高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.05.24

高雄市明誠中學 高一數學平時測驗 日期：108.05.24

範 圍

條件機率、貝式定理

班級 一年____班 姓

座號 名 一、填充題：每格 10 分

1. 擲公正的骰子三次，已知三次的點數和為 10，則

(1)第一次擲出 3 點的機率為_______，(2)第一次擲出奇數點的機率為_______.

答案： ² 9 , ¹⁴

27

解析： 三次點數和為 10 之機率為 ^{27 1} 216＝8，

(1) 第一次擲出 3 點，則第二、第三次點數和為 7 點

1 6 6 36 2

27 9 216

  ＝

(2) 第一次擲出奇數點 1、3、5

1 4 1 6 1 4 6 36 6 36 6 36 14

27 27

216

    

 

2. 甲、乙、丙 3 人分別獨立地解一題數學，甲做對的機率是¹

2，甲、乙、丙 3 人都做對的機率是 1

24，甲、乙、丙 3 人均做錯的機率是¹

4 ，則此 3 人中恰一人做對的機率為________.

答案： ¹¹ 24

解析： 設乙、丙做對的機率分別為P(乙)x P, (丙) y

1 1 1

2 24 12

1 1 1

(1 )(1 ) ( ) 1

2 4 2

x y xy

x y xy x y

      



        



1 1

( ) 1

12 x y 2

     7

x y 12

   代入 (⁷ ) ¹

12 12

x x

     x(7 12 ) 1 x  12x2 7x 1 0

    (3x1)(4x 1) 0 1 1 3 4

  或x 1 1

4 3

  或y 1 2 3 1 1 3 1 2 1

2 3 4 2 3 4 2 3 4

         P 6 3 2 24

   11

24

3. 小明迷上手機遊戲Candy Crush Saga，共有 6 種形狀的糖果 ，若 5 顆 相同形狀的糖果連成一線可以形成一顆巧克力球．遊戲進行中會從中間上方隨機落下 3 顆糖 果到三個方框中，在已知落下的 3 顆糖果不完全相同的條件下，試求落下的糖果可立即與旁邊 4 顆 糖果形成巧克力球機率為 .

答案： ¹ 6

解析： 所求 ^{( 3 )}

(3 )

n

 正中間為腰果糖球，但不能 顆皆為腰果糖球n

顆不完全相同

2 3

1 6 1 1 6 6 6

   



4. 已知某地區居民有10%感染B型肝炎，今利用某種檢驗，經統計發現，感染B型肝炎者檢驗結 果有98%是正確的，沒有感染B型肝炎者檢驗結果也是98%是正確的，現在任選一居民做檢 驗，已知此人被檢驗出有B型肝炎，但實際卻沒有B型肝炎的機

率為 ﹒ 答案： ⁹

58

解析： 依題意，P(無B型肝炎|檢驗有B型肝炎) ^{(90%)(2%) 9} (10%)(98%) (90%)(2%) 58

 



5. 某測謊器面對說謊者，90%可測出他們說謊；未說謊者，90%可測出他們未說謊.今有一群人接 受此測謊器測試，被認為是說實話者，證實有 ¹

22是說謊的，則接受測試的這群人中，真正說 謊者所佔的比例為__________.

答案： ³ 10 解析：

真正 測試

實話 P 謊話(1P) 實話 0.9P 0.1(1P) 謊話 0.1P 0.9(1P) 1 0.1(1 )

22 0.9 0.1(1 ) P

P P

 

  2.2(1P)0.8P0.13P2.1 P 0.7 ∴1 0.7 0.3

6. 一袋中有 5 張籤條，其中 2 張有獎，今甲、乙、丙、丁、戊 5 人排隊依序隨機各抽 1 張（取 後不放回），則在丁中獎的條件下，戊中獎的機率為 .

答案： ¹ 4

解析： P(戊中獎|丁中獎)P(乙中獎|甲中獎) ^{( )}

( )

P

 甲、乙都中獎P 甲中獎

2 1 5 4 1

2 4

5

  

7. 同時擲三顆公正的骰子，觀察出現的點數﹒試求在點數和為 12 的條件下，每個骰子都是偶數 點的機率為 ﹒

7

解析： 12  6 5 1→3!6 6 4 2

   →3!6 6 3 3

   →^3! 3 2! 5 5 2

   →^3! 3 2! 5 4 3

   →3!6 4 4 4

   →^3! 1 3!

