

^dy _y^ydx

∫

_y^{y y y dy}

I ^y

y .

由本题可知正确选择积分顺序的重要性.

3.2 化三重积分为累次积分

类似于二重积分的讨论, 我们有以下三重积分的计算方法.

设空间闭区域V 是由xy平面的可求面积的闭区域上定义的两块曲面所确定的, 即

{

⁽x^,y^,z^{) (}x^,y⁾ D^, 1⁽x^,y⁾ z 2⁽x^,y⁾

}

V = ∈ ϕ ≤ ≤ϕ ^.

其中ϕ₁(x,y)^及ϕ₂(x,y)^{在D连续, f(x,y,z)在}V 可积, 且对任意的(x,y)∈D,

∫

= ^{( , )}

) , (

2 1

) , , ( )

,

( ^xy

y

x f x y z dz

y x

I ^ϕ

ϕ

存在. 则

∫

∫∫

∫∫∫

⁼ 1^2((,,))

) , , ( )

, ,

( ^xy

y x D

V

dz z y x f dxdy

dxdydz z

y x

f ^ϕ

ϕ .

如果空间区域V 是介于两个平面之间, 即

{

^{(x,y,z) c z d,(x,y) D(z)}

}

V = ≤ ≤ ∈ ^,

其中D(z)是平面z = z^与V 的截面, 且可求面积. f (x,y,z)在V 可积, 且固定z ^时在

) (z

D 二重可积, 则

∫∫

∫

∫∫∫

⁼

) (

) , , ( )

, , (

z D d c V

dxdy z y x f dz dxdydz

z y x

f ^.

例 1: 计算三重积分 ⁼

∫∫∫

^{+ +}

V

dxdydz z

y x

I ( )² , 其中 : ₂ 1

2 2 2 2

2 + + ≤

c z b y a

V x .

解: 从积分区域的对称性及函数的奇偶性可以看出

=0

=

=

∫∫∫ ∫∫∫

∫∫∫

V V V

yzdxdydz xzdxdydz

xydxdydz ,

所以

∫∫∫

^{+ +}

=

V

dxdydz z

y x

I ( ^{2 2 2}) .

我们先计算

∫∫∫

V

dxdydz

x² . 注意到平面x= x^与V 的截面D(x)为

1 1

1 ₂

2 2

2

2 2 2

2 ≤



 − +



 −

a c x

z

a b x

y ,

这个椭圆的面积为





− ₂²

1 a

bc x

π ^{, 我们有}

15 .

1 ₂ 4 ³

2 2

) ( 2 2

bc a a dx

bcx x

dydz dx

x dxdydz x

a a

x D a

a V

π

π =



 −

=

=

∫

∫∫

∫

∫∫∫

−

−

类似地我们有

c ab dxdydz

y

V

3 2

154 π

∫∫∫

=

及

15 .

4 ₃

2dxdydz abc y

V

π

∫∫∫

=

所以

).

15 (

4 2 2 2

c b a abc

I = π + +

例 2: 计 算 重 积 分 ⁼

∫∫∫

^{+ +}

V

dxdydz z

y x

I ( ) , 其 中V 是 由 曲 面 2z= x² +y^{2 与}

2 3

2

2 +y +z =

x 所围成的区域.

解: 如图, 两曲面的交线为z=1平面上的 圆x² +y² =2. 由对称性

=0

=

∫∫∫

∫∫∫

V V

ydxdydz

xdxdydz .

所以

z 3 1

O 2 y

3 . ) 5 3 (

3 1 1 2

0 2

) ( 3 1 )

( 1 0

π π

π + − =

=

+

=

=

∫

∫

∫∫

∫

∫∫

∫

∫∫∫

dz z z dz

z

zdxdy dz

zdxdy dz

zdxdydz I

z D z

D V

§６．４　重积分的变量替换

4.1 二重积分的变量替换

大家知道, 变量替换在定积分计算中起着非常重要的作用. 设 f(x)^在[a,b]连续,

) (t

x =ϕ ^在α ≤t ≤β连续可微、严格递增, 且ϕ(α)=a,ϕ(β)=b^{, 则我们有}

∫

∫

^bf x dx⁼ α^β f ϕ t ϕ^′ t dt

a ( ) ( ( )) ( ) . （1）

我们当时是用 Newton-Lebnitz 公式给了上式的证明. 由于二重积分没有相应的公式, 因 此我们必须用别的方法来推导二重积分的变量替换公式. 为此我们对定积分的变量替换公 式再给一个证明.

