高雄市明誠中學 高一普通科組 數學平時測驗 日期：91.09.03 班級
範
圍 1-1 邏輯
座號
姓 名
得 分 一、選擇題：(共 50 分)
1(全 )下列何者為真？ (A)3＞2或3＝2 (B)3 2≧ 且3 3≧ (C)3 2≧ 或3 3≧ (D)若3 2≧ 則 3 3≧ (E)若3＞3則3 2≧ 。
2(ACE )下列何者為真？ (A)3＋1＝4或5－1＝2 (B)7－1＝6且5＋3＝4 (C)若孔子是美 國人則2＋1＝9 (D)若5－1＝4則2＋1＝7 (E)若3為偶數則4＋5＝9。
3(AC )下列何者為真？ (A)若2＜1則－2＞－1 (B)若1＋1＝2則2＋3＝7 (C)若2＞1則2
＋3＞1＋3 (D)若2＞1則2＋3＜1＋3。
4(BE )命題「若A則非B」與下列何者同義？ (A)非A且非B (B)非A或非B (C)若且唯若 非A則非B (D)若且唯若B則非A (E)若B則非A。
5(全 )下列各推論，何者錯誤？ (A)若天下雨則地面潮溼，已知天不下雨→地面不潮溼 (B)某人家裡有電視機→某人不是窮人；某人是窮人→某人不必納稅；已知某人家裡 沒有電視機。由上述三點，可以推得→某人不必納稅 (C)若喝酒則不是好青年，某 人不喝酒→某人是好青年 (D)蘇武出使匈奴，被迫去牧羊，匈奴王下了一道手諭「
公羊生了小羊時他可以回國」，而公羊絕對不可能生小羊，所以蘇武永遠無法回國
。
6(AC ) 下 列 何 者 是 － 3 x 2≦ ≦ 之 充 分 條 件 ？ (A)x ＝ 1 (B)x ＝ 4 (C) － 1 x 1≦ ≦ (D)0 x 3≦ ≦ (E)－4 x 5≦ ≦ 。
7(B )「所有動物都會死」之否定敘述為何？ (A)有些動物會死 (B)有些動物不會死 (C) 所有動物都會死 (D)所有動物都不會死。
8(ABC )設p為q之必要條件，r為q之充分條件，s為r之必要條件，q為s之充要條件，則下列 何者為真？ (A)r為p之充分條件 (B)p q為r之必要條件 (C)p q為r s之充要 條件 (D)p s'為r之充分條件。
解析：根據題目條件得 (A)r為p之充分條件
(B)q為r之必要條件，p為q之必要條件 xp q為r之必要條件
(C)p q為r s之必要條件，且r s為p q之充分條件 xp q為r s之充要條件
(D)p s'即非r之充分條件，亦非r之必要條件
9(ABE )設a、b為實數，則a＝b＝0是a2－ab＋b2＝0之什麼條件？ (A)充分 (B)必要 (C) 充分且非必要 (D)必要且非充分 (E)充要 (F)既非充分又非必要。
0(ABD )下列何者是x2≦ 之充分條件？ 4 (A)x＝2 (B)x＝0 (C)x＝5 (D)－1 x 1≦ ≦ (E)
－3 x 3≦ ≦ 。
解析：(A)若x＝2，則x2≦ 為真（z24 2≦ ） 4 xx＝2是x2≦ 之充分條件 4
(B)若x＝0，則x2≦ 為真（z04 2≦ ） 4 xx＝0是x2≦ 之充分條件 4
(C)若x＝5，則52＝25＞4 zx2≦ 不真 4 xx＝5不是x2≦ 之充分條件 4
(D)若－1 x 1 ≦ ≦ " 0 x≦ 2≦1＜4即x2≦ 為真 4 x－1 x 1≦ ≦ 是x2≦ 之充分條件 4
(E)若－3 x 3≦ ≦ ，則0 x≦ 2≦ 不一定滿足x9 2≦4 x－3 x 3≦ ≦ 不是x2≦ 之充分條件 4
故選(A)(B)(D)
二、填充題：(共 50 分)
1在下列各題的括號內填入適當的英文字母：(A)必要條件；(B)充分條件；(C)充要條件；(D) 既非充分又非必要。
(1)x＝y＝1是2x－y＝2y－x＝1的【 (C) 】。
(2)a＞b是a2＞b2的【 (D) 】。
(3)∠A＞90-是△ABC為鈍角三角形的【 (B) 】。
(4)a，b，clR，a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0是a＝b＝c的【 (C) 】。
(5)a，blR，│ab│ 1≦ 是│a│≦（1／│b│）的【 (A) 】。
2在下列各題的括號內填入適當的英文字母：(A)必要條件；(B)充分條件；(C)充要條件；(D) 既非充分又非必要。
(1)（x＋2）（x－2）＝0是x＝2的【 (A) 】。
(2)∠A＜90-是△ABC為銳角三角形的【 (A) 】。
(3)ab＝0是a＝0或b＝0的【 (C) 】。
(4)a，blR，a2＋b2＝0是a＝0或b＝0的【 (B) 】。
(5)正三角形為等腰三角形的【 (B) 】。
3已知p為q之充分條件，q為r之充要條件，r為s之必要條件，s為q之必要條件，則q為s之【
充要 】條件，p為s之【 充分 】條件。
解析：根據題目條件得
故q為s之充要條件，p為s之充分條件
4設a、b、x、y l R，請在下列各題空格中，填入充分、必要、充要或既非充分又非必要。
