高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.04.26

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.04.26

範 圍

二項式定理

班級 一年____班 姓

座號 名

1. (x  y)²⁰的展開式中﹐若依 x 的降冪排列﹐則第三項為____________﹒

解答 190x¹⁸

y

²

解析 一般項C²⁰r ^{( )}x^10r(y^)r C²⁰r ^{( 1)} ^rx^10ry^r第三項為C²⁰₂

x

¹⁸(  y)²  190x¹⁸

y

²﹒ 2. 在(^{2 1}₂)⁶

x y 展開式中﹐x ^{ 3}

y

^{ 6}項的係數為____________﹒

解答 160

解析 一般項C⁶r ^{( )2 6 r( 1}₂^)r C⁶r ^{(2) 6 r} x^{6 r} y ^2r

x y

        ，

所求係數C⁶₃2³x^3y^6 160x^3y^6 ∴x ^{ 3}

y

^{ 6}項的係數為 160﹒

3. 若

10

10 10 10

0

( ) _k ^{k k}

k

x y C x y ^



 



^﹐則

^C

¹⁰⁰

^{ C}

¹⁰¹

^{  C}

¹⁰¹⁰

^

____________﹒

解答 1024 解析

10

10 10 10 10 0 10 10 1 9 10 10 0

0 1 10

0

( ) ^



 



^{k k k}    

k

x y C x y C x y C x y C x y ﹐

x  y  1 代入得

C¹⁰₀ C¹⁰₁  C¹⁰₁₀2¹⁰ 1024﹒ 4. 求C¹⁰₀ 3C¹⁰₁ 3²C¹⁰₂ 3³C¹⁰₃  3¹⁰C¹⁰₁₀____________﹒

解答 1024

解析 原式  [1  (  3)]¹⁰  (  2)¹⁰  1024﹒

5. 將( ^{2 3} )⁶ x 2

 x 展開﹐合併同類項後﹐x⁴項的係數為____________﹒

解答 0

解析 一般項 ⁶( ^{2 6}) ( ³ ) ¹⁰ ( ³) ^{12 2 10} ( ³) ^{12 3}

2 2 2

r r r r r r r

r r r

C x C x x C x

x

           

x

⁴的係數 12 3 4, ⁸ r r 3

    (不合)展開式中不存在此項  所求係數  0﹒

6. a  ﹐若( ² a)¹⁰

x x 之展開式中 x¹¹項係數為  960﹐求 a  ____________﹒

解答 2

解析 一般項 ¹⁰_r ( ^{2 10}) ^r( a)^{r 10}_r ( )^{r 20 2r r 10}_r ( )^{r 20 3r}

C x C a x x C a x

x

            ﹐

取 20  3r  11r  3﹐

 C

¹⁰3

(  a )

³

  960

_{a  2﹒}

7. 求(9 ¹ )¹² 3 x

x

 的展開式中常數項為____________﹒

解答 495

解析 一般項

1 3

12 12 1 12 12 1 12 2 12 12 1 12 2

(9 ) ( ) 9 ( ) 9 ( )

3 3

3

r r

r r r r r r r

r r r

C x C x x C x

x

 

              ﹐

x 之次數

12 ³ 0 2r

  r  8﹐

8. (x ¹₂)¹²

x 展開式中(1) x³項的係數為____________﹒ (2)常數項為____________﹒

解答 (1)  220;(2)495

解析 一般項C¹²_r x^{12 r}( ¹₂)^r C¹²_r ( 1)^rx^{12 r} x ^2r C¹²_r ( 1)^rx^{12 3r} x

         

(1) 12  3r  3  r  3﹐故 x³項的係數為C¹²₃ ( 1) ³ 220﹒ (2) 12  3r  0  r  4﹐故常數項為C¹²₄ ( 1) ⁴ 495﹒

9. (ax^{2 1})⁵

 x 展開式中﹐x⁴項的係數為 270﹐則 a  ____________﹒

解答 3

解析 一般項C⁵_r(ax^{2 5})^r(x^1)^r C a⁵_r ^5rx^2(5r)x^rC a⁵_r ^5rx^{10 3 r} 103r  4 r 2﹐索求係數C a x⁵₂ ^{3 4}10a³

