高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.04.19

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.04.19

範 圍

排列組合(C)

班級 一年____班 姓

座號 名 1. A, B, C 等七人排成一列，則：

(1)A 在 B 之前，排法有__________種.

(2)A 在 B 之前，B 在 C 之前，排法有__________種.

(3)A 在 B, C 之前，排法有__________種.

答案： (1)2520 (2)840 (3)1680

解析： (1) A 在 B 之前A、B 看成同物(次序已定不用再排) ^7! 2520

 2!

(2) A 在 B 之前 B 在 C 之前A、B，C 看成同物(次序已定不用再)排^7! 840 3! (3) A 在 B, C 之前A、B，C 看成同物(B、C 必須再排) ^7! 2! 1680

 3!  2. 正六邊形的 6 個頂點與中心共 7 個點，則

(1)這 7 個點中任選 2 個，可構成__________條相異直線.

(2)這 7 個點中任選 3 個，可構成__________個三角形.

答案： (1)32(2)15 解析： (1) ₂⁷ ₂³

3

3 +3 21 6 15 C  C   

↓ 三點共線有 組

(2) ₃⁷ ₃³

3

3 35 3 32 C  C   

↓ 三點共線有 組

3. 將甲、乙……等 10 人分為 3 人，3 人，4 人等三組住入 A, B, C 三室，其中甲、乙兩人需住同 一室，則住法有______種.

答案： 3360

解析： 甲乙住三人一房 + 甲乙住四人一房

8 6 3

8 7 4 2 3 3

1 3 4 3! 3! 3360

2!

C C C

C C C    

4. 用數字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 組成數字不重複的四位數，其中個位，十位，與百位上的數字和為偶 數，則滿足此條件的四位數共有__________個.

答案： 324

解析： 偶數有 0.2.4.6，奇數有 1.3.5 (1)個位，十位，百位有 3 個偶數

3 1 3 4

1 1 2 1

0 0 3

3!  C  C C  3!  C

後三位沒有 千位數 後三位有 偶數 排後 位 千位數

18 72

  90 (2)個位，十位，百位有 1 個偶數，2 個奇數

3 3 3 1 3 4

1 2 1 1 2 1

0 0

(C C 3!) C (C C 3!) C

沒有 千位數 有 千位數

3 3 6 3 3 6 4

       162 72 234 90 234 324

5. 有 6 男 4 女共 10 名學生擔任本週值日生，導師規定在本週 5 個上課日中，每天兩名值日生,

且至少須有 1 名男生，試問本週安排值日生的方式共有 種﹒

答案： 43200

解析： 6 男先挑 2 人一組，此 2 人周一至五挑一天當值日生；剩餘的 4 男與 4 女各排入其餘 4 天

6 5

2 1

4! 4! 43200

C     C

（種）

5. 5 件不同的物品分給甲、乙、丙、丁 4 人，甲至少得一個之方法數有 種.

答案： 781

解析： 全(甲不得)4⁵3⁵781（種）

6. 已知高鐵列車有 12 節車廂，今欲挑選其中兩節車廂為「自由席」之車廂，且此兩節「自由 席」車廂之間至少需間隔 1 個車廂，請問有__________種選法.

答案： 66

解析： 取 2 節車廂產生 3 個間隔，將剩下 10 節車廂，可重覆的插入 3 個空隙，且 2 節車中間空 隙至少 1 節車廂：

H

_{10 1}³_

 C

₉^{3 9 1 }

 C

₉¹¹

 C

¹¹₂

 55

7. 由五對夫妻中任選三人組成委員會，

(1)若規定夫妻不得同時當選，共有_______種選法.

(2)若選中三人中恰有一對夫妻，則選法有________種.

答案： (1)80 (2)40

解析： (1)五對夫婦挑出其中的三家，每家再挑先生或太太中一人

C 

₃⁵

2

³

 80

(2)先從五對夫婦挑出其中的一對夫婦，，再從其餘 8 人中選 1 人：

C C 

₁⁵ ₁⁸

40

；

8. 老師將 12 枝相同的鉛筆分給甲，乙，丙，丁，戊與己六位小朋友，其中兩位各分得 4 枝，兩 位各分得 2 枝，而有兩位沒分到，則共有 種分法﹒

答案： 90

解析： ^6! ₉₀

2!2!2! （種）（即做 6 張卡片4, 4, 2, 2, 0, 0的排列數）

9. 右圖所示為一個含有斜線的棋盤形街道圖．今某人欲從

A

取捷徑走到

B

，則共有___ 種走法．

答案： 30

解析： 不規則圖形，則利用累加法故共有 30 種走法

10. 某校辯論社由 5 名男生及 5 名女生組成. 現從其中選出 5 人組成代表隊，且男生、

女生均至少要有 2 人，則組隊方法共有 種.