(1)a＝b＝0為a＋b＝0之【 充分 】條件。
(2)x＞1為x2＞1之【 充分 】條件。
(3)a＞b為a2＞b2之【 既不充分也非必要 】條件。
(4)x＝y＝0為x2＋y2＝0之【 充要 】條件。
5設α，βlR，仔細看下列五個命題（姑且稱它為命題）：
命題1：αβ＝0 命題2：α－β＝0 命題3：│α－β│＝│α＋β│ 命題4：α2＋β2＝0 命題5：α2－β2＝0
試以適當的命題號碼，填入下列各題之空格內：
(1)命題1為命題【 3和1 】之充要條件。
(2)命題【 4 】為命題2之充分條件，但非必要條件。
(3)命題【 4 】為命題3之充分條件，但非必要條件。
(4)命題【 5 】為命題2之必要條件，但非充分條件。
解析：︱α－β︱＝︱α＋β︱e（α－β）2＝（α＋β）2eα2－2αβ＋β2＝α2＋2αβ＋β2 e－2αβ＝2αβe4αβ＝0eαβ＝0
故此5個命題關係如下：
(1)命題1為命題3之充要條件，且命題1為命題1之充要條件。
(2)命題4為命題2之充分條件，但非必要條件。
(3)命題4為命題3之充分條件，但非必要條件。
(4)命題5為命題2之必要條件，但非充分條件。
6「若3x－y＝5則2x＋y≠10」為假，則（x，y）＝【 （3，4） 】。
7設a，b，c為實數（請填入充分、必要或充要）：
(1)a＝b＝c是a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0之【 充要 】條件。
(2)a＝b＝c是a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝0之【 必要 】條件。
8設x、y為正數，則x＞1或y＞1是xy＞1之【 必要 】條件。（填入充分、必要或充要）
解析：x＞1或y＞1 _ xy＞1（例如x＝3，y＝1 10）
xx＞1或y＞1不是xy＞1的充分條件 反之，xy＞1 " x＞1或y＞1
xx＞1或y＞1是xy＞1的必要條件
9在下列各題的空格中填入適當的英文字母：
(A)充要條件 (B)必要條件 (C)充分條件 (D)既非充分又非必要條件。
(1)ab＜0為∣a＋b∣＞a＋b的【 (D) 】。
(2)a＜b為∣a－b∣＞a－b的【 (A) 】。
(3)ab_0為∣a∣＋∣b∣＞∣a＋b∣的【 (B) 】。
(4)a _ b為 a∣ －b > a∣ ∣ ∣－∣ ∣的【 b (B) 】。
0設x、y l R，試在下列空格中填入適當英文字母：
(A)既非充分又非必要條件 (B)必要但非充分條件 (C)充分但非必要條件 (D)充分條件
(1)x2＋y2≦1是∣x∣＋∣y∣≦1的【 (B) 】。
(2)x2＋y2≦1
4是∣x∣＋∣y∣≦1的【 (B) 】。
(3)x2＋y2≦1是x2＋y2≦1
4的【 (C) 】。
解析：令P＝{（x，y） x∣ 2＋y2≦ 1} Q＝{（x，y）∣∣ ∣＋x ∣ ∣≦y 1}
R＝{（x，y） x∣ 2＋y2≦1 4}
如圖R s Q s P
(1)zQ s P，P Q
xx2＋y2≦ 是1 ∣ ∣＋x ∣ ∣≦ 的必要但非充分條件 y 1 (2)zR s Q，Q R
xx2＋y2≦1
4是 x∣ ∣＋∣ ∣≦ 的充分但非必要條件 y 1 (3)zR s P P R
xx2＋y2≦ 是x1 2＋y2≦1
4的必要但非充分條件
三、證明題：(共 20 分)
1(1)x為整數，試證：x2為偶數，則x亦為偶數。
(2)a＞0，b＞0，試證：a＞b←→a2＞b2。
【證明】
(1)zx2為偶數，x必為偶數
≡x不為偶數，則x2亦不為偶數≡x為奇數，則x2必為奇數 x令x＝2m＋1，mlZ"x2＝4（m2＋4m）＋1與x2為偶數矛盾 x當x2為偶數時，x為偶數
(2)a2－b2＞0←→（a＋b）（a－b）＞0
（za＞0，b＞0"a＋b＞0）←→a－n＞0←→a＞b 2設n為整數，試證，當n2為3的倍數時，則n為3的倍數。
【證明】
設n不為3的倍數
即n＝3k＋1或3k＋2，（k為整數）
(1)當n＝3k＋1時
n2＝(3k＋1)2＝9k2＋6k＋1
＝3(3k2＋2k)＋1與n2為3的倍數不合 (2)當n＝3k＋2時
n2＝(3k＋2)2＝9k2＋12k＋4
＝3(3k2＋4k＋1)＋1與n2為3的倍數不合 由(1)、(2)可得n為3的倍數
四、問答題：(共 30 分)
1「2＋1＝3或者7－5＝6」之否定敘述為何？
答：
2＋1≠3而且7－5≠6
2「AxlA，x＋2＞5」之否定敘述為何？
答：
ExlA，x＋2 5
3－1 x 1≦ ≦ 之否定敘述為何？
答：
x＜－1或x＞1。
4已知集合A之元素個數有限，則「集合A中至少有5個元素」之否定敘述為何？
答：
集合A至多有4個元素。
5試寫出“若a，b皆為有理數，則ab必為有理數”的命題四態，並判定其真假。
答：
