高雄市明誠中學高一普通科數學平時測驗

(1)

高雄市明誠中學高一普通科數學平時測驗日期：92.10.30 班級

範圍

2-3

直線方程式(1) 座號

姓名

得分一、選擇題：(每題 8 分)

1.( ) 如下圖，試問下列那一條直線的斜率最小？

(A) OP 直線 (B) OS 直線 (C) SR 直線 (D) RQ 直線 (E) QP 直線

Ans：(C)

解析：直線

左下到右上傾斜，其斜率為正，且愈陡，斜率愈大左上到右下傾斜，其斜率為負，且愈陡，斜率愈小直線為水平時，斜率為 0

直線與 x 軸垂直時，無斜率

∴ 由圖知 SR 直線斜率最小 2. ( )下列各組點何者在同一直線上？

(A) A(6，6)，B(4，7)，C(2，8) (B) A(3，− 2)，B(5，1)，C(10，0) (C) A(0，− 1)，B(3，− 4)，C(2，1)(D) A( − 2，9)，B(10，− 7)，C(12，− 5)

Ans：(A)

解析：(A) m

AB = 6 4

6 7

−

− = 2 1

− ，m

AC = 6 2

6 8

−

− = 4 2

− = 2 1

− ∴ m

AB = m

AC ∴ A，B，C 共線 (B) m

AB = 3 5

) 2 ( 1

−

− =

2 3，m

AC =

3 10

) 2 ( 0

−

− =

7 2 ∴ m

AB≠ m

AC ∴ A，B，C 不共線 (C) m

AB =

0 3

) 1 ( 4

−

− =

3

−3= − 1，m

AC = 0 2

) 1 ( 1

−

− = 1 ∴ m

AB ≠ m

AC ∴ A，B，C 不共線 (D) m

AB =

) 2 ( 10

9 7

−

− =

12

−16= − 3 4，m

AC =

) 2 ( 12

9 5

−

− =

14

−14 = − 1 ∴ m

AB≠ m

AC ∴ A，B，C 不共線

3. xy平面上，四條直線L1，L2，L3，L4如圖所示，若其斜率各為m1，m2，m3，m4，則

(A) m1 > m2 > m3 > m4 (B) m4 > m3 > m2 > m1 (C) m2 > m3 > m1 > m4 (D) m1 > m2 > m4

> m3 (E) m2 > m1 > m3 > m4

(2)

Ans： (E)

解析：∵ 向右上升的直線斜率大於 0，且愈陡的斜率愈大向左上升的直線斜率小於 0，且愈陡的斜率愈小

∴ m₂> m1 > 0 > m3 > m4

4. 設不共點的三直線之方程式分別為：ax − 4y = 1，(a + 1)x + 3y = 2，x − 2y = 3，其中 a 為實 數。試問 a 為何值時，上述三直線會圍出一個直角三角形？(複選)

(A) − 8 (B) − 4 (C) 1 (D) 3 (E) 5

Ans： (A)(B)(D)(E)

解析：∵ L1：ax − 4y = 1 之斜率為 4 a

L₂：(a + 1)x + 3y = 2 之斜率為 − ¹ 3 a+

L₃：x − 2y = 3 之斜率為¹ 2 (1)若L₁與L2垂直，則

4

a．( − ¹ 3 a+

) = − 1 ⇒ a(a + 1) = 12 ⇒ a² + a − 12 = 0 ⇒ (a − 3)(a + 4) = 0∴ a = 3 或a = − 4 (2)若L1與L3垂直，則

4 a．¹

2= − 1 ⇒ a = − 8 (3)若L2與L3垂直，則( − ¹

3 a+

)．¹

2 = − 1 ⇒ a = 5 由(1)～(3)知

當a = 3 或a = − 4 或a = − 8 或a = 5 時，三直線會圍成一直角三角形 故(A)(B)(D)(E)真

5.( ) (複選)如圖，O，A，B，C，D，E 六等分一個圓，此圓半徑為 2，則(A) A 點的坐標為(1， 3 ) (B) B 點的坐標為(0，2 3 ) (C) C 點的坐標為( − 2，2 3 ) (D) D 點的坐標為( − 3， 3 ) (E) E 點的坐標為( − 2，0)

Ans： (A)(B)(C)(D)(E)

解析：∵ OA = 半徑 = 2，又∠AOE = 120°

∴ ∠AOG = 60° ∴ OG = 1， AG = 3

∴ A(1， 3 )