显然, 在假定下（1）两边的积分是存在的. 为此我们只要证明它们是相等的即可.

将

[ ]

^{α,β 作分割α =t0 <t1 <L<tn = β, 相应地得到[a,b]的一个分割}

b t t

t

a =ϕ(₀)<ϕ(₁)<L<ϕ( _n)= . 由于

i i i

i i

i

i x x t t t

x = − = − = ′ ∆

∆ ₋₁ ϕ( ) ϕ( ₋₁) ϕ (ξ ) ^,

令η_i =ϕ(ξ_i), 我们得到了等式

( )

∑

∑

= =

′ ∆

=

∆ ⁿ

i

i i i n

i

i

i x f t

f

1 1

) ( ) ( )

(η ϕ ξ ϕ ξ ^.

由ϕ(t)^{的一致连续性, 当 =max}_1≤≤

{ }

^∆ i ^→0 n

i t

λ ^{时, 有max}_1≤≤

{ }

^∆ i ^→0 n

i x . 从而当λ →0^时即得

到了（1）.

从这种证明的本质可以看出, 所谓积分的变换无非是对函数乘上变换前后的区间长度 的比例因子（即ϕ′(t)）后在新区间的积分. 根据这种思想, 我们必须找出平面变换下面积变 化的比例因子.

设D和G为逐段光滑的简单闭曲线所围成的区域, 从而D和G均可求面积. 再设





=

=

) , (

) , : (

v u y

v u T x

ψ

ϕ (u,v)∈D

是D^到G的一个一一对应, 且在D上有二阶连续偏导数. 记

v u

v v u

u J

∂

∂

∂

∂ ∂

∂

∂

∂

= ψ ψ

ϕ ϕ ) , (

为T 的 Jacobi 行列式, 再假定在D^内J(u,v)≠0. 我们有以下引理.

引理 1: 在以上假定下,

∫∫

=

D

dudv v u J G

m( ) ( , ) .

证明: 设σ ^为D内的一闭正方形, 左下顶点为(u₀,v₀), 边长为h, 经T^映为G内的一

曲边四边形T(σ). 我们先证明

∫∫

=

σ

σ J u v dudv T

m( ( )) ( , ) .

(u0,v0) (x0, y0)

先设J(u,v)>0. 记σ ^的边界为L, T(σ)^的边界为Γ, Γ可由四个参数方程写出. 由 定积分中求面积的方法我们有

∫

⁻

=

L

ydx xdy T

m 2

)) 1 (

( σ ^,

其中L的方向取正向. 将每段的参数方程代入得

) . , ) (

, ) (

, ) (

, (

) ,

) ( , ) (

, ) ( ,

(

) , ) (

, ) (

, ) (

, (

) , ) ( , ) (

, ) ( , ( ))

( ( 2

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

∫

∫

∫

∫

+ + + +





∂

− ∂

∂ + ∂





∂ + + ∂

∂ − + + ∂

+





∂ + + ∂

∂ − + + ∂

+





∂

− ∂

∂

= ∂

v h v

u h u

h v v h u u

v dv v v u

v u v v u

u

u du h v h u

v u u

h v h u

v u

v dv v h v u

h v u

v h v u

h u

u du v v u

u u v v u

u T

m

ψ ϕ ϕ ψ

ψ ϕ ϕ ψ

ψ ϕ ϕ ψ

ψ ϕ ϕ ψ

σ

对上面的八个积分两两配对并应用微积分基本定理, 如

.

