AC BM DM 2 BC

高雄市明誠中學 高二(上)平時測驗 日期：94.10.06 班級 普二 班

範 圍

2-1

空間基本概念 座號

姓 名 一、選擇題(每題 10 分)

1. (複選)下列有關空間的直線與平面的關係，哪些命題是正確的？

(A)若兩直線L1，L2分別與直線L平行，則L1 // L2 (B)若兩直線L1，L2分別與平面E平行，則L1 // L2 (C)若兩直線L1，L2同時垂直平面E，則L1 // L2

(D)設直線L在平面E1上，若L垂直平面E2，則E1 ⊥ E2

(E)設兩直線L1，L2在E上，若直線L同時垂直L1，L2，則L ⊥ E

【解答】(A)(C)(D)

【詳解】

(A)正確，因L₁ // L，L₂ // L，故L₁，L₂分別與L沒有交點且不歪斜，所以L₁與L₂沒有交 點且不歪斜，即L₁ // L₂

(B)錯誤，畫圖可知L₁與L₂可能相交或歪斜 (C)正確。

(D)正確，若L ⊥ E2，則包含L的平面E₁也垂直E₂

(E)錯誤，若平面E上的L₁與L₂平行，且L ⊥ L1，L ⊥ L2，則L不一定垂直E，見下圖，

L可能在E上

2. (複選)如圖，若 D - ABC 為一正四面體，邊長為 10，DH垂直平面 ABC 於 H，則下列何者正確？(A) H 為△ABC 之內心 (B) ^\

____

BD

____\

AC DH=

3 3

10 (D)若平面 ABC 與平面 ADC 的夾角為

θ

θ

1 (E)AD與 BC 的 距離為 5 2

【解答】(A)(B)(E)

【詳解】

(A)對。若 D - ABC 為正四面體，則 H 為△ABC 之內心，外心，重 心及垂心

(B)對。M 為 AC 之中點 ∴

AC

∴ ^____AC^\ 為平面 BDM 之法向量，又BD在平面 BDM 上，故

____\

BD

____\

AC BH=

3 2 BM =

3

2．(10 × 2

3 ) = 3

3 10

於直角△BDH 中，DH = BD² −BH² = ² )² 3

3 (10

10 − =

3 6 10 (D)錯。M 為 AC 之中點 ∴ DM ⊥ AC ，BM⊥ AC

∴ ∠DMB 即為平面 ABC 與平面 ADC 之夾角

θ

θ

DM BM

BD DM

BM

． 2

2 2

2 + − =

3 5 3 5 2

10 ) 3 5 ( ) 3 5

( ^{2 2 2}

．

．

−

+ =

3 1

(E)對。設 P，Q 分別為 BC 及AD之中點△APD 中 ∵ PD=PA且 Q 為AD之中點 ∴ PQ⊥AD， 同理PQ⊥ BC ， 故AD與 BC 之距離為PQ，即 PQ= PD²−DQ² = (5 3)² −5² = 5 2

3. (複選)在空間中，下列敘述何者正確？

(A)任意兩相異平面一定有公垂面 (B)任意兩相異直線一定有公垂線 (C)相交於一點的兩直線可決定唯一平面 (D)兩直線不相交必平行

(E)相異三點可決定唯一平面

【解答】(A)(B)(C)

【詳解】

(A)對 (B)對 (C)對 (D)錯。可能歪斜 (E)錯。不共線之相異三點可決定唯一平面 4. (複選)下列敘述何者正確？

(A)在空間中，一線段的垂直平分線只有一條 (B)任意三點可決定一個平面

(C)設平面E與直線L相交於A點，若平面E上有兩條通過A點的相異直線均與L垂直，

則L ⊥ E

(D)在空間中，兩直線L1，L2若不相交，則L1// L2

(E)給定一平面E及其外一點P，有無限多個平面通過P點且與E垂直

【解答】(C)(E)

【詳解】

(A)錯。無限多條

(B)錯。不共線三點可決定一個平面

(C)對。直線垂直平面的判別定理：若平面 E 上存在兩條通過 P 點的相異直線分別與 L

垂直，則 L ⊥ E

(D)錯。可能歪斜

(E)對。一平面 E 及其外一點 P，有無限多個平面過 P 點且與 E 垂直 5. (複選)在空間中，下列敘述何者正確？

(A)過直線外一點恰有一直線垂直於此直線 (B)過直線外一點恰有一直線平行於此直線 (C)過平面外一點恰有一直線垂直於此平面 (D)過平面外一點恰有一直線平行於此平面

【解答】(A)(B)(C)

【詳解】

(A)(B)(C)正確 (D)錯誤：過平面外一點，有無限多條直線平行此平面 6. (複選)下列敘述何者正確？

(A)空間中兩平行線決定一平面 (B)平面上兩相異直線，若不相交則必平行 (C)空間中 任意三相異點決定一平面 (D)兩歪斜線恰有一條公垂線

【解答】(A)(B)(D)

【詳解】

(A)○：設L₁ // L₂，則L₁，L₂共平面，記為E₁，L₁與在L₂上一點P決定唯一平面，記為E₂， 但L₁，L₂共平面 ∴ E₁ = E₂，所以兩平行線決定一平面

