46 3 2 l)×(330)＝x×(440)，得 x＝ 3 4 3 2 l 答：(4) 出處：數與式 2.符合不等式 6 6 2 2

第壹部份：選擇題(占 55 分) 一、單選題(占 20 分)

說明：第 1 題至第 4 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。 各題答對者，得 5 分；答錯、未答作答或畫記多於一個選項者，該題以零分計算。

1.西元前 4 世紀，管子一書記載了煙皆形成術－三分損益法。由此法可推出「宮」、「商」、「角」、「徵」、「羽」五聲音階。

已知弦長 l 的琴弦發出的音為「宮」，而弦長 ₄

6

3

2 l 的琴弦發出的音為「角」(頻率 330Hz)，請問下列哪一個弦長發出的音 為「羽」(頻率 440Hz)？(註：弦振動的頻率與弦長成反比)

(1) ₂

3

3

2 l (2) 3

2l (3) ₅

7

3

2 l (4) ₃

4

3

2 l (5) ₄

3

3 2 l

解：∵弦振動的頻率與弦長成反比，∴設(頻率)×(弦長)＝定數 k，且「羽」的弦長為 x

⇒( ₄⁶ 3

2 l)×(330)＝x×(440)，得 x＝ ₃

4

3 2 l 答：(4)

出處：數與式

2.符合不等式

6 6 2

2− −

+ x x

x ≤－1 的整數解 x 共有多少個？(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3 (5) 4

解：(∵分母 x²－x－6 可正可負，利用移項)

6 6 2

2 − −

+ x x

x ＋1≤ 0，⇒

2 6

2

−

− +

x x

x

x ≤ 0，⇒

) 2 )(

3 (

) 1 (

+

− +

x x

x

x ≤ 0

⇒ x(x＋1)(x－3)(x＋2) ≤ 0，但是分母(x－3)(x＋2) ≠ 0 (即 x ≠ 3，－2)

⇒－2< x ≤－1 或 0≤ x <3 其中整數解 x 有－1，0，1，2 答：(5)

出處：數與式

3.已知 a 為整數，且 a＞77，f (x)＝(x－101)(x－102)(x－a)－50 有整係數一次因式，求 a＝？

(1) 100 (2) 203 (3) 78 (4) 85 (5) 80

解：設整係數一次因式為 x－k，k 為整數，⇒ f (k)＝(k－101)(k－102)(k－a)＝50＝1×2×5²

∵(k－101)＞(k－102)且相差為 1，得知







=

−

=

−

=

−

52

1 102

2 101

a k k k

，⇒

=

= 78 103 a

k 或







=

−

−

=

−

−

=

−

52

2 102

1 101

a k k k

，⇒

=

= 75 100 a

k (不合)

但是 a＞77，∴a＝78 答：(3)

出處：數與式

4.已知 x＝3^log2，則下列何者正確？

(1) 0≤x ≤1.3 (2) 1.3≤ x＜1.74 (3)1.74≤x＜2.2 (4) 2.2≤x＜3 (5) x ≥3 解：取 log x＝log3^log2＝(log2)(log3)＝0.3010×0.4771＝0.1436071

又log1.2＝ 10

log12＝0.0791，log1.4＝ 10

log14＝0.1461，⇒導出 log1.3＝0.1176

⇒ log1.3＜log x＝log3^log2＜log1.4，⇒ 1.3＜x＜1.4 答：(2)

出處：指數與對數

-2 -1 0 3

－ ＋

－ ＋

＋^{° °}

二、多選題(占 35 分)

說明：第 5 題至第 11 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個正確的選項，請將正確選項畫記在答案卡之「選擇(填)題答 案區」。各題之選項獨立判定，所有的選項均答對者，得 5 分；答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項所有選項作答者，該題以零分計算。

5.下列哪些函數的圖形與直線y＝x 有交點？

(1) y＝2 (2) y＝^x 2^x+2 (3) y＝ x

2

log1 (4) y＝ ) (4 log₂ x

(5) y＝2 －x ^x 解：圖解如下

(1) (2) (3) (4)

(5)

  

=

−

= x y

x y 2

^x

，⇒ y＝2 －x＝x，⇒^x 2 ＝2x，得解^x





=

= 1 1 y

x 或





=

= 2 2 y x

答：(3)(5)