) , ) (

, ) ( , ( ) , (

) , ) ( , ) ( ,

) ( ,

(

2

2

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

v dudv u u

v

v dv u

v v u

u u v u v

v du u

u du v v u

u u h v h u

v u

h u u

h v v h u u

∫∫

∫ ∫

∫



 





∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

=



 





∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

=





∂

− ∂

∂ + + ∂

−

+ +

+

σ

ϕ ψ ψ ϕ

ϕ ψ ψ

ϕ

ϕ ψ ϕ ψ

对所余积分同样处理, 得到

, 2

)) ( ( 2

2 2

2 2

u dudv v

v u

v dudv u v

dudv u v u v

u

v dudv u u

dudv v v u u

T v m

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫





∂

∂

∂

−∂

∂

∂

∂

= ∂



 





∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂



 





∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂



 





∂

∂ + ∂

∂

∂

∂ + ∂



 





∂

∂ + ∂

∂

∂

∂

− ∂

=

σ

σ σ

σ σ

ψ ϕ ψ ϕ

ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ

ψ ϕ

ψ ϕ ϕ ψ ϕ ψ

ψ σ ϕ

即

∫∫

=

σ

σ J u v dudv T

m( ( )) ( , ) .

当J(u,v)<0时, 类似地我们有

∫∫

−

=

σ

σ J u v dudv T

m( ( )) ( , ) . 总之有

∫∫

=

σ

σ J u v dudv T

m( ( )) ( , ) .

由区域面积的定义, 我们知D的面积是D内接多边形面积的上确界. 因此我们可以用 平行坐标轴的直线网, 使得其间隔为h来对平面进行分划, 从而得到一类特殊的内接多边形 的逼近D. 而这些内接多边形可分成有限多个正方形, 利用上面所证结果, 即可证明引理.

从引理 1 及积分中值定理可以看出

) (

)) ( lim (

) , (

0 ) 0 (

0 σ

σ

σ m

T v m

u J

m →

= ^.

即变换T 的 Jacobi 的绝对值就是面积变化的比例系数, 从而我们有以下定理. 为了方便起见, 以下所论及的区域总是由有限条分段光滑闭曲线所围的闭区域.

定理 1: 设变换





=

=

) , (

) , : (

v u y

v u T x

ψ

ϕ (u,v)∈D

将D一一地变为G, 且ϕ,ψ ^在D有连续的二阶偏导数, 在D内 0 ) , (

) , ) ( ,

( ≠

∂

= ∂ v u

y v x

u

J . 再

设f (x,y)^在G连续, 则

∫∫

∫∫

⁼

D G

dudv v u J v u v u f dxdy y x

f( , ) (ϕ( , ),ψ( , )) ( , ) .

证明: 在定理的假设下以上等式两边的积分都存在. 以下我们证明等号成立. 为此我们 对D^{用光滑曲线族作一分划}∆D₁,∆D₂,L,∆D_n, 经过变换T ^{相应地得到}G的一个分划

Gn

G

G ∆ ∆

∆ ₁, ₂,L, , 其中∆G_i =T(∆D_i). 由二重积分的中值定理及引理 1, 在∆D_j^中存

在

(

u ,i vi

)

, 使得

(

^,

)

^{( )}

)

( G_i J u_i v_i m D_i

m ∆ = ∆ ^.

在∆G_i^中取

(

xi,yi

)

=

(

ϕ

(

ui,vi

) (

,ψ ui,vi

) )

, 我们得到以下等式

(

^,

)

^{( )}

( (

^,

) (

^{, ,}

) ) (

^,

)

^{( )}

1

i i

i i i i i n

i

i i

i y m G f u v u v J u v m D

x

f ∆ = ∆

∑

=

ψ

ϕ ^.

{

i^的直径

}

n

i ∆D

=max1≤≤

λ ^{, 则max}_1≤i_≤n

{

^∆Gi^的直径

}

^→0, 最后得到

∫∫

∫∫

⁼

D G

dudv v u J v u v u f dxdy y x

f( , ) (ϕ( , ),ψ( , )) ( , ) ^.

定理证完.

例 1: 计算积分 ⁼

∫∫

⁺

D

dxdy y

x

I ( ^{2 2}) , 其中D是由双纽线

(

^{x2 + y2}

)

^{2 =a2}

(

^{x2 −y2}

)

^(x≥0)

围成的区域.

解 : 令x =rcosθ, y=rsinθ ^{, 双纽线}

方 程 



 



− ≤ ≤

=a cos2θ π4 θ π4

r ^{. 由 于}

区域和被积函数关于x对称, 故

2 4 0

2 4

4 0

2 4

4 0

2 cos 0

2

cos 8 2 4

2 cos

2 a d a

a d rdr r d

I =

∫ ∫

^π θ ^{a θ} ⋅ =

∫

^π θ θ =

∫

^π θ θ =π ^.