(B)○：由定義可知

(C)╳：取在同一直線上A，B，C相異三點，它們無法形成一平面 (D)○

二、填充題(每題 10 分)

1. 下圖中，正四面體ABCD中，E，F分別是△ABC及△ACD之外心，

則EF：BD= 。

【解答】1：3

【詳解】

∵ △ABC 及△ACD 均為正△ ∴ E，F 亦分別為△ABC 及△

ACD 之重心，則

M，N，且

MN EF =

3 2…c

於△BCD 中， MN //BD且 BD MN=

2

1……d c × d ⇒

MN EF ．

BD MN =

3 2×

2

1，即EF：BD= 1：3

2. 下圖是一個正四角錐，它的底面是一個邊長為 2 的正方形，此 正四角錐的高為 1，則兩相鄰側面的夾角之度數為 。

【解答】120°

【詳解】

cAB= 2，則AE= 2

1

AC

d於直角△AOE 中， AO=

AE

OE

AOB 與平面 COB 之二面角（即為兩相鄰側面的夾角）

如左下圖， OG=

AO

AG

△AOB 之面積 = 2

1 AB． OG = 2

1

OB ．

⇒AF =

OB

OG AB．

3 2

2 ，同理

CF =

2 2

f如右圖，cos(∠AFC)

=

3 2 2 3

2 2 2

) 2 2 ( ) 3

2 (2 ) 3

2

(2 ^{2 2 2}

．

．

− +

= 2

−1

，

故所求夾角為 120°

3. 如下圖，將一張正方形的紙ABCD沿著對角線BD摺起，使得

∠ABC = 60°，則二平面ABD與BCD的夾角為 。

【解答】90°

【詳解】

如左圖，取 O 為BD中點

∴ AO⊥BD， CO⊥BD，設正方形 ABCD 的邊長為 a 在△ABD 中，∠A = 90°，∠ABD = 45° ∴ AO =

2

a

∴ cos∠AOC =

OC OA

AC OC OA

． 2

2 2

2 + −

= 0 ⇒ ∠AOC = 90°

∴ 二平面 ABD 與 BCD 的夾角為 90°

4. 如右圖，正方形ABCD的邊長為a，而P，Q各為BC，CD的中點，今將 此正方形沿虛線向上摺起，使B，C，D三點重合，令此重合點為R，則 四面體A-PQR之體積為 。

【解答】24

a

【詳解】

所摺得的四面體，如上圖（B，C，D 重合為 R）

∴ 2

CQ a RQ RP a AB

AR= = ， = = = ，又RP⊥RQ，AR⊥RQ，AR⊥RP

∴ 四面體的體積 = 3

1(△RPQ)．AR= 3 1(

2 2 2 1 a a

．

． )．a = 24

a

5. 設四面體ABCD中，

AC =

BC =

CD = 6，若平面ACD與平面BCD

的夾角為

θ

θ

【解答】 2 3

【詳解】

如左圖，M 為 CD 中點 ∴ CM =MD= 3

又AM ⊥ CD ，BM⊥ CD 且 AC =AD= 5， BC =BD= 5

∴ AM =BM= 4

在△ABM 中，AB=AM =BM = 4

∴ ∠AMB = 60° =

θ

θ

3

6. 如右圖，四面體ABCD，已知 BC⊥BD，AD⊥平面BCD，且 BC = 7，

AB= 24，AD= 15，(1) AC 的長度為 。

(2)若平面ABD和平面ACD所夾二面角的度量為

θ

θ

。

【解答】(1) 25 (2) 20

7

【詳解】

(1)AD⊥平面BCD ⇒ AD⊥BD，AD⊥ CD

已知AB= 24，AD= 15 ∴

BD

BC ⊥

BD

BC = 351 + 49 = 400

AD

(2)因AD⊥BD，AD⊥ CD ⇒ ∠BDC為二面角B-AD-C的平面角，即∠BDC =

θ

θ

DC BC =

20 7

7.由四個全等正三角形所拼成的立體為正四面體。設正四面體 ABCD 的各稜長為 a，求此正 四面體的高及體積。

【解答】 3 6

a，

12 2

a

【詳解】

正四面體ABCD，如右圖

(1)設M為 CD 的中點，並自A作底BCD的垂線，其垂足為H，

則H是△BCD的重心

∴ BH= 3 2 BM=

3 2．

2 3

a =

3 3

a

故正四面體的高AH= AB²−BH² = a a a 3 ) 6 3 ( 3 ²

2− =

(2)正四面體之體積V = 3

1(底面積) × (高) = 3 1．

4 3

a

3 6

a =

12 2

a

8.設空間中點 O 在平面 E 外，且在 E 的投影點為 A，又 A 在 E 上一直線 L 的投影點為 B，

且 L 上一點 C 距 B 點為 4，若 OC= 13，AB= 3，則 OA長之值為 (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12 (E) 13

【解答】(D)

【詳解】

如右圖，由三垂線定理得 OB⊥ L

由直角△OBC可知OB²=OC²−BC²= 13² − 4² = 153

另由直角△OAB可知 OA=

OB

AB