出處：指數與對數

6.已知二次函數 y＝(3－k)x²－kx 的圖形恆在 y＝k 的上方，則 k 值有可能為下列何者？

(1) 6 (2) 2 (3)－2 (4)－6 (5)－10

解：根據題意，y＝(3－k)x²－kx＞k，⇒(3－k)x²－kx－k＞0 (恆正)，條件為：

(i)開口向上，⇒3－k＞0，∴k＜3

(ii)判別式小於 0，⇒(－k)²－4(3－k)(－k)＜0，⇒ k(k－4)＞0，∴k＞4 或 k＜0 由(i)(ii)得知 k＜0

答：(3)(4)(5) 出處：多項式函數

7.下列哪一組函數圖形可以利用平移使其重合？

(1) y＝x²與 y＝2x² (2) y＝x³與 y＝(x－1)³ (3) y＝－3x²與 y＝－3x²＋x－4 (4) y＝2 與 y＝2⋅^x 2 (5) y＝^x log₃x與 y＝2log₃x

解：(1) y＝x²與 y＝2x²，開口大小不同，無法平移使其重合 (2) y＝x³向右平移 1 單位，可得 y＝(x－1)³

(3) y＝－3x²＋x－4 配方得 y＝－3(x－

6

1)²－4＋

12 1

即 y＝－3x²向右平移 6

1單位，向上平移 12

1 ，可得 y＝y＝－3x²＋x－4 (4) y＝2⋅2 ＝，即 y＝^x 2 向左 1 單位，可得 y＝2⋅^x 2 ＝^x 2^x+1

(5) y＝2log₃x數值為 y＝log₃x的 2 倍，無法平移使其重合 答：(2)(3)(4)

出處：指數與對數

8.設 a＝

2

³⁴＝2 ，b＝⁸¹

2

⁴³，c＝3 ，d＝²⁴ 3 ，則下列哪些選項正確？ ⁴²

(1) a ≥ b (2) b ≥ c (3) ab＝cd (4) ac＝bd (5) log(a＋c)＜log(b＋d) 解：(1) a＝2 ，b＝⁸¹

2

⁴³＝2 ，⇒ a ≥ b ⁶⁴

x y y =2 ^x

y = x

1

x y y =2^x+2

y = x

4 x

y

y = x

x y

2

log1

=

x y

y = x

4) ( log2

y= x

(3) ab＝2 ×⁸¹ 2 ＝⁶⁴ 2 ×⁸¹ 4 ，cd＝³² 3 ×¹⁶ 3 ＝¹⁶ 3 ，⇒ ab ≠ cd ³² (4) ac＝2 ×⁸¹ 3 ，bd＝¹⁶ 2 ×⁶⁴ 3 ，⇒ ac ≠ bd ¹⁶

(5) a＋c＝2 ＋⁸¹ 3 ，b＋d＝¹⁶ 2 ＋⁶⁴ 3 ，⇒ a＋c＞b＋d，∴log(a＋c)＞log(b＋d) ¹⁶ 答：(1)(2)

出處：指數與對數

9.設三實數 a、b、c 滿足 a 1、

b 1、

c

1成等差，a、b、c 成等比，則下列哪些選項正確？

(1) a＋c＝0 (2) ac＞0 (3) b＝

2 c a+

(4) a＞b (5) b＞c 解：∵a

1、 b 1 、

c

1成等差，⇒2(

b 1)＝

a 1＋

c 1，⇒

b 2＝

ac c a+

……(i)，且 a，b，c 皆不為 0

∵a、b、c 成等比，⇒ b²＝ac……(ii)，得知 ac＞0，∴(2)正確 由(ii)代入(i)，得

b

2＝ ₂ b

c

a+ ，⇒ a＋c＝2b ≠ 0，……(iii)，∴(1)不正確 且知 b＝

2 c a+

，∴(3)正確，又∵由(iii)代入(ii)，得(

2 c a+

)²＝ac，得知 a＝c，故 a＝b＝c 註：a，b，c 皆不為 0，a、b、c 成等比，又成等差，得知 a＝b＝c

答：(2)(3) 出處：數與式

10.關於實係數三次多項式 f (x)＝ax³＋bx²＋cx＋d，下列敘述哪些正確？

(1)若 f (x)＝0 在 1 與 2 之間有實根，則 f (1)⋅f (2)＜0 (2)若 f (2＋i)＝0，則 f (2－i)＝0

(3)若3

2為 f (x)之一根，則 a 必為 3 的倍數 (4) y＝f (x)的圖形與 x 軸必有奇數個交點 (5) y＝f (x)與 y＝－x²的圖形必有交點

解：(1)勘根之逆定理不一定成立，改為若 f (1)⋅f (2)＜0，則 f (x)＝0 在 1 與 2 之間有實根才正確 (2)根據實係數多項式，若有複數根 x＝2＋i，必成共軛出現(即必有 x＝2＋i 根)

(3) f (x)為實係數多項式，不一定是整數係數多項式，故 a 未必為 3 的倍數

(4)∵奇次多項式至少有 1 實數根，∴可能有 1、2、3 實數根，則交點可能有 2 個(重根時)