例 2: 计算二重积分

∫∫

D

xydxdy, 其中D是抛物线

y x y x x y x

y² = , ² =4 , ² = , ² =4

所围成的区域.

解: 作变换

y v x x u y T

2 2

1: = , =

− , 则它将D一一地映为正方形区域

4 1

, 4 1

: )

1( ≤ ≤ ≤ ≤

− D u v

T ,

y v 4

D T ^–1(D)

1

0 x 0 1 4 u

且 3

2

2

) , (

) , (

2 2 2

2

−

− =

= −

∂

∂

y x y

x x

y x

y

y x

v

u . 由于 1

) , (

) , ( ) , (

) ,

( =

∂

⋅∂

∂

∂

y x

v u v u

y

x , 所以

3 1 ) , (

) ,

( =

∂

∂ v u

y

x . 又

y xy x x

uv= y² ⋅ ² = ^,

所以

4 75 3

1 3

1 ⁴

1 4 1 )

1(

=

=

=

∫∫ ∫ ∫

∫∫

^xydxdy ₋ ^{uv dudv udu vdv}

D D T

.

例 3: 计算二重积分

∫∫

₊

D

ydxdy x

xy ,

其中D是由抛物线 x=0, y =0, x+y =1所围成 的区域.

解: 作变换T :x=rcos²θ, y=rsin²θ , 它

把区域 ,0 1

0 2

: < < <r <

G θ π ^{一一地映为区域}

°

= Ω D .

θ θ θ

θ θ

θ θ

θ θ 2 sin cos

cos sin 2 sin

sin cos 2 ) cos

,

( 2

2

r r r r

J = − = ^.

所以

y

1

D

0 1 x

20.

sin 2 20

1 2 1 2 1 20

1 )

3 (

2 3 2 3

5 2

2 ,3 2 3 5 sin 2

cos 2

sin cos 2 sin cos

1 0

2 3 2

0

2 2 2 1

π π π θ

θ θ

θ θ θ θ

θ

π

=

⋅

 =



 

 Γ



 

 Γ Γ =



 

 Γ



 

 Γ

=



 



= 

⋅

=

⋅ + =

∫

∫

∫∫

∫∫

B dr r d

dr d r

r ydxdy

x xy

G D

又解: 在变换x=rcos²θ,y =rsin²θ中, 若令u=r,v=sin²θ , 由此演化成变换

uv y v u x

T : = (1− ), = , 它把区域G:0<u<1,0<v<1一一地映为区域Ω=D°.

1 . ) ,

( u

u v

u v u

u

J − − =

=

所以

20. 2 ,3 2 3 5 ) 2

1 ( ) 1 (

1 0

2 1 2

1 1

0 2

3 = π



 



= 

−

⋅

=

⋅

− + =

∫

∫

∫∫

∫∫

B dr v v du u

ududv uv

v ydxdy

x xy

G D

例 4: 证明Β^函数与Γ函数的联系公式:

) 0 , 0 ) (

( ) ( ) ) (

,

( > >

+ Γ

Γ

= Γ p q

q p

q q p

p

B .

证明: 已知^Γ(p)=

∫

^{0+∞xp−1e−xdx有递推公式}

) ( ) 1

(p+ = pΓ p

Γ .

∫

^{− − −}

=

Β ¹

0

1 1(1 ) )

,

(p q x^p x ^q dx有递推公式

).

, ) ( )(

1 ) (

1 , 1

( p q

q p q p q pq

p Β

+ +

= + + + Β

利用递推公式, 只需对联系公式当p >1,q>1证明即成. 为此我们考虑第一象限上非负函 数

) ( 1

) 1

,

(x y x^p y^q e ^{x y} f = ^{− − − +} .

和三个闭区域 R D x y x y R D x y R

y x

D ≤ ≤ ; : ≥0, ≥0, + ≤ ; :0≤ , ≤ , 2

0

: _{2 3}

1 （如图）. 由

二重积分的几何意义, 显然有

y

D2 D3

D1

0 R/2 R x