6. 平面坐標系中，下列敘述何者正確？(複選) (A)點P(x0，y₀)對x軸的對稱點為( − x0，y₀) (B)點P(x0，y₀)對y軸的對稱點為(x0，− y0) (C)點P(x0，y₀)對原點的對稱點為( − x0，− y0) (D)點P(x0，y₀)對直線y = x的對稱點為(y0，x₀) (E)點P(x0，y₀)對直線y = − x的對稱點為( − y0，− x0)

Ans： (C)(D)(E)

(3)

解析： (A)點P(x₀，y₀)對x軸的對稱點為(x₀，− y0) (B)點P(x₀，y₀)對y軸的對稱點為( − x0，y₀) (C)點P(x₀，y₀)對原點的對稱點為( − x0，− y0) (D)點P(x₀，y₀)對直線y = x的對稱點為(y0，x₀) (E)點P(x₀，y₀)對直線y = − x的對稱點為( − y0，− x0) 二、填充題：(每格 10 分)

1. 設m∈R，二直線mx + 3y + 1 = 0 與x + (m − 2)y + m = 0 相交於第二象限內，則m之範圍為

。

Ans： 1

< m < 3 解析：

，得交點為(

3 1 0 ( 2)

mx y

x m y m

+ + =

⎧⎨ + − + =

⎩ 0

2 3

m− ， ⁽ ¹ 3 m m

− − )

− )在第二象限內

∴ ² 3

m− < 0， ⁽ ¹ 3 m m

− −

−

) > 0 ⇒ m − 3 < 0，m − 1 > 0

∴ 1 < m < 3

2. 設點P到A(3，0)，B(0，1)，C(0，6)都等距，則P的坐標為。

Ans： (

2 5，

2 7) 解析：

設P(a，b)，由PA=PB= PC

∴ (a − 3)² + b² = a² + (b − 1)² = a² + (b − 6)² − 6a + 9 = − 2b + 1 = − 12b + 36

∴ 3a − b = 4，2b = 7 ∴ b = 2 7，a =

2 5

3. 在xy平面上，有三點A(3，0)，B(1，2)，C( − 1，− 2)及點P，則當P之坐標是時，

PA +

2

PB +

² PC²之值最小，其值為。

Ans： P(1，0)；最小值 16

解析：當P為△ABC重心時，

PA +

²

PB +

² PC²之值最小 ∴ P之坐標為(^{3 1 1}

3

+ − ，⁰ ^{2 2} 3

+ − ) = (1，0)時

PA +

2

PB +

² PC²之最小值

= (3 − 1)² + (0 − 0)² + (1 − 1)² + (2 − 0)² + ( − 1 − 1)² + ( − 2 − 0)²

= 4 + 4 + 4 + 4 = 16

4. 設A(4，0)，B( − 2，6)，G(0，1)，若G為△ABC之重心，則頂點C之坐標為。

Ans： (1，3)

解析：

設 C 之坐標為(x，y)

∵ A(4，0)，B( − 2，6)，G(0，1)

(4)

∴ 0 = 3 2

4− +x，1 = 3

0+b+ y⇒ x = − 2，y = − 3 ∴ C( − 2，− 3)

5. 設數線上三點A( − 5)、B(9)、P(x)，已知AP：BP = 3：4，則x = 。

Ans： 1 或

− 47

解析：

當 A−P−B 時 ∵ AP：BP = 3：4 ∴ x = ^{3 9} ^{4 ( 5)} 3 4

× + × −

+ = 1 當 P−A−B 時 ∵ AP：BP = 3：4∴ x = ( 3) 9 4 ( 5)

( 3) 4

− × + × −

− + = − 47 所以 x = 1 或 − 47

6. 設平行四邊形ABCD的三頂點坐標為A( − 3，− 7)，B(2，− 3)，C(4，5)，則此平行四邊形最 短對角線之長為，最長對角線之斜率為。

Ans： 5；

7 12 解析：

A( − 3，− 7)，B(2，− 3)，C(4，5)，D(x，y) A、C 中點

= B、D 中點 ∴

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

= − +

−

= + +

−

2 3 2

5 7

2 2 2

4 3

y x

⇒ ∴ D( − 1，1)