∴10a³  270  a  3﹒

10. 已知

2000  C

₁ⁿ

 C

₂ⁿ

  C

ⁿ_n

 3000

﹐求 n  ____________﹒

解答 11

解析

2000  C

1ⁿ

 C

2ⁿ

  C

ⁿ_n

 3000

_{2000  2}ⁿ  1  30002001  2ⁿ  3001 ∴n  11﹒

解答 11

解析 令 S = C₁ⁿ+ 2C₂ⁿ+ 3C₃ⁿ+ … + (n  1)Cⁿ_n1+ nCⁿ_n﹐ 倒寫﹕S = nC₀ⁿ+ (n  1)C₁ⁿ+ (n  2)C₂ⁿ+ … + Cⁿ_n1﹐ 兩式相加得 S + S = n(C₀ⁿ+ C₁ⁿ+ … + Cⁿ_n) = n．2ⁿ﹐

∴S = n．2^n1 = 11264 = 2¹⁰．11

 n = 11﹒

11. 以 5 除 47⁷⁶所得的餘數為____________﹒

解答 1

解析 47⁷⁶   (5 9 2)⁷⁶ C₀⁷⁶(5 9) ⁷⁶C₁⁷⁶(5 9) ⁷⁵ 2¹ C₂⁷⁶(5 9) ⁷⁴2² C₇₆⁷⁶2⁷⁶  5  q1  2⁷⁶  5  q1  (2⁶)¹²  16  5  q1  (65  1)¹²  16 5  q1 [ 5  q1 1 ] 16  5  q3  16  5  q4  1﹐其中 q1﹐q2﹐q3﹐q4為正整數﹐ ∴餘數為 1﹒

12. (x²  2x  2)¹⁰除以(x  1)³所得的餘式為____________﹒

解答 10x²  20x  11

解析 (x²  2x  2)¹⁰  [(x  1)²  1]¹⁰



C

¹⁰_{0 [(x  1)}²_]¹⁰ _

C

¹⁰_{1 [(x  1)}²_]⁹ _…

C

¹⁰_{8 [(x  1)}²_]² _

C

¹⁰_{9 (x  1)}² _

C

¹⁰₁₀ 故餘式為C¹⁰₉ (x1)² C¹⁰₁₀10(x²  2x  1)  1  10x²  20x  11﹒

13. 求C¹⁰₀ 2C¹⁰₁ 2²C¹⁰₂ 2³C¹⁰₃  2¹⁰C¹⁰₁₀ ____________﹒

解答 1

解析 原式  [1  (  2)]¹⁰  1﹒

14. 知( ^{3 3}a)ⁿ

a  展開式的各項係數和等於(4^{3 1} )⁵ 5 b

b

 展開式的常數項﹐則( ^{3 3}a)ⁿ

a  展開式中¹

a 項的係數為____________﹒

解答  2835 解析 ( ^{3 3} a)ⁿ

a  的係數和(代 a=1)為^{(3 1) 2} 1

n n

  ﹐

5

3 1

(4 )

b 5 b

 一般項

5 10 5

5 3 5 1 5 5 1 3 2 5 5 1 6

(4 ) ( ) = 4 ( ) = 4 ( )

5 5 5

k k k

k k k k k k

k k k

C b C b b C b

b

  

   

     

常數項105k  0 k 2 ⁵₂4³ ( ¹ ) =² 5

C   128﹐

∴2ⁿ  128  n  7﹐

7

3 3

( a)

a  一般項

5 7 1(7 )

7 3 7 3 7 7 2 3 7 7 6 2

( ) ( ) 3 ( 1) 3 ( 1)

k k

k k k k k k k

k k k

C a C a a C a

a



 

          

1

a 項的係數^{5 7} 1 3

6k    2 k ﹐∴¹

a 項的係數C⁷₃3 ( 1)⁴  ³ 2835﹒ 15. 求log (₂ C₀²⁰ C²⁰₂ C²⁰₄  C²⁰₂₀ )____________﹒

解答 19

解析 原式  log22¹⁹  19﹒

16. 利用二項式定理﹐計算(0.99)⁵的近似值到小數點以下第三位為____________﹒

解答 0.951

解析 (0.99)⁵  (1  0.01)⁵



C

⁵_0

C

₁⁵_{(  0.01)}¹ _

C

⁵_{2(  0.01)}² _

C

⁵_{3(  0.01)}³ _

C

⁵_{4(  0.01)}⁴ _

C

⁵_{5(  0.01)}⁵  1  0.05  0.001  0.00001 …0.951﹒

17. 求(1  x)  (1  x)²  …  (1  x)¹⁰展開式中﹐x²項的係數為____________﹒

解答 165 解析 原式

10 11

(1 )[(1 ) 1] (1 ) (1 ) (1 ) 1

x x x x

x x

     