答案： 200

解析： 2 男 3 女與 3 男 2 女

 C C

₂⁵ ₃⁵

 C C

₃⁵ ₂⁵

 200

11. 由 0, 1, 2, 3, 4, 5 等 6 個數字中，任取 4 個，作數字不重複的四位數，則這些四位數中，不被 5 整除的有___________個.

答案： 192

解析： ₂⁴

,

4  4  P  16 12 192

個位 千位 百 十位

12. 將 6 名學生平均分配住進編號為 101 室與 102 室，則共有_______種住法.

答案： 20 解析：

6 3

3 3

2! 20 C C   2!

13. 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排成一列，

(1)甲不排首、乙不排第二位、丙不排第三位，有 種排法.

(2)甲、乙、丙 3 人必須排在一起，有 種排法.

(3)甲、乙、丙 3 人中任兩人不可相鄰，有 種排法.

(4)甲必須排在乙、丙兩人的左邊（不一定要相鄰），有 種排法.

答案： (1)426(2)144(3)144(4)240

解析： (1)6! 3 5! 3 4! 3!     426（種）

(2)甲乙丙丁戊己 4! 3! 144  （種）

(3)丁.戊.己先排甲、乙、丙再插空隙

3!  P

₃⁴

 144

（種）

(4)^6! 2! 240

3!  （種）

14. 試求滿足下列條件的三位數各有幾個？

(1)個位數字大於十位數字大於百位數字有______個.

(2)百位數字大於十位數字大於個位數字有______個.

答案： (1)84 (2)120

解析： (1)

C

₃⁹(不可包括 0)(由 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 任取三個) (2)

C

₃¹⁰(可包括 0)(由 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 任取三個) 15. 將 9 件不同的玩具，依下述條件，分別求其分法個數：

(1)平分給甲、乙、丙三人，有______種.

(2)平分成三堆有______種.

(3)分給甲 4 件，乙 3 件，丙 2 件有______種.

(4)按 4 件，3 件，2 件分成三堆有______種.

(5)按 4 件，3 件，2 件分給三人有______種.

(6)分給甲 4 件，乙 4 件，丙 1 件有______種.

(7)按 4 件，4 件，1 件分成三堆有______種.

答案： (1)1680 (2)280 (3)1260 (4)1260 (5)7560 (6)630 (7)315 解析： (1) ^{39 36 33} _{3! 1680}

C C C  3! (2)

9 6 3

3 3 3 280

C C C 3!

(3)

C C C    

₄⁹ ₃⁵ ₂²

1 1 1 1260

(4)

C C C 

₄⁹ ₃⁵ ₂²

1260

(5)

C C C 

₄⁹ ₃⁵ ₂²

3! 7560 

(6)

9 5 1

4 4 1 2! 1 630

C C C   2!

(7)

9 5 1

4 4 1 315

C C C 2!

16. 渡船三隻，每船可載四人，今有六人要同時通過，則安全過渡有_________種方法.

答案： 690

解析： 每人有 3 種選擇，扣去不安全兩種：(1)6 人共乘一船 (2)5 人同船，另一人乘坐另一艘船

3

⁶

 C

₆⁶

P

₁³

 C C

₅⁶ ₁



¹

P

₂³

 729 3   36  6 90

17. 有 6 張卡片，分別記以數字1, 2, 2, 3, 3, 3，現在自此 6 張卡片中任取 3 張，再由左而右排成一 個三位數，則能排出 種不同的三位數.

答案： 19

解析： (1)3 張數字皆相異，有3! 6 種

(2)3 張數字 2 同 1 異，有 ₁² ₁^{2 3!} ₁₂ C C 2! 種 (3)3 張數字皆相同，有 ₁^{1 3!} 1

C 3! 種 所求 6 12 1 19  （種）

18. 設 3 個人分 6 件相同的物品，每個人可以全拿，可以拿一些，也可以都沒拿：

(1)物品一定要分完，請問有 種方法.