(5) f (x)＝－x²，⇒ ax³＋bx²＋cx＋d＝－x²，得 ax³＋(b＋1)x²＋cx＋d＝0 為三次實係數多項式，則至少有 1 實數根，

故必有交點 答：(2)(5)

出處：多項式函數

11.設 x＞0，已知log －x log5678是整數，且log －x log1234＜1，則log 的首數可能為？ x (1) 1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 0

解：(1)∵log －x log5678＝log －x log5.678×10³＝log －x log5.678－3 是整數

∴設log －x log5.678＝k，k 為整數，即設log ＝k＋x log5.678

(2) log －x log1234＝ k＋log5.678－log1234＝( k－3)＋(log5.678－log1.234)＜1

∵0＜log5.678－log1.234＜1，得知 k－3 可能為－1 或 0，∴k＝2 或 3 答：(2)(3)

出處：指數與對數函數

第貳部份：選填題(占 45 分)

說明：1.第 A 至 I 題，將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的列號(12－29)。

2.每題完全答對得 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.將

log

₄( 3+ 5－ 3− 5 )的值化為最簡分數＝______

解： 3+ 5－ 3− 5 ＝ 2

5 2 6+

－ 2

5 2 6−

＝

2 1 5 +

－ 2 1 5−

＝ 2 2 ＝

2

原式＝log₄ 2＝ ²

1 2

2 log

2 ＝

2

2 1

2 log

₂ ＝

4 1 答：4

1

出處：指數與對數函數

B.一次多項式 f (x)＝ax＋b，若

15

) 1998 ( ) 2013

( f

f −

＝4，且 y＝f (x)與 y＝x²的圖形交於 A(－1，1)、B(m，n)兩點，則(m，

n)＝___________。

解：(1)∵

15

) 1998 ( ) 2013

( f

f −

＝ 15

) 1998 ( ) 2013

( a+b − a+b

＝ 15

15a ＝a，∴a＝4，得知 f (x)＝4x＋b (2) A(－1，1)代入f (x)＝4x＋b，⇒1＝－4＋b，∴b＝5

(3)交點

 



= +

=

2

5 4 x y

x

y

，⇒x²＝4x＋5，⇒(x－5)(x＋1)＝0，得 x＝5 或－1，即





=

−

= 1

1 y

x 或





=

= 25 5 y x 故 B(5，25)

註：利用微分公式求，

15

) 1998 ( ) 2013

( f

f −

＝ 2013 1998 ) 1998 ( ) 2013 (

−

− f

f ＝f ′(x)＝a 答：(5，25)

出處：多項式函數

C.已知二次函數f (x)＝9×

) 7 1 )(

5 1 (

) 7 )(

5 (

−

−

−

− x

x ＋9×

) 7 5 )(

1 5 (

) 7 )(

1 (

−

−

−

− x

x －6×

) 5 7 )(

1 7 (

) 5 )(

1 (

−

−

−

− x

x ，求 f (x)的最大值為______。

解 1：根據拉格朗日二次插值法，得知函數 f (x)通過(1，9)，(5，9)，(7，－6)三點

⇒∵過(1，9)，(5，9)，∴f (x)圖形之對稱軸為 x＝3 又 f (x)之 x²係數＝9×

) 6 )(

4 (

1

−

− ＋9×

) 2 )(

4 (

1

− －6×

) 2 )(

6 (

1 ＝－

4

5＜0，

即圖形開口向下，最大值在頂點處＝f (3)＝14 解 2：展開 f (x)＝

8

3(x²－12x＋35)－

8

9(x²－8x＋7)－

2

1(x²－6x＋5)＝－

4 5x²＋

2 15x＋

4 11

⇒配方，f (x)＝－

4

5(x－3)²＋14，即當 x＝3 時，f (x)有最大值 14

解 3：設二次函數 f (x)＝ax²＋bx＋c，通過(1，9)，(5，9)，(7，－6)三點，解出 a，b，c

⇒ f (x)＝－

4 5x²＋

2 15x＋

4 11＝－

4

5(x－3)²＋14 答：14

出處：多項式函數

○¹²

○¹³

(○¹⁴，○¹⁵○¹⁶)

○¹⁷○¹⁸

後的值為 0.4，則此最簡分數為____。

解：(1)設此最簡分數為 +4 x

x ，x 為正整數

(2)∵利用四捨五入法估計為 0.4，⇒0.1 為最小測量單位

∴0.4－

2 1(0.1)≤

+4 x

x ＜0.4＋

2

1(0.1)，⇒0.35≤

+4 x

x ＜0.45，⇒0.35(x＋4)≤ x＜0.45(x＋4)