⎩⎨

⎧

=

−

= 1

1

y x

AC

= (4+3)² +(5+7)² = 193 ，BD = (2+1)² +(−3−1)² = 5

AC 之斜率

=

4 3

5 7

−

− =

7 12

7. 設A(2，− 1)，B(5，1)，C(3，a)為一個直角△的三頂點，則實數a之值為。

Ans：−

2

5，4，± 3

解析：(1) ∠A = 90°時，

AB ⊥ AC ⇒ 斜率乘積 = − 1 ⇒

2

3× (a + 1) = − 1 ⇒ a = −⁵

2

(2) ∠B = 90°時，_BA^HJJG ⊥HJJG

BC

⇒ ₂ 3 ×¹

2

−a

= − 1 ⇒ a = 4

(3) ∠C = 90°時，CAHJJG

⊥ CB ⇒ HJJG ₁ 2

−a

．(a + 1) = − 1 ⇒ a = ± 3

8. 設△ABC 之三頂點為 A(2，− 8)，B( − 6，− 2)，C(6，− 5)，而且頂點 A 的分角線交 BC 於 D 點，求 D 點的坐標____________。

Ans： (2，− 4)

解析：

∵ _AB= 10，

AC = 5，且

AD為∠A 之平分線

(5)

∴ ^BD CD= ^AB

AC = 5 =

1

令 D(x，y)，則由分點公式知

1 ( 6) 2 6 2 1 2

1 ( 2) 2 ( 5) 2 1 4

x

y

× − + ×

⎧ = =

⎪⎪ +

⎨ × − + × −

⎪ = =

⎪⎩ + −

故 D 點的坐標為(2，− 4)

9. 求點 P(3，− 1)關於直線 2x − 3y + 4 = 0 之對稱點坐標___________。

Ans： (

− 1，5)

解析：設 P(3，− 1)對於直線 L：2x − 3y + 4 = 0 之對稱點 P'(x'，y') 則直線 L 為P ′P 之垂直平分線

P

P ′⊥ L ⇒

3 1

−

′ +

′ x y ×

3

2= − 1

⇒ 3(x' − 3) + 2(y' + 1) = 0

⇒ 3x′ + 2y′ − 7 = 0……c

′

PP 之中點(

2 3+ x′

， 2

1+ ′

− y

)在 L 上

⇒ 2(

2

3+ x′) − 3(

2 1+ ′

− y

) + 4 = 0

⇒ 2x' − 3y' + 17 = 0……d

c × 3 + d × 2 得 13x' + 13 = 0 ∴ x' = − 1 代入c得 y' = 5，故 P( − 1，5)

10. △ABC 之三邊AB，BC，CA 之中點分別為 D(5，− 4)，

E(4，1)，F( − 3，2)，求點 A 之坐標？_______________

Ans： (

− 2，− 3) 解析：

設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)

⇒ x1 + x2 = 5 × 2 = 10……c

⇒ x2 + x3 = 4 × 2 = 8……d

⇒ x1 + x3 = − 3 × 2 = − 6……e

⇒ y1 + y2 = − 4 × 2 = − 8……f

⇒ y2 + y3 = 1 × 2 = 2……g

⇒ y3 + y1 = 2 × 2 = 4……h

⇒ ^{c + d + e}₂ 得

x

1 + x2 + x3 = 6……i

⇒ f + g + h

2 ^得

y

₁ + y2 + y3 = − 1……j

i − d得

x

₁ = − 2，j − g得

y

₁ = − 3，故

A( − 2

，− 3)

11. 在△

ABC

中三邊 AB ，

BC

，

CA

上各有一分點

D

，

E

，

F

，若

A(2

，− 1)，

B(3

，5)，

C( − 1

，2)且

DB AD=

EC BE=

FA CF =

88

1999，求△

DEF

之重心坐標__________。

(6)

Ans： (

3 4，2)

解析：∵

DB AD=

EC BE=

FA CF =

88

1999 ∴ △DEF 與△ABC 之重心為同一點

故△DEF 之重心就是△ABC 之重心即(

3 1 3 2+ −

， 3

2 5 1+ +

− ) = ( 3 4，2)

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Ans：(C)

Ans：(A)

Ans： (E)

Ans： (A)(B)(D)(E)

Ans： (A)(B)(C)(D)(E)

Ans： (C)(D)(E)

Ans： 1

mx y

x m y m

Ans： (

PA +

PB +

Ans： P(1，0)；最小值 16

PA +

PB +

PA +

PB +

Ans： (1，3)

Ans： 1 或

Ans： 5；

A( − 3，− 7)，B(2，− 3)，C(4，5)，D(x，y) A、C 中點

y x

y x

AC

AC 之斜率

Ans：−

AB ⊥ AC ⇒ 斜率乘積 = − 1 ⇒

BC

Ans： (2，− 4)

AC = 5，且

x

y

Ans： (

E(4，1)，F( − 3，2)，求點 A 之坐標？_______________

Ans： (

x

y

x

y

A( − 2

ABC

BC

CA

D

E

F

A(2

B(3

C( − 1

DEF

Ans： (

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