(2)物品可以不分完（4 件物品都不分下去也可以），請問有 種方法.

答案： (1)28(2)84

解析： (1)每物品皆可給 3 人中任一人(x  y z 6^，非負整數解)，所求H₆³ C₆⁸ C₂⁸ 28（種）

(2)每個物品皆可給 3 人中的任一人或不給(x       y z 6 x y z t 6，非負整數解)，

所求H₆⁴ C₆⁹ C₃⁹84種

19. 將編號為 1, 2,…, 10 的 10 個球放入編號為 1, 2,…, 10 的 10 個盒子內，每個盒子內放入一球，

則恰好有 3 個球的編號與其所在盒子編號不同的方法有__________種.

答案： 240

解析：

C

₃¹⁰

 [ C

₀³

  3! C

₁³

  2! C

₂³

  1! C

₃³

 0!]  C

₃¹⁰

 2

120 2 240

20. 設 4 個相同的蘋果，5 個相同的梨子，6 個相同的橘子，分給 3 人，則：

(1)若每人可兼得或不得，則有__________種方法.

(2)若每人至少得一個，則有__________種方法.

(3)若每人每種至少得一個，則有__________種方法.

答案： (1)8820 (2)8193 (3)180

解析： (1)H₄³H₅³H₆³ C₄^{3 4 1 } C₅^{3 5 1 } C₆^{3 6 1 } C₄⁶C₅⁷C₆⁸ C₂⁶C₂⁷C₂⁸ 1521 28 8820 (2)全部分法扣去(一人未分得)加上(二人未分得)

3 3 3 3 2 2 2 3 1 1 1

4 5 6 1 4 5 6 2 4 5 6

H H H C H H H C H H H

2 4 1 2 5 1 2 6 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1

6 3 4 1 3 5 1 3 6 1

4 5 4 5 6 4 5 6

=C ^{ } C ^{ } C ^{ }  3 C ^{ } C ^{ } C ^{ }  3 C ^{ } C ^{ } C^{ }

5 6 4 5 6

4 5 4

7

6 5 6

8820 3 C C C 3 C C C 8820 3 5 6 7 3 8193

               

(3)H_{4 1 1 1}³_{  } H_{5 1 1 1}³_{  } H_{6 1 1}³_{ 1}C₁^{3 1 1 } C₂^{3 2 1 } C₃^{3 3 1 } C₁³C₂⁴C₃⁵ 3 6 101 08 21. 方程式x   y z u 12中，滿足x 3,y 2,z＞2,u3之整數解共有 組.

答案： 364

解析： 令x'  x 3 0, 'y   y 2 0, 'z   z 3 0, u'  u 3 0 則x x' 3,y y' 2,z z' 3,u u' 3

代入x   y z u 12得( ' 3) ( ' 2) ( ' 3) ( ' 3)x  y   z   u  12    x' y' z' u' 11 所求H₁₁⁴ C₁₁¹⁴ 364（種）

即x   y z u 12中，滿足x 3,y 2,z＞2,u3之整數解H12 ( 3) ( 2) 3 3⁴      H11⁴

22. 有橘子 5 個，蘋果 4 個，將此 9 個水果全部分給甲、乙兩人，求下列各方法數：

(1)每人至少一個有______種方法.

(2)每人每種水果至少一個有______種方法.

答案： (1)28 (2)12 解析：

(1)H₅²H₄²  1 1 C₅^{2 5 1 } C₄^{2 4 1 }  2 28

甲 乙 未 未 分 分 到 到

(2)H_{5 1 1}²_{ } H_{4 1 1}²_{ } C₃^{2 3 1 } C₂^{2 2 1 } (3 1)(2 1)  12

23. 12 件相同物，全分給甲、乙、丙三人，規定甲至少得 1 件，乙至少得 2 件，丙至少得 3 件，

則其分法有 種．

答案： 28

解析： 設甲、乙、丙分別得x y z, , 件，且x1,y2,z3，則x  y z 12， 故有H_{12 1 2 3}³_{  } H₆³C₆⁸ C₂⁸ 28（種）