∴ ^{6 1 7}

6 6 3 3 6 1 25

 

    

8. 不透明箱內有編號分別為 1 至 9 的九個球，每次隨機取出一個，記錄其編號後放回箱內；以 ( )

P n 表示前 n 次取球的編號之總和為偶數的機率. 已知存在常數r s, 使得P n(   1) r sP n( ) 對任意正整數 n 都成立，則r  ，s  .

答案： ⁵ 9； ¹

9

解析： 前n 1次取球的編號之總和為偶數的情形為

(1)前n 次取球的編號之總和為偶數，且第n 1次取得偶數編號 (2)前n 次取球的編號之總和為奇數，且第n 1次取得奇數編號 則 ( 1) ( ) ⁴ [1 ( )] ^{5 5 1} ( )

9 9 9 9

P n P n   P n    P n

∴ ⁵, ¹

9 9

r s 

9. 已知A B C, , 為三獨立事件，且 ( ) ¹, ( ) ( ), ( ) ¹ ,

2 36

P A  P B P C P A B C 

( ) 5

P A B C 18，則P B A( |  C ) . 答案： ¹

3

解析： ∵A B C, , 獨立A B C  , , 亦獨立

∴ ¹ ( ) ( ) ( ) ( ) 36P A B C P A P B P C

1 1

( ) ( ) ( ) ( ) 2P B P C P B P C 18

  

5 ( ) ( ) ( ) ( )

18P A B C P A P B P C   1

[1 ( )][1 ( )]

2 P B P C

  

1 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 P B P C P B P C 9

    

( ) ( ) 1 P B P C 2

  

由得 ( ) ¹, ( ) ¹(

3 6

P B  P C  ∵P B( )P C( )) ∴ ( | ) ( ) ¹ P B A C P B 3 10. 袋中有 8 個紅球、4 個白球，今逐次取出一球，取後不放回，試求下列各機率：

(1)第二次取到紅球： ．(2)第三次取到白球： ． (3)白球先取完： ．(4)紅球先取完： ．

答案： (1)² 3 (2)¹

3(3)² 3 (4)¹

3

解析： (1)第二次取到紅球的機率第一次取到紅球的機率，即 ^{8 2} 12 3 (2)第三次取到白球的機率第一次取到白球的機率，即 ^{4 1} 123

(3)白球先取完的機率最後一球為紅球的機率第一次取到紅球的機率，即² 3 (4)紅球先取完的機率最後一球為白球的機率第一次取到白球的機率，即¹ 3

11. 連續投擲一顆公正骰子 3 次，已知點數和為 10，則至少出現 1 次么點的機率為_________.

答案： ⁴ 9

解析： B：點數和為 10 有以下 6 種情形：(6, 3, 1), (6, 2, 2), (5, 3, 2), (4, 4, 2), (5, 4, 1), (4, 3, 3) 3 3! 3 3! 27

  2!

A：至少一個么點A B: (6, 3, 1), (5, 4, 1) 2 3 ! 1 2

( )

( | )

( ) P A B P A B

 P B

12 216

27 216

 12

 27 4

9

12. 撞球檯上有編號 1～9 號的 9 顆球，及編號 1～6 號的 6 個球袋，

如圖所示.今將號碼由小而大的球，依序打入任一個球袋中，若 在所有球皆進入奇數號球袋的條件下，試求 9 號球進入第 1 號 球 袋 ， 且 是 袋 中 第 二 個 入 球 的 機 率 為 ___________.

（3⁹ 19683, 6⁹ 10077696） 答案： ¹⁰²⁴

19683

解析：

8 1 7

1 1

9 9

2 6 ( )3

6 C C P

 

 8 128₉

3

  1024 19683



13. 設一袋中有 10 個球，其中有 8 個是白球．從袋中逐次取出 4 球，取後不放回．且每次取球 時，每一球被取到之機會均等．

(1)第三次取到白球之機率為 .

(2)第一次和第三次都取到白球之機率為 .

(3)在取到 3 個白球之條件下，第三次取到白球之機率為 .

答案： (1)⁴(2)²⁸

5 45(3)³(4)¹ 4 2 解析： (1)P(第三次白球) ^{8 4}

10 5

 

(2)P(第一次和第三次都白球)P(第一次和第二次都白球) ^{8 7 28} 10 9 45

  

(3)所求

2 3

4 3

8 7 6 2 10 9 8 7 3

8 7 6 2 4 10 9 8 7 C

C

   

 

   

，

2

_ _ _

第一、二、四次 白

白

(4)所求

3 2

8 7 6 2 10 9 8 7 1

8 2

10 C    

 

14. 愛國者飛彈每一枚之命中率為40%，今要使打中敵方目標的機率達到90%以上，則要發射 枚飛彈．（設每枚飛彈射擊不互相影響，log20.3010, log30.4771）