⇒

+

<

≤ +

) 4 ( 45 . 0

) 4 ( 35 . 0

x x

x

x ，⇒









≈

<

≈

≥

27 . 11 3 36

15 . 13 2 28

x x

，取 x＝3，故此最簡分數為 7 3

答：7 3

出處：數與式

E.在一筆直的道路上有一間圖書館 A 與一間超級市場 B，分別位於 A(10 公里)與 B(13 公里)處

，如圖所示。小明的家位於該道路上 P(x 公里)的位置。星期天早上，小明騎著腳踏車從家裡

出發，以每小時 10 公里的速度到圖書館；而小明的媽媽以每小時 20 公里的速度，騎著電動機車到超級市場。若兩人 各自到達目的地所花的時間總和不超過 36 分鐘，則 x 的最大範圍為_____________。

解：(1)當 x≥13 時，如右圖 1，

10

−10

x ×60＋

20

−13

x ×60≤36，⇒ x≤15，⇒13≤x≤15

(2)當 10≤x＜13 時，如右圖 2，

10

−10

x ×60＋

20

13 x− ×60≤36，⇒ x≤19，⇒10≤x＜13

(3)當 x≤10 時，如右圖 3，

10 10−x

×60＋ 20

13 x− ×60≤36，⇒ x≥7，⇒7≤x≤10 由(1)或(2)或(3)，得知 7≤x≤15

答：7≤x≤15 出處：數與式

F.已知直角三角形斜邊上的高其長度為 5，則直角三角形面積的最小值為______。

解 1：(i)如右圖，設∆ABC 三邊長分別為 a，b，c (ii)滿足 a²＋b²＝c²……(1)且面積＝

2 1ab＝

2

1×5×c，⇒ ab＝5c……(2) 由(1) a²＋b²≥2

a

²

b

² ＝2ab，⇒ c²≥2ab

⇒由(2)，c＝

5

ab，∴(

5

ab)²≥2ab，⇒ ab≥50，故直角三角形面積＝

2

1ab≥25 解 2：(i)如右圖，設∆ABC 中─AD＝x，─

BD＝y

(ii)根據母子相似性質，xy＝5²＝25，⇒ x＋y≥2

xy

＝10

∴∆ABC 面積＝

2

1(x＋y)×5＝

2

5(x＋y) ≥ 2

5×10＝25 答：25

出處：數與式

○²⁰

○¹⁹

10 13

A B

○²¹≤ x ≤○²²○²³

10 13

A B P

x

圖 1

10 13

A P B

x

圖 2 10 13

A B

P

x

圖 3

A

B

C D

5 a b c

C

A B

5 D

x y

○²⁴○²⁵

G.滿足不等式log_x−2(x² −58)≤1 的整數 x 共有____個。

解：(i)成立條件







>

−

≠

−

>

−

0 58

1 2

0 2 x2

x x

，⇒







−

<

>

≠

>

58 58

3 2

x x

x x

或

，⇒ x＞ 58

(ii)運算：log_x−2(x²−58)≤1＝log_x−2(x−2)，∵x＞ 58 ，∴底數＝x－2＞1，為一遞增函數

∴x²－58≤x－2，⇒ x²－x－56≤0，⇒(x－8)(x＋7)≤0，⇒－7≤x≤8

⇒由(i)(ii)得知 58 ＜x ≤ 8，∴整數 x＝8，共有 1 個 答：1

出處：指數與對數函數

H.若 p 為質數，有一整係數多項式 f (x)，使得 f (18)＝2013，f (p)＝1910，試求滿足上述條件的所有質數 p 之和為______。

解：∵f (18)＝2013，∴設多項式 f (x)＝(x－18)Q(x)＋2013，其中 Q(x)為商式

⇒ f (p)＝(p－18)Q(p)＋2013＝1910，⇒(p－18)Q(p)＝－103，得知(p－18)是(－103)的因數

⇒ p－18 可能是 1，－1，103，－103，得 p 可為 19，17，121(不合)，－85(不合)

∴所有質數 p 之和＝19＋17＝36 答：36

出處：多項式函數

I.設 a 為實數，使得 a＋log₈3、a＋

log

₄

3

、a＋

log

₂

3

形成等比數列，則此等比數列的公比為____。

解：令

log

₂

3

＝k，∴log₈3＝log233＝ 3

1k 與log223＝ 2 1k

⇒ a＋3

1k、a＋

2

1k、a＋k 成等比數列，公比＝

k a

k a

3 1 2 1 + +

＝

k a

k a

2 +1

+

⇒(a＋2

1k)²＝(a＋

3

1k)( a＋k)，⇒ a＝－

4

1k，∴公比＝

k a

k a

2 +1

+ ＝ k k

4 1 4 3

＝3

答：3

出處：指數與對數函數

○²⁶

○²⁷○²⁸

○²⁹