 

  ﹐

欲求 x²項之係數﹐即求分子(1  x)¹¹展開式中 x³項之係數為

C 

¹¹₃

165

_﹒

18. 化簡 ^{1 1 1 1 1}

1! 9! 3! 7! 5! 5!  7! 3! 9!1! 得值為²

!

m

n ﹐其中 m﹐n 為正整數﹐求數對(m,n)  ____﹒

解析 原式 ¹ (^{10! 10! 10! 10! 10!} ) ¹ ( ¹⁰₁ ¹⁰₃ ¹⁰₅ ¹⁰₇ ¹⁰₉ ) 10! 1! 9! 3! 7! 5! 5! 7! 3! 9!1! 10! C C C C C

         

9 1 0 1

1 2

10! 2 10!

   

∴m  9﹐n  10﹐故(m,n)  (9,10)﹒

19. 設 m﹐n 為自然數﹐若 f (x)  (1  x)^m  (1  2x)ⁿ展開式中 x 項係數是 11﹐則 x²項係數的最小值 為____________﹒

解答 22

解析 ∵f (x)展開式中 x 項係數是C₁^m 2C₁ⁿ 

m  2  n m  2n  11﹐

即 m  11  2n  1  n  5﹐

∴展開式中 x²項係數 ₂ 2² ₂= ^{11 2}₂ 2² ₂ ^{(11 2 )(10 2 )} 4 ^{( 1)}

2! 2

m n n n n n n n

C  C C ^  C      

² 23 ² 23 ²

4 23 55 4( ) 55 4( )

8 8

n n n

       ﹐

當取 n  3 時﹐x²項的係數最小值為 22﹒

20. (1)某君自 10 件不同物品中﹐至少選用 1 件﹐方法有____________種﹒

(2)10 件相異物品﹐分予 2 人﹐每人至少 1 個﹐方法有____________種﹒

解答 (1)1023;(2)1022 解析 (1)至少選用 1 件﹐

∵選用 1 件有C¹⁰₁ 種﹐

選用 2 件有C¹⁰₂ 種﹐

全部選用有C¹⁰₁₀ 種﹐

∴所求共有C¹⁰₁ C¹⁰₂ C¹⁰₃   C¹⁰₁₀2¹⁰  1 1023種﹒(即全部扣去完全沒得) (2)分給二人﹐每人至少 1 件﹐有C¹⁰₁ C¹⁰₂ C¹⁰₃   C¹⁰₉ 2¹⁰   1 1 1022﹒ （至少選 1 件﹐且某一人取後﹐剩下者即為另一人所選取）

21. 求C¹²₀ iC¹²₁ i C^{2 12}₂  i C^{12 12}₁₂ ____________﹒

解答  64

解析 原式  (1  i)¹²  [(1  i)²]⁶  (2i)⁶  2⁶

i

⁶   64﹒

22. 求滿足1 ¹ ₁ ( ¹)² ₂ ( ¹)³ ₃

3 3 3

n n n

C C C

     … ( ¹) ¹

3 10000

n n

Cn

   的最小自然數 n  ____________﹒

解答 23

解析 原式 (1 ¹) ( )^{2 1}

3 3 10000

n n

    ﹐

∴( )³ 2

n 10000  n (log3  log2)  log10⁴  n  ⁴

0.4771 0.3010  22.71﹐

∴n 之最小值為 23﹒

23. 合作社提供編號 A﹐B﹐C 三款便當﹐現有甲﹑乙﹑丙﹑丁﹐戊共 5 人要買便當﹒

(1)若各款便當數量供應無虞﹐5 個人各買一個便當﹐方法有____________種﹒

(2)若 A 款便當只剩 3 個﹐其它款供應無虞﹐5 個人各買一個便當﹐方法有____________種﹒

解答 (1)243;(2)232

解析 (1)3  3  3  3  3  3 ⁵ 243﹒

(2)全  4 人買 A  5 人買 A 243C⁵₄  1 2 C⁵₅ 1 24310 1 232﹒