答案： 5

解析： 設至少發射n枚飛彈

 

3 9 3 1

1 (1 40%) 90% 1 ( ) ( ) log3 log5 1

5 10 5 10

n n n

        n   





0.2219

n n n

         

∴至少發射 5 枚飛彈

15. 設某工廠由甲、乙、丙三部機器製造同一產品，工廠的全部產量中甲佔50%，乙佔30%，丙 佔20%，又依過去經驗知甲的產品中有5%，乙有3%，丙有4%為不良品，今從全部產品中 任選一產品，求：

(1)選得不良品的機率為 ﹒

(2)已選得不良品時，則此不良品為甲所生產的機率為 ﹒ 答案： (1) ²¹

500(2)²⁵ 42

解析：

(1)所求 ^{50 5 30 3 20 4} 100 100 100 100 100 100

      420 21

10000 500

 

(2)所求

50 5 1

100 100 40 25

21 21 42

500 500

   

16. 某種寄居蟹由出生算起活到 20 週的機率是⁴

5 ，活到 30 週的機率是¹

3，現有一隻 20 週的寄居 蟹，則牠能活到 30 週的機率為__________.

答案： ⁵ 12

解析： A 事件表能活到 20 週，B 事件表能活到 30 週

4 1

( ) , ( )

5 3

P A  P B  , ( ) ( ) ¹

B A P A B P B 3 1

( ) ( ) 3 5

( | )

( ) ( ) 4 12 5 P A B P B P B A

P A P A

   

17. 在下面的電路圖中有 4 個開關┤├，以 A, B, C, D 表示.電流通過各個開關的機 率依次為¹

2 , ¹ 3 , ²

3 , ³

5 .每一開關彼此互不影響，則在某一瞬間，電流能從左 端 L 通到右端 R 的機率為_____.

答案： ¹ 2 解析：

(( ) ( )) ( ) ( ) ( )

1 1 2 3 1 1 2 3 1 2 3 3 5 2 3 3 5 2

P A B C D P A B P C D P A B C D

        

18. 拉拉說實話的機率為 ⁸

10，丁丁說謊話的機率是 ⁷

10.今有一箱內裝有 4 個白球 6 個紅球，若自 箱中任取一球，兩人皆說為紅球，則此球確為紅球之機率為__________.

答案： ¹⁸ 25

解析：

6 8 3 10 10 10 6 8 3 4 2 7 10 10 10 10 10 10 P

 



    

6 8 3 6 8 3 4 2 7

  

    

18 18 7

 

18

 25

19. 所有參加奧林匹克世運會的運動選手都要通過事先的藥物檢定，這種檢定對未服藥者的正確 率達到98%，但對服藥者檢定出來的正確率只達到92%．現在有一群田徑選手已知5%有服藥 物，今從中任意抽取 1 人，經檢定出此人有服藥，求此人確實有服藥的機率為 . 答案： ⁴⁶

65

解析：

所求 ^{5% 92% 46}

5% 92% 95% 2% 65

  

  

射一彈，此靶不中彈之機率為 ¹

24，恰中一彈之機率為¹

4，恰中三彈之機率為¹

4，則p _______，

q _______，r _______.

答案： ¹

p  2, ²

q  3, ³ r  4 解析： (1 )(1 )(1 ) ¹

p q r 24

    

(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 p q  r q p  r r p q  4

1 pqr  4

又恰中二彈之機率為¹¹

24 ∴ (1 ) (1 ) (1 ) ¹¹ pq  r qr p rp q  24

∴ ²⁹

pqqrrp 24 再利用式 ²³ p q r 12

   

∴ ^{3 23 2 29 1} 0

12 24 4

x  x  x  之三根為 p、q、r

3 2

24x 46x 29x 6 0之三根為¹ 2 ,²

3,³

4 ∴ ¹ p  2, ²

q  3, ³ r  4

21. 投擲一顆公正骰子兩次，若 A 代表第 1 次出現奇數的事件，B 代表 2 次點數和為 8 的事件，則 ( | )

P A B ___________，P B A ( | ) ___________.

答案： ^{2 1}, 5 9

解析： ( ) ^{3 1} 6 2 P A  

B: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) ( ) ⁵ P B 36

 

A B: (3, 5), (5, 3)

2

( ) 36 2

( | )

( ) 5 5

36 P A B P A B

  P B  

∴

2 ( ) 36 1 ( | )

( ) 1 9

2 P A B P B A

 P A  

22. 已知甲、乙兩人打靶的命中率分別為^{3 2},

4 5．今甲、乙兩人向同一個靶各射擊兩發，若每一發命 中與否互不相關，則此靶恰被命中二發的條件下，甲、乙兩人各擊中一發的機率為 ． 答案： ⁷²

157

解析： 所求機率

 

     

1 1

2 2 1 1

P

P P P

  

甲中 且乙中

甲中 乙中 甲中 且乙中

2 2 1 1

2 2 2 2 2 2

1 1

3 1 2 3 4 4 5 5

3 3 1

( )( )( )( )

( )( )( )( )

2 3 1 2 3

( ) ( ) ( ) ( )

4 5 4 5 4 4 5 5

C C

C C



 

72 72

81 4 72 157

 

 

23. 袋中有 6 白球 3 黑球，每次從袋中取出一球，取後放回，共取 5 次，已知取到 4 次白球，則 最初兩次都是白球的機率 .

答案： ³ 5

解析：

白 白

2 1

_ _ _

白 黑

每次取到白球的機率 ²

3，取到黑球的機率 ¹

3,所求

2 3 2

2

5 4

4

2 2 1

( ) ( ) ( )

3 3 3 3

2 1 5

( ) ( ) 3 3 C C

  

24. 黑箱中有 8 枚硬幣，其中 2 枚兩面皆是人頭，1 枚兩面皆是字，其餘 5 枚一面是人頭一面是 字﹒將手伸入箱中握住一枚硬幣，取出後打開手掌，發現一面是人頭，試問另一面也是人頭 的機率為 ﹒

答案： ⁴ 9

解析： 所求為

2 1

( ) 8 4

2 5 1

( ) 9

8 1 8 2 P

P

  

   兩面為人頭

摸到那面是人頭

25. 甲袋中有 5 紅球，3 白球，乙袋中有 4 紅球，4 白球，若選球與選袋之機率均等，則：

(1)任取一袋，任取一球，取得白球之機率為___________.

(2)已知取得白球，求來自甲袋之機率為___________.

答案： (1) ⁷

16 (2)³ 7

解析： (1) ^{1 3 1 4 7} 2 8 2 8 16

P      (2)

1 3 2 8 3

7 7

16 P

  

26. 從 6 男 4 女共 10 位同學中，任取 3 人參加測驗，每位男同學能通過測驗的機率都是⁴

5 ，每位 女同學能通過測驗的機率都是³

5.則這 10 位同學中的男同學志明和女同學春嬌都被選中，且兩 人都通過測驗的機率是__________.

答案： ⁴ 125 解析：

1 1 8

1 1 1 4 3

C C C

P  

    8 12  4

共取三球，則

(1)三球皆異色之機率為_______，(2)已知三球皆異色，第三球為黃球之機率為_______.

答案： ² 7 , ¹

3

解析： (1)^{2 4 3} 3 ²

9 8 7 7

  

  ！＝ (2)

2 4 3

2 2 1 9 8 7

2 3 3

7

  

  ！ ！

！

28. 一袋中有 100 個球，其中有 60 個新球，40 個舊球，而新球中有 40 個是紅色的，20 個是白色 的，舊球中有 30 個是紅色的，10 個是白色的，現從袋中任取一球，則：

(1)取到紅球且為新球的機率為__________.

(2)已知取得白球，其為新球的機率為___________.

答案： (1)²

5 (2)² 3 解析： (1) ^{40 2}

100 5

P   (2) ^{20 2} 30 3 P  

29. 一袋中有大小相同的白球 2 個，黑球 3 個，紅球 4 個，每次取一球，取後不放回，則白球先 取完的機率為___________.

答案： ²² 45

解析： 所求為全部扣掉(紅或藍比白先取完)，設 W 表白球先拿完的事件

( ) 1 ( )

1 ( ) ( ) + ( )

P W P

P P P

 

  

紅或藍比白先取完

紅比白先取完 藍比白先取完 紅與藍皆比白先取完

2 2 2

1 2 4 2 3 2 3 4

   

   

22

 45 30. 設有一門關閉的機率為²

3，某人回家之前從包包內的十把鑰匙中任取三把（每把被取到的機會 均等），並已知此包包內只有一把鑰匙能開得了門﹒假設此人進門，求此人是取到開門鑰匙而 進門的機率 ﹒

答案： ³ 8

解析： 若一開始為關門，則必需取到開門鑰匙而進門

9 2 10 3

2 2 3

3 3 10

C

 C   若一開始為開門，則必定能進門 ¹ 1

 3

所求機率

2 3

6 3 3 10

2 3 1 1 16 8 3 10 3

   

  